x - CECYTE
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ÍNDICE
COMPETENCIA 1
Operaciones Fundamentales del Álgebra…………………………………… 15 COMPETENCIA 2
Operaciones con Fracciones Algebraicas ………………………………….. 71
COMPETENCIA 3
E xponentes y Radicales ……………………………………………………… 99 COMPETENCIA 4
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado …………………………………… 121
COMPETENCIA 5
Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables………………………………. 188 COMPETENCIA 6
Ecuaciones Cuadráticas……………………………………………………….. 220 ANEXO
Aprendiendo a Despejar ……………………………………………………… 247 13 14 Competencia
1 OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA
Explicar las Operaciones Fundamentales del
Álgebra
Desarrollo de Productos Notables
Factorización de polinomios
Saberes 1
Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico
Notación algebraica
Valor numérico de una expresión algebraica
Suma y resta de monomios y polinomios
2
Leyes de los exponentes enteros positivos
Multiplicación entre monomios
Multiplicación de un monomio y un polinomio
Multiplicación entre polinomios
3
4 División entre monomios
División entre un polinomio y un monomio
División entre polinomios
PRODUCTOS NOTABLES
Binomios conjugados
Producto de dos binomios cualesquiera
Binomio al cuadrado
Binomio al cubo
15 5 FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Por factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio de la forma
Trinomio de la forma
Trinomio cuadrado perfecto
Suma y diferencia de cubos
Por agrupación
Ejercicios 1.
2.
3.
4.
5.
A desarrollar suma de polinomios
A practicar la multiplicación de monomios y polinomios
A practicar la división entre monomios y polinomios
Todo mundo a desarrollar Productos Notables
Volviéndonos hábiles en la Factorización
16 Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Saberes
No. 1
Traducción del lenguaje común al lenguaje
algebraico
Notación algebraica
Valor numérico de una expresión algebraica
Suma y resta de monomios y polinomios Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
Mediante
adquirirá la
Manera
didáctica
exposición
y
habilidad para
de lograrlos
tareas
encontrar el volor
númerico de una
expresión
algebraica,
además de
desarrollar sumas
y restas con
expresiones
algebraicas
Definición de álgebra: Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus
operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización
de la aritmética. La aritmética emplea números para su estudio, pero el álgebra
emplea letras y números.
NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más
conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores
numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o
principios de los problemas razón que las divide en:
LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos
valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los
datos dados en un problema se representan par medio de literales.
INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar
aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos,
deberán efectuarse operaciones matemáticas.
17 VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por
las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también
LITERALES ".
Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del
abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS".
De lo anterior hacemos la siguiente observación:
VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un
conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:
Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor
de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:
Sí x = 1
sí x = 2
sí x = 3
Y =2(1)
Y = 2(2)
Y = 2(3)
y=4
y=6
Y=2
CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir,
no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9"
siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la
circunferencia de un circulo al diámetro.
Traducción de expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico u
viceversa.
Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas
expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una
manera abstracta.
Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te dará
confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.
En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje
algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones
verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender.
18 EJEMPLOS:
LENGUAJE COMUN:
LENGUAJE ALGEBRAICO:
I.- Tres objetos cualesquiera.
x .y, z.
ab
2
2.- La semisuma de dos números
3.- La suma de dos veces un numero mas tres veces el mismo
2n + 3n = 5n
número es igual a cinco veces dicho número.
4.- El cubo de un numero menos el doble del mismo número
w³ - 2w
LENGUAJE COMUN:
LENGUAJE ALGEBRAICO:
Suma de los cuadrados de dos números
2
El doble producto de
2(u–v)
El doble de la diferencia de dos números
por el radio
El área de un rectángulo es igual al producto
de su largo por su ancho
Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
En la notación algebraica es el medio que nos permite conocer los elementos que
conforman una representaci6n matemática; por ejemplo:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto
de literales y números que conforman una o más operaciones algebraicas.
,7
; 2
5 ;
2
3 ;
;
.
En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo
(+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos.
19 El término esta formado por coeficiente (parte numérica), variables (literales o
letras), multiplicados entre sí, llamados factores.
Coeficiente Exponentes 7
Literales Nombre Definición Ejemplo Monomio (mono = uno)
Expresión algebraica que
consta de un solo término
Expresión algebraica que
consta de dos términos
Trinomio ( tri = tres)
Expresión algebraica que
consta de tres términos
Polinomio (poli = muchos, Expresión algebraica que
en este caso más de dos) consta de dos o más
términos. En este caso
binomio y trinomio son
polinomios
5
;
4 ;
3
Binomio (bi = dos)
6
2
7
3
2
Clases de polinomios
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal,
por ejemplo:
2x³ + 7x – 8 ,
5x
3
2
x 3
5 8
Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales
como denominadores, por ejemplo:
2a c
7
b d
20 Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par
ejemplo:
2x² + 2xy + y²
Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical,
por
Ejemplo:
3x 2 y 8
Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a
exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último.
Ordenar el siguiente polinomio:
3 y 2x 7 x y 18 5xy
2 x 7 x y 5 xy 3 y 18
2
3
3
2
2
2
Grado de los polinomios
E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o
mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las
potencias de las variables.
Ejemplo:
Grado de un término en una sola variable:
6x³
3er grado.
2x
1er grado.
3³x
1er grado.
-3
grado cero porque
3
3
Grado de un término en varias variables:
72 x³ y³
6to grado
21 4 x² y³
5to grado
√3
3er grado
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la
igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario
encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico.
La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el
grado absoluto de la expresión algebraica.
Si es de primer grado sólo tiene una solución.
Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la
incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.
Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente.
Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el
valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.
Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si
conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo
sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico.
Ejemplo 1: ¿Cuánto vale la siguiente expresión?
2
3
2
cuando
3
Solución: 2 2
4
4
y
2 4
12
12
2
Ejemplo 2: El valor numérico de
1,
8
20
2 3
2
si
2,
3,
2
Solución:
2
2 3
2
2
2 1
2
23 2
2
2 12
2
26
3
6
24
: Puede observarse el uso de corchetes para llevar un mejor orden en el
cálculo.
22 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS:
En la aritmética, los números positivos se suman, pero en el álgebra la adición
puede realizarse entre números tanto positivos como negativos. La adición en
este sistema más amplio de números es llamada a veces adición algebraica.
Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos
semejantes.
Los que se parecen (términos semejantes)
3
y
Cada pareja de términos son semejantes ya que tanto las
4
8
18
letras como los exponentes son los mismos.
y 5
y
3
2
y 5
Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque las letras y 5
son iguales, estas NO tienen el mismo exponente. y 4
y 3
Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque los exponentes son iguales, las letras NO son las mismas. Ejemplo 3: Combine los elementos semejantes
2
2
2
SUMANDO <‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 3a 5a 7 a = 15a ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ SUMA 2
23 2
2
Ejemplo 4: Sumar la expresión: 3a 5b 2a 3ab 4b 7ab b.
Solución: Puede agrupar los términos semejantes de la expresión, si usted desea
de la siguiente manera:
3
3
5 2
7
4 5
4
8 Nota: También pude realizar la suma directamente, combinando elementos
semejantes.
Ejemplo 5: Restar 7x 4 y 2z
de 11x 9 y 5z. MINUENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 11 X 9Y 5 Z SUSTRAENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ (7 X
4Y 2Z ) 11
9
5 7
4
2 4 X 13Y 7 Z ‐‐‐‐‐ RESULTADO Ejemplo 6: Suma y resta con Bolitas
Polinomio Se representa con Círculos 3
3
2 1
1
2
1 1 24 Si queremos sumar los dos polinomios anteriores tenemos:
Suma de polinomios Se representa con Círculos 3
1 3
1
1 2
5
2 2
3 1
5
2 3 Símbolos de agrupación de agrupación
Los símbolos de agrupación los cuales son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y
las llaves{ }, son usados para hacer que el significado de ciertas expresiones, sea
claro y para indicar el orden en el que las operaciones son realizadas.
Con frecuencia es conveniente quitar los símbolos de agrupación de una
expresión, y para este propósito se usan los axiomas y propiedades del sistema
de los números reales. Se explica el procedimiento con un ejemplo.
Ejemplo 6: Elimine los símbolos de agrupación y combine los términos
semejantes
3x 2 {3x2 xy [5( x2 xy) 3( x 2 y 2 )] 4 xy} 3 y 2
Se aplica primero el axioma distributivo a la expresión en los paréntesis para
obtener
3x2 {3x2 xy [5x2 5xy 3x2 3 y 2 ] 4 xy} 3 y 2
Combinando términos semejantes dentro de los corchetes
3x2 {3x2 xy [2 x2 5xy 3 y 2 ] 4 xy} 3 y 2
25 Eliminando los corchetes
3x 2 {3x 2 xy 2 x2 5xy 3 y 2 4 xy} 3 y 2
Combinando términos semejantes dentro de las llaves
3x2 {x2 8xy 3 y 2} 3 y 2
Quitando las llaves
3x 2 x 2 8xy 3 y 2 3 y 2
Combinando términos semejantes nos da el resultado final 2 x2 8xy
26 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
No. 1 A desarrollar sumas de polinomios
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I.
1.
Relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha,
escribiendo en el paréntesis el número que corresponda
( )
2.
(
)
3.
(
)
4.
(
)
5.
(
)
6.
(
)
7.
(
)
8.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
27 II.
Completa las siguientes operaciones. Utiliza los espacios
disponibles:
a) b) c) d) e) f) g) h) III.
Escribe un polinomio que represente el perímetro de las siguientes
figuras. Simplifica los polinomios reduciendo términos semejantes.
a) b)
28 IV.
Escribe un polinomio para cada arreglo de círculos, además
encuentra la suma de polinomios.
a) y b) y c) y V. Encuentre la suma indicada en los problemas siguientes:
a) (3b c d ) (2b 3c 4d ) (4b 4c d ) Resp: b 8c 6 d b) (3x x 1) (2 x 3x 4) (4 x 4 x 1) 2
2
2
c) (2 p q 2r) (3 p 2q r) (2 p 3q r) Resp: 3 p 2q 4r d) (2w 3x y) (2w 3x y) (w 6x 3y) 29 VI. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios.
Sustraiga luego la tercera expresión de la suma de las dos primeras.
a) 7a 3b 11c; 14a 10b 10c;8a 8b 13c Resp: a 15b 34c; 15a b 8c b) 3xy 4 yz x;2x 4xy 7 yz;3yz x 5xy c) 2r 3rs 7s; 4s 3r 5rs;2rs 3s 8r Resp: 9r 4rs 6s;7r VII. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos
semejantes
a) 4x ( y 3) (3x 1) Resp: x y 4 b) x y 2( x 2 y) 3(2x y) c) 2x y ( x 3y) 2(2x 3y) Resp: 5x 2 y d) a 2b 4(a 3b) 2(2a 5b) e) ( x y) (2x 3y) (x y) Resp: y f) 1 a 2b (3 a ) 3 g) x (3 x ) (4 3 x ) Resp: 3 x 1
h) x 3 2 y 3x 4(x 2 y)
i) 2x 3y 6 x 3(2x 5 y) x Resp: 38x 93y
j) a 1 2 2a 4 3(1 5a) y 4x (z 2 y) z 2 y Resp: 6x 4 y 4z k) 2x 2
l) 3a
b 2c 3b 2(a c) b 2a 3a 5b 30
e) a 2ab b 3a 5ab 6b (a b) 5
f) 10 x y ( x 3) ( y 6)
Resp: a 7 ab 6b 5 VIII. Evalúe las expresiones siguientes, dado que a 2, b 3, c 1 y d 2 a) a 2b c b) a b 2 d c) 6 a 5b d d) a b 2 c 3d e) b (c 2d ) f) 2c 2(3a 2b) g) ad
ab 3cd
3b 2 ad
h) i) ad
c
4a
Respuestas a algunos ejercicios: a) 9; c) 29; d) 1; f) ‐22; h) 0; 31 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
No. 2
Leyes de los exponentes enteros positivos
Multiplicación entre monomios
Multiplicación de un monomio y un polinomio
Multiplicación entre polinomios
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
habilidad para
Manera didáctica
exposición y
desarrollar
de lograrlos
tareas
multiplicaciones
entre monomios y
polinomios
LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS
Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como
factor de si mismo; por ejemplo:
a5 = (a) (a) (a) (a) (a)
La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general
es:
n- ésima potencia de a n Exponente (Entero positivo) a Base Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los
exponentes enteros y positivos, dichas leyes son:
Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es
un término de la misma base y con un exponente igual a la suma de los
exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:
32 Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un
término de la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los
exponentes de las potencias divididas”; Es decir:
am mn
1
am
a
n
(Si m > n) n
a anm (Si n>m) a
am mn 0
a a 1 (Si m = n) n
a
Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un
termino de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es
decir:
(a ) a
m n
mn
Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un
exponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente
de dicho producto”;Es decir:
(ab) m a mb m
Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia
del dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose
finalmente la división”; Es decir:
m
am
a
m
b
b
33 Ejemplo 1:
a) (u 2 )(u 3 ) u 2 3 u 5
m4
m4 2 m2
b)
2
m
c) (c 2 )3 c( 2)(3) c 6
3
23.a 3 8a 3
2a
d) 2 ( 2 )( 3) 6
b
b
b
MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS
Regla
Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de
los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga
en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.
Ejemplos 2: a) Multiplicar 2a 2 por3a3. (2a )(3a ) (2)(3)a
2
b) Multiplicar 3
3
4
23
6a5 3a b(4ab x) (3)(4)a
2
2
2 1 1 2
b x 12a3b3 x c) Multiplicar xy2 por 5mx4 y3 1 4
( xy )(5mx y ) 5mx
2
4
3
y 23 5mx5 y5 d) Multiplicar ab2 por4a mbnc3 1 m n 2 3
(ab )(4a b c ) (1)(4)a
2
m n 3
b
c 4a m 1bn 2c3 34 e) Efectuar la siguiente multiplicación (2ab2 )2 (3a 2b)3 (bc2 )4 (2ab ) (3a b) (bc ) (2) a b (3) a b (1) b c 2 2
2
3
2 4
2
2 4
2
6 3
4
4 8
(2) (3) (1) (a a )(b b b )(c ) 2
3
4
2
6
4
3
4
8
(4)(27)(1)a b c 8 11 8
108a
8 11 8
b c f) Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas
(2ab)4 (a3b)2 (3a 2 )3 (a 2b3 )2 (2ab) (a b) (3a ) (a b ) (16a b )(a b ) (27a )(a b ) 4
3
2
2 3
2 3 2
4 4
16a
6 2
6
4 6
b 27a10b6 10 6
43a
10 6
b Multiplicación de Polinomios por Monomios
Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio
Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en
cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con
sus propios signos. En otras palabras, se aplica la Ley Distributiva de la
multiplicación.
Ejemplo 3: Multiplicar 3
6
7
4
(3x 6 x 7)(4ax ) 3x (4ax ) 6 x(4ax ) 7(4ax ) 2
2
2
2
12ax
4
2
2
24ax3 28ax2 35 3x 2 6 x 7
4ax 2
4
3
2
La operación puede disponerse así 12ax 24ax 28ax MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
Regla para Multiplicar dos Polinomios
Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos
del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los
términos semejantes.
4
Ejemplo 4: Multiplicar
3 Tendremos:
4 4 3 3 4
o sea 3
4 3 4 3
12 12 En el ejemplo siguiente se muestra otra forma de multiplicar.
Ejemplo 5: Multiplicar 4
4
3
5
2
3
2
5 4 2
4 5
20
8
20
23
3 5
15
6
6
3 2
36 Ejemplo 6: El siguiente rectángulo está seccionado y cada sección es el resultado
de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los
polinomios que equivale al área total del rectángulo.
20
30
32
48
Solución: Primeramente, tenemos que buscar el valor de los lados de cada
rectángulo pequeño para que coincida con el área de cada rectángulo pequeño.
Por lo tanto:
4 20
30
6 32
48
5 6 8
Por lo tanto, los lados del rectángulo grande son
El área total será:
4 4
6
5
8
4
20
6
y
32
5
8
30
48
37 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A practicar las multiplicación de monomios y polinomios
No. 2
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Manera
Orden
Ejercicios y tareas sobre el
Responsabilidad didáctica de
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
2
2
3
4
3
2
2 2
2
3
1) (a b)(a ) 2) (ab )(a ) 3) (2x y)( y ) 3
2
2
4) (a b)(b ) 5) (a b )(a ) 6) (2 x )(3xy ) 7) 3x y (2 x y) 8) 3x(4 x y)( x y ) 9) x y(3x y )( x ) 2
3
4
2
4
2
3
2
3
2
10) (7 x y )(4 xy)(2 y) 11) x z ( y z )(2 x y) 12) 6 x y ( yz )(3xz ) 3 2
3 2
3
4
2 3
3
2
13) ( x )(4 xy )(5x y) 14) 2a b(3a )(25b ) 15) 3xy(4 y)(5x ) 2
2
3
3
2
3
2
16) 3a b (4ab )(9a b) 17) a b(ab ) 18) 6a b(2ab ) 2 2
3
3
2
3 2
2
2 2
19) (a b) (2ab ) 20) (4ab) (ab ) 21) ( x y) (8x y) 2
2
2 3
2
2 3
2
3
3
2
22) ( xy ) (2 x yz ) (5xz ) 23) (a b ) (8abc ) (3b c ) 2 3
2
2 2
3
2 2 3
2 2
4 5 4
38 24) (2ab ) (3a b )(a c ) 25) (2ab ) (9a c) (a bc ) 2 2
2 3
2 3 4
3 2
2
3
4
2 5
26) 2a (b ) a (b) 27) (2ax) (a) ( x ) 28) 2a (b ) (4a )(b) 2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
Respuesta para algunos de los ejercicios anteriores: b ; 5) a5b2 ; 6) 6x3 y2 ; 7) 6x6 y 4 ; 8) 12x7 y 3 ; 9) 3x7 y4 ; 3 3
4) a
b ; 17) a 4b7 ; 18) 24a4b5 ; 19) 8a7b8 ; 21) 64x12 y5 ; 6 6
16) 108a
22) 20 x y z 23) 5184a b
8
c ; 26) 2a2b2 a2b3 ; 27) 5a2 x2 ; 28) 2a2b2 8 24 24
8 7
II. Efectué la siguiente multiplicación entre un polinomio y un monomio.
(1) 3x x por 2 x Resp: 6x
3
4
2
2x3 (2) 8x y 3 y por 2ax 2
2
3
(3) x 4 x 3 por 2 x Resp: 2x
3
2
3
(4) a
8x 2 6 x 4a2 6a por 3ab III. Efectúe las multiplicaciones indicadas. Simplifique cuando sea
necesario.
1) 6( x 7) 2) 7( x 4) 3) x( y 3) 4) 5x(2 y 3) 5) 4x( y 3) 6) 2 x(3x 2 x) 2
7) 6 x( x 4 x) 8) 3x(3 5x x ) 9) 2 x (3x x 5) 2
2
3
2
10) 2ab(a 3ab b ) 11) 2a b(a 5a b 3b ) 2
2
2
3
2 2
4
12) 5a b (ab b 4a) 13) 2ab (2a 3b 2) 3 2
2
3
2
2
14) 2x(5x 6) 3x( x 4) 15) 4x(x4)2x(2x3) 39 16) 2 x(3x 4 x 6) x ( x 8) 17) x (2 x 3x 4) x( x 3x 4 x) 2
2
2
2
3
2
Respuestas a los impares: 1) 6 x 42 ; 3) xy 3x ; 5) 4xy 12x ; 7) 6x
3
5
9) 6x
24x2 ; 2x4 10x3 ; 11) 2a5b 10a4b3 6a2b5 ; 13) 4a3b3 6ab5 4ab3 ; 15) 10 x ; 4
17) x IV. Efectué la siguiente multiplicación entre polinomios.
1. a 3. por.a 1
2
Resp: a 2a 3
2. 8x 2 y. por. y 2x
3. 4 y 5x. por. 3x 2 y
Resp: 15x2 22 xy 8 y 2
4. a b. por. 4b 8a
V. Efectué las operaciones con polinomios y simplifique:
1) ( x 7)( x 4)
9) ( x 1)((2 x2 2 x 3)
2) ( x 6)( x 6)
10) ( x 2)( x2 2 x 4)
3) ( x 1)(x 6)
11) (2 x 1)(4 x2 2 x 1)
4) (3x 1)(4x 3)
12) ( x 2 y)( x2 2 xy 4 y 2 )
5) (3 2x)(3 4x)
13) ( x2 2 x 1)( x2 2 x 1)
6) (7 3x)(8 5x)
14) ( x 1)( x 3) x( x 4)
7) ( x 4 y)(3x 4 y)
15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)
8) ( xy 3)( xy 4)
16) ( x 2)( x 4) x( x 2)
2
2
Respuestas a los impares: 1) x 3x 28 ; 3) x 7 x 6 ;
2
5) 9 6x 8x ;
3
3
4
2
2
7) 3x2 16 xy 16 y 2 ; 9) 2x x 3 ; 11) 8x 1; 13) x 4x 4x 1 ;15) 3x 2
40 Los siguientes rectángulos están seccionados y cada sección es el
resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la
multiplicación de los polinomios que equivale al área total de cada
rectángulo. (Ver ejemplo 6 resuelto de esta sección).
VI.
1. 5 5 2. 5
3
3. 24
40
15
25
41 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
No. 3
División entre monomios
División entre un polinomio y un monomio
División entre polinomios
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
de lograrlos
exposición y
desarrollar
tareas
divisiones entre
monomios y
polinomios
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Ejemplos:
(2) Dividir
3 2
(1) Dividir 4a b entre 2ab
5 a 4 b 3 c . entre . a 2 b
5 a 4b 3c / a 2 b
(3) Dividir
2
2
5a 4 b 3 c
5a b c
2
a b
20mx2 y3 / 4 xy3
20mx2 y 3 / 4 xy3
20mx2 y 3
5mx
4 xy3
42 Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:
2 x 4 yz
2
6 xy
3
Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el
exponente exterior.
3
3
2 x 4 yz x3 z
x9 z 3 x9 z 3
3 3
2
27 y 3
6 xy 3 y 3 y
DIVISIÓN DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS.
Regla para dividir un polinomio por un monomio.
Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los
cocientes parciales con sus propios signos.
3
2
2
Ejemplo 1) Dividir 3a 6a b 9ab entre 3a.
(3a 3 6 a 2 b 9 ab 2 ) 3a
3a 3 6 a 2b 9 ab 2 3a 3 6 a 2 b 9 ab 2
3a
3a
3a
3a
2
2
Resultado: a 2ab 3b
Ejemplo 2) Dividir
Solución:
3a 3 2a 2b ab 2
ab
3a 3 2 a 2 b ab 2 3a 3 2 ab 2 ab 2
3a 2
2a b
ab
ab
ab
ab
b
Ejemplo 3) Dividir
(3x a)2 a(3x a)
(3x a)
y simplificar
(3x a)2 a(3x a) (3x a)2 a(3x a)
(3x a) a 3x a a 3x
=
(3x a)
(3x a) (3x a)
43 DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división de polinomios respeta la siguiente serie de pasos:
1. Ordenamos los términos de ambos polinomios según las potencias de
mayor a menor, o viceversa, de una de las letras comunes a los dos
polinomios.
2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con
esto obtenemos el primer término del cociente.
3. Multiplicamos el término del cociente del paso anterior por el divisor y se
resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.
4. Con lo obtenido en el paso anterior se repiten las operaciones de los pasos
2 y 3 hasta que obtenemos un residuo igual a cero o una expresión
algebraica de grado menor que el del dividendo.
5. El resultado se expresa de la siguiente manera:
Ejemplo 1: Dividir 2
31
35 entre 2
7 3
Divisor 2
5 cociente 31
7 2
7
2
35 Dividendo 6
31
6
21 35 10
35 10
35 0 Residuo El resultado es: 3
5 44 Ejemplo 2: Dividir 2
3
2 entre 3
2 2
6 2 2
3
2
6
4
3
3
3
9
3
3
2 2 6 6
5
6
18
12 13
14 2 El resultado lo expresamos de la siguiente manera: 2
3
6
45 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
A practicar las división entre monomios y polinomios
No. 3
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Manera
Orden
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. Ejercicios: Efectuar la siguiente división entre monomios
3 4
2
(1) 14a b entre 2ab
2 2
Resp: 7a b
3 4
3 4
(2) a b c entre a b
2
2
(3) 5m n entre m n
Resp: 5
2 3
2 3
(4) 8a x entre 8a x
II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.
