placas zonales en medios de gradiente de índice: patrones de

PLACAS ZONALES EN MEDIOS DE GRADIENTE DE ÍNDICE: PATRONES DE
DIFRACCIÓN
José Manuel Rivas Moscoso, Carlos Gómez-Reino y María Victoria Pérez
Grupo de Óptica GRIN, Departamento de Física Aplicada, E. U. de Óptica e Optometría,
Universidade de Santiago de Compostela, Campus Sur, 15782 Santiago de Compostela
1. Introducción.
Las placas zonales han jugado y todavía juegan un papel muy importante dentro del
marco de la óptica difractiva. Sus principales aplicaciones prácticas abarcan campos tan
dispares como el de la formación de imagen, la síntesis de hologramas o las medidas de
coherencia [1]. Sin embargo, y a pesar de que son muchos los investigadores que se dedican
al estudio de los medios de gradiente de índice (GRIN), muy pocos han tratado las
propiedades de las placas zonales fuera del espacio libre o los medios homogéneos. Cabe
destacar a este respecto un breve estudio llevado a cabo por Kravtsov y Orlov en 1990 [2].
En este trabajo estudiamos la división en zonas de Fresnel de un frente de onda esférico
en aproximación paraxial dentro de un medio GRIN con perfil de índice parabólico
transversal modulado por una función de gradiente axial arbitraria, para posteriormente
construir placas zonales y analizar los patrones de difracción que estas producen.
2. Propagación y división de un frente de onda en un medio GRIN: radios y áreas
zonales.
Consideremos una fuente puntual dentro de un medio GRIN que se propaga una
distancia z, dando lugar a un frente paraboloidal en aproximación paraxial. A una distancia z′
la distribución de amplitud compleja (ver figura 1) se puede calcular a través de la ecuación
integral [3]
ψ (r ; z ′) = ∫ Σ K (r , r0 ; z ′)ψ (r0 ; z ) d Σ ,
(1)
Figura 1. Geometría para la propagación y división de un frente de onda en un medio GRIN. R(0) corresponde al
radio de curvatura del frente, r0 al radio de las zonas sobre el frente y r′ al camino óptico desde la zona superior
de cada zona hasta el punto de observación (r, z′).
donde K es el propagador en coordenadas cilíndricas para medios GRIN y ψ la amplitud del
frente Σ en z. Sustituyendo las expresiones de estos elementos en la ecuación (1) se tiene [4]
k 2 n02 exp(ikn0 z ′)
1
 kn0

 kn rr 
J0 0 0 
exp i
H& 1 ( z ′)r 2  ∫
2 π H 1 ( z ′)
 2 H 1 ( z ′)
 H 1 ( z )  H 1 ( z ′) 
12
 kn0  H& 1 ( z ) H 2 ( z ′)  2  H& 12 ( z ) 2 
r0  r0 dr0 ,
× expi
+

