Document

PLACAS ZONALES CON ESTRUCTURA FRACTAL
Genaro Saavedra1, Walter D. Furlan1 y Juan A. Monsoriu2
1
2
Departamento de Óptica, Universitat de València, E-46100 Burjassot, España
Departamento de Física Aplicada, Universidad Politécnica de Valencia, E-46022
Valencia, España
1. Intoducción.
El concepto de fractal, que es frecuentemente asociado a ciertos fenómenos naturales, se
ha estudiado en diversos campos científicos y ha despertado el interés de muchos grupos de
investigación en las últimas décadas [1]. En particular, en el campo de la Óptica se ha
estudiado extensivamente la estructura del campo difractado por estructuras fractales [2,3]. Se
ha demostrado que incluso una red de Ronchi genera por propagación libre de la luz que la
atraviesa campos transversales con estructura fractal [4]. Desde el punto de vista experimental
se han ideado dispositivos que permiten ver la evolución del campo difractado por un objeto
fractal 1-D en una única representación [5]. Por otra parte se ha probado que los modos de
ciertos láseres con cavidades inestables presentan propiedades de fractalidad [6,7]. En esta
comunicación se presentan las placas zonales fractales como una nueva familia de objetos
difractantes con simetría de revolución, que poseen múltiples focos con una estructura interna
con propiedades fractales.
2. Teoría básica.
Considérese en primer lugar la irradiancia producida en un punto del eje óptico por un
sistema óptico con una pupila con simetría de revolución p(r) , Dentro de la aproximación de
Fresnel esta magnitud viene dada en función de la distancia R medida desde el plano de la
pupila, por la siguiente expresión
 2π 
I (R) = 

 λR 
2
π 2

∫0 p (ro ) exp − i λR ro  ro d ro
a
2
.
(1)
En la Ec. (1) a es la extensión máxima de la pupila y λ es la longitud de onda de la luz
empleada. Para nuestros fines es conveniente expresar la función transmitancia de la pupila en
términos de una nueva variable definida como
2
r 
ς =  o  − 0.5 ,
a
tal que q(ς) = p(ro)
(2)
Utilizando la coordenada axial normalizada u = a 2 2λR , la irradiancia a lo largo del eje se
puede escribir como
I o (u ) = 4π u
2
+0 .5
2
∫ q (ς ) exp(− i 2πuς ) d ς
−0 .5
2
(3)
Nótese que la irradiancia axial se expresa en términos de la transformada de Fourier de q (ς ) .
Si ahora suponemos que nuestro sistema tiene una pupila asociada con estructura fractal,
como es bien conocido de las propiedades de los fractales [3], la transformada de Fourier de
q (ς ) , es decir la irradiancia axial, también tendrá propiedades de fractalidad. A este tipo de
pupilas las hemos llamado placas zonales fractales (PZF) porque como veremos a
continuación pueden ser construídas a partir de placas zonales convencionales.
Aunque podrían considerarse pupilas de amplitud y fase variables, sin pérdida de generalidad,
utilizaremos pupilas binarias análogas a las placas zonales de Fresnel. Recordemos que una
placa zonal de Fresnel consiste en zonas circulares opacas y transparentes que se disponen
alternativamente y cuyos radios son proporcionales a la raíz cuadrada de los números
naturales. Utilizando la Ec (2) es sencillo obtener que la función q (ς ) para estas pupilas es
una función binaria tipo red Ronchi de período p(véase la Fig. 1a) que puede escribirse como
p −1


q(ς ) = q ZP (ς , p) = rect(ς ) rect mod(ς +
, p) p 
2


(4)
dónde la función mod(x, y) da el resto de la división de x por y. De una forma similar las PZF
se construyen reemplazando la función periódica anterior por una función binaria fractal. Por
ejemplo para un conjunto de Cantor cuya generación se muestra en la Fig. 1b) la
transmitancia de la PZF se expresa como,
S

2
q(ς ) = q FZP (ς , N , S ) = ∏ q ZP  ς ,
i
i=0
 (2 N − 1)

.


(5)
dónde N es el número de zonas claras en la etapa S=1. Nótese que la PZF representada por la
Ec. (5) puede entenderse como una placa zonal de Fresnel con período:
p ( N , S ) = 2 (2 N − 1) ,
S
(6)
pero con algunas zonas claras de menos, como se muestra en la Fig. 2 para el caso particular
de una pupila granada por un conjunto de cantor triadico (N=2, i.e.:el segmento inicial tiene 2
zonas claras) que se extiende hasta la tercera generación S=3.
Figura 1: Esquema para la generación de: a)
Placa zonal de Fresnel. b) Placa zonal fractal
la función pupila
Figura 2: a) Placa zonal de Fresnel para
S=1. b) Placa zonal fractal para S=1
3. Resultados.
Para poder evaluar los resultados de la irradiancia axial proporcionada por las PZF
hemos creído conveniente compararlo con los resultados que se obtendrían con una placa
zonal de Fresnel “equivalente”. La Ec. (3) permite obtener resultados analíticos tanto para las
PZF como para las placas zonales de Fresnel equivalentes. Los resultados para diferentes
etapas de desarrollo S y para N=3 se muestran en la Fig. (3). Nótese que en cada paso la
escala para la coordenada axial es una versión escalada de la anterior en un factor 2N-1=3.
Puede observarse que la posición de los lóbulos centrales de los focos coinciden para ambos
tipos pero la estructura de los focos de la PZF presenta un perfil claramente fractal. De hecho
los patrones de la parte superior de la Fig. (3) son auto-similares. En otras palabras la
irradiancia axial reproduce la auto-similaridad de la PZF. De este modo dada la relación
existente entre las PZF y la irradiancia axial que estas producen al ser iluminadas por una
onda plana, es posible sintetizar perfiles de irradiancia a lo largo del eje óptico que tengan una
estructura fractal. El análisis presentado aquí puede extenderse trivialmente a otras regiones
del espectro electromagnético, como las micooondas y los rayos x, donde las placas zonales
han encontrado numerosas aplicaciones.
Figura 3. Irradiancia axial normalizada vs. coordenada axial obtenida para PZFs en
distintos valores de S (parte superior) y para la placa zonal de Fresnel “equivalente”(parte
inferior)
Agradecimientos
Este trabajo ha sido financiado por el Plan Nacional I+D+I (Proyecto DPI 2000-0774),
Ministerio de Ciencia y Tecnología, España.
Referencias
1. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco (1982).
2. C. Allain and M. Coiltre, Phys. Rev. B 33,3566 (1986).
3. J. Uozumi and T. Asakura, Fractal Optics, Current Trends in Optics Ch. 6, J.C. Dainty
Ed., Academic Press, London (1994).
4. M. Berry, and S. Klein, J. Mod. Opt. 43, 2139 (1996).
5. O. Trabocchi, S. Granieri, and W.D. Furlan, J. Mod. Opt. 48, 1247 (2001).
6. G.P. Karman, G.S. McDonald, G.H.C. New, and J.P. Woederman, Nature 402, 138
(1999).
7. J. Courtial, M.J. Padgett, Phys. Rev. Lett. 85, 5320 (2000).