1.5 Metodos de integracion

Métodos de integración.
I) Resolución de Integrales por Cambio de Variable
Consiste en igualar una parte del integrando a una nueva variable, por ejemplo v, llamada
variable auxiliar. Luego de esto, se debe calcular la derivada de la variable auxiliar y
realizar las operaciones necesarias para que ni en el integrando ni en el diferencial aparezca
alguna expresión en términos de la variable original.
Después de realizar el cambio de variable, por lo general, se obtienen integrales más
sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en las lecciones
anteriores. Es importante señalar que el resultado de la integración, debe estar en función
de las variables originales por lo que se acostumbra a emplear el término “devolviendo el
cambio de variable” para reseñar el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece
de la respuesta definitiva.
Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1. Resolver la siguiente integral por el método de cambio de variable.
Sustituimos las variables en la integral inicial.
(
+ 3)
!
"
Si la comparamos con la fórmula 4.
=
+C
Entonces tenemos que:
=
+
=
Ahora obtenemos la derivada de
=
=
=2
+3
+
+0
Despejamos
=
3
Las se eliminan, el
queda:
se saca de la integral y
1
$
2
Ahora aplicamos la fórmula 4.
=
=
=
1
%
&+'
2 3+1
1 (
% &+'
2 4
(
+'
8
Devolviendo el cambio de la variable .
Como
=
+3
El resultado es:
=
(
+ 3)(
+'
8
Ejemplo 2. Resolver la siguiente integral por el método de cambio de variable.
Sustituimos las variables en la integral inicial.
!
cos (3 + 2)
./0
Si la comparamos con la fórmula 9.
./0
= 012
+'
Si consideramos que:
=
+
Ahora obtenemos la derivada de
=
=3 +2
=3
3
+
2
+0
Despejamos
=
El se saca de la integral y queda:
1
$ ./0
3
Ahora aplicamos la fórmula 9.
1
= 012 + '
3
Devolviendo el cambio de la variable .
=3 +2
Como
El resultado es:
=
1
012(3 + 2) + '
3
Ejemplo 3. Resolver la siguiente integral por el método de cambio de variable.
2
Ahora representamos el radical como potencia.
$
1
√3 + 2
$
3
Si consideramos que:
Si pasamos la potencia al numerador, recordemos
=
+
que debe pasar con exponente negativo.
Ahora obtenemos la derivada de .
1
=3 +2
$ 7
3
3
2
Si aplicamos la fórmula 4.
=
+
= 3(2)
+0
=6
Despejamos
=
5
Sustituimos 6
en la integral inicial.
2
$
6 √
Si simplificamos y eliminamos las
queda:
!
√!
=
=
=
=
8
! 9
( ):7
!9
=
9
( ): ;
9
+ C tendríamos:
;
+c
+ c simplificando tenemos que:
!9
+ C si convertimos la potencia a radical.
√!
+C Devolviendo el cambio de la variable .
Como
=3
El resultado es
+2
= √3
+ 2 +C
II) Método de integración por partes.
Este método permite calcular la integral de un producto de funciones aplicando la fórmula:
$<
=< =$
<
Con la finalidad de que recuerdes esta fórmula se sugiere la siguiente regla mnemotécnica.
<
?2
@
<
?2@
@.@
–
10A @
<
1 ?2 B/CD1
Para elegir quién será ? se recomienda considerar el siguiente orden en las funciones:
1° Inversas (x-1, sen-1, cos-1, tan-1 etc.).
2° Logarítmicas
3° Algebraicas
,
E2, E/G .
,3 ,5
(
1A.. .
4° Trigonométricas 012, ./0, A@2, ./A, sec 6 csc .
5° Exponenciales 2" , 3" , 1 " , 1 "
1A.. .
Si tomamos en cuenta la letra inicial de cada tipo de función se formaría la palabra “ILATE”,
la cual no tiene ningún significado pero te ayudara a recordar la prioridad en el orden de las
funciones para la elección de ?.
Ejemplos resueltos.
Aplicando el método de integración por partes, resuelve las siguientes integrales.
