Taller # 1 - Relaciones y Funciones

Taller # 1 - Relaciones y Funciones
Introducción al Cálculo
Departamento de Matemáticas
Tipos de Relaciones:
Una relación R en un conjunto A es llamada:
I. Reflexiva si para cada x ∈ A, se tiene (x, x) ∈ R;
II. Simétrica si (x, y) ∈ R entonces (y, x) ∈ R;
III. Anti-simétrica si (x, y) ∧ (y, x) ∈ R entonces x = y;
IV. Transitiva si (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R.
1) Dada las relaciones
S = (a, b), (b, a), (w, w), (b, w), (c, x), (a, a), (x, c) ;
R = (a, w), (x, w), (x, c), (b, b)
calcule
R ◦ S, S ◦ R. Concluya que la composición de relaciones no es conmutativa.
2) Considere la siguiente relación R = {(a, 1), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}, calcule R−1 , R−1 ◦ R, R ◦ R−1 .
3) Considere el conjunto de los dı́gitos D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
a) Describa los elementos de las siguientes relaciones en D
R = {(n, n + 1) : n ∈ D}.
S = {(n, n − 1) : n ∈ D}.
b) Describa las fórmulas que determinan las siguientes relaciones
R = {(0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
S = {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.
4) Para la relación R = {(x, y) : y = 2x} en los números enteros, calcule la imagen.
5) Para las relaciones R, S del ı́tem 1 calcule
Dom(R) ∩ Dom(S)
Dom(R ∩ S).
Dom(R) ∪ Dom(S).
Dom(R ∪ S).
6) Dada una relación R muestre que (R−1 )−1 = R, Dom(R−1 ) = Ran(R), Ran(R−1 ) = Dom(R).
7) Dadas relaciones R, S muestre que (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1 .
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8) De ejemplos de relaciones en los números naturales que cumplan alguna de las condiciones de reflexividad, simetrı́a, anti-simetrı́a y transitividad. Es posible encontrar una relación que cumpla todas
las condiciones al tiempo?
9) Dada una relación R en un conjunto A, efectuar la negación de los siguientes enunciados
a) R es reflexiva;
b) R es simétrica;
c) R es anti-simétrica;
d) R es transitiva.
10) Si A es un conjunto, denotamos por P(A) las partes del conjunto A, es decir la colección formada
por todos los subconjuntos de A. En P(A) la inclusión ⊂ determina una relación. A saber,
R = (B, C) : B ⊂ C .
Es decir, dos subconjuntos B, C ∈ P(A) están relacionados si B ⊂ C ∨ C ⊂ B. Muestre que R es
una relación reflexiva, anti-simétrica y transitiva.
11) Dado un conjunto A denotamos por IA la relación identidad en A, más especı́ficamente
IA = (x, x) : x ∈ A .
Dada una relación R en A muestre que
a) R es reflexiva si, y solamente si, IA ⊂ R;
b) R es simétrica si y soalmente si, R = R−1 ;
c) R es anti-simétrica si, y solamente si, R ∩ R−1 ⊂ IA ;
d) R es transitiva si, y solamente si, R ◦ R ⊂ R.
12) A seguir se presentan algunas relaciones en el conjunto de los números enteros. Determine cuáles de
ellas poseen alguna de las propiedades, reflexividad, simetrı́a, anti-simetrı́a, transitividad.
a) R = (x, y) : x + y < 2 ;
b) R = (x, y) : x = y ∨ x = −y ;
c) R = (x, y) : y = x + 1 ;
d) R = (x, y) : x + y es par .
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