Álgebra Moderna I - Licenciatura en Matemáticas

NOMBRE DE LA MATERIA
Algebra Moderna I
NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN
Universidad de Sonora
UNIDAD ACADÉMICA
Unidad Regional Centro
DIVISÓN ACADÉMICA
División de Ciencias Exactas y Naturales
DEPARTAMENTO ACADÉMICO QUE
IMPARTE EL SERVICIO
Departamento de Matemáticas
LICENCIATURAS USUARIAS
Matemáticas
EJE FORMATIVO
Profesional
REQUISITOS
Introducción al Algebra Moderna
CARÁCTER
Obligatorio
VALOR EN CRÉDITOS
10 (4 Teoría/2 Laboratorio)
Objetivo General
Familiarizar al estudiante con las estructuras básicas que se estudian en el álgebra
contemporánea y proporcionarle algunas herramientas algebraicas que son necesarias en otras ramas de
las matemáticas
Objetivos Específicos
Al terminar el curso, el alumno:
ƒ Será capaz de definir las estructuras algebraicas de grupo, anillo y campo; distinguirá las
operaciones binarias involucradas en cada caso y dará ejemplos de cada una de estas
estructuras.
ƒ Distinguirá diferentes clases de grupos de acuerdo a su orden y a su estructura interna.
ƒ Distinguirá diferentes clases de anillos de acuerdo a su estructura interna.
ƒ Comprenderá la diferencia entre anillo, anillo de división y campo; dará ejemplos de cada uno
de ellos.
ƒ Distinguirá los campos más comunes, tanto finitos como infinitos.
ƒ Será capaz de dar ejemplos diferentes de anillos euclidianos y aplicará el algoritmo de la
división en estos anillos.
ƒ Comprenderá la importancia de los anillos de polinomios y usará criterios para factorizarlos
ƒ Definirá el concepto de módulo sobre un anillo y dará ejemplos de estas estructuras.
Contenido Sintético
PRIMERA PARTE. Estructura de los Grupos
(30 Horas)
I. Acciones de grupos
(6 Horas).
Definiciones y ejemplos.
Estabilizadores y órbitas
Ecuación de clase y aplicaciones
II. Teorema de Cayley y aplicaciones
(3 Horas)
III. Teoremas de Sylow
(8 Horas)
p-grupos
Teorema de Cauchy
Los tres teoremas de Sylow
IV. Grupos simples
(3 Horas)
Ejemplos
Simplicidad de An, para n ≠ 4
V. Grupos solubles y grupos nilpotentes
Defininciones y ejemplos
La no solubilidad de An, para n ≥ 5
(5 Horas)
VI. Grupos Libres
(5 Horas)
Productos
Generadores y relaciones
SEGUNDA PARTE. Teoría de Anillos
(50 Horas)
VII. Definición de anillo y ejemplos
(8 Horas)
Ejemplos de anillos
Los anillos (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·) y (C,+, ·).
El anillo de los enteros módulo n, (Zn,+,×).
Los anillos Z(√2) y Z[i].
Anillos de matrices
El anillo de los cuaternios H.
Subanillos.
VIII. Algunas clases especiales de anillos
Dominios enteros
Anillos de división
Campos
(5 Horas)
IX. Ideales, homomorfismos y anillos cociente (8 Horas).
Homomorfismos de anillos
Ideales
Anillos cociente
Teorema fundamental de homomorfismo para anillos
Teoremas fundamentales de isomorfismo para anillos
X. Campo de fracciones de un dominio entero
(3 Horas)
XI. Anillos Euclidianos, Principales y de Factorización única
Ejemplos de anillos euclidianos
Ejemplos de anillos de ideales principales
Ejemplos de anillos de factorización única
Ejempls de anillos que no son de factorización única.
