El pensamiento numérico y los sistemas numéricos

Guía
Del estudiante
Modalidad a distancia
Modulo
FUNDAMETOS MATEMÁTICOS PARA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESEAS AGROPECUARIAS
I SEMESTRE
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TUTOR
Luis Enrique Alvarado Vargas
Teléfono
435 29 52 – CEL. 310 768 90 67
E-mail
Lugar
[email protected]
Madrid Cundinamarca
Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca
BIENVENIDA
El pensamiento numérico y los sistemas numéricos
Los Lineamientos Curriculares de Matemáticas plantean el desarrollo de los procesos curriculares y la
organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la
numeración; la comprensión del sentido y significado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el
desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación. Dichos planteamientos se enriquecen si, además, se
propone trabajar con las magnitudes, las cantidades y sus medidas como base para dar significado y comprender
mejor los procesos generales relativos al pensamiento numérico y para ligarlo con el pensamiento métrico. Por
ejemplo, para el estudio de los números naturales, se trabaja con el conteo de cantidades discretas y, para el de
los números racionales y reales, de la medida de magnitudes y cantidades continuas.
Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático enunciados en los
Lineamientos curriculares: en la aritmética, el pensamiento numérico; en la Geometría, el pensamiento espacial y
el métrico; en el álgebra y el cálculo, el pensamiento métrico y el variacional, y en la probabilidad y estadística, el
pensamiento aleatorio.
En el caso de los números naturales, las experiencias con las distintas formas de conteo y con las operaciones
usuales (adición, sustracción, multiplicación y división) generan una comprensión del concepto de número
asociado a la acción de contar con unidades de conteo simples o complejas y con la reunión, la separación, la
repetición y la repartición de cantidades discretas. En cierto sentido, la numerosidad o cardinalidad de estas
cantidades se está midiendo con un conjunto unitario como unidad simple, o con la pareja, la decena o la
docena como unidades complejas, y las operaciones usuales se asocian con ciertas combinaciones,
separaciones, agrupaciones o reparticiones de estas cantidades, aunque de hecho se refieren más bien a los
números que resultan de esas mediciones.
Históricamente, las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de
numeración griegos o con el romano, y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de
numeración indo-arábigo. Entre los Siglos XIV y XIX, la enseñanza de la aritmética escolar se redujo en la práctica
al manejo de este sistema de numeración para los naturales y de su extensión para los racionales positivos (o
“fraccionarios”). Pero durante el Siglo XX hubo una proliferación muy grande de otros contenidos matemáticos
en la Educación Básica y Media; en
particular, además de los naturales, se empezaron a estudiar los sistemas numéricos de los enteros, los
racionales, los reales y los complejos, y otros sistemas de numeración antiguos y nuevos (como el binario, el
octal, el hexadecimal, el vigesimal y el sexagesimal para los naturales y sus extensiones a los racionales), así
como las notaciones algebraicas para los números irracionales, los reales y los
complejos.
Estas extensiones sucesivas de los sistemas numéricos y de sus sistemas de numeración
representan una fuerte carga cognitiva para estudiantes y docentes y una serie de dificultades didácticas para
estos últimos. Es conveniente recordar, por ejemplo, que durante la Edad Antigua y Media ni siquiera las razones
entre dos números de contar se consideraban como verdaderos números. Hoy día se aceptan como una nueva
clase de números, llamados precisamente “racionales” (por la palabra latina “ratio”, que significa “razón”).
El paso del concepto de número natural al concepto de número racional necesita una reconceptualización de la
unidad y del proceso mismo de medir, así como una extensión del concepto de número. El paso del número
natural al número racional implica la comprensión de las medidas en situaciones en donde la unidad de medida
no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se desea medir o en las que es necesario
expresar una magnitud en relación con otras magnitudes.
Las primeras situaciones llevan al número racional como medidor o como operador ampliador o reductor
(algunos de estos últimos considerados a veces también como “partidores” o “fraccionadores” de la unidad en
partes iguales), representado usualmente por una fracción como “¾”, o por un decimal como “0,75”, o por un
porcentaje como “el 75%”. Las otras situaciones llevan al número racional como
razón, expresado a veces por frases como “3 de 4”, o “3 por cada 4”, o “la relación
de 3 a 4”, o por la abreviatura “3:4”.
Históricamente, las operaciones usuales de la aritmética eran muy difíciles de ejecutar con los sistemas de
numeración griegos o con el romano, y sólo en el Siglo XIII se empezó a adoptar en Europa el sistema de
numeración indo-arábigo.
Algo parecido sucede con el paso del concepto de número natural al de número entero más general, que puede
ser positivo, cero o negativo, y del concepto de número racional positivo (también llamado “número
fraccionario”) al de número racional más general, que también puede ser positivo, cero, o negativo. Aunque los
chinos e hindúes empezaron a explorar números negativos hace más de mil años, en los países europeos éstos
no se aceptaron como números hasta bien entrado el Siglo XVII. El
concepto de número negativo es el resultado de la cuantificación de ciertos cambios
en las medidas de una magnitud, o de la medida relativa de una magnitud con respecto a un punto de
referencia, identificado con el cero. Este paso de los números naturales a los números enteros positivos y
negativos (con el cero como entero) y a los números racionales positivos y negativos (con el cero como racional)
no sólo amplía el concepto de número, sino que también obliga a cambios conceptuales en las operaciones y las
relaciones entre ellos, configurando así sistemas numéricos diferentes.
El fracaso en la medición de ciertas longitudes cuando se tomaba otra como unidad llevó al concepto de número
irracional, que complementó el de número racional y llevó a pensar en un sistema unificado de números
racionales e irracionales llamados “reales”, con sus operaciones y relaciones
apropiadamente extendidas a los nuevos números.
Las conceptualizaciones relativas a los números reales implican la aritmetización de procesos infinitos, y por
ende, la construcción de las nociones de inconmensurabilidad, irracionalidad, completitud y continuidad.
Igualmente, este paso de los números racionales a los números reales requiere del uso y comprensión de
diferentes tipos de representaciones numéricas, sobre todo, las relativas a los números irracionales, tanto por
medio de decimales infinitos como de símbolos algebraicos.
El fracaso en la solución de ciertas ecuaciones algebraicas llevó a la conceptualización de un nuevo tipo de
número, llamado “imaginario”, que complementó el de número real y llevó a pensaren un sistema unificado de
números llamados “complejos”. Éstos, a su vez, requieren de diferentes tipos de representaciones y una
extensión de las operaciones y las relaciones entre estos nuevos números complejos.
Se fueron configurando así sistemas numéricos llamados “naturales”, “racionales positivos” (o “fraccionarios”),
“enteros”, “racionales”, “reales” y “complejos”, cada uno de ellos con operaciones y relaciones extendidas a los
nuevos sistemas numéricos a partir de su significado en los naturales y con sus sistemas de numeración o
sistemas notacionales cada vez más ingeniosos. El pensamiento aritmético opera mentalmente sobre sistemas
numéricos en interacción con los sistemas de
numeración, y sin estos últimos no se hubieran podido perfeccionar ni siquiera los sistemas numéricos
naturales, mucho menos los demás.
Así pues, el desarrollo del pensamiento numérico exige dominar progresivamente un conjunto de procesos,
conceptos, proposiciones, modelos y teorías en diversos contextos, los cuales permiten configurar las
estructuras conceptuales de los diferentes sistemas numéricos necesarios para la Educación Básica y Media y su
uso eficaz por medio de los distintos sistemas de numeración con los que se representan. El complejo y lento
desarrollo histórico de estos sistemas numéricos y simbólicos esbozado arriba sugiere que la construcción de
cada uno de estos sistemas conceptuales y el manejo competente de uno o más de sus sistemas simbólicos no
puede restringirse a grados específicos del ciclo escolar, sino que todos ellos se van construyendo y utilizando
paciente y progresivamente a lo largo de la Educación Básica y Media. Un acompañamiento pedagógico paciente
y progresivo de los estudiantes puede lograr que la gran mayoría de ellos logre la proeza de recorrer doce
milenios de historia del pensamiento numérico en sólo doce años de escolaridad.
La comprensión del número, su representación, las relaciones que existen entre ellos y las operaciones que con
ellos se efectúan en cada uno de los sistemas numéricos. Se debe aprovechar el concepto intuitivo de los
números que el niño adquiere desde antes de iniciar su proceso escolar en el momento en que empieza a
contar, y a partir del conteo iniciarlo en la comprensión de las operaciones matemáticas, de la proporcionalidad
y de las fracciones. Mostrar diferentes estrategias y maneras de obtener un mismo resultado. Cálculo mental.
Logaritmos. Uso de los números en estimaciones y aproximaciones.
UNIDAD DE TRABAJO No.2