Ejemplo 1.
Para elegir a ?.
012
Ahora aplicamos la fórmula:
1° Inversas (x-1, sen-1, cos-1, tan-1 etc.), no hay.
2° Logarítmicas ( E2, E/G), no hay.
3° Algebraicas ( ,
,3 ,5
(
1A.. ), si hay
.
4° Trigonométricas (012, ./0, A@2, ./A, sec 6 csc ).
5° Exponenciales (2 , 3 , 1 , 1
"
"
"
"
Por lo anterior:
derivar
<=
=
012
=?
1A.. ).
<=
integrar
$<
=< =$
<
$ 012
= ( )(=./0 ) = $(=./0 )
$ 012
= ( )(=./0 ) + $(./0 )
$ 012
= ( )(=./0 ) + 012
$ 012
= = LMN + NO
= 012
= =./0
= =./0
Ejemplo 2.
E24
Para elegir a ?.
Ahora aplicamos la fórmula:
1° Inversas (x-1, sen-1, cos-1, tan-1 etc.), no hay.
2° Logarítmicas ( E2, E/G), si hay E24 .
$ E24
Por lo anterior:
< = E24
=
=
derivar
integrar
<=
=
( "
("
=
$<
"
"
=< =$
<
= (E24 )( ) = $( )
$ E24
= (E24 )( ) = $
$ E24
= (E24 )( ) =
$ E24
= P Q =
+.
+L
+L
1"
Ejemplo 3.
Para elegir a ?.
1° Inversas (x-1, sen-1, cos-1, tan-1 etc.), no hay.
2° Logarítmicas ( E2, E/G), no hay.
3° Algebraicas ( , , 3 , 5 ( 1A.. ), si hay
.
Por lo anterior:
?=
=
=O
1
"
=< =$
=(
Ejemplo 4.
Para elegir a ?.
)(1
<
")
= 1 2
"
E2
Por lo anterior:
=
=
=?
=O
1"
=O
1"
=(
)(1 " ) = 2[( 1 " = $ 1 "
$
1"
=
1 " = 2[ 1 " = 1 " ]
$
1"
=
O =
O + O +L
Ahora aplicamos la fórmula:
1° Inversas (x-1, sen-1, cos-1, tan-1 etc.), no hay.
2° Logarítmicas ( E2, E/G), si hay lnx.
3° Algebraicas ( , , 3 , 5 ( 1A.. ).
4° Trigonométricas (012, ./0, A@2, ./A, sec 6 csc ).
5° Exponenciales (2" , 3" , 1 " , 1 " 1A.. ).
?=P
?=
=?
=
$
Ahora aplicamos la fórmula:
$<
?=
=O
1"
)(1 " ) = 2 1 "
Se obtiene otra integral que hay que
resolver por partes.
?=
=?
=(
1"
?=
=
<
$ E2
=< =
<
= (E2 ) %
$ E2
= (E2 ) %
$ E2
= (E2 ) %
$ E2
=%
$ E2
=
$ P
=
2
2
&=$
2
1
&= $
2
2
1
&= % &
2
2 2
E2
&=% &
4
2
E2 =
4
( P
Q
= T)
+L
]
por el método de fracciones parciales.
Este método es utilizado para la integración de funciones racionales propias.
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN RACIONAL. Una función racional es aquella que se
representa mediante el cociente de dos funciones, como se muestra a continuación:
f (x) =
g(x)
h(x)
En donde g(x) y h(x) son funciones que no tienen factores comunes y h(x) debe de ser
diferente de cero.
Si el grado de g(x) es menor que el grado de h(x), entonces f(x) es una función racional
propia. Las siguientes funciones son propias.
f ( x) =
B
4x
2
x +1
" 9 ("7U
"V "9
Si el grado de g(x) es mayor que el grado de h(x), entonces f(x) es una función racional
impropia. Las siguientes funciones son impropias.
B
"V7 " 9
" 9 7(
"7
B( )
"9
"
"7W
El método de integración por fracciones parciales se emplea para integrar funciones
racionales propias. Para resolver la integración de funciones racionales impropias se puede
realizar simplemente la división de los polinomios e integrar cada uno de los miembros del
cociente.