1)
a5
a2
( x 1)8
9)
( x 1)4
15)
a6
( a ) 3
2)
x3
x
3)
( x y )6
10)
( x y )9
16)
a6
a12
4)
x2
x8
x10
x10
5)
6
17)
x3 y
xy
b10
b 6
13)
9 a 2b 5
36 a 6 b10
x3 y 3
x2 y
19)
4
x y
3bx
11)
12) 3 2
xy
3b
( x y)2
( x y )6
6)
18)
7)
( a )8
( a 7 )
8)
a10
a 7
14)
a 2b 6
a 2b 8
6 a 8b 7
18a 4b 9
20)
42 a 5b 2
70 a 9 c
46 44 a 3b 2
21)
66 a 5b 8
2a 2
26) 5
a
6
2 x2 y5
27)
6
4 xy
3a 3
24) 6
a
25 a 6b 9
23)
5a12 b 3
32a 5b 2
22)
8a 3b 6
3
x4 y 2 z 7
28) 3 4 7
2x y z
3
4
a 2b
25) 2
ab
12 x3 y 2 z 4
29)
2 3
18 xy z
2
4
Respuestas para algunos ejercicios:
3
2
1) a ; 2) x ; 3)
1
1
1
4
; 4) 6 ; 5) 1 ; 6) b ; 7) 2 ;
6
a
a
x
1
;
( x y )3
11) x ; 12) x3 y2 ; 13)
x3
;
27)
8 y3
x3
28)
;
8 y6
29)
a4
1
;
14)
;
4a 4b 5
3b 2
9) ( x 1)4 ; 10)
8) 1 ;
26)
64
a18
16 x 8 z 4
81
III. Efectué las operaciones entre un polinomio y un monomio y
simplifique.
1)
2x 2
2
7 x 3 14 x 2
6)
7 x2
2)
10 x 5
5
3)
10 x 2 y 15 x 3
7)
5 x 2
4 x3 6 x 2 8 x
10)
2x2
6 x 2 3x
3x
x3 3x 2 x
x
12 x 5 18 x 4 6 x 3
8)
6 x 3
x 6 2 x 4 y 2 3x 2 y 4
11)
3x3 y3
(2 x a)2 x(2 x a)
13)
(2 x a)
4)
5)
6 ax 3a
3a
36 x3 y 2 24 x2 y3
9)
12 x2 y 2
6( x a)2 3( x a)
12)
3( x a)
(2 x a)3 (2 x a)2
14)
(2 x a)
47 Respuestas a los impares: 1) x 1 ; 3) 2 x 1 ; 5) 2 x 1 ; 7) 2 y 3x ; 9) 3x 2 y ;
x3 2 x y
; 13) x a
11) 3
3y 3y x
IV.
Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:
1) x 2 3x 2
x2 x 6
x 2 14 x 48
8 x 2 16 x 6
2) 3) 4) x 1
x2
x 8
2x 1
5)
9x2 6x 1
3x 1
9)
x3 4 x 2 x 2 8
x2 4
6)
12 x 2 25 x 12
4x 3
10)
16 x 2 8 x 1
4x 1
7)
3x 4 2 x3 6 x 2 3x 2
x2 x 2
12)
4 x 3 7 x 2 21 x 9
4x 3
15)
2 x4 3x3 y 3x2 y 2 5xy3 3 y 4
2 x2 xy y 2
18)
x 3 12 x 2 48 x 64
x 2 8 x 16
13)
19)
14)
9 x 2 4 12 x
3x 2
6 x 4 x3 8 x 2 x 2
2x2 x 1
20)
22 x 8 x 2 21
4x 3
3x3 x 4 x 2 6
2 3x
11)
6 x 3 11x 2 14 x 2
2x 5
16)
8)
2 x 4 11x 2 39 x 15
x2 3x 5
17)
15 x 2 12 28 x
5x 6
2 x 4 51 x 3 x 2 8
2x2 6x 1
21) (2 x 4 2 y 4 5x3 y 3x 2 y 2 7 xy3 ) ( x2 3xy y 2 )
Respuestas para algunos ejercicios:
1) x 2 ; 2) x 3 ; 3) x 6 ; 4) 4 x 6 ; 5)
3x 1 ;
2
8) 2 x 7 ; 9) x 2 ; 10) 3x x 1 ; 11) x 2 2 x 1
13) 3 x 2 2 x 2
6) 3 x 4 ; 7) 4 x 1
4
9
; 12) x 2 x 6
3x 2
4x 3
12
2
; 14) 2x 6x 3 ; 15) x2 2 xy 3 y 2
2x 5
48 Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Saberes
PRODUCTOS NOTABLES
No. 4
Binomios conjugados
Producto de dos binomios cualesquiera
Binomio al cuadrado
Binomio al cubo
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Manera didáctica
Mediante
habilidad para
de lograrlos
exposición y
desarrollar
tareas
productos
notables por
inspección
BINOMIOS CONJUGADOS
Si tenemos la multiplicación
¿cómo la resolverías?
Una forma de hacerlo es multiplicando Todos vs. Todos:
Aunque este método nos gusta mucho no es el más rápido, para esto estamos
aprendiendo la multiplicación de binomios conjugados.
El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un
producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto
recibe el nombre de diferencia de cuadrados.
a b a b a 2 b 2
49 Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados
a b a b a 2 b 2
Los binomios conjugados son iguales a:
El cuadrado del primer término del binomio
Menos
El cuadrado del segundo término del binomio.
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:
1.
8
3
2.
5
6
8
5
3
8
6
3
8
6
5
2
3
25
64
9
36
2
3 5
3 5 3
25 2 9 2
5
3. 9 m 4 n 9 m 4 n 9 m 4 n 81 m 16 n
Producto de trinomios que se pueden resolver como un binomio conjugado
5
4.
5
5
5
25
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CUALESQUIERA
Los términos correspondientes de los binomios ax by
y
cx dy son
semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aquí
en donde se aplica la propiedad distributiva.
(ax by)(cx dy) ax(cx dy) by(cx dy)
acx2 adxy bcxy bdy2
acx2 (ad bc) xy bdy2
por distributividad y conmutividad
ya que adxy+bcaxy = (ad+bc)xy
Por tanto, se tiene
Producto de dos binomios (ax by)(cx dy) acx2 (ad bc) xy bdy2
Al observar el producto de la derecha, se ve que se tiene el producto de dos
binomios con términos semejantes correspondientes al ejecutar los pasos
siguientes:
50 1) Multiplíquense los primeros términos de los binomios para obtener el primer
término del producto.
2) Súmense los productos obtenidos al multiplicar el primer término en cada
binomio por el segundo en el otro. Esto da el segundo término en el
producto.
3) Multiplíquense los segundos términos en los binomios para obtener el tercer
término del producto.
Por lo general, el procedimiento requerido para efectuar esos tres pasos es
mental, y el resultado puede escribirse sin necesidad de indicar los pasos
intermedios. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Obtenga el producto de 2x 5 y y 4x 3y
(2 x 5 y)(4 x 3 y) 8x2 14xy 15 y 2
Obténgase los productos mentalmente
1. 2 x 4 x
2. (2x 3y) (5x 4x) 6xy 20xy
3. 5 y 3 y
El ejemplo anterior está dada en dos variables, pero se aplica también si se
considera que y 1 . De hecho, viene siendo (ax b)(cx d ) acx2 (ad bc) x bd
Ejemplo 2
Encuentre ( x 2)(3x 5).
( x 2)(3x 5) (1)(3)( x2 ) [(1)(5) (2)(3)]x (2)(5) 3x2 x 10
51
BINOMIO AL CUADRADO
Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el
proceso para obtener su resultado.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual: (a b)2 a 2 2ab b2
Cuadrado del primer término más
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre
de trinomio cuadrado perfecto.
Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo
término del trinomio.
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: (a b)2 a 2 2ab b2
Cuadrado del primer término, menos
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado
1.
3
2.
3
8
3
2 3
5
8
8
3
2 3
9
3.
3
2
5
3
3
2
9
48
5
64
5
25
2
3
2
5
3
5
3
9
4
5
25
9
52 4. 4
2
3
4
2
16
3
16
4
4
2
24
2 4
12
2
3
3
9
BINOMIO AL CUBO
Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso
para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo
tres veces:
a b a b a b a b
3
Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la
multiplicación debemos realizarla por partes:
a b a b a b
2
a2 2ab b2 .
Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:
a
2
2ab b2 a b a3 3a2b 3ab2 b3
Binomio al cubo = Cubo perfecto
a b
3
=
a3 3a2b 3ab2 b3
El cubo de un binomio es igual a:
Cubo del primer termino más
El triple producto del cuadrado del
primer termino por el segundo mas
El triple producto del Primer termino
por el cuadrado del segundo mas
Cubo del segundo termino.
53 Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:
a b
3
a3 3a2b 3ab2 b3
=
Ejemplos:
1.
2
5
2
8
2.
3
2
3
27
3 2
60
5
3 2
150
3 3
2
54
36
5
5
125
3 3
2
2
8
54 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
I.
Todo mundo a desarrollar Productos Notables
No. 4
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Manera
Orden
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Realice los siguientes binomios conjugados:
1. ( x 4)(x 4)
2. ( x 7)(x 7)
5. (2 x 2 3 y 2 )(2 x 2 3 y 2 )
8. (4c 7d )(4c 7d )
11.
13. 3. (3x 2 y)(3x 2 y)
6. ( x 2 a 2 )( x 2 a 2 )
3 2 3 2
9. x y x y
4 7 4 7
4. (6a 8b)(6a 8b)
7. (6a 2 4b4 )(6a 2 4b4 )
3 2
3
2
10. a 2 b 2 a 2 b 2
7 5
7
5
12.
14. 55 II.
Completa la siguiente tabla:
Binomios conjugados a)
Diferencia de cuadrados 1
c)
4
d)
10
4
1 10 e) 4
f)
9
16
g)
2
h)
5
i)
0.2 2
6
0.2 5
6
1
25
25
4
2
3
j)
k)
25
9
b) √2
3
√3 √2
3
√3 III.
Realice los siguientes ejercicios usando el modelo para el producto de
dos binomios cualesquiera.
1. ( x 1)(x 3)
2. ( x 2)(x 4)
5. (3x 4)(x 5)
6. (4x 1)(2x 3) 7. (2x y)(3x y) 8. (3x 5 y)(2x 3y)
9. (6c 11d )(2c 5d )
IV.
3. ( x 3)(x 2)
10. (8k 3m)(9k 5m)
4. (2x 3)(3x 2)
11. (3a 10b)(4a 7b)
Completa la siguiente tabla:
Multiplicación de dos binomios cualesquiera con un termino común Resultados a)
5
4 b)
15
c)
5
3 17
30 d)
√5
6 √5
2 e)
√2
1 √2
2 2
3√2
56 Obtenga el binomio al cuadrado de las siguientes expresiones:
V.
1. ( x 2) 2
2. ( x 3) 2
3. ( x 9) 2
4. ( x y)2
5. ( x 8 y)2
6. (a 2b)2
7. (2 x 3)2
8. (4 x 5)2
9. (10x 5)2
10. (5m 2n)2
11. (m 4)2
12. (2 x 3 y) 2
16. (4a3b2 5ab3 )2
13. (6a 7b) 2 14. (a3 b3 )2
17. (2 x 3 y 2 z ) 2
15. (3x2 y 2 xy2 )2
18. (3a 4b 3c)2 19. ( x5 y5 )2
Completa la siguiente tabla:
VI.
Binomio elevado al cuadrado 3 a)
b)
Polinomio 2
4
7
c)
d)
4
16
Desarrollo los siguientes binomios al cubo:
VII.
1. (a 2b)3
6. (1 3 y)
2. (3x 2)2
7. (2 y )
3
2 3
3. (5x 1)3
8. (2 p 3q )
2
3 3
4. (2 x 7 y)3
9. (5m 4n )
3
2 3
5. (4a 6b)3
4
2
10. a b
3
3
3
Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo
VIII.
a)
5
2
3
3
___________________________________________________________ b)
3
2
3
3
___________________________________________________________ c)
3
3
___________________________________________________________ 57 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
FACTORIZACIÓN DE
No. 5
POLINOMIOS
Por factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio de la forma
Trinomio de la forma
Trinomio cuadrado perfecto
Suma y diferencia de cubos
Por agrupación
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
conocerá los
Manera didáctica
Mediante
distintos tipos de
de lograrlos
exposición y
factorización de
tareas
polinomios.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se
llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto
de varios de sus factores. Este proceso se llama factorización. En particular, nos
ocuparemos de factorizar polinomios con coeficientes enteros.
Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se expresa como el
producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la
expresión se puede ya escribir como el producto de dos polinomios con
coeficientes enteros.
A continuación, consideramos la factorización de algunos polinomios especiales.
I. Factor común.
En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores,
aplicando la propiedad distributiva.
Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el
polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un
polinomio.
58 Ejemplos:
1)
5x 5 y 5( x y)
El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y
los factores son 5 y (x + y).
2)
ax bx cx x(a b c)
Pude ver que la
es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor
común, y los factores son x y (a – b + c).
3)
4x2 y 8xy 2 y = 2 y(2 x2 4 x 1)
El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por
lo tanto, son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el
termino común y la expresión original
4x2 y 8xy 2 y entre 2y, dando como
2
resultado, 2x 4x 1 que representa al segundo factor.
4) Factorizar el polinomio
6 x3 y 2 12 x2 y 2 24 xy 2
Solución: El máximo factor común es 6xy2 .
6 x 3 y 2 12 x 2 y 2 24 xy 2
= 6 xy 2 ( x2 2 x 4)
6 x3 y 2 12 x 2 y 2 24 xy 2 6 xy 2
2
2
2
6 xy
6 xy
6 xy
II. Diferencia de cuadrados
2
2
El producto de los factores (a b) y (a b) es a b , es decir, la diferencia de
dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de
cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de
dichos cuadrados.
Ejemplo 1) Factorizar
9a2 4 .
2
Solución: La raíz cuadrada de 9a es 3a y la de 4 es 2.
59 Por consiguiente,
9a2 4 (3a 2)(3a 2)
Ejemplo 2) Factorizar completamente x 4 81y 4 .
x4 81y 4 ( x 2 9 y 2 )( x 2 9 y 2 )
Solución:
( x2 9 y 2 )( x 3 y)( x 3 y)
4
Ejemplo 3) Factorizar completamente 6x 6 .
6 x4 6 6( x4 1)
Solución:
6( x2 1)( x2 1)
6( x 2 1)( x 1)( x 1)
Ejemplo 4) Factorizar completamente x2 4( y 3)2
x2 4( y 3)2 [ x 2( y 3)][ x 2( y 3)]
Solución:
(x 2 y 6)(x 2 y 6)
III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.
Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos
como resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio,
tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente
procedimiento:
1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer
término.
2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:
Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del
trinomio (c).
Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del
trinomio (b).
60 Ejemplo: x2 + 5x + 6.
Dos números que multiplicados nos den x2, es decir,
x 2 ;. (x
) (x
).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos
den el coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2).
Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).
Ejemplo: a2 + 9a + 20.
Dos números que multiplicados nos den a2, es decir,
a2 ;. (a
) (a
).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados
nos den el coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4).
Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4).
IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.
Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla:
El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son
aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado;
los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al
tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos extremos e
interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como
resultado el termino central del trinomio.
Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c.
a) 3x2 + 14x + 8 =
Se determinan los primeros términos de los factores
binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino
del trinomio, dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los
binomios son aquellos que multiplicados den (8) el tercer termino del
trinomio, dichos términos pueden ser (1)(8) y (2)(4), siendo la ultima
proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del
producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores
resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización
es:
3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)
61 b) 5x2 - 11x - 36 =
Se determinan los primeros términos de los factores
binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino
del trinomio, dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los
binomios son aquellos que multiplicados den (-36) el tercer termino del
trinomio, dichos términos pueden ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y (9)(-4), siendo la ultima proposición
la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los
términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (-11x) el
termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es:
5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)
V.
El Tri perfecto (trinomio cuadrado perfecto)
Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres
condiciones:
1. Debe tener tres términos.
2. Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término.
3. La doble multiplicación de la raíz del primer por el tercer término es el
segundo término del trinomio original.
Ejemplo: Factoriza:
25
70
49
Primer paso: Verifica que éste sea un trinomio cuadrado perfecto (checando
las condiciones).
70
49
Sí es un trinomio: 25
Sí tienen raíz cuadrada exacta el primer y el tercer términos: 5
Sí es el mismo resultado del segundo término del trinomio original
7
70x y la doble multiplicación de la primera raíz y la tercera raíz
2(5x)(7) = 70x
Segundo paso: Coloca el resultado
25
70
49
5
7
Se toma el signo que contiene el segundo
término del trinomio original.
62 VI.
Suma y diferencia de cubos
La suma o diferencia de cubos es el resultado de la multiplicación de un
binomio por un trinomio.
Suma y diferencia de cubos
factores
Identificamos como suma de cubos a un binomio cuyos términos son cubos
perfectos y tienen signos positivos; cuando poseen signos diferentes se
trata de una diferencia de cubos.
Los binomios
y
son suma y diferencia de cubos,
respectivamente, debido a que ambos términos son cubos perfectos por
tener raíz cúbica:
√
Ejemplo 1
y
Factorizar
Solución: El binomio es una suma de cubos porque ambos términos
tienen raíz cúbica y signo positivo.
Las raíces son:
2
√8
y
27
3
Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el
modelo escrito arriba, el binomio es: 2
3 .
El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos
de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del
binomio
y
El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del
binomio considerando el signo contrario al que se obtenga
Con signo contrario resulta
El trinomio factor es:
Finalmente, la factorización es:
63 Ejemplo 2
Factorizar
Solución: El binomio es una diferencia de cubos porque ambos términos
tienen raíz cúbica y signos diferentes.
3
y
Las raíces son: √27
√1 1
Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el
modelo escrito arriba, el binomio es: 3
1 .
El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos
de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del
binomio
y
El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del
binomio considerando el signo contrario al que se obtenga
Con signo contrario resulta
3
El trinomio factor es:
Finalmente, la factorización es:
VII.
Factorización por agrupación.
Con frecuencia, es posible agrupar los términos de un polinomio de tal manera
que cada grupo tenga un factor común, entonces el método de factores comunes
es aplicable. Se utiliza este método en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1
Factorice ax bx ay by
Solución: Obsérvese que los dos primeros términos tienen el factor común x , y el tercero
y el cuarto tienen el factor común y . Por tanto, los términos se agrupan como a
continuación se indica
(ax bx) (ay by) y se procede como sigue:
ax bx ay by (ax bx) (ay by)
con x como factor común del primer
x(a b) y(a b)
grupo con y como factor común del
(a b)(x y)
segundo grupo y con a b como factor
Común de x(a b) y
y(a b) .
64 Ejemplo 2 Factorice 2 x 2 10 x xy 5 y
Solución:
2 x 2 10x 2 x( x 5)
xy 5 y y( x 5)
y
así que
2 x2 10x xy 5 y 2 x( x 5) y( x 5)
( x 5)(2x y)
2
2
Factorice a ab 2b 2a 2b
Ejemplo 3
Solución: Ya que a 2 ab 2b2 (a 2b)a b)
y
2a 2b 2(a b)
Se procede como está indicado a continuación:
a 2 ab 2b2 2a 2b (a 2 ab 2b2 ) (2a 2b)
(a 2b)(a b) 2(a b)
(a b)(a 2b 2)
2
2
2
Factorice 4c a 2ab b
Ejemplo 4
Solución:
4c2 a 2 2ab b2 4c2 (a 2 2ab b2 )
(2c)2 (a b)2
[2c (a b)][2c (a b)]
(2c a b)(2c a b)
Factoriza
Ejemplo 5
Asociando
5a2 3ax 10a 6x .
5a2 3ax 10a 6x 5a2 10a 3ax 6x .
Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe
ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces
aplicamos la propiedad conmutativa.
5a2 10a 3ax 6x
3ax 6x 5a2 10a
Factorizando:
Y de nuevo factorizando:
3 x a 2 5a a 2
a 2 3 x 5 a
65 Factorizar
Ejemplo 6
12ax 20bx 9ay 15by
12ax 20bx 9ay 15by (12ax 20bx) (9ay 15by)
12ax 20bx 9ay 15by 4x(3a 5b) 3y(3a 5b)
(3a 5b)(4x 3y)
Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
I.
Volviéndonos hábiles en la Factorización
No. 5
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Factorizar por factor común
1) 4 x 4
2) 12 x 6
6) 6xy 2xz 8 yz
10) xy x 2 y 2
3) 18 x 27
7) 5x 2 5xy 15 y 2
11) 4 xy 8x2 y 2
3
2
4) 9x 6x
3
8) a 2a
5) 3bx 3b
2
2
9) 3a b 12ab 9ab
12) 4 x2 y 2 12 x2 y
13) 6 x2 y 4 xy 2 10 xy
16) x(a b) y(a b)
14) x3 x 2 y 2 xy 3
15) 4 x3 y 2 2 x2 y3 6 x2 y 2
17) 3(a 3) x(a 3)
18) 4(2x 1) x(2x 1) 19) 3(a b) x(a b)
66 II.
Factorice completamente por diferencia de cuadrados:
2) x2 36
3) 9x2 25
4) 81 x
2
2
7) 9 x 16 y
2
4
8) 9 x 4 y
9) 4a 9b c
1) x2 16
6) 4x 81
2
12) 81c 49d
4
2
11) 9 x 64 y
6
4
2 2
4
15) 9x y y 16) 36a b 9c
8 12
2
19) (a 3b) 4
III.
10
12
6
2
10) a b
2 2
6
100
14) 100x
4
4
17) 16 x 81y
4
64 y 64
2
2
18) ( x 1) y
2
2
20) x ( y z)
Completa la siguiente tabla:
Diferencia de cuadrados 9
81 121
144 25
16
625
529 3
2 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
4
13) 121h 4t
5) 36x 1
2
Binomios conjugados 3
9
5
4
√
√2
√3
√
IV.
Factorizar los trinomios de la forma
siguientes:
1) x 3x 2
2) x 7x 12
3) x 8x 15
5) x 9x 18
6) x 7x 10
7) x 12x 32 8) x 13x 30
9) x 4x 21
10) x 12x 45 11) x 3x 18
2
2
2
2
2
2
2
13) x 12xy 32 y
2
2
16) x 9 xy 14 y
20) x 18x 81
4
2
2
4) x 9x 20
2
2
2
2
12) x 8x 12
2
2
2
14) x 6 xy 9 y
2
2
2
15) x 12xy 27 y
2
2
17) x 11xy 28 y 18) x 3x 10 19) x 7x 8
4
2
4
2
2
2
21) ( x y) 3( x y) 2 22) ( x 3 y) 9( x 3 y) 18
67 V.
Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio
correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos
siguientes. Encuentra también el perímetro de cada rectángulo:
1. 2. 3
2 7
10 VI.
Factorizar los trinomios de la forma
siguientes
b) 3x 7 x 2
c) 2x 7x 6
d) 2x 11x 5
f) 4x 9x 2
g) 2x 5x 2
h) 3x 11x 6
i) 4x 8x 6
j) 2x 15x 8
k) 3x 7 x 6
l) 4x 5x 6
m) 2x 7x 4
n) 4x 15x 4
ñ) 4x 19x 12
o) 6x 5x 4
p) 6x 23x 18
q) 6x 7 x 2
r) 6x 11x 4
s) 6x 31x 18
2
a) 2 x 2 3 x 1
e)
3x2 4x 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
t) 3x 16 xy 12 y u) 3x 7 xy 6 y
x) 5x 8x 4
4
y) 2x 5x 12
2
VII.
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
v) 4 x 8 xy 5 y w) 6 x 5 xy 6 y
z) 8x 29x 12
4
2
Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio
correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos
siguientes. Halla también el perímetro de cada rectángulo:
1.
2.
3
8
12
3 17
6 68 VIII.
Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
14
16
2
4
6
8
14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
49 8. 64
64 9. 1 10. 4 11. 16
9 12. 9
16 13. 49 14. 112
16
26
8
12
18
24
49
64 169 1 4 81 (primero factorice por factor común) 144 IX.
Si el área de cada cuadrado está representada por el trinomio cuadrado
perfecto correspondiente, determina el lado y el perímetro de los
cuadrados siguientes.
1. 2. 3. 2
1 6
9
10
25 X.
Completa los espacios en blanco que llevan a la factorización de las
expresiones indicadas:
64
1.
Ya que √
________________ y √64
_____________ La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 64
2. 8
216
Ya que √8
(______________) (____________________________) ________________ y 216
_____________ La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 69 8
3. 27
216
(______________) (____________________________) 125
Ya que 27
________________ y √125
_____________ La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 27
4. 343
125
8
(______________) (____________________________) ________________ y √8
Ya que √343
_____________ La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 343
5.
8
2
(______________) (____________________________) 27
________________ y 27
2
Ya que _____________ La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como: 2
27
(______________) (____________________________) XI.