¿Cómo el pensamiento numérico en la solución de problemas propios de la
administración Agropecuaria?

A través de los sistemas numéricos ¿A qué tipo de situaciones le podemos dar
solución en la carrera?
Indicadores



Reconocer los sistemas numéricos y sus propiedades, para aplicarlos en la solución de situaciones
problémicas propias de la carrera.
Resolver problemas que se plantean a lo largo de las actividades de la vida estudiantil y profesional
Caracterizar los elementos de producción de la zona de estudio a través del pensamiento numérico y la
encuesta, para asumir el compromiso de iniciar el trabajo investigativo.

Proponer un modelo asociativo a través de las propiedades de las operaciones con números racionales e
irracionales.

Proponer un modelo asociativo a través de las propiedades de las operaciones con números reales
NÚMEROS
Contenido
Los números naturales
El principio de inducción matemática
División exacta y división entera
Descomposición en factores primos
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides
Representación de un número natural en una base cualquiera
Los números enteros
Los números racionales
Relación de orden en el conjunto de los racionales
Densidad del conjunto de los racionales.
Propiedad arquimediana
Cardinal de los racionales
Representación decimal de los números racionales
Los números irracionales
Los números reales
¿QUE ES UN NÚMERO?
Un número es un ente (algo intangible, por decirlo así) que nos sirve para contar y establecer un orden de
sucesión entre las cosas. Los números se pueden clasificar en: Naturales, Enteros, Fraccionarios, Irracionales y
reales.
Cada conjunto de números engloba a otros, como puedes observar en esta imagen:
R
I
Q
Z
N
N=Números Naturales
Z=Números Enteros
Q=Números Racionales
I=Números Irracionales
R=Números Reales
NUMEROS NATURALES:
Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos
y sin parte decimal.
N= { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ...}
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar:
={1,2,3,4...}

Con los números naturales
se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales
forman un semigrupo conmutativo.

Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que
pueda ponerse en correspondencia biyectiva con el conjunto de los números naturales se dice que
es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número
, es
decir, el conjunto
cuando
es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito
numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos
numerables como se verá más adelante.