Para que puedas aplicar este método de integración, es importante que recuerdes lo
siguiente:
La factorización.
Solución de sistemas lineales.
Solución de integrales inmediatas.
Las propiedades de los logaritmos.
X/GY (Z[ ) = X/GY Z + X/GY [
Z
X/GY = X/GY Z = X/GY [
[
X/GY Z = 2X/GY Z
X/GY Z
\
X/GY √Z =
2
Una vez que h(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las fracciones parciales
depende de la naturaleza de los factores lineales y cuadráticos involucrados .El número de
constantes por determinar será igual al grado del denominador. Existen cuatro casos.
Caso 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos.
A cada factor lineal ax+b que aparece en el denominador de una función racional propia, le
corresponde una fracción simple de la forma
tendremos que calcular.
^
]
_
, donde A es una constante cuyo valor
Ejemplo 1. Resolver la siguiente integral por el método de fracciones parciales.
$
−5
=1
Primero factorizamos el denominador.
(a +b)(a–b) = a2 – b2
Por lo que:
= 1 = ( + 1)( = 1) Entonces:
"7U
" 97
("
"7U
)("7 )
"7U
(" )("7 )
=
=
"
`
múltiplo (mcm).
("
"7U
)("7 )
=
+
a
"7
En el segundo miembro de la igualdad aplicamos el mínimo común
`("7 ) a("
("
La descomponemos en fracciones parciales.
)("7 )
)
Dado que en los dos miembros de la igualdad tenemos el
mismo denominador, entonces los podernos cancelar. Por lo que:
= 5 = Z( = 1) + [( + 1)
Si efectuamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos los
coeficientes de x y los del término independiente, obtendremos:
= 5 = Z = Z + [ + [ Ordenando de acuerdo al grado de la variable tenemos:
= 5 = (Z + [ ) + (=Z + [)
Ya identificamos los coeficientes x y del término independiente, éstos nos servirán para
construir las ecuaciones que nos permitirán conocer los valores de A y B.
Para la ecuación 1 se consideran los coeficientes de x, que en el miembro derecho de la
igualdad son A+B. En el miembro izquierdo de la ecuación es 1. Por lo que:
Z + [ = 1 Ecuación 1.
Para la ecuación 2 se consideran los coeficientes del término independiente, que en el
miembro derecho de la igualdad son -A+B. En el miembro izquierdo de la ecuación es
Por lo que:
=Z + [ = =5 Ecuación 2.
-5.
Resolviendo la ecuación 1 y 2.
Despejamos A de la Ec 1.
Z
1−[
Sustituimos el valor de A en la Ec 2.
− 1 − [ + [ −5
=1 + [ + [ = =5
2[ = =5 + 1
[=
7(
= =2
[ = =2
Por lo que A:
Z+[ =1
Z + (=2) = 1
]=
Sustituimos los valores de A y B.
=5
Z
[
=
+
( + 1)( = 1)
+1
=1
("
$
"7U
)("7 )
=5
=1
=
+
"
7
"7
3
+1
=$
Por lo que:
=$
2
=1
Integrando nos queda:
$
$
=5
=1
=5
=1
= 3$
+1
= 2$
=1
= 3X2( + 1) = 2X2( = 1) + '
Aplicando propiedades de los logaritmos.
$
=5
=1
"7U
"97
= X2( + 1) = X2( = 1) + '
b ("
=b
)V
+C
("7 )9
Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten.
Ejemplo. Resolver la siguiente integral por el método de fracciones parciales.
2 =4
= = +1
$
Factorizamos el denominador utilizando la división sintética.
1
=
=
+1
-1
-1
+1
1x1=1 0x1=0 -1x1=-1
1
0
-1
a=1
0
=
= + 1 = ( = 1)(
=
= + 1 = ( = 1)( = 1)( + 1) Observamos que el factor que se repite es (x-1).