Factorizar por agrupación los siguientes polinomios:
1) 3x 3y ax ay
2) ax ay 2cx 2cy
5) ax bx ay by
3) ax ay bx by 4) x2 y 2 2 x 2 y
6) 2ax 2ay bx by
7) 2ax ay 6bx 3by
8) ax ay az x y z
9) 3ax 3ay 3a 6bx 6by 6b
10) 2ax 4ay x 2 y 3z 6az
11) 2 x 2 5x 2 xy 5 y 12) 3x 2 12 x xy 4 y
2
13) 2a 2b ab a
3
2
16) x x x 1
2
14) x x 3x 3
3
2
17) x 2x 3x 6
2
15) 2x x 4x 2
4
3
2
18) x x 2x 2x
70 Competencia
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación de fracciones algebraicas
Suma y resta de fracciones algebraicas
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Fracciones complejas algebraicas
2 Saberes 1. Simplificación de fracciones algebraicas
2. Suma y resta de fracciones algebraicas
3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Ejercicios 1. A simplificar fracciones algebraicas
2. A sumar y restar fracciones algebraicas
3. Operaciones con multiplicación y división de fracciones.
71 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Simplificación de fracciones algebraicas
No. 1
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
Mediante exposición y adquirirá la
tareas Manera didáctica
habilidad para
de lograrlos
simplificar una
fracción algebraica
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Se dice que una fracción está en términos mínimos o en su forma más simple si el
numerador y el denominador no tienen factor común. Así podemos determinar si
una fracción está en sus términos mínimos expresando el numerador y el
denominador como productos de sus factores primos. Cualquier factor que
aparezca tanto en el numerador como en el denominador, puede entonces ser
removido por división. Esto es,
Nota: Los números a y c en la expresión
términos como en a + c.
denominador, no términos.
La fracción
igual a
ac
son factores del numerador, no
bc
También los números
b
y
c
son factores del
ac
no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es
bc
a 1
a
ni a
. Análogamente,
b 1
b
5a b 5 b
5a b 5a b
5 b
Pero
6a
6
6a
6a 6a 6 6a 72 Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de
polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los
factores comunes, cada uno con el mínimo exponente con que aparece en los
polinomios dados.
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y
denominador son monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo
factor común.
Ejemplo 1:
Reducir
36 a 3 b 2 c
a sus términos mínimos.
54 abc 3
Solución. El máximo factor común de los monomios 36a3b2c y 54abc3 es 18 abc . Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene.
Ejemplo 2:
Reducir a su mínima expresión. 36 a 3 b 2 c 2 a 2 b
.
54 abc 3
3c 2
36 x 3 y 6 x 2
20 xy 2 x 2
4
. Solución. El máximo factor común es 4 xy x 2 . 2
Al dividir el numerador y denominador entre 4 xy x 2 , obtenemos 2
36 x 3 y 6 x 2
20 xy 2 x 2
4
9x 2 y 4
5 x 2
3
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador
o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo
factor común y luego se dividen por este.
30 x 2 y 3 18 xy 2
Ejemplo 3: Reducir a sus términos mínimos. 12 x 2 y 2
73 30 x 2 y 3 18 xy 2 6 xy 2 5 xy 3
Solución. 12 x 2 y 2
12 x 2 y 2
Dividiendo el numerador y denominador por 6xy 2 , se obtiene
30 x 2 y 3 18 xy 2 6 xy 2 5 xy 3 5 xy 3
.
12 x 2 y 2
12 x 2 y 2
2x
Ejemplo 4:
24 x 3 y
Reducir
a su mínima expresión.
36 x 3 y 2 48x 4 y
Solución. 24 x 3 y
24 x 3 y
36 x 3 y 2 48x 4 y 12 x 3 y 3 y 4 x
Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener
Ejemplo 5:
24 x 3 y
24 x 3 y
2
.
3 2
4
3
36 x y 48x y 12 x y 3 y 4 x 3 y 4 x
Reducir
2x 2 x 3
a su mínima expresión.
x2 1
Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos 2 x 2 x 3 2 x 3 x 1
x 1x 1
x2 1
Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, x 1 ,
1 resulta 2 x 3x 1 2 x 3 2x 2 x 3
2
x 1x 1
x 1
x 1
1 74 Nota
La fracción
2x 3
esta reducida; el numerador y el denominador no
x 1
poseen ningún factor común.
Notas:
1. a b b a b a 2. a b b a b a 2
2
2
3. a b b a b a 3
3
3
Ejemplo 6:
a b b a
1 b a
ba
Hay que observar también que a a
a
. b b
b
Ejemplo 8:
Solución. Reducir 8 x 2 14 x 3
. 2 7x 4x 2
8 x 2 14 x 3 4 x 12 x 3 1 4 x 2 x 3
2x 3
2
2 x 1 4 x
2 x 1 4 x
x2
2 7x 4x
4x 1 1 4x 75 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A simplificar fracciones algebraicas
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I.
Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:
x6
x3
1. 2. x2
x7
3. 8x 5
12 x 2
4. 9x3
24 x 6
4
54 a 4 b 3 c
5. 63a 2 b 5 c 2
64 x 8 y 4 z 5
6. 80 x 6 y 8 z 3
a 4 b5
20 abc 3
7. 8.
7
15a 2 b
3ab
2a b
9. 6a b
3a b
10. 6ab
11. 3
2
3
2 2
2
3 2
3
3 x 3 a b
3
6 xa b
2
12. 12 x 2 x 2
2
16 x x 2
3
13. 2
a 2 9b 2
14 x 3 y 2 x y
8 x 16 x 2
2 a 2 b 2 ab 2
14. 15. 16. 4
(a 3b) 2
16 x 2 32 x 3
4a 3 4a 2 b
21xy 2 x y
17. x2 1
x 2 11x 24
x 2 10 x 24
2 x 2 11x 12
18. 19. 20. x2 4x 3
x2 6x 9
x 2 3x 4
4x2 9
21. 2x2 x 1
4x2 7 x 2
22. 3x 2 4 x 1
4 x 2 11x 3
76 Respuestas a los ejercicios anteriores 2x
2 x3
6a 2
4c3
2a 5
x 2 (a b)
b
11. ; 5. 2 ; 7.
; 9. ; 13. ; 15. ; 1. x ; 3. 2
3( x y)
3
7b c
3a
9b 2
2a
2
3
17. x 1
x6
2x 1
; 19. ; 21. x3
x 1
3x 1
II. Señalar la respuesta correcta de las siguientes preguntas:
1. Al simplificar la fracción
la respuesta correcta es: a)
b) c) d) 2. Al simplificar la fracción el resultado es: a)
b) c) d) 3. La simplificación de la fracción algebraica es:
a) b) c) d) 77 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
No. 2 Suma y resta de fracciones algebraicas
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
exposición y
desarrollar una
de lograrlos
tareas
suma y resta de
fracciones
algebraicas y
simplificarlas
ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones
aritméticas. Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con
denominadores iguales, y luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones
algebraicas con denominadores distintos.
FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.
Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la
relación.
a b ab
c c
c
Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es
una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador
es el denominador común.
Ejemplo 1:
Efectuar 3 2
x x
78 Solución. 3 2
3 2 5
x x
x
x
Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario
encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar
operaciones.
Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos
semejantes y la nueva fracción a su mínima expresión.
Efectuar Ejemplo 2:
Solución. x 3 x 3
2x
2
x3 x3
2x
1
2
2
x
2x
2x
Efectuar Ejemplo
Solución. 4
2x
x2 x2
4 2 x 2 2 x
4
2x
2 .
x2
x2
x2 x2
Ejemplo 3:
Efectuar x2 2
x 2 2x
x2 x 2 x2 x 2
Solución. x2 2
x 2 2x
x 2 2 x 2 2 x x 2 2 x 2 2 x 2 x 2
x2 x 2 x2 x 2
x2 x 2
x2 x 2
x2 x 2
2 x 1
2
.
x 2 x 1 x 2
Ejemplo 4:
Efectuar x 2 9x
5 x 2 3x
4 x 2 11x 3 4 x 2 11x 3
79 Solución. 5 x 2 3x
x 2 9x
x 2 9 x 5 x 2 3 x x 2 9 x 5 x 2 3 x
4 x 2 11x 3 4 x 2 11x 3
4 x 2 11x 3
4 x 2 11x 3
12x 4 x 2
4 x3 x
4 xx 3
4x
. 2
4x 1
4 x 11x 3 4 x 1x 3 4 x 1x 3
Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de ellas. a
a a 2 a3 a n
a1 a 2 a 3
a a 2 a3
a
n 1
1
c
c
c
c
c
c
c
c
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.
Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se
descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes
respectivos. Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.
Definición. Un polinomio
conjunto de polinomios, si:
p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un
1. Cada polinomio del conjunto divide a p y
2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también
divisible por p.
Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los
polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la
máxima potencia que aparezca en los polinomios dados.
Ejemplo 1
Solución.
Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z.
Los factores literales son x, y y z.
de y es 3, y la de z es 1.
La potencia máxima de x es 2, la
Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.
Ejemplo 2
Solución.
Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy.
60 22 3 5
80 72 23 32
80 24 5
4
2
Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = 2 3 5 720.
El m.c.m. de los monomios 720x 3 y 2 .
Ejemplo 3
Solución.
Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2.
Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).
La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1.
Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3).
Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).
Ejemplo 4
Solución.
Encontrar el m.c.m. de x2-x
y
x2-1.
Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.
x 2 x xx 1
x 2 1 x 1 x 1
Por lo tanto, m.c.m. =
Ejemplo 5
x x 1x 1 .
Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.
81 Solución.
2 x 2 3x 2 2 x 1 x 2
2 x 2 7 x 3 2 x 1 x 3
Entonces, m.c.m. = 2x 1 x 2 x 3 .
Ejemplo 6
2
2
Obtener el m.c.m. 2x 3x 1, 1 x y
2x 2 x 1 .
Solución.
2 x 2 3x 1 2 x 1x 1
1 x 2 1 x 1 x
2 x 2 x 1 2 x 1 x 1
Puesto que 1 x x 1 , podemos escribir 1 x como x 1 o bien, x 1
como 1 x .
Reacuérdese que 1 x x 1.
Por lo tanto, 2 x 2 3x 1 2 x 1x 1
1 x 2 x 1x 1
2 x 2 x 1 2 x 1 x 1
A si que, m.c.m. 2x 1 x 1 x 1 .
82 FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.
Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son
iguales. Si los denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo,
llamado mínimo común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que
significa máximo común divisor). Se cambia cada fracción a una equivalente que
a ac
tenga el m.c.d. Como denominador mediante la regla,
y luego se
b bc
efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con denominadores
distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los
denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo
común denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos
mínimos.
Efectuar Ejemplo 1
7
6
2
2
2x x
3x
Solución. El m.c.d. =6x2.
Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan
operaciones.
73 x
66
22 x 7 3 x 66 22 x
7
6
2
2
2
2x x
3 x 2 x3 x x 6 3 x2 x
6x 2
6x 2
6x 2
Ejemplo 2
7 3 x 66 22 21 x 36 4 x 17 x 36
.
6x 2
6x2
6x 2
Efectuar la operación y simplificar x
2
x3 x2
Solución. El m.c.d. = x 3x 2 .
Al escribir fracciones equivalentes con denominador x 3x 2 y efectuar luego
la suma, obtenemos.
xx 2 2 x 3 x 2 2 x 2 x 6
2 x 3
x x 2
x
2
x 3x 2
x 3x 2
x 3 x 2 x 3 x 2 x 2 x 3
x6
. x 3x 2
83 En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego
combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el
m.c.d. como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera
fracción y luego se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa
fracción para obtener la primera expresión del numerador. Se repite el
procedimiento con cada fracción y se relaciona con los resultados mediante los
signos de las fracciones correspondientes.
Ejemplo 3
9 x 20 6 x 13 x 2 9 x 20 x 4 6 x 13 x 4 x 3 x 3x 2
x 4 x 3x 2
El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción.
Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo
adecuado.
9x
2
2 x 40 6 x 2 11x 52
x 4x 3x 2
9 x 2 2 x 40 6 x 2 11x 52
x 4x 3x 2
3x 4x 3
3x 2 13x 12
x 4x 3x 2 x 4x 3x 2
3x 4
. x 4 x 2
84 Efectuar la operación y simplificar.
Ejemplo 4
x2
3x 2
5
2
2 x x 1 2 x 9 x 4 4 3x x 2 2
Solución. x2
3x 2
5
x2
3x 2
5
2
2
2 x 1x 1 2 x 1x 4 4 x 1 x
2 x x 1 2 x 9 x 4 4 3x x
2
Tomamos el m.c.d.
2x 1x 1x 4
3x 2
5
x2
2 x 1x 1 2 x 1x 4 4 x 1 x
x2
3x 2
5
2 x 1x 1 2 x 1x 4 4 x 1 x
x 4 x 2 x 13 x 2 52 x 1 2 x 1x 1x 4
x
2
6 x 8 3x 2 5x 2 10x 5
2x 1x 1x 4
x 2 6 x 8 3x 2 5x 2 10x 5
2 x 1x 1x 4
1 2x1 x
1 x 2x 2
2 x 1x 1x 4 2x 1x 1x 4
1 2 x x 1
1
.
2 x 1x 1x 4 x 4
85 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A sumar y restar fracciones algebraicas
No. 2
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I.
Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes
preguntas:
1. Al sumar las fracciones algebraicas el resultado es: a)
b) c) d) 2. Al restar las fracciones el resultado es: b) a)
c) d) 0 3. Al sumar y simplificar las fracciones el resultado es: a)
b) c) d) 86 4. Al efectuar la simplificación de las fracciones resulta: b) a)
c) d) 5. Al sumar y simplificar las fracciones resulta: b) a)
c) d) II. Realizar las siguientes sumas con fracciones con igual denominador: 1. 6 2 5
x x x
2. 7
3
1
2x 2x 2x
3. 20 15 5
x2 x2 x2
4. 2x
5
3x 5 3x 5
5. x 1
x
x2 x2
6. 3x 2
x2
2x 3 2x 3
7. 14 x
7x 2
7x 2 7x 2
8. 2x
2
x 1 x 1
9. 4 x 2 3x x 2 x
5x 2
5x 2
10. 3x 1
x 1
4x 2 4x 2
11. x6
x4
x4
3x 4
12. 2
2
4 x 8x 4 x 8x
2x 5 2x 5
13. 2x 1
3
2
2
x 3x 4 x 3x 4
14. x
2x 2
2
2
2x 5x 3 2x 5x 3
15. x 2 3x
2 x 2 3x
2 x 2 11x 6 2 x 2 11x 6
16. x 2 3x
x2 x
x 2 3x 2 x 2 3x 2 87 Respuesta a los ejercicios impares anteriores 1. 3
x
1
2
; 3. 0 ; 5. ; 7. 1; 9. x ; 11. 2 ; 13. ; 15. ; x
x2
x4
2x 1
III. Reducir a una sola fracción y simplificar:
1. x 3x 2 x
3 7
6
2
4
6
3 13
1
2.
3. 4. 2
2
2
y 2y 5y
x 2x 5x
3x x
5x
x
3x 2 x
5. 3x 1 x 2
x2 x5
7x 6 x 3
x 3 5x 1
6. 7. 8.
5x
2x
4x
10 x
14 x
7x
3x
5x2
9. x 4
x
x
5
3
5
3
1
10. 11. 12.
x2
x3 x4
x 2 2x 3
2x 3 x 2
13. x
x
2
1
2x
1
6x
3x
14. 15. 2
16. 2
2x 3 x 1
2x 1 x 1
x 9 x3
x x2 x2
17. x2
3x 8
2
7x
18
3x 2
18. 2
19. 2
2
2
2x 7x 4 2x 1
x x 12 x 9
x 3x 4 x 5 x 4
20. x 11
4x 4
3
4
2x 7
1
21. 2
2
2
x 4 x2 x2
x 7 x 12 x 2 x 15 x 4
2
Respuesta a los ejercicios impares anteriores 2x 6
11x 8
7
28 x 60
5
( x 3)( x 1)
; 3. ; 5. ; 7. ; 9. ; 11. ; ( x 2)(2 x 3)
10 x
10 x
15 x 2
14
x2
2
1. 13. 5
x
x
; 15. ; 17. (2 x 3)( x 1)
(2 x 1)( x 4)
x3
88 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
No. 3
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
exposición y
desarrollar una
de lograrlos
tareas
multiplicación o
división con
fracciones
algebraicas
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.
El producto de las fracciones
a
b
y
c
ac
a c ac
se define como
; o sea
.
d
bd
b d bd
Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En
general,
a1 a2 a3 an a1a2 a3 a4 an
b1 b2 b3 bn b1b2 b3 b4 bn
a1a2 a3 a4 an
b1b2 b3 b4 bn
a1a2 a3 an
b1b2 b3 bn
Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.
89 27a 3b 2
16 x 2 y
Encontrar el producto y . 8x 2 y
81a 2 b 2
Ejemplo 1
Solución. 27a 3b 2 16 x 3 y 27 16a 3b 2 x 3 y 2ax
3b 8 x 2 y 81a 2 b 3
8 81x 2 ya 2 b 3
Nota: Es más fácil reducir 27 16
432
que , que es el resultado de los productos
8 81
648
de los coeficientes. Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido
simplificada.
3 x y 4 x y
Simplificar 2 x y 9 x y
2
Ejemplo 2
3
3 x y 4 x y
Solución. 2 x y 9 x y
2
3
2
2
4 3
3 2
3
2 2
3
3 3
4 3
2
2
3 2
3
2 2
3
3 3
3 x y 2
2 x y 3
2
3
4 3
2
2
3 2
. 2
x3 y 2
2
x3 y3
2
3
. 36 x 6 y 12 2 4 x 6 y 4
2 6 x 4 y 6 36 x 9 y 9
·
·
Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios,
primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones
como una sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo
factor común para obtener una fracción equivalente ya reducida.
90 Simplificar Ejemplo 3
6x 2 x 1
x 2 3x
.
2 x 2 11x 5 3 x 2 10 x 3
1 1 1 Solución. x 2 3x
3 x 12 x 1 x . 6x 2 x 1
x x 3
2
2
2 x 11x 5 3 x 10 x 3 2 x 1 x 5 x 33 x 1 x 5
1 1 1 DIVISIÓN DE FRACCIONES
De la definición de división de fracciones, tenemos que:
a c a d
.
b d b c
El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una
multiplicación de fracciones.
Las fracciones
Nota:
1 1
a b
d
se llaman inversas multiplicativas o reciprocas.
c
La reciproca de la expresión a + b es
La reciproca de
1
c
y
d
1
1 1
es
a b
1
1 1
a b
1
1 1
, no
.
ab
a b
o en forma simplificada,
ab
.
ba
ab
ab
ab
ab
1 1 ab
ab
ab
1
1
ab
b
a
a b
a
b
1 a b
Ejemplo 1
Solución.
Simplificar 3a 3 9a 2
.
5b 2 20b
3a 3 9a 2 3a 3 20b 4a
5b 2 20b 5b 2 9a 2 3b 91 Nota:
Obsérvese la diferencia entre
a c e a ce a df adf
a c e a d e ade
y
.
b d f b df b ce bce
b d f
b c f
bcf
Simplificar Ejemplo 2
Solución. 8 x 2 2 x 3 12 x 2 20 x 7
.
4 x 2 17 x 15 6 x 2 37 x 35
8 x 2 2 x 3 12 x 2 20 x 7 2 x 14 x 3 2 x 16 x 7
4 x 3x 5 x 56 x 7 4 x 2 17 x 15 6 x 2 37 x 35
Poniéndolo como un producto:
1 1 1 1
2 x 1 4 x 3 ( x 5) 6 x 7 1 4 x 3 x 5 (2 x 1) 6 x 7
1 1 1 1 Ejemplo 3
24 x 2 49 x 40 36 x 2 63 x 88 72 x 2 18 x 77
54 x 2 51x 14 27 x 2 30 x 8 8 x 2 37 x 20
Solución: 24 x 2 49 x 40 36 x 2 63 x 88 72 x 2 18 x 77
54 x 2 51x 14 27 x 2 30 x 8 8 x 2 37 x 20
Es mejor ponerla toda como un producto
(8x 5)(3x 8) (3x 4)(9 x 2) (6 x 7)(12 x 11)
(6 x 7)(9 x 2) (12 x 11)(3x 8)
(8x 5)( x 4)
3x 4
x4 92 OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.
En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así
como su multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una
fracción en forma reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en
un solo problema y también se requerirá que la respuesta final sea una fracción
reducida.
Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se
efectuaran las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.
Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han
realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo 1 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
5
2x 6
2x 2 5x 3
2
2 x 1 x 4 x 3 2 x 2 3x 1
Solución. 2 x 1x 3 5
2x 6
2x 2 5x 3
5
2 x 3
2
2
2 x 1 x 4 x 3 2 x 3 x 1 2 x 1 x 3 x 1 2 x 1 x 1
1 1 1 ·
1 1 1
x 17
5
2
5 x 3 22 x 1 5 x 15 4 x 2
.
2 x 1x 3
2 x 1x 3 2 x 1x 3
2x 1 x 3
Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema
4 x
12
x
3
x 2
x 2
93 se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de
los términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra
en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 2 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
12
4 x
x
3
x 2
x 2
Solución. 2
12 x x 2 4 x 3 x 2 12 x 2 x 4 x 3x 6 12
4 x
3
x
x 2
x 2
x 2
( x 2)
x 2
x 2
Ejemplo 3
x 2 2 x 3x 6 x x 2 3 x 2
3x .
x 2 x 2 x 2 x 2
Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
9
9
x
x
2x 3
2x 9
Solución. 9
9 x 2 x 3 9 x 2 x 9 9
x
x
2x 3
2x 9
2 x 3
2 x 9
2x 9 x 32x 9
2 x 2 3x 9 2 x 2 9 x 9 2 x 3 x 3
2x 3 2x 3x 3 2x 3x 3
2x 3
2x 9
Nota: Puesto que a b c d se puede escribir como ab
, podemos expresar
cd
11 6
2
4 4
11 6
x
x la cual se llama fracción compleja. 3 2 3 2 en la forma 4
4
x
x
x
x
3 2
x x 3
94 Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma de fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse fácilmente una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores que intervienen. Ejemplo 4
4 3
9
8 . Simplificar 7 11
12 18
Solución. 72 4 3
4 3
9 8 1 9 8 32 27 5 5 7 11 72 7 11 42 44 2
2
12 18
1 12 18
13
3 x 1 Simplificar 12
3x 2
3x 5
x5
Ejemplo 5
Solución. 3x 13 x 5 x 5 13
13
3x 53 x 1x 5 13 1
3 x 1
3x 1
12 3 x 13 x 5
3x 2
3 x 2 12 3x 13x 53x 2 12
3x 5
1
3x 5
x5
3x 53x 2 14 x 5 13 3x 53x 2 14 x 8 3x 53x 2x 4 3x 5x 4
3x 19 x 2 9 x 10 12 3x 19 x 2 9 x 2 3x 13x 23x 1 3x 13x 1
95 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Operaciones con multiplicación y división con fracciones No. 3
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:
9x 2 2 y 2
3. 4y3 x
36 39 20
1.
65 32 27
64 58 15
2.
87 125 128
4a 2 b 3 7 x 2 y 8
4. 21x 2 y 4 a 3b 6
x2 y
35x3 y 26a 5b3 16 xy8
5. 6. 2 3 39a3b 60 x8 y 6 28a 7b 2
y x
4 x y 3x y
9 xy 2 x y
2
7. 3
2
2 3
2
3
3 3
3
6 x y 5 xy
8. 10 xy 3x y
3
2 2
2 3
4 2
2
3 4
9. 2
6 x 3 30 x 3 x 2 x
6 x 2 2 x 4 x 2 20
10. x 2 2x 1
x2 y4
x4 y3
x 2 2x 3
11. x 2 6 x 9 x 2 9 x 20
x 2 7 x 12 x 2 8 x 15
12. x 2 10 x 21 x 2 10 x 16
x 2 9 x 14 x 2 2 x 15
13. x 2 20 9 x x 2 42 13 x
x 2 40 13 x x 2 28 11x
96 7 x 2 36 xy 5 y 2 3x 2 7 xy 6 y 2
14. 2
7 x 20 xy 3 y 2 3x 2 19 xy 20 y 2
Respuesta a los ejercicios impares anteriores 1. 9x
2 y3
4 xy 3
x6
1
3x
9. ; 3. ; 5. 5 4 ; 7. ; 11. 1 ; 13. ; 2y
2
9a x
27 4
x8
II. Efectuar las siguientes divisiones con fracciones:
2
1. 3
10 x
4x
17 a 2 b 3 51a 3b
15 45
56 63 27
2. 3. 4.
9 y 27 y 2
26 x 2
13 x 4
26 39
38 57 16
6a 2b3 15a 4b
4a 2b4 8a 4b9
x 3 y a 4 b3 b 2
5. 2 6
6. 4 2
7. 2 2 2 2 8x y 12 xy3
9 x y 27 x3 y 6
ab x y
y
4x
x
x x
x x
14 a 2 4b 2 b 6
2 2 10. 2
2
8.