El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de
orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera
pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos
naturales, e , o bien
, o bien
.

Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es,
existe un elemento
tal que para todo de se tiene
.
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

Principio de inducción matemática: si un subconjunto
resulta que
o
, entonces
de
verifica que
y, si
,
.
Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que
una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos
probar que la suma de los primeros números naturales es
podemos hacerlo
por inducción en la forma siguiente:
Para
es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es
Suponiendo cierta la fórmula para
que también es cierta para
, es decir,
.
, veamos
,
Luego la fórmula es válida para todo n natural.
o
Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:



Dados dos números naturales
, no es cierto en general que exista un natural
tal que
. Si tal existe se denomina cociente exacto de por
, y la división se denomina
exacta. En este caso se dice que es divisible por
, o que
es un divisor de , o que es
un múltiplo de
.
Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen
con
Los
números
,
,
y
se denominan dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el
procedimiento para determinar

y
a partir de
y
se denomina división entera.
Descomposición en factores primos:
Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por
ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.
Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para encontrar números primos es la
denominada criba de Eratóstenes, que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir
tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no hubiera sido tachado
previamente.
El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía (ocultación de secretos). Todo
número natural admite una descomposición en producto de números primos. Esta descomposición
es única salvo el orden de los primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos
ejemplos.
Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad
computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas
criptográficos se basan en este problema.
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.
El máximo común divisor de dos números se define, como su propio nombre indica, como el
divisor más grande que ambos números tienen en común. Si disponemos de la factorización de
ambos números, entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente con
aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con
los que aparezcan.
El mínimo común múltiplo, nuevamente como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que
ambos números tienen en común. Atendiendo a las descomposiciones de ambos números, el
mínimo común múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen
(comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.
Según se dijo antes, calcular la factorización de un número es un proceso muy costoso. Sin
embargo, puede calcularse el máximo común divisor de dos números de una manera eficiente, sin
necesidad de factorizar previamente ambos números. Es lo que se conoce como algoritmo de
Euclides
y
consiste
en
lo
siguiente:
o
Dados dos números
o
Cada paso consiste en una nueva división, en la que el dividendo es el número que
actuó de divisor en la división anterior y el divisor es el número que se obtuvo como
resto en la división anterior.
, comenzamos realizando la división entera de
entre
.
o
Cuando en una división se obtiene resto nulo, el máximo común divisor de los números
de los que partimos será el número que ha actuado como divisor en esa última división
efectuada y que resultó ser una división exacta.
Una vez obtenido el máximo común divisor de esta manera, ¿se te ocurre cómo obtener el mínimo
común múltiplo sin necesidad de factorizar los números?

Representación de un número natural en una base cualquiera:
El método de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier número natural en forma
única en una base cualquiera p, en la forma siguiente:
en base p, donde
.
Para lograr dicha expresión basta con realizar sucesivas divisiones enteras de n por p y tomar los
restos, es decir,
Hasta que en la r-ésima división,
se tenga
. Se toma
, y hemos terminado.
o
Nótese que nuestra actual notación posicional para los números naturales se
corresponde con la representación de los números naturales en base decimal (p=10). Se
denomina notación posicional porque el valor de una cifra depende de la posicón que
ésta tenga en el número: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el
lugar de las centenas vale 500.
o
La notación binaria, tan común en el mundo de la informática es el resultado de tomar
p=2 y representar los números naturales en dicha base.
o
¿Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...
NUMEROS ENTEROS:
Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos.
Z = { 1 , -1 ,2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4... }
Cuando se necesita además restar surgen los números enteros
={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los enteros se obtienen a partir de los naturales añadiendo los opuestos para la
operación suma.

Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se
define como:
el
entero
positivo
0,
el entero negativo -(b-a) si a < b
La
suma
de
dos
enteros
negativos
a-b,
si
si
a
se
define
como
>
b,
a=b
(-a)+(-b)=-(a+b)
De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo
conmutativo.

Si además de la suma, consideramos la operación de multiplicación definida como
o
(-a)(-b)=ab
o
(-a)b=a(-b)=-(ab),
el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo
conmutativo y con unidad.

Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se
puede
establecer
una
correspondencia
biyectiva
entre
ambos
conjuntos,
, por ejemplo como ésta:
si n es un entero positivo
Por tanto, el conjunto de los enteros es también infinito numerable. También es un
conjunto totalmente ordenado, cuando se considera la relación de orden definida en
la forma obvia y que extiende la relación de orden que se tiene en
. También es
cierto que en los enteros todo subconjunto acotado inferiormente tiene elemento
mínimo, y recíprocamente, todo subconjunto acotado superiormente tiene
elemento máximo.
NUMEROS RACIONALES:
Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales, enteros.
Si se necesita además dividir, surgen los números racionales (o fraccionarios, o quebrados),
={... 1/2, 5/3, 8/10, 238476/98745, ...... }

Los racionales se obtienen a partir de los enteros añadiendo los inversos para la
multiplicación.
o
La suma de dos racionales a/b y c/d se define como a/b+c/d=(ad+cb)/bd.
o
El producto de dos racionales a/b y c/d se define como ac/bd.
o
Dos números racionales a/b y c/d son iguales si y sólo si ad=bc.
(En todo lo anterior, a, b, c y d denotan números enteros)
o
Un número racional se dice que está expresado mediante una fracción
irreducible si el numerador y el denominador no tienen factores comunes.
De este modo, el conjunto de los racionales, con las operaciones de suma y producto
tiene estructura de cuerpo conmutativo.