(8 Horas)
XII. Anillos de Polinomios
(12 Horas)
Definición formal de un polinomio
Suma y multiplicación de polinomios
El anillo de polinomios con coeficientes en un campo como un anillo euclidiano
Algoritmo de la división
Teorema del residuo y teorema del factor
Raíces de polinomios
Factorización de polinomios
Criterio de Eisenstein y aplicaciones
TERCERA PARTE. Introducción a la Teoría de Módulos
XIII. Definción de módulo y ejemplos
XIV. Homomorfismos de módulos
XV. Módulos libres y espacios vectoriales.
Modalidad De Enseñanza
El profesor promoverá la participación activa de
cada uno de los alumnos del curso mediante
talleres de resolución de problemas y a través de
lecturas seleccionadas que involucren temas de
teoría la teoría axiomática de conjuntos y la teoría
de grupos o sus aplicaciones. Tales lecturas se
pueden seleccionar de revistas de matemáticas de
nivel licenciatura tales como Miscelánea
Matemática (de la Sociedad Matemática
Mexicana), The College Mathematical Journal,
Mathematics
Magazine,
The
American
Mathematical Monthly (de la Mathematical
Association of America), etcétera. Con esta
actividad se puede promover la realización de
(6 Horas)
Modalidades De Evaluación
Se recomienda que el profesor del curso realice al
menos cuatro evaluaciones, a través de exámenes
escritos, las cuales se complementarán con trabajo
extraclase que deberán realizar los alumnos, tales
como tareas y talleres de ejercicios, prácticas de
cómputo y proyectos de investigación que el
profesor asigne a cada estudiante.
pequeños proyectos de investigación que podrían
llevar a cabo los estudiantes, asesorados por el
profesor, y los reportes respectivos serían parte de
la calificación del curso. Es conveniente que
también se programen en el semestre sesiones en
el laboratorio de cómputo para que el profesor
ilustre a sus alumnos algunos conceptos de la
teoría de grupos mediante el uso de software
computacional, tales como MAPLE o GAP.
Perfil Académico Del Responsable
Se recomienda que el profesor cuente con una formacion sólida en álgebra y tenga una idea clara de su
importancia para otras ramas de las matemáticas, así como sus aplicaciones. De preferencia, que el
álgebra sea su área de investigación y que maneje software de álgebra computacional, tales como
MAPLE o GAP. Además, es conveniente que el profesor esté dispuesto a promover entre sus alumnos la
realización de proyectos de investigación, adecuados para sus estudiantes, los cuales podrán iniciarse con
lecturas seleccionadas, como ya se mencionó anteriormante.
Bibliografía Básica
1. Birkoff, G., Mac Lane, S., A Survey of Modern Algebra, Fourth Edition, McMillan, New York,
1977.
2. Cohn, P. M., Algebra, Volume 1,John Wiley & Sons, Chichester, England, 1974 (Tercera Impresión,
1978).
3. Fraileigh, J. B., A First Course in Abstract Algebra, Sixth Edition, Addison Wesley, Reading
Massachussetts, 1999 (Reimpresión corregida, 2000).
4. Herstein, I. N., Algebra Moderna, Trillas, 1980.
5. Hungerford T. W., Algebra, Springer, New York, 1974 (Quinta reimpresión 1989).
6. Gilbert, W. J., Modern Algebra with Applications, John Wiley & Sons, New York, 1976.
7. Goldstein, L. J., Abstract Algebra: A First Course, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey,
1973.
8. Grove, L. C., Algebra, Academic Press, 1983.
9. Jacobson, N., Lectures in Abstract Algebra, Volume I, D. Van Nostrand Company, New York, 1951
(Reimpresión, 1965).
10. Klima, R. E., Sigmon, N., Stitzinger, E., Applications of Abstrat Algebra with MAPLE, CRC Press
LLC, Boca Raton, Florida, 2000.
11. Rotman, J. J., A First Course in Abstract Algebra, Second Edition, Prentice Hall, Upper Saddle
River, New Jersey, 2000.
12. Vargas, J. A., Algebra Abstracta, Limusa, 1988.
13. Waerden, B. L. van der, Algebra, Volume I, Springer, New York, 1991.
14. Waerden, B. L. van der, Algebra, Volume II, Springer, New York, 1991.