3 9. 2
3
3x 3xy x y
x x x 2x 1
25b 10 a a
3
11. 2
3
3
2
x2 9
x2 6x 27
x2 2 x 8 x2 4 x 4
12. x2 2x 3 x2 10x 9
x 2 3x 4 x 2 6 x 8
x2 4x 12 x2 10 x 6
x2 3x 2 x2 6x 16
13. 2
14. 2
x 7 x 6 x2 7 x 8
x 5x 4 x2 x 20
12x2 35x 18 6x2 23x 18 4x2 19x 12
15. 2 x2 17 x 36 6x2 19 x 36 12 x2 11x 36
Respuesta e los ejercicios impares anteriores 15 y
3b 2
; 5. ; 7. a xy ; 9. 1. 1 ; 3. 5 a 2 xy 3
2x
2
15. 2
x2 9
4( x y)
; 11. ; 13. 1; ( x 3)2
3
(3x 2)(4x 3)
(2x 9)(3x 2)
97 III. Efectuar las siguientes fracciones complejas:
x2 x 2
x
x 8 x 16
2
3x 3
3 x 12
2. 2
2
2
2
x 3 x 2x 8
2 x 3 x 4 x 12 x 6 x 8
x 1
1.
1
x
2
x x 1
4. 6
4
2
1
x
x 2
7. 3 x
3. 1
6. x
9. x 1
11. 2
2
x
2
x 9x 1
4
2x
x
3 x
3x 2
1
1
1
x 3 x 1
1
1
x
2 x 1
2x 1
5. 3
8. x
3
9
1
x 4 1
2 x 5
10.
x 1
x 2
4 x x 4 x 4
9
33
3
11
7
12. 3 x 4
3 x 10
2x 1
2x 3
2x 1
2x 3
3 1
4
2 13. 2
1
3
7 3
14. 8 4 1
1
36 18
12 1
1
2
x
x
15. 11 3
4 2
x x
Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1. 5x 1
1
; 3. ; 5. 3 ; 7. x(3x 2) ; 9. ( x 2)(2x 1) x 1
( x 3)( x 4)
11. 4x 1
3
x4
; 13. ; 15.
14 x 2
4
4x 1 98 Competencia
EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes positivos, cero y negativos
Exponentes fraccionarios
Simplificación de radicales
Adición y sustracción de radicales
Multiplicación y división de radicales
3 Saberes 1. Exponentes enteros, negativos y cero
2. Exponentes fraccionarios
3. Operaciones con radicales
Ejercicios 1. A practicar los exponentes positivos, cero y negativos
2. A practicar los exponentes fraccionarios
3. A practicar los radicales
99 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Exponentes enteros, negativos y cero
No. 1
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
Mediante
adquirirá la
Manera didáctica
exposición y
habilidad para
de lograrlos
tareas
simplificar una
expresión que
contenga
exponentes
enteros, negativos
y cero
EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS, CERO Y NEGATIVOS
LEYES DE LOS EXPONENTES
Sea an = a . a . a … a ( n factores) La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el
exponente.
En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los
números racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo
recordaremos cinco leyes de los exponentes que
son validas para los
exponentes enteros positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden
ser cualquier números reales para los cuales no se anule ninguno de los
denominadores en consideración.
LEY I LEY II si si Ley III Ley IV 100 si Ley V 0 Ahora determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley
II ha de ser válida cuando m = n, tenemos
an nn 0
a a
an
a 0
Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero
cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1.
Esto nos conduce a definir el exponente cero de la siguiente manera:
Ley VI Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos
Ley VII Miscelánea de problemas resueltos
Ejemplo 1: 3 · 3
3
20
Ejemplo 3: 4 · 5
Ejemplo 5: 3
3
3
243 Ejempo 2: 3
1 Ejemplo 4: 3
3
3
3
3
729 1 Ejemplo 6: Ejemplo 7: 4
3
2
16
8
128
Ejemplo 8: 101 Ejemplo 9: Ejemplo 10: Ejemplo 11: 102 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A practicar los exponentes positivos, cero y negativos
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de
I.
los exponentes.
1. 22 . 23 2. (23)2 3. 4‐1 4. (‐ 4)0 5. (2a)0 6. 3‐3 7. 52 . 5‐3 8. (52)‐2 9. (2 . 3)‐2 10. (4‐2)‐2 11. (‐3)‐2 12. (3 . 8)0 1
7
1
13. 2
3
1
14. 15. (2 . 70)‐4 103 II. Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el
resultado sin exponentes negativos o nulos.
16. (2xy)‐2(3xy3) 19. 17. (x2y‐2)‐1(x3y0)2 a 2 b 1
a 2 b 2
20. 2
7x3 z
2 22.
3 yz 7 x
2
2
p 3 q 2
25. 0 1 2 r
28. 2 1 3 1
2 1
3 1 a 2 b 2
2 1 a 4 b
8 x y
23. 4 x y
4
5 3
3
6 3
p2q4
26.
1
pq
29. 18. (a b‐3)(a‐1b‐1)‐1 21.
5 2 a 2 b 3
10 1 a 0 b 2
10 xy
24. 5 x y
3 2
2
3
3
1
p 3q 0
27. 2 r
2 1 1 1
2 1 11
30. 3 1 5 1
3 1
x2 y 2
y 2
x 2 y 2
31. 1
32. 2
33. x y 1
x y 2
( xy )2 Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. 32 ; 3. 1
1
1
1
1
4 2
; 5. 1 ; 7. ; 9. ; 11. ; 13. 7 ; 15. ; 17. x y 4
5
36
9
16
3
2
8x
r
2a 2b 5
p6q4
1
; 23. 3 ; 25. 2 ; 27. 3 ; 29. 3 ; 31. 2
19. b ; 21. y
p
5
r
xy x 2 y
33. x y 2
2
104 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Exponentes fraccionarios
No. 2
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
exposición y
simplificar una
de lograrlos
tareas
expresión que
contenga
exponentes
fracciopnarios
EXPONENTES FRACCIONARIOS
En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos
los números racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes
fraccionarios, necesitamos considerar la siguiente definición.
Definición. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a
(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la nésima raíz de b.
De acuerdo con esta definición, las ecuaciones
22 = 4,
(-2)2 = 4,
33 = 27,
(-3)3 = -27
muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de
27.
Puesto que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse
cuántas raíces
n-ésimas tiene un número. Aunque la demostración aparece
posteriormente, enunciamos ahora que todo número no nulo tiene dos raíces
cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a y así sucesivamente.
Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico. Este
nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el
sistema de los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no
tiene raíz real de orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto
es cierto porque cualquier potencia par de un nuecero positivo o negativo es
número positivo. ahora deseamos concentrar nuestra atención solamente en los
105 números reales. Diferiremos para después, por tanto, la consideración de
números y raíces de números que son reales.
En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes
enunciados, pero sin demostración:
1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una
de ellas positiva y la otra negativa.
2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar,
siendo el signo de la raíz igual al signo del número.
3.Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.
Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de
a. Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a
es llamada la raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se
denota por n a . El símbolo n a es llamado un radical, a es llamado el
radicando y n es llamado el índice, u orden del radical. Estamos excluyendo de
nuestra consideración el caso en que el radicando es negativo y el índice es un
número par.
Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales
36 6, 3 8 2, 4 81 3, 5 32 2 Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero
ninguna es raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero
a se denota por n a . Por tanto, 4 81 3 .
Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n,
donde m es un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos
en primer lugar m = 1 y buscamos una interpretación de a1 n . Si la Ley III ha
de ser valida, tenemos
106 1n
En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de a es igual a a, o bien,
1n
que a es una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la
/
raíz principal de a, tenemos por definición
n-ésima
√
En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero
excluimos los valores negativos de
cuando n es par.
Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m 1, tenemos
√
y, además,
√
Resumiendo, tenemos la siguiente definición:
Si m/n es un número racional con n positivo, entonces
√
√
m
La forma n a m significa la n-ésima raíz principal de am, y la forma n a
significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada
forma el denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica
una potencia. Sin embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a
cualquier entero positivo y m representa a cualquier entero positivo o negativo.
Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros
positivos y estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las
definiciones para incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones
completas de las leyes de los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes
enteros de positivos, es puede demostrar que las leyes son validas para todos los
exponentes racionales.
Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos
demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos.
Así si m, n y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos
107 Ejemplo 1.
2
82 3 3 8 2 2 4
o también
8
√8
√64
4
Ejemplo 2.
813 4
1
81
4
3
1
1
.
3
27
3
Ejemplo 3.
323 5 5 32 23 8 .
3
Ejemplo 4.
x
53
y 3 4 x1 3 y 5 4 x 5 31 3 y 3 45 4 x 2 y 2 .
Ejemplo 5.
4a 4 3
2 3 2
b c
1 2
4 1 2 a 2 3 a 2 3b1 3
.
2c
b 1 3 c
108 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A practicar los exponentes fraccionarios
No. 2
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. Encuentre el valor de cada expresión.
1 2
1. 16
4.
7. 32
8
27
1 3
2. 4 5 2 23
45
4
9
3. 64
3 2
5.
14
16
81
6.
14
8. 5
4
1 4
9. 5
4
II.
Simplifique cada expresión, dejando los resultados sin exponentes
negativos o nulos.
10. x
13. 5
23 43
32
4 5 3 5
x 11. x
x
52 3 14. x
14
12. x
x1 6 2 3 4 3
x
2 1
15. x y
1
109
4
5 8
16. 2 y
1 3 4
17. x y
27 1 3 a 3 4 b 2 3
19. 1 2 1 4 1 2 16 a b
4
18. 93/ 2 a 1b 3 / 2
45 / 2 a 5 / 2b1/ 2
5
x1 2 y 3 5
4 3 2 x1 2 y 2 3
20. 0 2 5 21. 1 3 1 3 5 3 8 x y
x y
Respuesta a los ejercicios impares anteriores 1. 1
1
27
y
1/5
5/6
; 3. ; 5. ; 7. 16 ; 9. 5 ; 11. x ; 13. 5 ; 15. 2 ; 4
4
8
x
5/ 6
4x
3ab1/ 6
17. x y ; 19. ; 21. y
4
4 3
Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Operaciones con radicales
No. 3
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
habilidad para
Manera didáctica
exposición y
simplificar una
de lograrlos
tareas
expresión que
contenga
radicales, además
de realizar
operaciones con
radicales.
LEYES DE LOS RADICALES
De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de
radicales. Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia
inmediata de las leyes correspondientes para exponentes, que aparecen en la
columna de la derecha. en estas formulas imponemos la restricción de que c, m y
n sean enteros positivos, e imponemos la restricción d que a y b, sean tales que
110 no se anule dominador alguno y tales que ningún radical de orden par tenga
radicándoos positivos.
n
a
1n
1n n
a n
an n a a an
n
1n
ab n an b ab a1 nb1 n I. II. III.
n
a
b
n
n
a
a
b
b
1n
a1 n
b1 n
a n am acmcn am n cn cm
IV.
n m
V.
a nm a a1 m a1 mn 1n
VI.
n
am
q
ap
nq
a mq np a
mn
a p q amqnp / nq SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los
radicales, de los cuales los más comunes son:
1.Remover factores del radicando.
2. Remover el denominador de un radicando.
3.Expresar un radical dentro de un signo radical.
4.Incluir a un factor dentro de un signo radical.
Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a
cabo, y hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es
llamada racionalizando el denominador.
111 En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos
los números literales son positivos.
Ejemplo 1.
Simplifiquemos los radicales 75 a 3 b 2 y 3 8 x y . 7
Solución, 75a 3b 2 25a 2 b 2 3a
3
Ejemplo 2.
5ab2 3a 5ab
8 x y 3 2 3 x y x y 2x y
7
6
23
3a x y . Racionalicemos los denominadores de
b
2
y 3
5
2x 2
2
10
10
10 1
10 5
25
5
5
25
3
Ejemplo 3.
b
4bx 3 4bx 3 4bx
1 3
3
4bx . 2
3
3
2x
2x
2x
8x
8x 3
Reduzcamos el orden de los radicales
3
9
4
25 a 2 y 6 8x y 4
25a 2 4 5a 5a Solución, 6
2
8x 3 y 9 6 2xy3
3
2xy3 y 2xy . 112 Ejemplo
4.
Incluyamos el coeficiente de
2x 1
1
,
4x 2
con la potencia apropiada, dentro del signo radical.
Solución. 2x 1
1
1
4 x 2 1 2 4 x 2 1 . 2
4x
4x
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales
semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada
como un radical sencillo usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se
transforman en radicales equivalentes que son semejantes mediante las
simplificaciones pertinentes. Radicales que no se pueden expresar como
radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos un signo de ( + ),
pero su suma no puede escribirse como un radical único.
Ejemplo 1. √20
√45
4 5
√80
2√5
9 5
3√5
4√5
16 5 √5 Ejemplo 2.
2√18
6
6
2
√4
9 2
6
√2 2 3 2 2 4
2 . 113 Ejemplo 3.
√2
3 √16
√2 – 6 √2
√2
6 √2
Los radicales no semejantes
3
y
2a
√2 √2 2a no pueden combinarse en un
radical único.
Ejemplo 4.
a
b 1
1
1 1
ab
ab ab . b
a b
a
b a
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.
Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como
radicales equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá
ser el M.C.M. de los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical
puede elevarse (formula IV. Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el
exponente del radicando por el mismo entero positivo mayor que 1.
Ejemplo 1.
Multipliquemos 2 √2 por 5 √3
Solución. 2 3 2 a 53 3a 2 b 10 3 6 a 3 b 10 a 3 6b . Ejemplo 2.
Solución.
Encontremos el producto 2 3 3 5 4 3 5 . Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la
manera usual. 2√3
3√5 4√3
√5
8√9
2√15
12√15
3√25 114 8 3
10√15
3 5 9 10 15 . Ejemplo 3.
Encontramos el producto de 5 3 y 63 2 . Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es
el mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así, 5 3 6 3 2 30 6 3 3 6 2 2 30 6 3 3 2 2 30 6 108 En la multiplicación, los radicales de dos órdenes distintos deben ser primero
convertidos en radicales del mismo orden. Consideramos la división de dos
radicales como completa cuando el cociente no tenga radicales en el denominador
y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en su forma más simple. El
proceso de quitar radicales de un denominador es llamado racionalización del
denominador.
Ejemplo
Encontremos el cociente de √6 entre √5 . 4.
Solución. 6
5
6
65 1
30 , 5
55 5
o, alternativamente,
6
5
5
5
30 1
30 . 5
5
Ejemplo 5.
Encontramos el cociente de 6 √5
dividido por 2 2 .
Solución. 66 5 2 6 2 3 3 6
.
200 4
2
2 2 2 2
2
63 5
63 5
2
115 De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos
6 51 3 6 51 3 2 1 2 6 5 2 6 2 3 6 3 6 2 3 3 6
5 2
200 . 4
2
2
2 21 2 2 21 2 21 2
Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en
uno o ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y
divisor por expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos
a b es una expresión radical a – b. Por
que el producto de a b y
tanto, un factor de racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando
el signo de uno de los términos del divisor.
Ejemplo 6.
Dividamos 3 2 2 3 por 4 2 3 3 . Solución. 3 2 2 3
4 2 3 3
3 2 2 3 4 2 3 3 24 6 18 6 6
32 27
5
4 2 3 3 4 2 3 3
116 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
I.
A practicar con los radicales
No. 3
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más
simple.
2. 3 16 12 1. 4. 3 48x y 7. 10. 3
13. 3
2
4
2
3
3
4
2x
3y
4
5
4 5
6. 4 32 x y 5. 3 64x y 3
5a
9. 3
11. 4
2
27
12. 14. 3
b
2x 4
15. 4 3 4
4c
9y
8. 3. 20 a 4 b 2 8
9
2
3x 3
117 16. 4
3
17. 4 9 18. 4 81 x 4 8a3
6 9
8
4
19. 6 8x y 20. 6 81x y 21. 4
9
x2
II. Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del
signo radical.
23. 2
26. 3a
x2
3 25. 2x
24. 2 x y 4 x
4 x2
1 1
2 x5
a 3b3
; 27. 28. 2a
4 a2
9a
b a
III. Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de
los radicales repetidos como un radical único.
29. 3
3 30. 3
3
31. 2 16 a3 Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 2
2
1. 2 3 ; 3. 2a b 5 ; 5. 4xy 3 xy ; 7. 13. 23. 1
2
1
6 ; 9. 3 3 ; 11. 4 6 ; 3
3
3
1 3
1 4
1
18 xy 2 ; 15. 4bc ; 17. 3 ; 19. xy 2 y ; 21. 3x 2c
x
3y
12 ; 25. 4 x ; 27. 3ab ; 29. 6 3 ; 31. 26 2 IV. Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y
combine entonces todos los radicales semejantes.
1. 50 32 18 2. 75 27 12 3. 28 3 63 112 4. 20 2 75 4 12 5. 50 63 28 6. 1
1
2 2
8
2
118 1
1
3
12 27
3
7. 8. 3
3
5
5 60 5
3
9. 2 3 16 3 54 3 50 10. 3 16 3 81 3 54 11. 8 x 3 3 18 x
12. 4xy 16x y xy 13. 3x y 12x y 3 75x y 14. 3 2 ab 3 54 ab 4 3 16 a 4 b 4 15. 3 3a 2 3 24 a 5 b 3 3 81a 2 b 6 3
3
2
2x 4
6
3
16. 3 16 a 3 54 a 4 3 24 a 17. 3 2 ab 2 3 2 a 4 b 2 3 16 ab 5 18. 4
25a2 20a3 5a 19. 20. 3 2 a 4 4 4 a 6 6 6 8 a 3 21. 3a 2 4 9 a 2 6 27 a 3 x
1
2
2
2x
x
Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1. 4
2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2 5 7 ; 7. 2 3 ; 9. 7 3 2 3 50 ; 11. (2 x 8) 2 x 3
13. (2 x 2 x 15 x 3 y ) 3 y ; 15. (1 2ab 3b 2 ) 3a 2 ; 17. 19. a 3 ; 21. (1 a 2b ) 3 2 ab 2
x 3
2x 2x
V. Multiplique como se indica y simplifique el resultado.
1. 2 7 2. 2 7 28 3. 3 5 30 4. 18x y 2 xy
5. 3 6 3 9 6. 3 3a 3 4 a 2 7. 3 16 a 2 3 4 ab 8. 3 3 2 9. 2 3 3 10. 2 4 8 11. x 3 x 4 x 12. 2 3 2 3 3 2
3
119
13. 2 3 3 4 4 16. Encuentre el valor de x
17. Encuentre el valor de 2x
18. Encuentre el valor de x
15. 3 a 3 a 14. 2 3 4 2 3 3 2
2
6x 7 si x 3 2 2
x 1 si x 2 1 x 5 si 3 2 VI.. Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más
simple.
19. 63 7 20. 11 33 21. 7 x 2 28 x 22. 15 a 4 3a 23. 20 x 2 5 x 3 24. 3 108 3 4 25. 2 3 7 a 3 2 a 2 26. 3 15 x 4 3 4 x 27. 3 3 3 28. 3 9 3 30.
34. 15 35
5
7 5
7 5
29. ab 2 3 a 2 b 31. 1
3 5
35. 4 5 3
2 3 5
32. 1
3 2
36. 33. 3 7 2 2
2 7 3 2
2
5 2
Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1. 14 ; 3. 15 2 ; 5. 3 3 2 ; 7. 4a 3 b ; 9. 6 72 ; 11. x12 x 13. 2 3 3 ; 15. 9 a ; 17. 6 3
27. 6 3 ; 29. 1
a
6
2 ; 19. 3 ; 21. 1 x ; 23. 1 25. 1 3 28a 2 a 5 b 4 ; 31. 2
x a
3 5
5 2 2
9 15 26
35.
; 33. 4
23 7
120 Competencia
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
Explicar los algoritmos necesarios para resolver
una ecuación lineal
Problemas en palabras que se resuelven por medio
de una ecuación lineal o de primer grado
4 Saberes 1. Resolución de ecuaciones lineales en una variable
2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal
Ejercicios 1. A practicar las ecuaciones lineales
2. A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal
121 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Resolución de ecuaciones lineales en una variable
No. 1
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
Mediante
comprenderá los
Manera didáctica
exposición y
algoritmos
de lograrlos
tareas
necesarios para
resolver una
ecuación de
primer grado o
lineal.
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE
ECUACIÓN. El enunciado en que dos cantidades son iguales es llamado una
ecuación. La manera acostumbrada de escribir una ecuación es la de colocar el
símbolo (que se lee “es igual a”) entre las dos cantidades iguales. Una ecuación
tiene, entonces dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las ecuaciones
comprenden usualmente una o más letras que son vistas como variables o
incógnitas. Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos
miembros de la ecuación se dice que satisfacen a, o que son una solución de, la
ecuación. La totalidad de las soluciones es llamada el conjunto de soluciones.
Esto es una ecuación:
2x – 5
Primer miembro
=
x+3
Segundo miembro
Ejemplo de raíz o solución de una ecuación
Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación.
Así la raíz de
Porque:
3x – 9 = 5x – 23
es x = 7
3(7) – 9 = 5(7) – 23
12 = 12
122 7
De igual manera las raíces de
porque: 2
7 2
10
0
10
5
0
7 5
4 – 14 + 10 = 0
2 y
son
10
5
0
25 – 35 + 10 = 0
- 14 + 14 = 0
- 35 + 35 = 0
0=0
0=0
Ecuación Identidad
Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la
literal (o literales); es una igualdad absoluta.
Por ejemplo:
4
6
10
(para cualquier valor de
se cumple la
igualdad).
Ecuación Literal
Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están
representadas por letras.
Por ejemplo:
0.
OPERACIONES CON ECUACIONES
1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma
cantidad, la ecuación sigue siendo cierta.
2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la
ecuación sigue siendo cierta.
3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero
(excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta.
En esta sección resolveremos ecuaciones de la forma, o que son reducibles a la
forma
0 donde
representa a cualquier número y
a cualquier
número distinto de cero. Esta ecuación es de primer grado en y es llamada una
ecuación lineal.
123 Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación 4
4
10
4
2
2 .
1
2 Ecuación dada 10
1
2
2
1.5
6
10 sumando 2
10 9 reuniendo términos 1.5 dividiendo por 6 ó Verificación: Sustituimos
encontramos,
4
1
10
6
10
1.5 por
en cada miembro de la ecuación dada y
10
1
2
10
1
3 1.5 4 4
Ejemplo 2.
4
Resolver: 13 Multiplicamos por 2 ambos lados 2
4
8
5
Sumando
2
8 a ambos lados 5
8
2
3
Dividiendo entre 3 2
2
13 26 8
2
26
2
8 18 6 Verificación:
15
4
6
13
4
6
13
19
19
124 Transposición de términos
Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera
en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico.
Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro
respetando la siguiente regla:
Si el término esta sumando pasa restando
+ ‐ Si el término esta restando pasa sumando
‐ + Si el término multiplicando pasa dividiendo
X ÷ ÷ X Si el término esta dividiendo pasa multiplicando
A esto se le llama transposición de términos.
Intercambio de miembros
Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre
en el primer miembro de la ecuación:
Así, las ecuaciones 25 = 3x ‐ 4 y 12 = 2x + 3 Conviene escríbirlas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12 125 Cambio de signo
En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus
términos, lo que equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se
altera. Esto es de gran utilidad según se ve continuación:
Forma original
Forma preferible
‐2x + 5 = ‐ 25 2x – 5 = 25 ‐ 8x ‐ 3 = x – 6 8x + 3 = ‐x + 6 Ejemplo 3.
Comprobación:
7x – 5 = 3x – 25 7(‐5) ‐5 = 3(‐5) ‐25 7x – 3x = ‐25 + 5 ‐35 ‐5 = ‐15 ‐ 25 4x = ‐20 ‐40 = ‐40 x
20
4
x = ‐5 Ejemplo 4.
Resuelve:
Comprobación:
16x – 192 = 0 16 (12) – 192 = 0 16x = 192 192 ‐ 192 = 0 x
192
16
0 = 0 x = 12 126 Ejemplo 5.
Resuelve:
Comprobación:
X = 300+11x (‐30) = 300 + 11 (‐30) X ‐ 11x =300 ‐30 = 300 ‐ 330 ‐10x = 300 ‐30 = ‐30 10x = ‐300 x
300
10
X= ‐30 Ejemplo 6.
Resuelve:
comprobación:
2z + 96 = 15z – 8 ‐ 5z 2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13) 2z + 96 = 10z – 8 26 + 96 = 195 – 8 ‐ 65 2z ‐ 10z= ‐8 – 96 122 = 122 ‐8z = ‐104 8z = 104 z
104
8
Z = 13 127 Ejemplo 7.