En
se pueden resolver todas las ecuaciones lineales, es decir, aquéllas de la forma
ax+b=0, con a y b racionales.

En
se puede definir un orden total compatible con las operaciones suma y
producto definidas anteriormente y que extienda el orden existente en
Para ello basta con definirlo como sigue:
y en
.
Dados dos números racionales a/b y c/d, donde b y c son enteros positivos
(esto siempre puede conseguirse, por ejemplo, si b es negativo basta con
multiplicar a y b por -1 para obtener un número racional igual que el dado
pero con denominador positivo), se dice que
si y sólo si
respecto del orden existente en el conjunto de los enteros.
Por tanto

con dicho orden es un conjunto totalmente ordenado.
Densidad del orden:
Dados dos números racionales distintos,
racional
tal que
, siempre existe otro número
.
Para ello, si
, con b y d positivos, basta con
tomar
Ejercicio: probar que efectivamente
(por ejemplo, entre 3/5 y
2/3 se encuentra 5/8)
Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales
distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales
distintos,
Por ejemplo, ahora entre 3/5 y 5/8 se encuentra 8/13, entre 3/5 y 8/13 se
encuentra 11/18, etc., tenemos asi 3/5 < ...... < 11/18 < 8/13 < 5/8 < 2/3.
por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto denso. No tiene
sentido hablar del racional siguiente o anterior a uno dado. Esto es algo que no
ocurría ni en el conjunto de los naturales ni en el de los enteros.

Propiedad arquimediana (o de Arquímedes):
Dados dos números racionales
y , siempre existe un n natural tal que
. Esto quiere decir que por pequeño que sea
, si consideramos la
sucesión de racionales
sobrepasasaremos a
, llegará un momento en que
, por muy grande que este sea.
Por ejemplo:
Esta es una propiedad que también poseían los números naturales y los enteros.

El cardinal de los racionales:
¿Cuántos números racionales hay? ¿Qué hay más, naturales o racionales?
Puede parecer que la respuesta sería, obviamente hay más racionales, puesto que los
naturales son también números racionales, y además hay otros racionales, como 1/2
por ejemplo, que no son naturales, por lo que podemos concluir que el cardinal de
los racionales es que el de los naturales.
Pero podemos también probar que hay más naturales que racionales. Una forma de
hacerlo sería seguir el siguiente razonamiento gráfico. Coloquemos los enteros en un
eje horizontal, y también en un eje vertical. Cada punto (a,b) del retículo que se
forma representará al racional a/b. Comenzamos ahora a trazar un camino en espiral,
partiendo del origen que recorra uno a uno todos los puntos del retículo como se ve
en la siguiente gráfica:
Es claro que podemos poner en correspondencia biyectiva los puntos del retículo con
los naturales sin más que irlos numerando a medida que la linea espiral pasa por
cada uno de ellos. Ahora bien, no todos los puntos del retículo se corresponden con
números racionales, ya que los de la forma (n,0) no se corresponden con ningún
racional, y además muchos puntos del retículo representan al mismo número
racional, por ejemplo (1,2) y (2,4) representan al mismo número racional, ya que
1/2=2/4. De aquí se concluye que podemos dar una correspondencia sobreyectiva
de
en , y por tanto que el cardinal de
es
que el cardinal de .
Combinando ambos resultados podemos concluir que el cardinal de
el de , es decir, que
es un conjunto infinito numerable.
Ejercicio: encontrar un correspondencia biyectiva entre

y
es igual que
.
Representación decimal de números racionales:
Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene
al dividir el numerador entre el denominador, por ejemplo 1/2 tiene como expresión
decimal 0.5 , 3405/25=136.2 y 1/3= 0.33333.......
Esto puede dar lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las
periódicas. Éstas últimas pueden a su vez dividirse en periódicas puras o periódicas
mixtas.
o
Expresión decimal exacta, es aquélla que tiene un número finito de
términos.
Por
ejemplo:
0.5,
1.348 ó
367.2982345
Esta expresiones surgen de números racionales cuyo denominador (en la
expresión irreducible) sólo contiene los factores 2 y 5. Por ejemplo
1349/1000, 40/25, ...
o
Expresión decimal periódica es aquélla que tinene un número infinito de
cifra decimales, pero de modo que un grupo finito de ellas se repite
infinitamente, de forma periódica, por ejemplo 0.333333.....,
125.67777777....... ó
3.2567256725672567......
Surgen de fracciones cuyo denominador contiene factores distintos de 2 y
5,
por
ejemplo,
1/3=0.33333.....
La parte que no se repite se denomina anteperíodo y la que se repite,
período.

Periódica pura es aquélla que no tiene anteperíodo.

Periódica mixta es aquélla que sí tiene anteperíodo.
Podría considerarse que las expresionas decimales exactas son periódicas
mixtas pero con período 0.
Recíprocamente, dada una expresión decimal exacta o periódica, puede encontrarse una expresión
racional para la misma siguiendo la siguiente norma:

Si la expresión es exacta se coloca como numerador el número entero que resulta de
suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como
cifras se encontraran a la derecha del punto decimal en la expresión decimal original.

Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al número
entero formado por el anteperíodo seguido de la primera repetición del período, el entero
formado por el ante período, todo ello multiplicado por la unidad seguida de tantos ceros
como cifras significativas se encuentren a la izquierda del punto decimal. Como
denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como
cifras tenga el anteperíodo.
Ejemplos:
Posteriormente se pueden simplificar las fracciones obtenidas para conseguir la expresión
irreducible.
NUMEROS IRRACIONALES:
Son los números que poseen infinitas cifras decimales.
Hay números que no son racionales, es decir que no pueden ser expresados como cociente de dos números
enteros. Por ejemplo, piensa en el número cuya representación decimal es
0.1234567891011121314151617181920........
claramente, esta representación decimal no es exacta ni periódica, por tanto no puede corresponderse con
ningún número racional.
Veamos otros ejemplos.
Se trata de un ejemplo típico de número no racional con una demostración muy sencilla de que, en efecto, no
puede ser racional
En el siguiente recuadro puedes ver las primeras 100 cifras decimales de
de construir el número
racionales
. Además se muestra una manera
sobre la recta real con regla y compás y finalmente se da una serie de números
que
converge
hacia
.
Para construir la serie que converge hacia
hemos usado obviamente la sucesión de cifras decimales indicada
más arriba. También podíamos haber definido una sucesión de números racionales que converge hacia
forma siguiente
donde
es el mayor número entero que verifica
de la
.
Otro de los ejemplos cásicos de números irracionales que estamos acostumbrados a manejar es el conocido por
la letra griega Pi que representa la relación entre el perímetro y el diámetro de una circunferencia.
A diferencia de lo que ocurre con
, no es posible dibujar con regla y compás el número
sobre la recta real.
El problema es conocido como la rectificación de la circunferencia y hay métodos algebraicos para demostrar
que no tiene solución, a pesar de que mucha gente la buscó durante siglos (y algunos siguen buscándola hoy en
día). Otros problemas de parecida índole son los famosos de la cuadratura del círculo, que consiste en construir
con regla y compás un cuadrado que tenga el mismo área que un círculo dado, y la trisección del ángulo, que
consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales. Todos ellos son imposibles con regla y compás y puede
demostrarse algebraicamente su imposibilidad.
En el siguiente recuadro tienes las primeras cien cifras decimales de
racionales que converge hacia .
y además una serie de números
La serie indicada es conocida como serie de Leibniz y hemos de advertir que su convergencia es bastante lenta.
¿Cuántos términos te hace falta sumar para obtener 10 cifras decimales correctas?
También el número , base de los llamados logaritmos naturales o neperianos es un número irracional. Este
número surge de forma natural al considerar el interés compuesto.
Supongamos que tenemos un capital unidad a un interés anual
capital será
(en tanto por uno). Al cabo del año nuestro
.
Sin embargo, si dividimos el año en dos semestres e incorporamos el interés al finalizar cada uno dos semestres,
al final del primer período tendremos
y al finalizar el año
Si dividimos el año en tres cuatrimestres, incorporando los intereses al capital al final del cada período,
tendremos
respectivamente al final de cada cuatrimestre.
...
Si dividimos el año en n períodos tendremos al final del año
.
Se define
como el límite del resultado anterior cuando n se hace infinitamente grande (infinitos períodos
infinitamente pequeños), siendo
, es decir
En el recuadro siguiente vemos las 100 primeras cifras decimales de , así como dos formas de ver
como
límite de sucesiones de números racionales (en el segundo caso se trata de una serie).
Igual que pasaba con
origen.
, no es posible dibujar con regla y compás un punto en la recta real a distancia
del
Si consideramos el conjunto de todas las expresiones decimales, solamente aquéllas finitas o periódicas se
corresponderán, como ya se vio, con números racionales; el resto forman el conjunto de los números
irracionales.
El conjunto de los irracionales, denotado por
tiene, como , la propiedades de orden total, densidad y
propiedad arquimediana. En cambio
no es un conjunto numerable. ¿Se te ocurre alguna forma de probar
que no es numerable?
(pincha aquí para ver una forma de demostrarlo)
Ya se ha visto para los ejemplos mostrados, pero se puede afirmar en general que todos los números
irracionales pueden verse como límites de sucesiones de números racionales. Para ello basta con considerar la
expresión decimal del número en cuestión y construir la sucesión obvia que consiste en considerar cada vez un
cifra decimal más, de modo que el término
es la fracción que da lugar a la expresión decimalm exacta
formada por las n primeras cifras del número dado.
NUMEROS REALES:
La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales. .
El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en
totalmente ordenado.
,
y
es un conjunto
Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que