 r0 1 + 2
 2  H 1 ( z ) H 1 ( z ′)   H 1 ( z ) 
ψ (r; z ′) = −
(2)
siendo J0 la función de Bessel de orden cero y primera especie, H 1 ( z ) y H& 1 ( z ) la posición y
la pendiente del rayo axial en z, y H 1 ( z ′) , H 2 ( z ′) , H& 1 ( z ′) y H& 2 (z ′) la posición y la pendiente
de los rayos axial y de campo en z′ después de propagarse desde z.
Siguiendo el método de Fresnel, en vez de resolver directamente la integral en la
ecuación (2), dividimos el frente en zonas. Para ello extendemos los límites de integración de
0 a una distancia h y calculamos para qué distancias hj se tienen valores extremos, obteniendo
de esta manera que los radios de las zonas toman los valores
h 2j =
jλH 1 ( z ) H 1 ( z ′)
jλH 1 ( z ′) R( z )
=
,
n0 [H 2 ( z ′) H 1 ( z ) + H 1 ( z ′) H& 1 ( z )] n0 H 2 ( z ′) R( z ) + H 1 ( z ′)
(3)
donde R(z) es la curvatura del frente en z, y las áreas se pueden expresar como
h j +1
Σ j = ∫h d Σ j =
j
πλH 1 ( z ′) H 1 ( z )
πλH 1 ( z ′) R(z)
.
=
n0 [H 2 ( z ′) H 1 ( z ) + H 1 ( z ′) H& 1 ( z )] n0 H 2 ( z ′) R( z ) + H 1 ( z ′)
(4)
3. Construcción de placas zonales en medios GRIN: patrones de difracción producidos.
Una vez dividido el frente de manera que zonas consecutivas producen contribuciones a
la perturbación total en un punto que están en oposición de fase, podemos pensar en construir
un obstáculo plano tal que puesto detrás del frente impida el paso de las zonas pares o impares
o cambie su fase en π radianes, provocando de este modo un aumento importante de la
irradiancia observada. Después de un cálculo sencillo se concluye que los radios de los anillos
de este obstáculo (placa zonal) coinciden en primera aproximación con los radios hj de las
zonas en que se dividió el frente y su comportamiento es el de una lente convencional de
distancia multifocal f m = H 1 ( z ′) = n0 h12 H 2 ( z ′) /(mλ ) [4].
Para ver los patrones de irradiancia producidos por las placas zonales que acabamos de
caracterizar, consideremos un frente de onda sobre un plano de transformada de Fourier
( H& 1 ( z ) = 0 ). La curvatura del frente será nula y por tanto el haz es plano. En este plano
situamos una placa zonal de período 2h12 , donde h1 se obtiene de la ecuación (3). La
irradiancia producida en un punto (r, z′) vendrá dada por [5]
I (r ; z ′) =
∞
k 4 n04
 kn H ( z ′) 4 π m   kn0 H 2 ( z ′) 4 π l  
a m al*  0 2
−
−
∑

2
2
2
p   H 1 ( z ′)
p  
4π H 1 ( z ′) H 1 ( z ) m, l = −∞
 H 1 ( z ′)
−1
−1
−1
 k 2 n 02 r 2  kn 0
2π m 
2π l   
 kn 0
H 2( z ′) −
H 2( z ′) −
× exp− i
 −
   . (5)

p 
p   
 4 H 12 ( z ′)  2 H 1 ( z ′)
 2 H 1 ( z ′)
En las figuras 2 y 3 se muestran patrones de difracción y perfiles de irradiancia a lo largo de la
dirección radial, respectivamente, para placas zonales de amplitud y fase en medios selfoc [3].
(a)
(b)
Figura 2. Patrones de difracción en un medio selfoc producidos por (a) una placa zonal de Fresnel de amplitud y
(b) una placa de fase, ambas con período p = 0.1216 mm2, en un medio selfoc con parámetros n0 = 1.5 y g0 = 0.1
mm−1 (posición: z′ = 30.38 mm).
Figura 3. Irradiancia en los planos (a) z′ = 29.4409 mm y (b) z′ = 30.9840 mm para una placa zonal de Fresnel de
amplitud (línea continua) y de fase (línea discontinua). En la gráfica (b) la irradiancia para la placa zonal de fase
se ha reducido en la cantidad que se indica.
Bibliografía.
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
J. Ojeda-Castañeda y C. Gómez-Reino (editores), Selected Papers on Zone Plates, Vol.
MS 128 of SPIE Mileston Series, SPIE Press, Bellingham, Wash., 1996, y referencias
en su interior.
Yu. A. Kravtsov y Yu. I. Orlov, Geometrical Optics of Inhomogeneous Media,
Springer-Verlag, Berlin, 1990.
C. Gómez-Reino, M. V. Pérez y C. Bao, GRIN Optics: Fundamentals and applications,
Springer, Berlin, 2002.
J. M. Rivas-Moscoso, C. Gómez-Reino y M. V. Pérez, J. Opt. Soc. Am. A 19 (2002)
2253.
J. M. Rivas-Moscoso, C. Gómez-Reino y M. V. Pérez, Opt. Express 11 (2003) 81.
Agradecimientos.
Este trabajo ha sido financiado por el Ministerio de Ciencia y Tecnología a través del
proyecto TIC99-0489.