Resuelve:
comprobación:
5c – 9 + c = 2c – 73 5(‐16) – 9 + (‐16) = 2(‐16) ‐73 6c – 9 = 2c – 73 ‐80 – 9 – 16 = ‐32 ‐ 73 6c ‐ 2c = ‐ 73 + 9 105 = 105 4c = ‐64 c
64
4
C = ‐16 Ejemplo 8.
Resuelve:
Comprobación:
y – 2 = ‐5(39 ‐ y)‐ 3 49 ‐ 2 = ‐5 (39‐49) ‐3 y – 2 = ‐195 + 5y ‐ 3 47 = ‐5 (‐10) ‐3 y – 2 = ‐ 198 + 5y 47 = 50 ‐ 3 y‐ 5y = ‐ 198 + 2 47 = 47 ‐4y = ‐196 4y = 196 y
196
4
y=49 128 Ejemplo 9.
Resuelve:
Comprobación:
84 ‐ 19y = ‐ 7 (60 + y) 84 – 19 (42) = ‐7 (60+42) 84 ‐ 19y = ‐ 420 ‐ 7y 84 – 798 = ‐7 (102) ‐19y + 7y = ‐ 420 – 84 ‐714 = ‐714 ‐12y = 504 y
504
12
y = 42 Ejemplo 10.
Resuelve:
comprobación:
5(4x ‐ 7) ‐ (3x ‐ 1) 2 = ‐5 5 (4 (2) – 7) ‐ (3 (2 ) – 1) 2 = ‐5 20x – 35 ‐ 6x + 2 = ‐5 5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = ‐5 14x – 33 = ‐5 5(1) – 2(5) = ‐5 14x = 28 5 ‐ 10 = ‐5 ‐5 = ‐5 2 129 ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia
que tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el
m.c.m. de los denominadores.
Ejemplo 11. Resuelve la siguiente ecuación:
3x
3x
m.c.m. de 4 y 5 = 20 35 100
4
5
3x
3x
20 35 20 100 Comprobación:
5
4
15x – 700 = 2000 – 12x 3*100
3*100
35 100
4
5
15x + 12x = 2000 + 700 75 – 35 = 100 ‐60 27x = 2700 40 40 X = 100 Ejemplo 12. Resolver la siguiente ecuación:
x 5x
3x
m.c.m. de 2,7 y 4 = 28
54
2 7
4
3x
x 5x
28 54 Comprobación:
4
2 7
28
14x – 20x = ‐1512 + 21x 56 5 *56
3*56
54
2
7
4
15x ‐ 20x ‐ 21x = ‐1512 28 – 40 = ‐54 + 42 ‐27x = ‐1512 ‐12 ‐12 X= ‐1512/‐27 X = 56 130 Resolver la ecuación Ejemplo 13.
El m.c.m. de 5, 4 y 2 es
20
20
20
4 3
2
5 2
12
8
10
7
2
que resulta, 10 1
5
10 7/2 Ejemplo 14.
Resolvamos la ecuación para
3
2
3
2
para
.
4 reuniendo términos 5
4 factorizando 5
Ejemplo 15. Resolver la ecuación: 3
Solución: 9
12
9
6
8
6
9
8
2 3
12
9
4
2
6 6 Desarrollando productos 4
12
3
4
6 Quitando paréntesis 18
18 Simplificando términos 1 131 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A practicar con las ecuaciones lineales
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I. Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una.
1. 8 x 8 x 4 5 x 2. 720 x 2157 x 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 7 x 2 9 x 6 4 x 3 12. 12 m 22 3m 2 m 13 13. 2(7x 8) 7(2 x) 26 14. 15. 3(7 2x) 11 4(2x 3) 16. 9( x 1) 7(3 x) 38 0 17. 5(8x 3) 3 2(4x 3) 18. 6x 17 13( x 1) 4 132 19. (5 x)(2 x) x( x 3) 0 20. 4(4x 3) 3(7 6x) 16x 21. 3x 1 2 x 2
x 1 1 x
22. 2 6
3 3
3 4 3 4
23. 3x 4 x 1
5x 1 2x 1
24. 4 3 2 3
4 12
3 2
25. 3x 1 2 x
x x5
1
6 26.
6
3
4
8
27. 3x 1 2 x 3
x 4 2x 3 1
1 28.
2
3
3
4
12 30. 29. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 3 38. 2 39. 1 40. 41. 42. 43. 0.08 (x + 20) – 0.03x = 2.4 44. 0.08x – 0.03(21,000 –x) = 800 45. 0.07 12,000
47. 0.25
49. 2
51. 0.08
600 46. 0.06 60,000
0.1 12,000
3 2
2 4
5
1
375 48. 0.05
2
2
1
3
0 50. 3
8 52. 2
0.08
0.06
4 4
3
520 20,000
3
2
1080 3 2
3
5
19 6 133 Respuesta a los ejercicios impares: 1
9
; 11
21
43) ; 13
1; 23
6;
33
3; 3
4; 25
35
2;
16; 45) 2; 5
1; 7
4; 15
1; 17
5; 27
37
;
1600; 47
3; 29
39
7;
4500; 49) ; 19
; 5; 31
2 41
5 2; 51
1 II.
Subraya la respuesta de cada una de las siguientes preguntas:
1.
A)
El valor de
5 B) al resolver la ecuación 5
4 C) 6
5 D) 31 es: 6 6
6 20 8 el valor de
2. Al resolver la ecuación 11
A)
1 B) 2 C) 3 D) 4 3
8 es: 3. El valor de en la ecuación 13 3 4
A)
1 B) 3 C) 2 D) 1 es: 4. La solución de la ecuación 2 3
A)
1 B) 5 C) 1
11
8
2 D) es: 3 134 5. La solución de la ecuación 10
2 B) A)
5
18
7
3 es: 5
3 D) C) 6. El valor de
en la ecuación 4
1 B) A)
C) 3 3
2
6
7 2
1 D) 5
2 7. El valor de
en la ecuación 3 B) A)
1 C) 9
13 es: 1
6 D) 4 8. El valor de
en la ecuación 1/2 B) A)
3/4 C) 8/5 D) 5/3 9. Resuélvase la siguiente ecuación para " " : A) 1/8 B) 2/3 C) 1/4 D) 2/3 10.
A)
Resuélvase para " " la siguiente ecuación: 3/2 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/2 135 rucigrama algebraico III.
Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás
que resolver 17 ecuaciones de primer grado.
¡Anímate!
Verticales
1) 3x + 2 = 32
2) x/5 = 16
3) 2x + 8 = 440
5) 2x - 9 = x + 18
8) 9x + 9 = 900
9) ¼ x - 2 = 250
13) x/3 - 11 = x - 233
15) x + 5 = 2x - 80
Horizontales
3) 7x – 4 = 171
4) 8x – 920 = 7,080
6) ½ x + 8 = 88
7) 5x = 35,745
10) 4x – 4 = 3x + 6
11) 5/2 x + 40 = 500
12) x/9 – 43 = 1,000
14) x/7 – 5 = 0
16) 5x – 4x + 3x + 8 = 8
¿Qué tal, resultó divertido?
136 IV.
Con el perímetro dado, encontrar el valor de la incógnita. i. Hallar el valor de
cm
si el perímetro del rectángulo es 38
1 3
ii. Si el perímetro del cuadrado es 68 cm, hallar el valor de .
4
1 iii. Si el perímetro del triángulo isósceles es de 29 cm, hallar
el valor de .
3
2 2
1 137 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Problemas en palabras que dan lugar a una
No. 2
ecuación lineal
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
exposición y
plantear una
de lograrlos
tareas
ecuación lineal
que resuelva un
problema práctico
en un contexto
determinado.
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN PALABRAS CON EL USO DE ECUACIONES
LINEALES EN UNA VARIABLE
Los problemas planteados con palabras son enunciados que exprersan relaciones
entre cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema
a una ecuación algebraica que pueda resolverse por medios conocidos.
Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:
1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable.
2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de
la misma variable.
3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una
ecuación algebraica.
4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras
cantidades requeridas.
5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras,
no en la ecuación.
Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus
equivalentes algebraicos:
1. Un número aumentado en 5.
138 2. Un número disminuido en 7
7
3. Un número supera en 4 a otro
Primer número
segundo número
4
4. Un número es 2 unidades menor que otro
Primer número
segundo número
2
5. La suma de dos números es 30
Primer número
segundo número
30
6. Tres enteros consecutivos
Primer número
segundo número
1
tercer número
2
7. Tres enteros impares consecutivos
Primer número
segundo número
2
tercer número
4
8. Tres enteros pares consecutivos
Primer número
segundo número
2
tercer número
4
9. Un número es la mitad de un segundo número
Primer número
segundo número
139 10. Un número es el triple del otro
Primer número
Segundo número
3
11. Un número es cuatro unidades menos que el doble de un segundo número
Primer número
2
Segundo número
4
12. Un número supera en 6 al triple de un segundo número
Primer número
3
Segundo número
6
13. El número
6
14. El número
10
supera en 6 al número b.
6
o bien
es 10 unidades menor que el número b
10
o bien
15. Un 6% de impuesto sobre
Impuesto = 6%
6
o
16. Un descuento se 15% sobre
15%
17. El valor en dólares de
Valor = 5
dolares.
dolares
15
o bien
billetes de cinco dólares:
$5
18. La cantidad de plata contenida en
libras de una aleación de plata al 6%.
Cantidad de plata = 6% libras
19. La cantidad de alcohol en
5 galones de una solución de alcohol al
80%.
140 Cantidad de alcohol = 80%
20. Si Roberto puede caminar
5 galones
millas por hora, ¿qué distancia recorrerá en 3
horas?
En problemas de velocidad usaremos la fórmula
la distancia
nos dá
que al despejar
, por lo tanto el problema queda:
millas
21. Si Lorena conduce a 55 millas por hora, ¿Qué distancia puede recorrer en
horas?
Distancia =
22. Rafael puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas
por hora ¿Cuánto demorará en recorrer
millas?
Tiempo =
23. La anchura de un rectángulo es de
pies. ¿Cuál es el perímetro si la
longitud es el doble de su anchura?
Anchura
Longitud
Perímetro = 2 veces el ancho + 2 veces el largo
Perímetro =2
2 2
2
4
141 24. La anchura de un rectángulo es de
pies. ¿Cuál es el área del rectángulo
si su longitud mide 4 pies más que su anchura?
Anchura
Longitud
4 pies
pies
Área =
4 pies cuadrados
EJEMPLO 1
Pedro tiene un trabajo en donde gana $150,000 anuales, que incluye un bono de
$12,000 al final del año. Si recibe un pago quincenal, ¿Cuál es el ingreso bruto en
cada cheque?
Con palabras ¿Qué conoces? Ingreso por año= 24 pagos + bono Ingreso por año= $150,000 Bono = $12,000 ¿Qué quieres? Cantidad en cada cheque = x Ecuación Solución 150,000 = 24x + 12,000 Despejamos el valor de x de la ecuación anterior, 150,000 12,000
24
$5,750. El ingreso por cada cheque es de $5,750 142 EJEMPLO 2
Enrique invitó al Cinépolis a su esposa y durante la función compraron dos
refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $25 cada una. Si Roberto
gastó $90 en total, ¿cuánto costó cada refresco?
Con palabras ¿Qué conoces? Gasto total = 2 bolsas de palomitas de $25 cada una + 2 refrescos Gasto total = $90 Costo de las palomitas = (2)($25) = $50 ¿Qué quieres? Precio de cada refresco = x Ecuación $90 = $50 + 2x Solución Despejando x, tenemos: 90
50
2
$20.00 Cada refresco costo $20.00 143 EJEMPLO 3
Karla invierte $120,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le
pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de
$6,800 al año, ¿cuánto dinero esta invertido en cada una de las cuentas?
Con palabras Interés total generado por $120,000 dividido en dos cuentas. ¿Qué conoces? Dinero invertido = $120,000 Tasa de interés de una cuenta = 6% Tasa de interés de la otra cuenta = 5% Interés total recibido = $6,800 ¿Qué quieres? Cantidad invertida al 6% = x Cantidad invertida al 5% = $120,000 ‐‐ x Ecuación 0.06x + 0.05 (120,000 – x) = 6,800 Solución 0.06
6000
0.05
0.01
6000
6800 0.01
6800
6000
800
0.01
120,000
6800 800 80,000 120,000
80,000
40,000 Silvia ha invertido $80,000 al 6% y $40,000 al 5%. 144 EJEMPLO 4
Un albañil puede hacer una obra en 4 días y otro en 5 días, ¿en cuánto tiempo
terminaran la obra juntos?
Con palabras ¿Qué conoces? Tiempo total de la obra = Tiempo empleado por los albañiles trabajando juntos. Tiempo del albañil 1 = 4 días Tiempo del albañil 2 = 5 días ¿Qué quieres? Tiempo total de la obra = x Ecuación El ritmo de trabajo de un albañil es de del otro Solución y el , por lo tanto, entre ambos 5
terminan el 100% de la obra en 4
5
4
5
4
1 20 2.222 días 1 El tiempo total para terminar la obra entre ambos albañiles es de 2.222 días. 145 EJEMPLO 5
Un automóvil recorre una distancia del D.F. a Acapulco a una velocidad promedio
de 120 Km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 Km/hr. Si todo el
recorrido tomo 7horas. ¿cuál es la distancia del D.F. a Acapulco?
Con palabras Tiempo total del viaje = Tiempo de ida + tiempo de regreso ¿Qué conoces? Velocidad promedio de ida = 120 Km/hr Velocidad promedio de regreso = 90 Km/hr Tiempo total del viaje = 7 hrs ¿Qué quieres? Distancia del D.F. a Acapulco = x Ecuación La relación de velocidad es tiempo t es Solución , entonces el , luego, el tiempo de ida es y el de regreso . Por lo tanto, 120
90
120
75,600
210
7 90
120
90
7 75,600 360
. La distancia del D.F. a Acapulco es de 360 Kms. 146 MÁS PROBLEMAS RESUELTOS
Problemas que se refieren a números
1. Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48?
Primer número: x
Segundo numero: x + 1
Tercer número: x + 2
Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48
x + x + 1 + x + 2 = 48
3x + 3 = 48
Los tres números
3x = 48 – 3
son 15, 16 y 17.
3x = 45
x = 45 / 3
x = 15
2. Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a
condición:
X + 20 = 3x
X – 3x = -20
-2x = -20
2x = 20
por lo tanto x = 10
147 3. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él.
Encontrar el número.
Solución
Sea el número =
7
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 6, obtenemos
2
42
3
42
El número es 42.
4. Un número es el quíntuplo de otro. La suma de ambos es 90. Determinar
los dos números.
primer némero
Solución
segundo número
5
5
90
6
90
Primer número = 5
15
15
Segundo número = 15
75
5. Hallar dos números cuya suma sea 27 y que el séxtuplo del menor supere
en 9 unidades al triple del mayor.
Número menor
Solución:
Número mayor
27
6
3 27
3
9
6
81
9
9
90
Número menor = 10
10
Número mayor = 27-10 = 17
148 6. Encontrar dos enteros pares consecutivos tales que el cuádruplo del mayor
sea 8 unidades menos que el quíntuplo del menor.
primer entero par
Solución
segundo entero par
2
4
2
4
8
8
8
5
5
Primer entero par = 16
16
Segundo entero par = 16 + 2 = 18
7. La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero
y el tercero supera en tres al segundo. Encontrar los números.
Solución
Primer número
Segundo número
Tercer número
2
2
2
3
5
2
3
63
3
5
63
Primer número = 12
60
Segundo número = 2
12
Tercer número = 24 + 3 = 27
12
24
149 Problemas de porcentaje
A veces la relación entre dos números se expresa como un porcentaje. Tanto por
ciento significa “por cada cien” y se representa por el símbolo %. De esta manera
%
Para determinar qué tanto por ciento es un número de otro, se divide el
primer número entre el segundo, se multiplioca el cociente por 100% y se
simplifica.
Obsérvese que 100 % = 100
1. ¿Qué tanto por ciento es 24 de 40?
Solución
2. ¿Qué tanto por ciento es 238 de 350?
Solución
Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por
100% y se simplifica.
150 3. Escribir 4 como un tanto por ciento
4
4. Expresar
Solución
4 100%
400%
como un tanto por ciento.
100%
%
64
%
64.04%
Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de
tanto por ciento a
, luego se multiplica pór el número y se simplifica.
5. ¿Cuál es el 70% de 48 ?
Solución
70%
6. ¿A qué es igual el 9 %
Solución
9 % 360
48
70
48
33.6
360 ?
9
360
360
33.3
La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con
porcentajes. En esta sección tratamos problemas de negocios.
Cuando se realizan depósitos de dinero en un banco, la cantidad que se
deposita se llama capital o principal y se denota por P.
La tasa de interés anual se denota por .
El interés que se recibe está representado por .
El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de
interés.
La fórmula anterior es útil en la solución de problemas de tanto por ciento.
151 7. El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360
dólares. Si se ofrece en venta de $297, ¿cuál es el porcentaje de
reducción?
Solución
Reducción de precio = 360 – 297 = 63.
100%
Porcentaje de reducción =
%
17.5%
8. ¿A qué es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de
impuesto es de 6 % ?
Impuesto = 6 % 540
Solución
540
$35.10
9. ¿En cuánto se venderá un refrigerador si el precio marcado es de $760 y la
tienda ofrece un 12% de descuento?
Descuento = 12% 760
Solución
$91.20
Precio de venta = 760 – 91.20 = $668.80
10. Al Sr. Noble le costó $17,466 comprar un coche, incluido un 6.5% de
impuesto de venta. ¿Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar
el impuesto?
Solución
Sea el precio de venta del coche sin impuesto =
Impuesto = 6.5%
Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total
6.5%
17,466
17,466
1000
65
1065
17,466,000
(Se multiplica por 1000)
17,466,000
16,400
Precio de venta sin impuesto $16,400
152 11. El precio de venta de una caja fuerte es de $350 luego de aplicar un 30%
de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la caja fuerte?
Sea el precio regular =
Solución
Descuento = 30%
El precio de venta es igual al precio regular menos el descuento
30%
350
350
100
30
(Se multiplica por 100)
35,000
70
35,000
500
Precio regular de la caja fuerte = $500
Definición
Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un
artículo para determinar el precio de venta de tal artículo. El margen de utilidad se
expresa normalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta.
12. Un radio costó $80. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es
del 20% de dicho precio?
Solución Sea
el costo cuando el margen de utilidad se calculo sobre el
costo, pero si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, éste se
denota por .
Sea el precio de venta =
Margen de utilidad = 20%
El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo.
20%
80
80
100
20
80
(Se multiplica por 100)
8000
8000
100
Precio de venta $100
153 13. El precio de venta de un equipo de tiro es de $584. ¿Cuál es el costo si la
utilidad es del 25% del mismo?
Sea el costo =
Solución
Utilidad = 25%
Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta.
25%
584
584
100
25
58,400
125
58,400
(Se multiplicac por 100)
467.20
Costo = $467.20
14. Dos sumas de dinero que totalizan $20,000 ganan, respectivamentye, 5% y
6% de interés anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $1080.
Primera cantidad
Solución
Segunda cantidad
20,000
Capital
Tasa
5%
Interés
5%
5%
6%
6%
6% 20,000
20,000
5
6 20,000
5
120,000
1080
1080
(Se multiplica por 100)
108,000
6
108,000
12,000
Cantidad invertida al 5% = $12,000
Cantidad invertida al 6% = $8,000
154 15. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las
inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo una pérdida de
12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada
inversión?
Primera inversión
Solución
Segunda inversión
10,000
Ganancia de 10%
Pérdida de 12%
Cantidad ganada = 10%
Cantidad perdida = 12% 10,000
Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a perdida neta.
12% 10,000
10%
540
10,000
540 (Se multiplica por 100)
12 10,000
120,000
10
12
10
54,000
54,000
3000
Primera inversión = $3000
Segunda inversión = $7000
16. El interés anual producido por $24,000 supera en $156 al producido por
$17,000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. ¿Cuál es la tasa anual
de interés aplicada a cada cantidad?
Solución
Capital
Tasa
24,000 %
17,000
$24,000
$17,000
%
1.8 %
1.8%
156
(Se multiplica por 100)
155 Las tasas de interés son 6.6% y 8.4%
Prolemas de mezclas
1. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de
sal al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal?
Solución
Una solución de sal al 8% significa que el 8% es ésta es
sal y el 92% agua.
Dicha cantidad en la solución original más la cantidad en el agua
agregada debe ser igual a la cantidad de sal en la solución final.
Cantidad original
Cantidad agregada
Cantidad final
6 litros
(Se multiplica por 100)
Deben agregarse 3.6 litros
156 2. ¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe
mezclar con 5 litros de otro liquido que contiene 90% de alcohol, se
desea una mezcla de 84% de alcohol?
Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x
Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x
Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5
Numero de litros en la mezcla = x + 5
Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5)
0.74x + 4.5 = 0.84( x+5)
0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2
0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5
- 0.10x = -0.3
x
0.3
0.10
x = 3 litros.
3. Un hombre mezcló 48 onzas de una solución de yodo al 4% con 40
onzas de una solución al 15% de la misma sustancia. ¿Cuál es el
porcentaje de yodo en la mezcla.
Solución
Consideremos la cantidad de yodo en la solución
Primera solución
Segunda solución
48 onzas
40 onzas
4% de yodo
4% 48
15% de yodo
15% 40
Mezcla
88 onzas
% de yodo
% 88
157 48
40
4 48
15 40
192
(88)
(Se multiplica por 100)
88
600
88
792
88
9
La mezcla es una solución al 9% de yodo
4. Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% contra otra al 72% para
producir una aleación de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la
aleación al 48% que de la aleación al 72%, ¿Cuántas libras hay en la
aleación total?
20
Solución
2
48%
48%
20
48
48
72%
72%
57% 2
20
20
72
57 2
20
960
72
114
1140
6
180
20
57%
(Se multiplica por 100)
30
El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras
158 Problemas de valor monetario
1. Elena tiene $4.45 en monedas de 10¢ y 25¢. Si dispone en total de 28
monedas, ¿Cuántas tiene de cada clase?
Solución
Monedas de 10¢
Monedas de 25¢
monedas
La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de
dinero
(Nota: 445, no 4.45)
Número de monedas de
= 17
Número de monedas de
2. Ramona compró $10.60 dólares de estampillas de
total de 52 estampillas. Si la cantidad de estampillas de
el cuádruplo de la de
con un
que compró es
, ¿Cuántas estampillas de cada clase compró?
159 Solución
10¢
25¢
15¢
52
5
4
estampillas
La suma de los valores de las clases individuales de estampillas es igual a
la cantidad total.
10
15 52
5
780
75
25 4
1060
(Nota: 1060, no
10.60)
10
100
1060
35
280
8
Número de estampillas de 10¢ = 8
Número de estampillas de 15¢ = 52 – 5(8) = 12
Número de estampillsa de 25¢ = 4(8) = 32
3. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de 189¢ la libra y otra
de 129¢. Si la combinación pesa 450 libras y se vende a 145¢ cada una,
¿Cuántas libras de cada clase forman la mezcla?
Solución
189¢ por libra
129¢ por libra
libras
145¢ por libra
libras
La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la
mezcla
189
189
129 450
58,050
450 145
129
62,250
60
7200
120
Número de libras a 189¢
120
Número de libras a 129¢
330
160 Problemas de Movimiento
La distancia recorrida, en kilómetros, es igual al producto de la velocidad, en
kilómetros por hora, por el tiempo, en horas. En símbolos,
1. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 km entre sí y
cuyas velocidades difieren en 5 km por hora, se dirigen el uno hacia el otro.
Se encontrarán dentro de 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada
automóvil?
Primer auto
Solución
Segundo auto
Velocidad
Tiempo
Distancia
Las sumas de las distancias recorridas es igual a 375 kilómetros
Velocidad del primer auto
; velocidad segundo auto
161 2. Dos automóviles
parten de un mismo lugar y viajan en direcciones
opuestas. El primer automóvil hace un promedio de 55 km por hora,
mientras el segundo tiene uno de 65 km por hora. ¿En cuántas horas se
encontrarán a 720 kilómetros entre sí?
Primer auto
Solución
Segundo auto
Velocidad
55 km/h
65 km/h
Tiempo
x hr
x hr
Distancia
55
65
La suma de las distancias recorridas es igual a 720 kilómetros.
55
65
720
120
720
6
6
Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 kms entre sí
3. Un avión de reacción que vuela a una velocidad de 650 kms por hora va a
alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas y está volando a una
velocidad de 400 kms por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar
el segundo?
Primer avión
Solución
400
650
Velocidad
Segundo avión
4
Tiempo
650
Distancia
400
4
El primer avión alcamzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la misma
distancia
650
400
4
650
400
1600
162 250
1600
6
, o 6
El tiempo requerido es 6
, 24
Problemas de Geometría
El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado.
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitus de su lado.
El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base más el doble de su
altura.
El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura.
Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°.
1. La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, y el
perímetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo.