cada punto representa un número.
Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos
Como ya se ha visto,
Podemos considerar
racionales.
es denso en
. También
es denso en
e
son heredadas por
.
.
como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números
A diferencia de lo visto para
,
y
, el conjunto de los reales no es numerable. (una demostración).
Veamos por último un cuadro resumen de las propiedades que hemos analizado en los distintos conjuntos de
números.
Ordenado
Denso
Numerable
Estructura algebraica
+
* Semigrupo
Semigrupo
+
*
+,* Anillo conmut. con1
Grupo
Semigrupo
+
*
+,* Cuerpo conmut.
Grupo
Grupo
No tiene estructura algebraica al no ser cerrado para + y *
+
*
+,* Cuerpo conmut.
Grupo
Grupo
Página creada por Ángela Barbero Díez
Propiedades de los números reales
Si a, b y c son números reales entonces:
Propiedad
Conmutativa
Propiedad
Asociativa
Operación
Definición
Suma
a+b = b+a
Multiplicación
ab = ba
Operación
Definición
Suma
a+(b+c)=(a+b)+c
Multiplicación
a(bc) = (ab)c
Que dice
El orden al sumar o
multiplicar reales no
afecta el resultado.
Ejemplo
2+8 = 8+2
5(-3) = ( -3)5
Que dice
Puedes hacer
diferentes
asociaciones al sumar
o multiplicar reales y
no se afecta el
resultado.
Ejemplo
7+(6+1)=(7+6)+1
-2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad
Identidad
Propiedad
Inversos
Operación
Definición
a+0=a
Todo real sumado a 0 se
queda igual; el 0 es la
identidad aditiva.
-11 + 0 = -11
Multiplicación
a x 1= a
Todo real multiplicado por
1 se queda igual; el 1 es la
identidad multiplicativa.
17 x 1 = 17
Operación
Definición
a + ( -a) = 0
Operación
Suma respecto a
Multiplicación
Identifica la propiedad:
5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2
14 + ( -14 ) = 0
3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11)
Que dice
La suma de opuestos
es cero.
Ejemplo
15+ (-15) = 0
El producto de
recíprocos es 1.
Multiplicación
Distributiva
Ejemplo
Suma
Suma
Propiedad
Que dice
Definición
a(b+c) = ab + ac
Que dice
El factor se
distribuye a cada
sumando.
Ejemplo
2(x+8) =
2(x) + 2(8)
( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)
Aplica la propiedad indicada:
5(x + 8) ; (conmutativa de suma)
(3 x 6) 2 ; (asociativa de multiplicación)
(9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva)
12(x + y) ; (distributiva)
9(6 + 4) ; (conmutativa de multiplicación)
(x + y) + z ; (asociativa de suma)
( RESPUESTAS )
Otras propiedades
Propiedad de los opuestos
Que dice
Ejemplo
-( -a ) = a
El opuesto del opuesto es el
mismo número.
-(-9)=9
(-a)( b)= a (-b)= -(ab)
El producto de reales con
signos diferentes es
negativo.
( -15) (2) = 15( - 2) = - (15 x 2)
( - a)( -b) = ab
El producto de reales con
signos iguales es positivo.
( -34) ( - 8) = 34 x 8
-1 ( a ) = - a
El producto entre un real y
-1 es el opuesto del número
real.
-1 ( 7.6 ) = - 7.6
= - 30
Propiedades del cero
Propiedad del cero
ax0=0
Que dice
Todo real multiplicado por 0 es
Ejemplo
16 x 0 = 0
0.
a x b = 0 entonces
Si un producto es 0 entonces al
menos uno de sus factores es
igual a 0.
a=0ób=0
(a+b)(a-b) = 0 entonces
a+b=0óa–b=0
Recuerda
Operación
Resta
Definición
a – b = a + ( - b)
División
Que dice
La resta es la suma
del opuesto del
sustraendo.
Ejemplo
2 – 8 = 2 + (-8) = - 6
La división es la
multiplicación por el
recíproco del divisor.
RADICALES:
Son una expresión de la forma:
Donde:
"a" es el radicando.
"n" es el índice.
"m" es el exponente.
Además la propiedad fundamental de los radicales nos dice que si multiplicamos o dividimos el índice y el
exponente de una misma expresión por el mismo numero, seguimos teniendo el mismo radical.
MULTIPLICACION // DIVISION DE RADICALES:
Para multiplicar y dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice; si esto no ocurre debemos reducir
a índice común.
INTRODUCCION Y EXTRACCION DE FACTORES EN UN RADICAL
ADICCION // SUSTRACCION DE RADICALES
Para sumar o restar radicales es necesario que sean semejantes, es decir, que tengan el mismo indice y el
mismo radicando. Cuando los radicales son semejantes, solo es necesario sumar sus respectivos coeficientes.
POTENCIA DE UN RADICAL
RAIZ DE UN RADICAL
En esta página podrás encontrar problemas curiosos para los que en general no hace falta ninguna formación
matemática previa, pero sí un cierto razonamiento lógico. Tómatelos como una especie de colección de
pasatiempos. Ánimo y a por ellos. Algún día incluiré indicaciones para su resolución. De momento siempre
puedes contactar conmigo para pedirme pistas, o la resolución completa. Mi dirección de correo electrónico es
[email protected]
Comenzamos por algo sencillito.
1. ¿Podrías descomponer esta figura en 7 polígonos congruentes, es decir, que unos de otros difieran solamente
en posibles traslaciones, rotaciones o reflexiones especulares? Nota: todas las líneas de la frontera de la figura
tienen longitud 1 y los ángulos internos que aparecen son de 90, 120, 150, 210 y 240 grados.
2. Seguimos con algo un poco más entretenido.
Considera los números 1,2,3,...,1000. Demuestra que en cualquier subconjunto con 501 de estos números
siempre existen dos números tales que uno es múltiplo del otro.
3. Este problema perteneció a una Olimpiada Matemática.