Solución
Véase la figura de este problema
Altura
2
2
2
2 2
4
2
Base
6
6
3
3
3
42
42
48
8
Altura del rectángulo = 8 pies; Base del rectángulo
2 8
3
13 pies
163 2.
La base de una pintura rectangular es 8 pulgadas menor que el doble se
su altura. Si el marco tiene 4 pulgadas de ancho y un área de 816 pulgadas
cuadradas, hallar las dimensiones de la pintura sin el marco.
Solución
Véase la figura de este problema.
Altura
Base
.
Sin marco
8
Con marco
2
.
8
Área
.
2
2
2
x
8
8
x+8
2x-8
2x
El área de la pintura incluyendo el marco, menos el área de la pintura sin
este último,
es igual al área del marco.
2
8
2
16
2
2
8
8
816
816
24
816
34
Altura de la pintura = 34 pulgada
Base de la pintura = 2(34) – 8 = 60 pulgadas
164 3. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el área
del triángulo si su base es 8 pies menos que el doble de su altura.
Base
Solución
Altura
2
8
2
8
2
28
8
28
3
36
12
2 12
8
16
12
16 12
Á
96
Problemas en donde se realiza un trabajo
1. La persona A puede hacer cierto trabajo en 8 hr, la persona B en 10 hr,
y la persona C en 12 hr. ¿Cuánto tiempo tomará efectuar el trabajo si A
y B se ponen a trabajar durante 1 hr y A y C terminan después?
Solución: Las partes del trabajo que realizan en una hora A, B y C son
1
8,
1
10 ,
1
12, respectivamente. La contribución de cada trabajador
es la parte que hace en una hora multiplicada por el número de horas
que trabaja. Si designamos con
el número total de horas requeridas
165 para hacer el trabajo, entonces A trabaja
trabaja
horas, B trabaja 1 hora y C
1 hr. Por tanto,
= parte del trabajo hecho por A
= Parte del trabajo hecho por B
= Parte del trabajo hecha por C
El trabajo total se completa sumando estas partes y, por tanto;
1
15
12
10
10
120
25
118
4
Por lo tanto, requerido es 4
hr.
hr.
2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos
por la primera, en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la
tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el recipiente las 3 llaves juntas?
Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x
La primera llena en x minutos:
1
x
* (x) =
30
30
La segunda llena en x minutos
1
x
*(x) =
20
20
La tercera llena en x minutos:
1
x
*(x) =
40
40
166 Condición:
x
30
+
x
20
+
x
40
=1
(Se iguala a 1 porque se realiza un
trabajo)
4x + 6x + 3x = 120
13x = 120
9.23
167 RALACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA FUNCIÓN LINEAL Hay ecuaciones lineales que únicamente depende de una incógnita; se les conoce como ecuaciones lineales con una incógnita 2
5
2 y con tres 3
5
11 . Las ecuaciones de primer grado tienen incógnitas elevadas a la potencia 1 y no se multiplican por factor; si sucediera esto se convertirían en ecuaciones de segundo grado. EJEMPLO Una compañía de telefonía móvil define un costo de $4 por minuto de llamada. Establezcamos una expresión matemática para esta situación. SOLUCIÓN a. Datos Costo de la llamada: $4 por minuto. El siguiente cuadro presenta pares ordenados y puedes reconocer que los minutos están relacionados con el incremento del costo. PRECIO DE LAS LLAMADAS Referencia Al minuto 0 el costo es $0. Al minuto 1 el costo es $4. Al minuto 2 es costo es $8. Al minuto 3 el costo es $12. … Al minuto x el costo se representa con la ecuación: y=4x. Minutos (x) 0 1 2 3 … x Costo (y) 4(0)= 0 4(1)= 4 4(2)= 8 4(3)= 12 … 4x b. Análisis La ecuación 4 muestra dos variables: y es el costo total y x es el número de minutos. La combinación de ambas describe la relación existente entre el costo y el tiempo en minutos cuando se habla por el teléfono móvil. Su representación gráfica se muestra a continuación. 168 Como puedes ver en la grafica de la página anterior se define una recta creciente, y esto quiere decir que cuanto más hable el usuario, mayor será el costo. En la gráfica se nota que existe el conjunto de números en y el conjunto de números en . A la variable , denominada dependiente, la podemos representar con
, es decir . A cada elemento del conjunto de números en le corresponde uno y sólo uno del conjunto de números en . Cuando una relación de pares ordenados se rige por estas condiciones se conoce como función. Comprueba qué efecto tendría la gráfica si un elemento estuviera relacionado al mismo tiempo con dos o más números. Al primer conjunto (minutos) lo denominamos dominio de la función. Cada uno de los elementos del dominio de la función tiene una imagen en el segundo conjunto (costo). Al conjunto de todas las imágenes se le llama rango o contradominio de la función. c. Síntesis Interpretativa En este caso se formaron las parejas: (0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12),…, , . La variable es cualquier número natural que represente el número de minutos, y es cualquier número natural que represente el costo. Veamos una representación gráfica de esta correspondencia. 169 0 0
1 1
2 2
3 3
Dominio Imagen o contradominio Una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números, de manera que a cada valor del primer conjunto o dominio le corresponde un único valor del segundo conjunto (o ninguno), que llamamos imagen o contradominio. Una forma de interpretar una función es como si fuera una fábrica: la materia prima es el dominio que pasa a través de la fábrica y entrega un producto (rango). 0
3 2
1
2
√2 1
2
√2 5
25
Si consideramos la correspondencia de los pares ordenados (5, 25), (‐3, 2), (5, 0), (1/2, 2 , (√2, ½), podemos reconocer que un valor del dominio se relaciona más de una vez con elementos del contradominio (5, 25) y (5, 0). En estas condiciones no se habla de función, sino de relación. 170 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
Resolver
A resolver problemas en palabras por medio de una
No. 2
ecuación lineal
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Manera
Orden
Ejercicios y tareas sobre el
Responsabilidad didáctica de
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
los siguientes problemas en palabras:
A) Problemas que se refieren a números
1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine el número
2. Cuando se resta 11 de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el
número.
3. Si al doble de un número se le aumenta 7, resulta 35. Halle el número.
4. El triple de un número disminuido en 19 es 53. Determine el número.
5. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo.
Encuentre el número.
6. Si a siete tantos de un número se le suma 6, resulta el número
aumentado en 24. Obtenga el número.
7. El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿Cuál será el
número?
171 8. Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de él en tres
unidades. Encuentre el número.
9. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro.
Obtenga ambos.
10. Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es
29.
11. Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma
es 280.
12. Un número es
de otro número y la suma de ambos es 126. Encuentre
los números.
13. Un número es
de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos.
14. La suma de dos números es 48. El cuádruplo del menor es igual al
doble del mayor. Encuentre los números.
15. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el
cuádruplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor.
16. La mitad de un entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si
su suma es 27.
17. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor
es igual a un quinto del mayor.
18. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, y el
tercero es 4 menos que el primero. Hállelos.
19. La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero, y el
tercero es el triple del primero. Obtenga los números.
20. Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el
segundo supere en 20 al tercero.
21. Encuentre tres enteros consecutivos tales que la suma del segundo y el
tercero sea 9 unidades menor que el triple del primero.
Respuesta de los impares: 1) 6 ; 3) 14; 5) 15; 7) 60; 9) 18,6; 11) 120,160 13)92,138 15) 8,11; 17) 20,16; 19) 13,26,39; 21) 12,13,14 172 B) Problemas de porcentaje
1. Cierto automóvil se vendió en $16,000 dólares hace dos años. El mismo
modelo se vende este año en $18,000. ¿Cuál es el porcentaje de
aumento en el precio de compra?
2. Margarita obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320
posibles. ¿Cuál es su calificación porcentual?
3. El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dólares en el año
presente. Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, ¿cuál
es el porcentaje de aumento del precio por libra?
4. Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el
consumo de cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones, ¿qué
porcentaje de la asignación no se consume?
5. Mirna gasta $75 dólares a la semana en alimentos. ¿Cuánto deberá
gastar a la semana si su precio aumenta 8%?
6. Mauricio gana $2100 dólares al mes. ¿Cuánto ganará mensualmente si
su salario se incrementa 6%?
7. El ingreso bruto de una empresa es de $450,000. ¿Cuál es el nuevo
ingreso si las ventas aumentan 12%?
8. Una casa se vendió en $168,500 dólares. ¿Cuánto recibe el propietario
si el corredor de bienes raíces tiene una comisión del 6% sobre el precio
de venta?
9. Este año, la depreciación de un automóvil es de $2260.8 dólares en
base a una tasa de depreciación del 12%. ¿Cual era el precio del auto?
10. Un corredor de bienes raíces recibió una comisión de $31,440 por la
venta de una casa en Los Ángeles. ¿En cuanto se vendió la casa si el
corredor cobró un 6% del precio de la venta?
11. El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $1164.6 en
base a una tasa del 18%. ¿Cuál era el precio normal del equipo?
12. Paty compró un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en
$8903. ¿Cuál fue el precio del abrigo sin impuesto?
173 13. El señor Eduardo compró un televisor a color con un impuesto del 6.5%
incluido, en $788.1. ¿Cuál es el precio de venta del televisor antes de
aplicar el impuesto?
14. ¿En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la
tienda ofrece un 15% de descuento?
15. Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar
un 25% de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo?
16. ¿Cuál es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de
aplicar un 12.5% de descuento?
17. El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es
de $63. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el costo?
18. El costo de una botella de licor es $19.25 y su precio de venta es de
$25. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el precio de venta?
19. El precio de venta de un reloj es de $126. ¿Cuál es el costo si el margen
de utilidad es de 40% del costo?
20. El precio de venta de una estufa eléctrica es de $756. ¿Cuál es el costo
si la ganancia es el 35% del costo?
21. El costo de una alfombra es de $581. ¿Cuál es el precio de venta si el
margen de utilidad es es 30% del precio de venta?
22. El costo de un automóvil es de $7320. ¿Cuál es el precio de venta si el
margen de utilidad es el 25% del precio de venta?
23. Dos sumas de dinero que totalizan $30,000 ganan, respectivamente, 6%
y 9% de interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conjunto,
producen una ganancia de $2,340.
24. Dos sumas de dinero que totalizan $45,000 ganan, respectivamente,
6.8% y 8.4% de interés anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una
ganancia de $3,524.
25. Ines tiene $10,000 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para
que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2,400?
26. Juan tiene $9,000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para
que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4,862?
174 27. La Sra. López invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la
otra de 7.75%. ¿Cuánto invirtió en total si su ingreso por interés fue de
$1040?
28. El Sr.Rico realizó dos inversiones cuiya diferencia es de $18,000. La
inversión menor es al 7.8% y la mayor al 8.6%. determine las cantidades
invertidas si el ingreso anual total por intereses es de $2,860.
29. El Sr. Braulio invirtió una parte de $40,000 al 6.2% y el resto al 7.4%. Si
su ingreso por la inversión al 7.4% fue de $1,328 más que el de la
inversión al 6.2%, ¿qué tanto estaba invertido en cada tasa?
Respuesta a los problemas impares: 1) 12.5%; 3) 5%; 5) $81; 7) $504,000; 9) $18,840; 11) $6,470; 13) $740; 15) $460; 17) 40%; 19) $90; 21) $830 23) $12,000 a 6%; $18,000 a 9%; 25) $24,000; 27) $16,000; 29) $12,000 a 6.2%; $28,000 a 7.4% C) Problemas de mezclas
1. ¿Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución
de sal al 10% y agua, para producir una solución al 4%?
2. ¿Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 onzas de una solución al
12% de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo?
3. ¿Cuántos litros de una solución de sal al 30% deben agregarse a 10 litros
de igual solución al 16% para producir una al 20%?
4. ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60
onzas del mismo tipo de solución al 3% para obtener una al 8%?
5. ¿Cuántas pintas de una solución con desinfectante al 4% deben agregarse
a 20 pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%?
6. ¿Cuántos litros de una solución de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros
de igual solución al 6% para hacer una al 20%?
175 7. Un hombre mezcló 100 libras de una aleación de cobre al 90% con 150
libras del mismo tipo de aleación al 60%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre
en la mezcla?
8. Un platero mezcló 20 kilogramos de una aleación de plata al 70% con 55
kilogramos de la misma aleación al 40%. ¿Cuál es el porcentaje de plata en
la mezcla?
9. Susana mezcló 800 gramos de una solución de yodo al 6% con 700 gramos
de una solución del yodo al 9%. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la
mezcla?
10. Jaime mezcló 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de
una al 32%. ¿Cuál es el porcentaje de ácido en la mezcla?
11. Rodrigo mezcló 60 libras de una aleación de aluminio al 30% con 140 libras
de la misma aleación. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda
aleación si la mezcla es de 65% de aluminio?
12. Un químico mezcló 200 gramos de una solución de yodo al 30% con 500
gramos de otra solución de yodo. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la
segunda solución si la mezcla es de 20% de yodo?
13. Margarita mezcló 30 litros de una solución desinfectante al 46% con 55
litros de otra. ¿Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la
mezcla contiene 24% de desinfectante?
14. René mezcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con 78
kilogramos de otra aleación. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la segunda
aleación si la mezcla es de 57.25% de cobre?
15. Julia mezcló una aleación de plata al 40% con otra, al 90%, para hacer una
al 75%. Si hay 20 onzas más de la aleación al 90% que la de 40%,
¿Cuántas onzas hay en la mezcla total?
16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro
de 60% para hacer un fertilizante con 34% de nitrógeno. Si hay 36 kg
menos del fertilizante de 60% que del de 20%, ¿Cuántos kilogramos hay en
la mezcla total?
176 17. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1020 litros de salsa de
tomate con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra
con 50%, ¿Qué cantidad de cada clase de salsa deben de emplear?
Respuesta a los problemas impares: 1) 3 galones; 3) 4 litros; 5) 45 pintas; 7) 72%; 9) 7.4%; 11) 80%; 13) 12%; 15) 50 onzas; 17) 600 litros al 16%; 420 litros al 50% D) Problemas de valor monetario
1. Pedro tiene $3.40 en monedas de 5¢ y 10¢. Si dispone en total de 47
monedas, ¿cuántas de cada clase posee?
2. Rosa tiene $4 en monedas de 5¢ y 25¢. Si posee un total de 32 monedas,
¿cuántas tiene de cada clase?
3. Raymundo tiene $7.60 en monedas de 10¢ y 25¢. Si en total dispone de 40
monedas, ¿cuántas de cada clase posee?
4. Leonor tiene 6 monedas más de 25¢ que de 10¢. Si el valor total es de
$9.20, ¿cuántas tiene de cada clase?
5. Raquel posee 8 monedas más de 5¢ que de 10¢. Si el valor total es de
$3.10, ¿cuántas monedas de cada clase posee?
6. Gerardo compró $8.7 dólares de estampillas de 15¢ y 25¢. Si adquirió 42
de éstas en total, ¿cuántas de cada clase compró?
7. Ramiro tiene 99 dólares en billetes de $1, $5 y $10. Hay 26 de ellos en total
y la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de $5. ¿cuántas tiene de
cada clase?
8. Alma tiene $13 dólares en monedas en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si en
total posee 92 monedas y el número de éstas de 10¢ es el doble del de 5¢,
¿cuántas posee de cada clase?
177 9. Nora tiene el doble de monedas de 25¢ que de 5¢ y tiene 3 más de 5¢ que
de 10¢. Si el valor total de las monedas es $8.15, ¿cuántas tiene de cada
clase?
10. Naty compró $9.20 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de
50. Si la cantidad de las de 25¢ que compró es el doble de la
correspondiente a las de 15¢, cuántas estampillas adquiró de cada clase?
11. Eduardo compró $5.75 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un
total de 39. Si la cantidad de estampillas de 15¢ es el triple de las de 10¢,
¿cuántas consiguió de cada clase?
12. Doroteo compró 11 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total
de 58. Si la cantidad de 25¢ es el cuádruplo de las de 15¢, ¿cuántas obtuvo
de cada clase?
13. Un abarrotero mezclal 2 clases de nuez, una vale $2.59 la libra y, la otra,
$3.99. Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra, ¿cuántas libras de
cada clase utiliza?
14. Un tendero mezcla 2 clases de grano de café, uno vale $2.79 la libra y el
otro $3.09. Si la mezcla pesa 400 libras y se vende $3.09 la libra, ¿cuántas
libras de cada clase de grano emplea?
15. Un confitero mezcla caramelo que vale 139¢ la libra con otro a 84¢ la libra.
Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177¢ la libra, ¿cuántas libras de
cada clase de caramelo usa?
16. ¿Cuántas libras de té de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 libras de un
té de $3.79 la libra para producir una mezcla con un precio de $3.99 la
libra?
17. Micaela compró $13.55 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de
62. Si hay 2 estampillas más de 15¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas
adquirió de cada clase?
18. Roque compró $10.70 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 53.
Si el número de las de 25¢ es 4 menos que el quíntuplo de las de 10¢,
¿cuántas consiguió de cada clase?
178 19. Soila Jhonson tien $7 dólares en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si posee 39
en total y hay 5 más de 25¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas monedas
de cada clase hay?
20. Bruno dispone de $20 dólares en monedas de 10¢, 25¢ y 50¢. Si en total
tiene 110 y hay 2 menos de 10¢ que el séxtuplo de las de 50¢, ¿cuántas
posee de cada clase?
21. La recaudación por la venta de 35,000 boletos para un partido de futbol
americano fue de $305,500.00. Si se vendieron a $8 y $11, ¿cuántas de
cada clase fueron vendidos?
Respuesta a los problemas impares: 1) 26 monedas de 5¢; 21 de 10¢ 13) 54 libras a $2.59 y 30 libras a $3.99 3) 16 monedsa de 10¢; 24 de 5¢
5) 26 monedas de 5¢; 18 de 10¢
15) 144 libras a 139¢; 96 libras a 84¢ 17) 5 de 10¢; 12 de 15¢; 45 de 25¢ 7) 14 de $1; 7 de $5; 5 de $10 19) 7 de 5¢; 9 de 10¢, 23 de 25¢ 9) 13 monedas de 5¢; 10 de 10¢; 26 de 25¢
21) 26,500 a $8; $8,500 a $11 11) 8 de 5¢; 24 de 15¢; 7 de 25¢
E) Problemas de Movimiento
1. Dos grupos de boy scouts que se hallan a 25 millas entre sí, decidieron
acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina
1/3 de milla por hora más aprisa que el otro y se encuentran en 3 horas,
¿cuál es la velocidad de cada grupo?
2. Dos automóviles que están a una distancia de 464 millas entre sí y
cuyas velocidades difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se
encontrarán dentro de 4 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada
automóvil?
179 3. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones
opuestas. El primer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo,
tiene uno de 50 mph. ¿En cuántas horas se encontrarán a 570 millas
entre sí?
4. Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de
ellos hace un promedio de 6 mph más que el otro. Determine las
velocidades de ambos sí al cabo de 5 horas se encuentran a 528 millas
entre sí.
5. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 750 mph va a
alcanzar a otro que partió dos horas antes y que vuela a una velocidad
de 500 mph. ¿A qué distancia del punto de partida encontrará el primer
avión al segundo?
6. Un automóvil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3
horas más tarde a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero.
¿En cuántas horas alcanzará el segundo auto al primero?
7. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 mph y de regreso a
una velocidad de 35 mph. Su viaje redondo duró 6
horas. ¿Qué
distancia recorrió?
8. Bertha condujo su automóvil 48 minutos a cierta velocidad. Una
descompostura la obligó a reducirla en 30 mph por el resto del viaje. Si
la distancia total recorrida fue de 65 millas y le tomó 2 horas y 3 minutos,
¿qué distancia manejó a la velocidad baja?
9. Enrique manejó 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60
mph y condujo las restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph.
¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total?
10. Un hombre manejó 20 millas a una velocidad media de 30 mph y las
siguientes 80 a la de 60 mph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del
recorrido total?
11. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 millas de distancia y regresó
a casa en su bicicleta. El autobús viajó al doble de la velocidad de la
180 bicicleta y el viaje redondo duró 4
horas. ¿A qué velocidad viajó
Samuel en su bicicleta?
Respuesta a los problemas impares: 1) 4
;4
; 3) 6 h; 5) 3,000 millas; 7) 105 millas; 9) 48 mph; 11) 20 mph F) Problemas de Geometría
1. La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro
es de 96 pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
2. La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el
perímetro del rectángulo es de 60 pies, halle las dimensiones de éste.
3. La base de un rectángulo es el triple de la altura, y el perímetro es de
256 pies. Obtenga las dimensiones del rectángulo.
4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de la altura, y el
perímetro es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo.
5. La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud,
y el perímetro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo.
6. La base de un rectángulo mide 10 pies más que el doble de su altura y
el perímetro es de 170 pies. Halle el área del rectángulo.
7. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas
cada uno y los otro dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta en 8
pulgadas cuadradas. Encuentre el lado del cuadrado.
8. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y
los otros dos disminuyen 3 cada uno, el área se incrementa en 33
pulgadas cuadradas. Obtenga el lado del cuadrado.
181 9. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 6 pulgadas
cada uno y los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área
permanece constante. Determine el lado del cuadrado.
10. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno
y los otros dos disminuyen 8 cada uno, el área decrece 20 pulgadas
cuadradas. Hallar el lado del cuadrado.
11. La base de un cuadrado sin marco mide el doble de su altura. Si el
marco tiene 2 pulgadas de ancho y su área es de 208 pulgadas
cuadradas, encuentre las dimensiones del cuadrado sin marco.
12. La base de una pintura sin marco es 3 pulgadas menos que el doble de
su altura. Si el marco tiene 1 pulgada de ancho y su área es de 34
pulgadas cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura sin
marco?
13. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies
menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea el edificio tien
10 pies de anchura y un área de 4,600 pies cuadrados. ¿Cuáles son las
dimensiones del terreno que ocupa el edificio?
14. Una construcción se asienta en un terreno rectangular que mide de
largo 10 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea
la construcción tiene 8 pies de anchura y su área es de 2,496 pies
cuadrados. Determine las dimensiones del terreno de la construcción.
15. La longitud de un edificio es de 20 pies menos que el doble de su
anchura. El alero de la azotea es de 2 pies de ancho en todos los lados
del edificio y su área es de 536 pies cuadrados. Si el costo del techo por
pie cuadrado es de $3.60, determine el costo total del techo.
16. La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura.
La alfombra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte
descubierta del piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda
cuadrada de la alfombra es de $162, obtenga el costo total de la
alfombra. (1 yarda = 3 pies)
182 17. Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado ed de 6
pulgadas y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de
los lados.
18. La suma de la base y la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el
área del triángulo si su base mide 10 píes menos que el doble de su
altura.
19. La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies. Encuentre el
área del triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su
base.
Respuesta a los problemas impares: 1) 21 pies, 27 pies; 3) 32 pies, 96 pies; 5) 204 pies cuadrados; 7) 14 pulgadas; 9) 12 pulgadas; 11) 32 pulgadas, 16 pulgadas; 13) 130 pies, 80 pies; 15) $16,329.60; 17) 4 pulg, 6 pulg, 8 pulg; 19) 476 pies cuadrados. G) Problemas donde se realiza un trabajo
1. Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15
horas. Estando el tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren
las
dos
llaves
a
la
vez?
Resp: 6 horas
2. Un hombre puede hacer cierto trabajo en 21 hr, otro hombre puede hacer el
trabajo en 28 hr, y un muchaco puede hacer el trabajo en 48 hr. Encuentre
cunto tiempo necesitaría para hacer el trabajo si los tres trabajaran juntos.
3. LA persona A puede pintar una casa en 10 días y la persona B puede pintar
una casa en 12 días. ¿Cuánto tiempo tomaría pintar la casa trabajando los
dos hombres conjuntamente?
4. Un trabajador voluntario requirió 2 horas para escribir la dirección de un
grupo de sobres para un fondo de cariadad, mientras que el segundo
trabajador requirió tres horas para el mismo grupo de sobres, ¿cuánto
183 tiempo tomaron los 2 trabajadores para escribir la dirección a un grupo
similar de sobres?
5. Un trabajador de mantenimiento necesitó 8 horas para lavar las ventanas
de cierto edificio. El mes siguiente su ayudante tomó 10 horas para lavar las
ventanas. Si los dos trabajadores lo hicieran juntos, ¿cuánto tiempo tomaría
en lavar las ventanas?
6. Un tanque puede llenarse con u tubo en 9 hr y con otro tubo en 12 hr. Si el
tanque está vacío al empezar, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque de
agua sí está saliendo el agua por un tercer tubo a una razón de 1 6 de la
capacidad del tanque por hora?
7. Una persona A puede hacer cierto trabajo en 4 hr, B puede hacer la tarea
en 6 hr, y C puede hacer la tarea en 8 hr. ¿Cuánto tiempo llevaría hacer la
tarea si A y B trabajan una hora y después B y C terminan el trabajo?