Sea n>1 un número natural. Sea M un conjunto de intervalos cerrados. Supóngase que los extremos u, v de cada
intervalo [u, v] de M son números naturales que satisfacen 1<=u<v<=n y que dos intervalos distintos I e I', o bien
tienen intersección vacía, o bien uno está contenido en el otro, es decir, dos intervalos distintos nunca se
solapan parcialmente. Demuéstrese que |M|<=n-1.
4. Ahora un problema clásico de teoría de grafos. El famoso problema de los puentes de Königsberg.
La antigua ciudad de Königsberg (hoy Kaliningrado, en Rusia) es atravesada por el río Pregel formando islas en la
forma que se aprecia en el grabado.
Sobre el río se han construido siete puentes en las posiciones que también se aprecian en las figuras. ¿Puede
alguien dar un paseo por la ciudad atravesando todos los puentes, pero solamente una vez cada uno de ellos?
Este problema fue resuelto de forma matemática por Leonard Euler en un artículo de 1736 que se considera
como el origen de la Teoría de Grafos.
Siguiendo con el mismo tipo de problema, ¿Se puede dibujar el sobre cerrado sin levantar el lápiz y trazando
casa línea una sola vez? ¿Y el sobre abierto? ¿Y la siguiente figura?
5. Sigamos con la teoría de grafos.
Supongamos que tres casas se abastecen de agua con tres pozos, pero los vecinos no se llevan bien y no quieren
que exista la posibilidad de cruzarse con otro vecino al ir a cualquiera de los pozos. ¿Puedes diseñar caminos que
unan cada casa con cada uno de los tres pozos, pero de modos que dos caminos cualesquiera nunca se crucen
entre sí? ¿Y si el planeta en que viven los tres vecinos no tuviera forma esférica?
6. Dejemos los grafos de momento y vamos con la geometría.
¿En cuántas regiones queda dividido el plano cuando se trazan n líneas en posición general, es decir, de modo
que ningún par de líneas sean paralelas y que nunca más de dos líneas intersequen en el mismo punto?
Solución:
n(n+1)/2+1
7. Ahora nos dedicaremos a alicatar.
Sea un cuadrado formado por 2^n*2^n cuadraditos como se muestra en la figura (hemos ilustrado el caso n=3).
Supongamos que se suprime uno de los cuadraditos al azar. Demuestra que la superficie que queda, cualquiera
que sea el cuadradito suprimido, siempre puede ser 'alicatada' completamente con azulejos formados por tres
cuadraditos en forma de L, como el que se muestra en la figura, sin que queden huecos ni se produzcan
solapamientos.
Indicación: Razónese por inducción.
N ú m e r o s r a c i o n a l e s . E j e r c i c i os y p r o b l e m as
1 P a s a r a fr a c c ió n :
2 R ea l i z a l a s s i g u i e n te s o pe r a c io n e s c o n po t e n c i as :
3 O p e r a:
4 E f ec t ú a
5 C a l c u l a q u é f r a c c ió n d e l a u n i d a d r e p r e se n t a :
1 L a m i t a d d e l a m i ta d .
2 L a m i t a d d e l a t e r cer a p a r t e .
3 L a t e r ce r a p a r te d e l a m i t a d .
4 L a m i t a d d e l a c u a r ta p a r t e .
6 E l e n a v a d e c o m p ra s c o n 1 8 0 € . S e g a s t a 3 / 5 d e e sa c a n t id a d . ¿ C u á n t o le
queda?
7 D o s a u to m ó v i l es A y B h a c e n u n m i sm o t r a y ec t o d e 5 7 2 km . E l a u t o m ó v i l A
l l e v a re c o r r i do s lo s 5 / 1 1 d e l t r ay ec to c u an d o e l B h a re c o r r i d o l o s 8 / 1 3 de l m i sm o .
¿ C u á l d e lo s do s v a pr i m e ro ? ¿ C u á n to s k i ló m e t ro s l le v a r e co r r id o s c a d a u no ?
8 H a ce u n o s a ño s P ed r o te n í a 2 4 a ñ o s , qu e r e p r es e n t a n lo s 2 / 3 d e s u e d ad
a c t u a l . ¿ Q ué e d a d t i en e P e d r o ?
9 E n l a s e l ec c io n e s lo c a l e s c e le b r a d a s e n u n p u e b l o , 3 / 1 1 de lo s v o t o s f u e ro n
p a r a e l p a r t i d o A , 5 / 1 0 p a r a e l p a r t i do B , 5 / 1 4 p a r a C y e l re s to p a r a e l p a r t i d o D . El
t o t a l d e v o t o s h a s i d o d e 1 5 4 0 0 . C a l c u l a r:
1 E l n úm e ro d e v o to s o b t e n i d o s p o r c a d a pa r t i d o .
2 E l n úm e ro d e a b s t en c i o n e s s a b i e n d o q ue e l n úm e ro d e v o t an t e s r e p re s e nta
5 / 8 d e l c e n so e le c to ra l .
1 0 U n p a d re r e p a r te e n t r e s u s h i j o s 1 8 0 0 € . A l m ay o r l e d a 4 / 9 d e e sa
c a n t i d a d , a l m e d i a no 1 / 3 y a l m e no r e l r es to . ¿ Q ué c a n t i d a d r e c ib i ó c a d a u n o ? ¿ Q ué
f r a c c i ó n de l d i n e ro r ec i b i ó e l t e r ce ro ?
N ú m e r o s r e a l e s . Ej e r c i c i o s
1 C l a s i f i c a l o s n ú m e ro s :
2 R e p r es e n t a e n l a re ct a :
3 R e p re s e n t a e n l a r e c t a r e a l lo s n úm e ro s q u e v e r i f i c a n l a s s i g u i e n t es
r e l a c i o ne s :
|x| < 1
|x| ≤ 1
| x| > 1
4 C a l c u l a lo s v a l o re s de l a s s i g u i e n te s po t en c i a s :
| x| ≥ 1
5 H a l l a l a s s u m as :
6 R ea l i z a l a s o p e r a c io n e s :
7 O p e r a:
8 E f e ct ú a :
9Calcula:
1 0 R a c io n a l i z a r
Página creada por Ángela Isabel Barbero Díez
METODOLOGÍA.
El estudiante debe leer la guía, profundizar con las lecturas recomendadas y sugeridas en el P.I.C. Debe sintetizar
y tomar los apuntes necesarios para resolver los problemas planteados, formularse otros que considere
necesarios, debe presentar sus dudas en la tutoría de los sábados y en Los CIPAS. Sus preguntas deben ser
claras y concretas para poder resolverlas de manera ágil y oportuna. en todo caso debe dedicarle por lo menos
10 horas de trabajo individual en casa por cada hora de tutoría.
Los recursos con los que cuenta el estudiante son:
la presente guía, la bibliografía recomendada en el P.I.C. y la bibliografía de la presente guía que le aydará en la
profundización de las ideas.
TEXTOS BÁSICOS
Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición revisada. Editorial Mc GrawwHill. Santafé de Bogotá D.C. 1994 Cap. 4, 5, 6, 7, 8, 10 y 11.
Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Tercera edición. Editorial
Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuaciones y sus aplicaciones.
Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisis económico; Prentice – Hall, 1996.
EVALUACIÓN
Presentará una síntesis de los contenidos, los problemas y ejercicios resueltos, se procederá a realizar una
autoevaluación, una coevaluación y una heteroevaluación para determinar la situación académica del
estudiante en el modulo y aplicar planes de mejora continua que permitan ir superando los aspectos en los
cuales se presenten dificultades.
POLITICAS
El estudiante debe consultar y realizar las consultas y lecturas recomendadas, sintetizar los conceptos en un
portafolio, resolver los ejercicios y problemas propuestos en la guía, asistir puntualmente a las sesiones
presenciales y a los cipas programados en los acuerdos del 13 de febrero, participar activamente de las
actividades de socialización y trabajo colaborativo.
Rol del Tutor:
El propósito fundamental del tutor es el de dar un servicio a los estudiantes, facilitando su proceso de
aprendizaje y el logro de sus competencias. La supervisión que hagan los tutores se enfocará tanto a los
procesos, como a los productos de aprendizaje que evidencien desarrollo de habilidades que conlleven a
alcanzar la competencia, para ello el tutor asume entre otros los compromisos de:
Atender directamente a los estudiantes a él asignados utilizando diversos medios: encuentro tutorial,
teléfono, celular, fax, e-mail, sistemas de mensajería y/o cualquier otro medio acordado previamente
con el estudiante , de manera que pueda ayudarle a aclarar sus dudas a partir del uso de diversas
estrategias didácticas.
Asistir al lugar de tutoría asignado, en la hora y el dia indicados previamente para tal fin:
Respetar el calendario académico y cada una de las actividades propuestas en el
Guiar, facilitar, asesorar y orientar al estudiante en su proceso de aprendizaje
Suscitar la reflexión e indagar a los estudiantes sobre su proceso de aprendizaje
Evaluar las actividades teniendo en cuenta los criterios de evaluación socializados al estudiante al
plantearse la actividad.
Retroalimentar las actividades y sus evidencias de competencia en las fechas acordadas con el tutor.
Las dudas académicas serán atendidas por teléfono, fax, e-mail y medios como foros en aulas virtuales.
Rol del estudiante
Asumamos que los estudiantes son participantes, honestos y comprometidos que. Como tales, son los
principales responsables de iniciar, dirigir y sostener sus propios procesos de aprendizaje. Cada estudiante se
compromete a propiciar las condiciones que estén a su alcance para maximizar las oportunidades de aprendizaje
de acuerdo a su contexto y posibilidades. De igual forma se asume que nuestros estudiantes no incurrirán en
actos deshonestos y de plagio intelectual de ideas en las diversas formas de interacción, actividades terminales e
intermedias. Se espera que los estudiantes participen activamente en cada una de las actividades descritas en la
guía de estudio, para ello es necesario tener en cuenta que:
El estudiante es el protagonista del proceso de aprendizaje, que lo lleva a ser mas activo y propositivo,
por consiguiente a desarrollar el auto – estudio
Debe estar preparado para participar activamente de las actividades de aprendizaje, habiendo leído los
contenidos de su texto de estudio y materiales adicionales relacionados en la guía de estudio.
Debe realizar las actividades planteadas en la guía de estudio, entregando las evidencias de manera
acorde a los planteado en los criterios de evaluación, dentro de los tiempos establecidos en le
calendario y bajo las instrucciones descritas en cada actividad.
En las evidencias escritas, deberá saber citar las fuentes, es decir usar debidamente la bibliografía a fin
de evitar el plagio.
BIBLIOGRAFÍA
Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición revisada. Editorial Mc GrawwHill. Santafé de Bogotá D.C. 1994 Cap. 4, 5, 6, 7, 8, 10 y 11.
Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía. Tercera edición. Editorial
Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.
Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuaciones y sus aplicaciones.
Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisis económico; Prentice – Hall, 1996.
http://www.eduteka.org/pdfdir/MENEstandaresMatematicas2003.php
http://www.educared.net/concurso/61/numeros.htm
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/reales.htm