Respuesta a los problemas impares: 1) 6 hr; 3) 5
días; 5) 4 horas; 7) 3 hrs 184 H) En cada una de las siguientes situaciones completa los
datos que faltan en la tabla para encontrar la solución.
1. Las medidas de un cartel. Un anuncio tiene impresa su parte central con
forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con
una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del
área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones
del cartel?
Imagen del problema
Datos Perímetro del área impresa = (2)(100) + (2)(140) = 480 Perímetro del cartel = 1.5 veces el perímetro del área impresa = 720 Lo que se pide Ancho de la banda = x Dimensiones del cartel = (100 + 2x)(140 + 2x) Perímetro = 2(100 + 2x) + 2(140 + 2x) Ecuación Solución Ancho de la banda = Dimensiones del cartel = 185 2. Que tan alto es el edificio. Se desea calcular la altura de un edificio y,
para tal fin, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edificio
y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. ¿Cuál
es la altura h del edificio?
Imagen del problema
Datos Sombra del edificio = Sombra de la persona = 3. Altura de la persona = Lo que se pide Altura del edificio = Ecuación Solución Considerando las razones entre triángulos 10
1.80
1
Altura del edificio = 186 I) ACTIVIDAD GRUPAL
Formen grupos de trabajo de cuatro a cinco estudiantes y desarrollen los
siguientes cálculos. Respondan en una hoja aparte y presente su información al
grupo.
1. En un café internet el costo por utilización del servicio es $0.20 por minuto.
a. Expresen mediante una función entre el costo y el tiempo, y grafiquen la
función.
b. ¿Cuál es el costo por hora de servicio?
c. Si el dueño del establecimiento tiene 5 computadoras para el servicio y abre
9 horas al día, ¿Cuánto es el máximo que obtendría de ganancia por día?
2. En un billar el costo por jugar en una mesa es de $35 por hora.
a. ¿Cuál es el costo por jugar t horas?
b. ¿Cuál es la utilidad máxima que obtendría el dueño, del establecimiento por
esa mesa, si abre 12 horas diarias.
c. ¿Cuál es la utilidad que obtendría el dueño, si tiene 10 mesas?
d. Si 2 jugadores ocupan la mesa y pagaron $180, ¿Cuánto tiempo jugaron?
187 Competencia
ECUACIONES LINEALES EN DOS Y TRES
VARIABLES
Explicar los distintos métodos que existen para
resolver una ecuación lineal en dos o tres variables.
Resolución de problemas en palabras que dan lugar
a una ecuación lineal en dos o tres variables.
5 Saberes 1.
Ecuaciones lineales en dos y tres variables
Método Gráfico
Método por Suma y Resta
Método por Igualación
Método por Sustitución
Método por Determinantes
2. Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.
Ejercicios 1. A resolver ecuaciones lineales en dos y tres variables
2. A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones
lineales.
188 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Ecuaciones lineales en dos y tres variavles
No. 1
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
Mediante
adquirirá la
Manera didáctica
exposición y
habilidad para
de lograrlos
tareas
simplificar una
expresión que
contenga
exponentes
fraccionarios
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Los elementos del conjunto solución de una ecuación lineal
constituyen una cantidad infinita de parejas ordenadas
que pueden
representarse gráficamente con una línea recta.
Cuando de dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en un
sistema de coordenadas cartesianas surge una de las siguientes posibilidades:
1. Las dos rectas coinciden
2. Las rectas no se intersecan; en tal caso se llaman rectas paralelas
3. Las rectas se intersecan precisamente en un punto.
Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Muchas veces se requiere encontrar la solución común, o conjunto solución
común de dos o más ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones.
DEFINICIÓN: El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones en dos
variables que tienen la forma
y
es el conjunto
de todas las parejas ordenadas de números que constituyen soluciones comunes
a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solución de una de las
ecuaciones con el de la otra.
189 1. Cuando las dos rectas se intersecan exactamente en un punto, el conjunto
solución del sistema es la pareja ordenada formada por las coordenadas
del punto de intersección.
2. Cuando las dos rectas coinciden, lo cual significa que al dibujarlas una recta
queda sobre la otra, el conjunto solución del sistema es el de cualquiera de
las ecuaciones.
3. Cuando las dos rectas no se intersecan, el conjunto solución del sistema es
el conjunto vacio .
Algunos de los métodos de solución son los siguientes:
1. Solución Gráfica
2. Solución por Suma y Resta
3. Solución por igualación
4. Solución por Sustitución
5. Solución por Determinantes
I.
Solución grafica
Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema:
2x + y = 16………………..1 x + y = 10………………..2 Se procede como sigue:
En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es
función de (x) como a continuación se indica:
y = 16 – 2x
Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta
y).
190 En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos:
Tabulaciones A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un
sistema de ejes coordenados:
La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el
punto de intersección entre ambas rectas.
Solución:
x=6
Comprobación:
y=4
2(6) + (4) = 16
191 II.
Solución por suma o resta
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de
eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento:
1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores
tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita.
2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las
restamos si son del mismo signo.
3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el
valor de una incógnita.
4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos
para la otra incógnita.
Ejemplo 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 4 ecuación 1 + x – y = 2 ecuación 2 Sumamos ambas ecuaciones 2x = 6 3 Sustituimos en 1: Podemos hacer la comprobación (3) + y = 4 x + y = 4 3 + 1 = 4 y = 4 – 3 x – y = 2 3 – 1 = 2 y = 1 Solución: x = 3, y = 1 192 Ejemplo 3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:
X + 2y = 5………………….1 X + y = 4………………….2 Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1. Nota: Usted
tiene la libertad de eliminar cualquiera de las variables, según sea su preferencia.
X + 2y = 5 Sustituyendo y = 1 en ec. (2) Comprobación: ‐x –y = ‐4 1
y = 1 4
Solución: 4 Ecuación (1): 3
1
,
2 1
5 3 5
5 1
4 Ecuación (2): 3
4
4 Ejemplo 4 Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:
15
20
10 ………………….1 25
30
80 …………………..2 Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos: 45
60
30 50
60
160 95 190 2 Sustituimos en ecuación 1 (porque es mi elección, pudiera ser la ecuación 2) 15 2
20
20
20
10 10
30 1 20 por lo tanto 193 III.
Solución por igualación
Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el
método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento:
1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar.
2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior.
3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el
valor de una de las incógnitas.
4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor
de la otra incógnita y resolvemos para ella.
Ejemplo 5. Resuelve:
X + y = 12 (1 X – y = 8 (2 Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos: De 1: x = 12 – y de 2: x = 8 +y Por lo tanto: Como: 12
Comprobación 12 –y = 8 + y 12
2 (10) + (2) = 12 ‐y –y = 8 – 12 10 12 = 12 ‐2y = ‐ 4 (10) – ( 2) = 8 2y = 4 8 = 8 y = 2 194 Resolver el sistema: 3
2
12 ecuación 1 5
3
1 ecuación 2 Ejemplo 6
Aunque pudiera despejar la x , elijo despejar la “ y “ por ilustración al alumno:
De ecuación (1):
2
12
3
De ecuación (2):
3
(Se multiplicó por -1) 3
1
5
5
1
Igualamos:
6
Multiplicamos por el m.c.m. = 6
Lo cual nos da:
3 12
36
3
2 5
9
10
38
19
2
6
1
Al sustituir x = 2 en la
2
ecuación (1) despejada:
3
Solución:
,
195 IV.
Solución por sustitución:
El procedimiento es el siguiente:
1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación.
3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita
no eliminada.
4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la
otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.
Ejemplo 7
Resuelve: x + y = 23………………… (1 x – y = 7………………… (2 Despejamos el valor de y en la ecuación 1: y = 23 – x …………………… (3 El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2: x – (23 – x) = 7 x – 23 + x = 7 Sustituimos x = 15 en ecuación (3) 2x = 7 + 23 23
2x = 30 x = 15 Solución: 15
8 ,
196 Ejemplo 8
Resolver por sustitución el sistema: 4
9
12 ……………….. 1 2
6
1 ……………….. 2 y la sustituimos en la segunda ecuación: De la primera ecuación, 2
6
1 6
1 Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos 9
12
12
21
2 14 Sustituyendo resulta: en Solución : y 197 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS
INCÓGNITAS
Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos
anteriormente.
Ejemplo 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1 10x + 9y – 3z = 50………………… (2 4x – 8y + z = 15…………………. (3 Elijo eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la
ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones:
+ 18x – 54y – 45z = ‐ 99 60x + 54y – 18z = 300 78x ‐ 63z = 201…………….. (4 Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos:
80x + 72y – 24z = 400 + 36x – 72y + 9z = 135 116x ‐ 15z = 535 ………. (5 Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la
ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos:
‐1170x + 945z = ‐ 3015 7308x – 945z = 33705 6138x = 30690 198 x
30690
por lo tanto 6138
5 Sustituimos en 5: Sustituimos en 1: 116(5) –15z = 535 2(5) – 6y – 5(3) = ‐11 580 – 15z = 535 10 – 6y – 15 = ‐ 11 ‐15z = 535 – 580 ‐6y ‐5 = ‐11 ‐15z = ‐ 45 ‐6y = ‐11+5 15z = 45 ‐6y = ‐6 z = 3 y = 1 ,
Solución: ,
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES
(Regla de Cramer)
Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes,
veamos que es un determinante y como se resuelve. Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números
y se desarrolla de la manera siguiente.
Calcula el valor del siguiente determinante:
3
2
5
7
3 7
5
2
21
10
31 199 Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que
consta de 3 columnas y 3 renglones .
El desarrollo de un determinante de tercer orden es el siguiente: (Se repiten las
dos primeras columnas)
-
-
-
+
+
+
Calcula el valor del siguiente determinante:
2
10
4
2
10
4
6
9
8
2 9 1
18
72
2
10
4
5
3
1
6
400
6
9
8
6
9
8
3 1
180
48
5
3
1
2 9 1
5 9 4
5 10
60
8
6
3 4
2
3
5 9 4
5 10
8
8
6 10 1
2
3
8
6 10 1
682
El determinante vale
200 Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de
ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente:
1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el
miembro de la derecha y las variables en el de la izquierda.
2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de
los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta).
3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los
coeficientes de la primer incógnita por la columna de las constantes de las
ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le
llamaremos ∆x (delta equis).
Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes,
entonces tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente
Aplicando la siguiente formula (regla de Cramer)
∆
∆
, ∆
∆
, ∆
∆
Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente haremos las modificaciones pertinentes. Ejemplo 10 Resuelve por determinantes el sistema siguiente:
2X + 3Y = 8 3X ‐ Y = 1 ∆
2
3
3
1
2
1
3 3
2
9
11 ∆
8
1
3
1
8
1
3 1
11 201 2
3
∆
8
1
2 1
3 8
22 x 11
y 22
x
1 y
2
11
11
X = 1 Y = 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas por
Ejemplo 11
determinantes:
2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1 10x + 9y – 3z = 50………………… (2 4x – 8y + z = 15…………………. (3 ∆
2
10
4
6
9
8
5
3 1
682 Nota: El alumno debe verificar el valor de los determinantes Por lo tanto, la solución es: ∆
11
50
15
6
9
8
5
3 1
3410 5
3 1
682 ∆
2
10
4
11
50
15
∆
2
10
4
6
9
8
11
50 15
2046 ∆
∆
∆
5 1 3 202 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES QUE
CONTIENEN SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y FRACCIONES
Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen símbolos de agrupación, se aplica
la ley distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la
forma
y, luego, se resuelve.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Ejemplo 12
2
3
4
13 y 5 2
3
19 Solución: Se simplifican ambas ecuaciones separadamente: 2
3
3
3
11
4
2
13 5 2
8
13 10
13 ……………. Ec. (1) 7
3
5
5
3
19 19 19 ………………Ec. (2) Resolvemos ahora el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2) 7
77
7
5
91 Ec. (1) multiplicada por 7 19 72
Sustituyendo 72 1 1 en la ecuación (1) tenemos, 11 1
2 El resultado es ,
13 203 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
Ejemplo 13
7 ; 13 Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 4, y la segunda por 12, lo cuál da: 2
3
28 10 20
30
9
10
156 3 27
30
47 Sustituyendo 280 468 188 4 4 en cualquier ecuación da: 2 4
3
28 12 204 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A resolver ecuaciones lineales en dos y trtes variables
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
EJERCICIOS
I. Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones
simultáneas:
1. x y 5
x y 4
x y 3
3x 2 y 7
3x y 4
2. 3. 4. 5. x y 1
x y 2
x y 1
3x y 5
x 3 y 2
II. Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes
sistemas de ecuaciones simultáneas:
6. x y 2
4x y 6
x 2y 6
6 x 7 y 10
2x y 3
7. 8. 9. 10. 2x y 1
3x y 1
x 3y 8
8 x 13 y 6
3x 2 y 8
11. x 3 y 2
2 x 7 y 26
5x 2 y 3
4x 3y 6
12. 13. 14. 3x 5 y 6
5x y 9
7 x 3 y 10
3 x 5 y 19 205 III. Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes
sistemas de ecuaciones simultáneas:
15. x y 5
5x y 1
x 2y 2
4x 5 y 2
16. 17. 18. x 4 y 10
3x y 7
x 3y 7
5 x 3 y 21
19. 2 y 11x 67
3x 7 y 2
4x 3 y 5
2x 3 y 5
20. 21. 22. 2 x 5 y 20
7 x 8 y 2
3x 2 y 3
3 x 4 y 18
IV. Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes
sistemas de ecuaciones simultáneas: 23. 5y x 7
3x y 0
x 4y 5
x 3 y 2
24. 25. 26. 5x 3 y 3 2 x
2x y 5
3 x 4 y 17
3 x 5 y 6
27. 7 x 6 y 17
x y 37
2x y y 6
28. 29. x 2y 4y 3
3x y 18
2 x 3 y 31x 13 y
V. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los
métodos de eliminación:
x y z 12
2x 4 y 2z 0
3x y 2 z 9
30. 2 x 2 y 2 z 3 31. 3 x 5 y 3 z 4 32. 4 x 3 y z 19 x 7 y 2 z 7
x 3y z 7
x 2 y z 8
x yz 7
x y z 14
x y z
33. x y z 1 34. 2 x z y 9 35. x y 6 z
yzx3
5x 2 y z 6
y x (4 z )
VI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el
método de determinantes.
3x 2 y 4 z 1
2x y 4
3x y 5
4 x 3 y 2
36. 37. 38. 39. 4 x y 5 z 2
3x 4 y 1
2x 3 y 7
x y40
2 x 3 y Z 6 206 VII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los
métodos que usted quiera. 40 2
3
3 2
4
1
4
42. 4
1
4
0 41. 3
2
19 43. 3
5
4
3
9 4
44. 3
2 2
3
4 45. 2 3
2
46. 3 2
48. 3 2
6
4
2
2
3
7
6
2 7
4
26 3 2
3
7
2
2
3
11 49. 5
35 7 22 4
4
4 2
26 47. 3
4 3
2 2
17 2
3 2
2
3
3 2
3
7
2
3
2
3
2 2
2 5
21 2 2
50. 51. 4 21 9 52. 53. VIII. Aquí tienes más ecuaciones para que practiques por el método que
gustes:
54. 3
0 55. 2
5 3
4
4
5 56. 17 4
3 57. 3
2 3
1 2
7 207 3 59. 58. 2
3
3
9 6
62. 2
3
12 63. 7
4
5
2
12 60. 2
19 3
6
20 3
2 67. 66. 2
4
9
6
7 69. 15
5 3
5
6 8
8
83 71. –
7
5
7
126 5
4
4
3
17 8
6
8
3
2
2
4
16 7
2
10 9
5
67 75. – 3
1 5 7 1 72. 2
4
61 74. – 5
7
1 1 68. 4
3
4
3 6 11
70. 8
5
2
18 7
8 2
9
27 1 65. 5
7
5
2
1 17 64. 3
6
73. – 3
4 61. 3
5
5
18 5
5
83 7
3
99 7
33 64 2
9
9
21 4
9
9
128 15 8
9
8
96 3
5
5
45 Solución a los ejercicios impares anteriores: 1. x 3, y 1; 3. x 3, y
2 ; 5. x 1, y 1; 7. x 1, y 2 ; 9. x 4, y 2 11. x 2, y 0 ; 13. x 1, y 1 ; 15. x 1, y 4 ; 17. x 2, y 3 ; 19. x 5, y 6 ; 21. x 1, y 3 ; 23. x 1, y 3 ; 25. x 2, y 1 ; 27. x 5, y 3 ; 29. x 3, y 0 ; 31. x 1, y 2, z 3 ; 33. x 4, y 2, z 5 35. x 10, y 5, z 1; 37. x 2, y 1 ; 39. x 1, y 3, z 1 41. 2,
4; 43. 4,
2; 45. 49. 1,
4; 51. 8,
3; 53. 57. 1,
2 59. 2,
7; 61. 67. ,
69. ,
65. 73. 6,
5,
2; 75. 5,
1,
2; 47. 15,
2; 3,
2 15 55. ,
,
9,
2,
63. ; 71. 5,
1,
3 2,
3; 3 208 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Problemas en palabras que dan lugar a un sistema
No. 2
de ecuaciones lineales
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
exposición y
resolver un
de lograrlos
tareas
problemas
cotidiano
empleando una
ecuación lineal en
dos o tres
variables.
PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS
O MÁS INCÓGNITAS
Muchos problemas con enunciado contienen más de una cantidad desconocida;
con frecuencia la ecuación que se plantea en la resolución del problema resulta
ser más sencilla si se introduce más de una incógnita. Sin embargo, antes de que
el problema esté completamente resuelto, el número de ecuaciones originadas
tiene que se igual al número de incógnitas empleadas.
1. Un arrendatario recibió $ 1,200 de alquiler de dos residencias en 1 año; el
precio del alquiler de una de ellas era de $10 por mes más que la otra.
¿Cuánto recibió el arrendatario por mes por cada una si la casa más cara
estuvo desocupada 2 meses?
Solución: Sea,
el alquiler mensual de la casa más cara,
el alquiler mensual de la otra, entonces
209 10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1) ya que una tenía un costo de $10 por mes más que la otra. Además, ya que la primera
casa fue alquilada durante 10 meses y la otra por 12 meses, se sabe que 10
12 es la
cantidad total recibida. De aquí que,
10
12
1200 ‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2) Ahora, se tienen las ecuaciones
(1) y (2) con las incógnitas
y
; se
resolverán simultáneamente por eliminación de y. El resultado es como sigue:
12
12
120 ecuación (1) por 12 10
12
1200 1320 Sustituyendo 60 por x en ecuación (1) da: 22
De este modo 60 60
10 50 50 Por tanto, la renta mensual fue de $60 y $50, respectivamente.
2. Un comerciante de tabaco mezcló un grado de tabaco que vale $1.40 por
libra con otro que vale $1.80 por libra a fin de obtener 50 libras de una
mezcla que vendió a $1.56 por libra. ¿Qué peso de cada calidad fue
empleado?
Solución: Sea, el número de libras del de $1.40 empleado el número de libras del de $1.80 empleado Entonces 50 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1) Ya que había 50 libras en la mezcla. Asimismo, 1.40
es el valor en dólares con la
primera calidad, 1.80
es el valor en dólares con la segunda calidad y también
tenemos que 1.56 50
78 es el valor en dólares de la mezcla. Por tanto,
1.40
1.80
78 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2) 210 Ya que (1) y (2) son las ecuaciones requeridas, podemos resolverlas como sigue: 1.40
1.40
1.40
1.80
70
78 8 0.40
Sustituyendo 20 por
ecuación (1) por 1.40 20 .
en la ecuación (1), se obtiene
20
50
30
Por lo tanto, el comerciante utilizó 30 libras de $1.40 y 20 libras de $1.80 en la mezcla.
3. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces
el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.
Solución: Primer número Segundo número 2
3
9 2
3
7
12 7
12
9 ecuación (1) 12
12 ecuación (2) Resolviendo el sistema tenemos que, 8
12
36 ecuación (1) por 4 7
12
12
48
48
Al sustituir x por 48 en cualquier ecuación resulta 29 Los números son 48 y 29 211 4. Catalina invirtió parte de su dinero al 8% y el resto al 12%. El ingreso
obtenido por ambas inversiones totalizó $2,240. Si hubiera intercambiado
sus inversiones, el ingreso hubiera totalizado $2,760. ¿Qué cantidad de
dinero había en cada inversión?
Solución: Inversiones originales Inversiones intercambiadas x al 8% ; y al 12% x al 12% ; y al 8% 0.08
0.12
8
12
2
3
2240 0.12
0.08
244,000 12
61,000 …….. (1) 3
8
2
2760 276,000 69,000 ………..(2) Al resolver las ecuaciones (1) y (2) tenemos, 4
6
9
6
122,000 ecuación (1) por 2 207,000 ecuación (2) por 3 5x = 85,000 x = 17,000 Sustituyendo x por 17,000, se obtiene 9,000 Las inversiones son $17,000 y $9,000 212 5. Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su
área se incrementa en 16 pulgadas cuadradas. Si la base aumenta 5
pulgadas y la altura disminuye 3, el área aumenta 15 pulgadas cuadradas.
Encontrar el área del rectángulo original.
Solución: Sea la altura del rectángulo en pulgadas = x Sea la base del rectángulo en pulgadas = y Primero: Segundo: 2
2
2
2
2
16 4
2
5
16 3
15 5
3
15
15 20 5
3
30 ……… ec. (2) 10 …… ec. (1)
Resolviendo las ecuaciones obtenidas, 3
3
30 ec. (1) por 3 5
3
30 2
60
30
Sustituyendo x por 30 obtenemos y = 40 Por consiguiente, el área del rectángulo original 30
40
1200 6. Si una solución de glicerina al 40% se agrega a otra al 60%, la mezcla
resulta al 54%. Si hubiera 10 partes más de la solución al 60%, la mezcla
sería al 55% de glicerina. ¿Cuántas partes de cada solución se tienen?
Solución: Primero : Sean 40% 60% 54% 40%
60%
54%
213 60
40
54
14
6
7
0 que al dividirla entre 2 3
0 Ecuación 1 Segundo: Sean 10
10
40% 60% 55% 60%
40%
40
40
60
60
10
10
600
15
55%
55
10 55
55
5
50 3
10 550 10 Ecuación 2 Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos: 7
3
3
0 7
3
0 10 x (‐3) 9
3
30 2
Sumando resulta
30
15
Al sustituir
por 15, obtenemos
35
Las partes correspondientes a las soluciones de glicerina son 15 y 35
7. Una caja registradora contiene $50 en monedas de 5 centavos, de diez
centavos y 25 centavos. En total son 802 monedas, siendo 10 veces mayor
el número de las de 5 centavos que el de las de 10 centavos. Encontrar
cuantas monedas hay de cada valor. Numero de monedas de 5¢ = x Numero de monedas de 10¢ = y Numero de monedas de 25¢ = z 214 Condiciones: .05x + .1y + .25z = 50 ………………. Ecuación (1) x + y + z = 802 ……………… Ecuación (2) x = 10y ……………… ecuación (3) En esta ocasión decidimos resolver el sistemas por determinantes: .05
.1
.25 .05
.1
1
1 1
1
10
0 1
10
50
.1
.25 50
.1
x 802
1
1 802
1
1
1
0 .1 2.5 .25 .5 0 2.15 0
10
0
0
0 0 2005 0 500 0 1505 10
Por lo tanto, x
x 1505
700
2 .15
700 monedas de 5¢ Sustituimos en 3: 10y = 700 y = 70 70 monedas de 10¢ Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 z = 32 32 monedas de 25¢ 215 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un
No. 2
sistema de ecuaciones lineales.
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Ejercicios y tareas sobre el
Responsabilidad didáctica de
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I.
RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA
LINEAL EN DOS VARIABLES
1. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el
segundo excede
En 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.
2. El doble de un número es 4 unidades menor que otro, mientras que el
quíntuplo del primero es 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los
dos números.
3. El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero
es 4 unidades menor que el doble del segundo.. Encuentre ambos números.
4. Marcos invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por
ambas inversiones totalizó $3000. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el
ingreso habría totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?
5. El precio del boleto de avión México-Guadalajara es de $850 para adulto y de
$500 para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obruvieron ingresos
por $36,900, ¿cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión?
216 6. El restaurante Los Comales paga a sus camateros $500 a la semana más las
propinas que promedian $100 por mesa. El restaurante Las Cacerolas paga
$1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. ¿Cuántas
mesas " " tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal
" " fuera el mismo en ambos restaurantes?
7. Una notaria cobra $3500 por elaborar un título de propiedad y $2000 por el
acta constitutiva de una empresa. En un mes realizó un total de 22 operaciones
que representaron un ingreso de $53,000 por estos conceptos, pero en sus
registros no se anotó cuántos títulos de propiedad y cuántas actas constitutivas
se elaboraron y ahora se requiere conocer esos datos; Obténlos a partir de la
información requerida.
8. Si 6 libras de naranjas y 5 libras de manzanas cuestan $4.19 dólares, mientras
que 5 libras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dólares, determina el
presio por libra de cada fruta.
9. Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dólares, mientras que 8
libras de almendras y 6 de nueces cuestan $47.20 dólares, determinar el precio
por libra de cada producto.
10. Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dólares, mientras que 9 libras
de papas y 13 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra de
cada producto?
11. Si 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan $12.53, mientras que 7 de
maíz y 9 de chícharos cuestan $12.52 dólares, halle el precio por paquete de
cada producto.
12. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la ancura aumenta 10,
el área del lote se incrementa en 400 pies cusdrados. Si la longitud aumenta 10
pies y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el
área del lote original.
13. Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área
disminuye 16 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 1 pulgada y la altura
aumenta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el
área original del rectángulo.
217 14. Un ganadero ha vendido 60 terneras y 240 ovejas a un comprador por $17,160
dólares, y con los mismos precios ha vendido 40 terneras y 180 ovejas por
$12,240. Encuentre los precios por cabeza de cada una de las especies de
animales vendidos.
15. Un hombre tiene dos inversiones, una que le deja anualmente un interés de 3%
y otra de 4%. El ingreso anual total causado por las inversiones es $170. Si se
intercambiaran las razones de interés, el interés total anual sería de $180.
Encuentre el monto de cada inversión.
16. Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla
contendría 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleación al 8% y
10 más de la aleación al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas
libras de cada aleación se tienen.
17. Si una solución de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al
38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla
resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tiene de cada solución?
18. Una empresa constructora cobra $350 por elaborar un plano y $600 por un
diseño. En un año registró haber efectuado 420 operaciones que representaron
un ingreso de $207,000, ¿cuántos planos elaboró?
19. El precio de entrada a un espectáculo es $40 por adulto y $10 por niño. Si se
vendieron en total 450 boletos y se obtienen ganancias por $9000, ¿cuántos
niños entraron al espectáculo?
II.
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA
LINEAL EN TRES VARIABLES
20. Encuentre tres números tales que la suma del primero y segundo es 67, la
suma del primero y tercero es 80, y la suma del segundo y el tercero es 91.
21. La suma de tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma de dos de los
ángulos es igual al tercer ángulo y la diferencia de los dos ángulos es igual a
2/3 del tercer ángulo. Encuentre los ángulos.
218 22. Un hombre realiza tres inversiones de un total de $24,000 con razones de
interés de 6%, 7% y 8% anual. El ingreso tatal anual es de $720 y el ingreso de
la inversión al 7% es $40 menos que el ingreso combinado de las otras dos
inversiones. Encuentre el monto total de cada inversión.
23. La biblioteca de una escuela gastó $895 en la compra de 40 libros en total,
correspopndientes al las asignaturas de matemáticas, geografía e inglés. En la
“Librería Cristal” los precios son: $28 cada libro de matemáticas, $25 de
geografía y $15 el de inglés. Si los hubiera comprado en la “Librería Quijote”
habría gastado $915 en la adquisición del mismo número de libros, pero a un
precio de $31 cada libro de matemáticas, $24 de geografía y $14 el de inglés.
¿Cuántos libros de matemáticas, geografía e inglés se adquirieron?
24. Armando ha pagado en el supermercado un total de 1560 pesos por 240 litros
de leche, 60 kg de azúcar y 120 litros de aceite. Calcula el precio de cada
artículo, sabiendo que 10 litros de aceite cuestan el triple de 10 litros de leche
y que 10 kg de azúcar cuestan igual que 40 litros de aceite más 40 litros de
leche.
25. En la caja fuerte del abuelo hay 50,000 pesos en billetes de $50, $100 y $200.
En total son 802 billetes, siendo 10 veces mayor el número de los de cincuenta
que los de cien pesos. Ayuda a mi abuelo a descifrar cuántos billetes hay en
cada denominación.
Respuesta a los problemas impares anteriores: 1) Los números son 48 y 29; 3) 6 y 17; 5) 34 adultos, 16 niños; 7) 6 titulos de propiedad, 16 actas contitutivas; 9) Almendras a $3.50, nueces a $3.20; 11) Maiz a 63¢, chícharos a 89¢; 13) 160 pulgadas cuadradas; 15) $3000 al 3%, $2000 al 4%; 17) 20 galones, 30 galones, 19) 300 niños; 21) 15°, 75°, 90°; 23) 15 de matemáticas, 10 de geografía y 15 de inglés; 25) 690 de $50, 69 de $100, 43 de $200 pesos. 219 Competencia
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Métodos de solución de una ecuación cuadrática
Ecuaciones que se reducen a una ecuación
cuadrática
Problemas en palabras que se resuelven con una
ecuación cuadrática 6 Saberes 1. Métodos de solución de una ecuación cuadrática o de segundo grado
Métodos de solución:
Gráfico
Factorización
Completando el trinomio cuadrado perfecto
Fórmula General
Ecuaciones con radicales
Ecuaciones reducibles a una de segundo grado
Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas
2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática. Ejercicios 1. A resolver ecuaciones en forma cuadráticas
2. A resolver problemas en palabras por medio de ecuaciones de segundo
grado
220 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Métodos de solución de una Ecuación Cuadrática o
No. 1
de Segundo Grado
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
exposición y
resolver una
de lograrlos
tareas
ecuación
cuadrática por
cualquier método.
ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Definición
Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática
cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado
de la incógnita es 2.
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en
forma general:
ax2 + bx + c = 0 En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente
de la incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente.
Ecuación cuadrática completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos:
uno en que aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la
incógnita a la primera potencia y en un término independiente.
221 Ecuación cuadrática incompleta:
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del
independiente o del término con la incógnita a la primera potencia.
término
Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas
ax2 + c = 0
Es cuadrática pura
ax2 + bx = 0
Son cuadráticas mixtas
ax2 + bx + c = 0
RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS
En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada
del cociente del término independiente cambiado de signo entre el coeficiente de
x2 .
Ejemplo 1:
Resuelve la siguiente ecuación:
2x2 + 7 = 5x 2
19 4
8x2+ 28 = 5x2 + 76 (se multiplicó la ecuación anterior por 4) 8x2‐ 5x2 + 28 – 76 = 0 3x2‐48 = 0 √16
La solución es 4 ; 4 4 222 RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA
La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente
tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el
coeficiente del termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2.
0 ax2 + bx = 0 x(ax + b) = 0 Esta es otra solución 0 Esta es una solución Ejemplo 2:
Resuelve la siguiente ecuación:
x2 – 9x = 0 Igualamos cada factor a cero x(x – 9) = 0 0 9
0 9 RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS.
Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas
Método Gráfico Factorización Completando el cuadrado Por Fórmula General 223 Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico
Procedimiento:
1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y)
2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y.
3. Graficamos.
4. Los valores de x para los cuales y vale cero, serán las raíces solución
de la ecuación.
Ejemplo 3: Resolver por el método gráfico
1. Sea 2
2
8
0
8 2. Se hace hace una tabla de valores de que corresponden a los valores asignados de conforme se muestra en la siguiente tabla: 3. Usar los pares de valores que aparecen en la tabla como coordenadas de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares. 4. Dibujar la curva a través de estos puntos. La gráfica resultante es una parábola. Ver la figura. Las soluciones o raíces de la ecuación son los puntos en donde 0, ya que esto conduce a la ecuación original 2
8 0 . En la tabla podemos ver que las raíces son: y 224 Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización
Procedimiento:
1. Factorizamos la ecuación.
2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada
caso obtenemos las raíces de la ecuación.
Ejemplo 4: Podemos comprobar el resultado de la ecuación anterior,
resolviéndola por factorización.
2
4
4
8
0 2
0 4 4 0 2
0 2 2 Ejemplo 5:
Resuelve la siguiente ecuación:
2x
2
5x 3 0 (x – 3) (2x + 1) = 0 x1 3 x – 3 = 0 x 2
1
2
2x + 1 = 0 225 Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro
Ejemplo 6:
Resuelve la siguiente ecuación:
x2 + 6x – 16 = 0
1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:
x2 + 6x = 16
2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al
cuadrado (la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9, por lo tanto,
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un
binomio al cuadrado:
( x 3)2 25
4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos:
3
5
3
5
Por lo tanto las raíces son:
3
3
5
5
226 Ejemplo 7:
Resuelve la siguiente ecuación:
2x2 + 9x – 5 = 0
En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente de x2
sea la unidad.
0
1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:
2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al
/
cudrado: (la mitad de
es
que al elevarlo al cuadrado da
.
/
3. Como el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, lo
sustituimos por un binomio al cuadrado:
4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos
Por lo tanto las raíces son:
5
227 Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general
Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la
ecuación literal.
ax2 bx c 0
Por el método de completar cuadrado:
b
c
x 0
a
a
b
c
x2 x
a
a
2
b
b
c
b2
x2 x
a
a 4a 2
4a 2
x2
b
4 ac b 2
x
2a
4a 2
2
x
b
b 2 4 ac
2a
4a 2
x
b
2a
b 2 4 ac
2a
b
2a
b 2 4 ac
2a
x
Formula general
b b 2 4ac
x
2a
228 La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del
radicando (b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes
reglas:
1.
Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto,
b 2 4ac
Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales.
2.
Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto,
b 2 4ac
Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales
3.
Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale –
b/2a.
4.
Si (b2
–
4ac) < 0, entonces
b 2 4ac es imaginario: las raíces son
complejas.
Ejemplo 8:
x2 – 8x + 15 = 0 X = ; b b 2 4ac
2a
h
; (8) ( 8) 2 4(1)(15)
X = 2(1)
8 64 60
2
8 4
x
2
82
x
2
x
10
5
2
6
x2 3
2
x1
229 Ejemplo 9: Resolver la ecuación cuadrática siguiente:
5x2 – 24x -5 = 0
x
x
( 24 ) ( 24 ) 2 4(5)( 5)
2 ( 5)
24 576 100
10
24 676
10
24 26
x
10
x
5 ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN
Ejemplo 10: Resuelve la siguiente ecuación
2x 2 2x 1 2x 3 0
Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen
radical.
2 x 2 2 x 1 = 2x -3
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
2x2- 2x +1 = (2x -3)2
2x2 -2x +1 = 4x2 -12x +9
2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0
- 2x2 +10x -8 = 0
multiplicando por -1 y dividiendo entre 2
x2-5x +4 = 0
230 (x-4)(x-1) = 0
x -4 = 0
x=4
x-1=0
x=1
¡Muy importante!
Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos
que comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que
se pudieron ver introducido raíces extrañas.
Comprobación:
Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da:
2(4) 2 2(4) 1 2(4) 3 0
32 8 1 8 3 0
25 5 0
00
Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución.
Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da:
2(1) 2 2(1) 1 2(1) 3 0
2 2 1 2 3 0
1 1 0
20
Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.
231 ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO
Ejemplo 11: Resuelve
3x4 = 2x2 + 1
Hacemos la sustitución z = x2 quedando:
3z2 = 2z + 1
3z2 - 2z – 1 = 0
z=
( 2) (2) 2 4(3)(1) 2 4 12
2(3)
6
1
Pero, x2 = z, por lo tanto:
z2 =
1
3
1
1
Son cuatro soluciones.
Ejemplo 12: Resuelve
8x6 = 19x3 +27 Sustitución: x3 = z
8z2 = 19z +27
8z2 -19z – 27 = 0
19
19
35
16
19
35
16
4 8
19
2 8
54
15
16
16
27
19
√361
16
864
19
35
16
27
8
1
232 Pero como
tenemos:
; sacando raíz cúbica a ambos lados da:
1;
solución
primera solución
√ 1
sacando raíz cúbica a ambos lados da:
1
segunda
ECUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES CUADRATICAS
Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse en una forma más
simple si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el mínimo común
denominador (m.c.d.) de las fracciones presentes en la ecuación.
Si una ecuación se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuación
resultante podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación
resultante puede poseer raíces que no satisfacen la ecuación original. Los valores
obtenidos para la variable que satisfagan la ecuación original, son las raíces de
esta. En otras palabras tenemos que comprobar los resultados obtenidos
sustituyendo en la ecuación original.
EJEMPLO 13.
Resolver la ecuación
Solución:
4.
6
Se multiplican ambos miembros de la ecuación por
6
3
6
15
18
15
6
3
3
4
0,
esto es,
4
4 2
3
4
12
3 .
12
0
3
0
y también 2
3
0, esto es,
233 Al comprobar en la ecuación original,
6
Para
4
8
12
4
4
4
4
9
5
4
4
4
,
Por lo tanto el conjunto solución es:
EJEMPLO 14.
6
Para
Resolver
Solución: Primeramente factorizamos los denominadores
2
3
12
2
Se multiplican ambos miembros por
10
4
3
3
Que al hacer las operaciones y simplificar
2
5
3
2
2
3
0
3
0, es decir
El conjunto solución es:
4
25
10
y nos queda,
15
0
Se dividió la ecuación anterior
1
o bien
5
0
1
0, es decir
1
, 1
La comprobación se deja como ejercicio.
234 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A resolver ecuaciones en forma cuadrática
No. 1
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Orden
Manera
Responsabilidad didáctica de
Ejercicios y tareas sobre el
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
I.
Resuelve para x las siguientes ecuaciones por el método de
factorización:
1.
2. 3. 4. 8. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 24. 22. 23. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 235 39. 3
12
42. 4
3
9
0 40. 2
3
1 43. 4
48. 6
12
51. 9
6
4
0 52. 2
6
54. 2
5
3 44. 3
8
3 6 47. 3
12
5 12 50. 4
12
9
35
49. 9
1
0 41. 3
4
1 46. 6
45. 6
2
0 55. 2
3
7
0 53. 4
2 9
0 56. 6
0 18
11
0 3
0 Resuelva para
II.
las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:
2
1.
4. 3
0 2. 7
6
12
0 5. 7
30
15 8. 4
21 9. 14
7. 72 11. 10. 13. 6
8
16. 8
0 14. 0 3. 4
0 6. 15
4 17. 2 24. 4
25. 3
32
20 26. 3
8
14 27. 5
1
5
36 1
5
0 32. 9 3
23. 2
12
24 7 21. 2
1
9
0 0 22. 2
31. 4
18
3
0 20. 2
35 29. 4
3
0 18. 2
5
24
0 6
0 15. 19. 3
28. 4
10
14
4 12. 2
3
3
8 30. 9
2
0 33. 1
5 13
2
3
0 6
0 3 2
0 Respuesta a los ejercicios impares anteriores: 1) 3,1 3) 2,5 5) 3,10 7) 1,14 9) 13) 4,2 15) 9, 4 17) 25) , 8 27) 2,
1,0 19) 29) ,
12,2 11) , 0 21) 31) 1,
,
2, 2 23) 33) 2,
√
236 III.
Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la fórmula cuadrática:
1. 2
0 2. 0 6. 4
5. 6
9. 3
2
0 10. 0 3. 3
3
8
0 7. 5
4
0 4. 8
3
0 0 8. 36
0 12
0 12. 18
0 0 15. 2
3
0 16. 3
1
0 0 19. 2
9
0 20. 25
0 11. 13. 4
1
0 14. 9
25
17. 5
6
0 18. 3
7
21. 4
9
0 22. 8
7
0 23. 4
3
4
0 24. 5
24
0 25. 7
12
0 26. 27. 9
20
0 28. 6
16
0 29. 2
8
30. 4
32 31. 3
18 32. 2
2 33. 2
4 34. 4
4 35. 36. 4
4 37. 6
9
0 38. 42. 8
14
15 43. 9
45. 12
9
31 46. 10
9
9
0 47. 24
48. 8
30
27 49. 3
10
6
0 50. 2
4
51. 3
6
0 53. 9
1
3
9
3
54. √2
5 55. √3
4 56. 57. √7
5 58. 2√3
1 59. 0 3 12 0 41. 6
20 44. 2
0 36
19 40. 18
0 52. 5
4
2
10
2
27
6
39. 6
0 2
17
0 36 21
√5
3√2
65 3
0 6
0 2 8 237 Respuestas a los problemas impares anteriores: 2,0 3) 0,
1)
11) 2√3, 2√3 13) 17) √
√
,
4,1 25) 33) 1
√
√
,
√
√
√5 35) √
,
,
45) 53) √
√
15) √
,
√
√
,
Se racionalizó el denominador ,
√
,
,
,
Se racionalizó 21) 4, 3 27) 4,5 29) 43) √
51) 57) √5, 1
,
,
Se racionalizó 19) 23) 41) , 0 7) 2, 2 9) √2, √2 5) 2,4 31) 37) 47) 55) ,
√
√
3,6 ,
3, 3 39) 49) ,
√
√
,
√
4√2, √2 59) IV.
Contesta cada una de las siguientes preguntas:
1. Si el área del triangulo siguiente es 48
, ¿Cuál valor de " " ? 4 238 2. Si se sabe que el perímetro del triángulo mostrado es de 74 unidades, ¿cuál de las opciones es un valor de que satisface la condición del problema? 5 2
13
2
7 2
1 A)
B) 2 D) C) 3. Si la resta de las áreas de los rectángulos es de 816
, ¿cuánto vale ? 60 20 V.
Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique el resultado.
1. √
5
3 2. √
4 6. √3
5 . √4
8. √2
13
√
10
7
2 3. √6
2
5 7. √
1 9. √
2
√
8
3
5
4. √5
√
1
1 10. √2
6
2 3 11
√
2
2 239 5
10 . 4
13 . 7
1
0 11. 12
0 14. 4
10
9
10
0 12. 3
2
0 15. 2
5
7
12
0 4
0 Solución a los problemas de número impar: 1) 2; 3) 2,4; 5) 4; 7) No hay solución; 9) 6 11 . 1, 3 ; 13. √3 , 2 ; 15. 2, tiene solo dos soluciones reales. VI. Resuelva las siguientes ecuaciones que dan lugar a una
ecuación cuadrática:
1.
2 2. 3
4. 12
8
7. 4
5 8. 2
10. 13. 16.
18.
2
0 5. 4 3. 6
1
6. 1 9. 5
1 11. 1 12. 5 14. 5 15. 1
3
5 6 6 3 17.
19.
20.
21.
22.
23.
240 24.
25.
Respuesta a los ejercicios con número impar: 1.
2,4 3. ,
5. 1
√3, 1
11. 1
√2, 1
√2 13. 21. 2
√6, 2
√6 23. 2,3 25. √3 7. , 1 15. , 3 9. 2,5 17. 2,4 1,2 19.
3, 2 1,2 241 Saberes Nombre
Instrucciones para
el alumno
Saberes a adquirir
Problemas en palabras que dan lugar a una
No. 2
ecuación cuadrática
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu
profesor
El alumno
adquirirá la
Mediante
Manera didáctica
habilidad para
exposición y
plantear un
de lograrlos
tareas
problema cotidiano
que lleve a su
solución por medio
de una ecuación
cuadrática.
Ejemplo 1. La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus
cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números.
Solución: Primer número Segundo número Planteamiento: esto es, O bien , es decir, Los números son 30 y . Se elimina ‐78 porque no es un número natural. 242 Ejemplo 2. La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus
recíprocos es
. Hallar los números. Solución Primer número Segundo número Nota: Planteamiento: 77
8
77
2
8
77
616
77
2
16 2
16
616
0 8
308
0 14
0 22
14
22
8 0, esto es, 22 0, o sea, 14 8
Los números son 14 y 14
22 Se elimina 22, puesto que no es número natural Ejemplo 3. Una persona realizó un trabajo por $192 dólares. El trabajoEl trabajo
le llevó 4 horas más de lo que suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de
lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo ese trabajo?
Solución: Sea horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo. Razonamiento: La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria real que ganó la persona. 2.40
Planteamiento: 4
192
192
768
2.4
2.4
2.4
4
192 9.6
192 9.6
768
0 4
320
0 243 20
16
20
0, es decir, O bien 16
0, o sea, 0 20 16 El tiempo esperado para realizar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece de sentido. Ejemplo 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura.
El área del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del
rectángulo.
Solución: Altura Base 2
Planteamiento: 2
4
4
2
2
448 448
224
16
4 0 0 14
16
0, esto es, O bien 14
0, es decir, 0 16 14 La altura del rectángulo es 14 pies y su base es 2 14
4
32 pies. 244 Ejercicios Nombre
Instrucciones
para el
alumno
Actitudes a
formar
Competencias
genéricas a
desarrollar
Manera
didácticas de
lograrlas
A resolver problemas con palabras por medio de
No. 2
ecuaciones de segundo grado
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la
sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu
compañero o a tu profesor.
Manera
Orden
Ejercicios y tareas sobre el
Responsabilidad didáctica de
lograrlas
tema
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en
distintos contextos mediante la utilización de medios,
códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos
diversos.
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
Resuelve los siguientes problemas en palabras que llevan al
planteamiento de una ecuación de segundo grado para su
solución.
1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo
del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.
2. El producto de dos números pares consecutivos es 10 unidades menor que
13 veces el siguiente número par. Halle los dos números.
3. La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los
dos números.
4. La suma de dos números es 25 y la de sus cuadrados es 317. Encuentre
los números.
5. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es
194. Halle los números.
6. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es
305. Obtenga los números.
7. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados
supera en 19 al producto de los números. Determine dichos números
245 8. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el
triple del producto de los números. Halle los números.
9. La suma de dos números es 14 y la de sus recíprocos es
. Obtenga los
números.
10. La diferencia de dos números naturales es 4 y la suma de sus recíprocos es
. Obtenga los números.
11. La diferencia de dos números naturales es 6 y la de sus recíprocos es
.
Halle los números.
12. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes
más, el costo por estudiante habría sido $2 dólares menos. ¿Cuántos
estudiantes fueron a la excursión?
13. Una excursión a esquiar costó $300 dólares. Si hubieran sido 3 miembros
menos en el club, el costó por persona habría sido $5 dólares más.
¿Cuántos miembros hay en el club?
14. Un hombre pintó su casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas
menos de lo que se suponía y entonces ganó $2 dólares más por hora de lo
previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?
15. Una persona realizó un trabajo por $90 dólares. Empleó 3 horas más de lo
que se suponía y entonces gano $5 dólares menos por hora de lo que
esperaba. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo el trabajo?
16. La base de un rectángulo mide 4 pies más que su altura y el área es de 192
pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
17. La base de un rectángulo mide 3 pies más que el doble de su altura y el
área es de 189 pies cuadrados. Halle las dimensiones del ractángulo.
18. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. Las caja debe tener
una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de
5,184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de
metal que debe comprar para construir la caja.
19. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de
los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo
resultante supera en 32 pies cuadrados al área del rectángulo original.
Encuentre la longitus del área del cuadrado.
20. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa 5
pulgadas más que el doble del lado del cuadrado, y cada uno de los otros
lados opuestos se disminuye en 7 pulgadas, el área del rectángulo
resultante supera en 55 pulgadas cuadradas al área del cuadrado inicial.
Halle la longitus del lado del cuadrado.
246 Respuesta a los problemas de número impar: 1) 7;8 3) 9;12 5) 5;13 7) 6;11 9) 6;8 11) 12;18 13) 15 miembros 15) 6 hrs. 17) a = 9 pies, b = 21 pies 19) 8 pies 247 ANEXO
APRENDIENDO A DESPEJAR
I.
Resuélvase las ecuaciones siguientes para la variable indicada.
1)
Despéjese a
3
3
3
3
3
2)
Despéjese r
1
1
1
248 3)
Despéjese b
2
2
2
2
4)
5)
Despéjese s
Despéjese r
3
4
3
4
3
4
249 6)
Despéjese r
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
2
7) De la ecuación de la constante universal de los gases (R); despejar la
presión (P):
8) De la formula de fuerza gravitacional (F), despejar masa m
′
′
′
250 ′
9) De la formula de distancia (d), despejar aceleración (a):
1
2
1
2
2
2
10) De la formula de fuerza recuperadora de un Movimiento Armónico
Simple (MAR), despejar T:
4
4
4
4
Simplificando:
2
251 EJERCICIOS
a) De la formula de aceleración (a) , despejar v
b) De la ecuación de dilatación lineal; Longitud final L es igual a longitud
inicial L mas el coeficiente de dilatación térmica (α) por el diferencial de
temperatura t
t ; despejar la temperatura final t :
c) De la ley de Coulomb, despejar la distancia r:
′
d) De la relación de resistencia en paralelo, despejar la resistencia
1
1
1
e) El área de un cilindro está dada por
f) El nivel de energía de un objeto es
variable m.
2
. Resuelva para h y r.
. Resuelva para la
g) La fórmula que mida la velocidad de oscilación de una masa en un resorte
es:
Donde k, es la constante del resorte. A es la amplitud o desplazamiento
máximo de la masa, x es la distancia a la masa que se mueve. Despejar A.
h) La formula
, aparece en el estudio de la mecánica de
fluidos. Despeje para la variable r y .
252