= 1) Pero también (a +b)(a–b) = a2 – b2
Como el factor que se repite es ( = 1) , se deberá escribir la fracción con el denominador
( = 1) y todas las potencias inferiores.
"7(
" V 7" 9 7"
= ("
2 =4
=
= = +1
"7(
Descomponemos en fracciones parciales.
)("7 )9
Z
[
'
+
+
+ 1 ( = 1)
( = 1)
En el segundo miembro de la igualdad aplicamos el mínimo común múltiplo (mcm).
2 =4
Z( = 1) + [ ( + 1) + ' ( + 1)( = 1)
=
= = +1
( + 1)( = 1)
Dado que en los dos miembros de la igualdad tenemos el mismo denominador, entonces los
podernos cancelar. Por lo que:
2 = 4 = Z( = 1) + [( + 1) + '( + 1)( = 1)
Si efectuamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos los
coeficientes de x2, x y los del término independiente, obtendremos:
2 =4=Z
= 2Z + Z + [ + [ + '
='
Ordenando de acuerdo al grado de la variable tenemos:
2 = 4 = (Z + ' )
+ (=2Z + [ ) + (Z + [ = ')
Ya identificamos los coeficientes x2, x y del término independiente, éstos nos servirán para
construir las ecuaciones que nos permitirán conocer los valores de A, B y C.
Para la ecuación 1 se consideran los coeficientes de x2, que en el miembro derecho de la
igualdad son A+C. En el miembro izquierdo de la ecuación es 0 porque no existe término
cuadrático. Por lo que:
Z+'
0
Ecuación 1.
Para la ecuación 2 se consideran los coeficientes de x, que en el miembro derecho de la
igualdad son -2A+B. En el miembro izquierdo de la ecuación es 2. Por lo que:
−2Z + [ = 2
Ecuación 2.
Para la ecuación 3 se consideran los coeficientes del término independiente, que en el
miembro derecho de la igualdad son A+B-C. En el miembro izquierdo de la ecuación es -4.
Por lo que:
Z + [ = ' = =4
Ecuación 3.
Resolvemos el sistema de ecuaciones.
Z+' =0
La ec 1 la multiplicamos por 2.
2Z + 2' = 0
=2Z + [ = 2 Ecuación 2.
[ + 2' = 2
Ec 4.
Z + [ = ' = =4 Multiplicamos la Ec 3 por 2.
2Z + 2[ = 2' = =8
=2Z + [
=2
3[ = 2' = =6
Ec 5.
Sumamos Ec 4 y Ec 5.
[ + 2' = 2
.
3[ = 2' = =6
4[ = =4
=2Z + [ = 2
=2Z = 1 = 2
]==
d=
c = =T
Sustituimos el valor de B en la Ec 2.
Sustituimos los valores de A, B y C.
2 =4
= = +1
$
"7(
=
"7(
==
" V 7" 9 7"
" V 7" 9 7"
"7(
" V 7" 9 7"
logaritmos.
"7(
" V 7" 9 7"
"7(
" V 7" 9 7"
Z
[
'
+
+
+ 1 ( = 1)
( = 1)
=
V
9
7
"
7
+
"
"
+
("7 )9
=1
"
("7
= = X2( + 1) +
)9
"7
V
9
Sacamos las constantes.
("7 )
"
+
Aplicando la integración nos queda:
("7 )
+ X2( = 1 ) +C
V
Aplicando propiedades de los
V
= X2( + 1)79 + "7 + X2( = 1 )9 +C
V
V
= X2( + 1)79 ( = 1)9 +
"7
+.
Caso 3. Todos los factores cuadráticos (irreducibles) del denominador
son distintos.
Por cada factor cuadrático irreducible de la forma ax2+bx+c que se encuentre en el
`" a
denominador, le corresponde una fracción de la forma 9
e"
Y" f
Ejemplo 1.
Resolver la siguiente integral.
$
5
+3 =2
+2
Factorizamos el denominador.
$
5
+3 =2
( + 2)
Descomponemos en fracciones parciales. Como
5
+3 =2 Z +[
'
=
+
( + 2)
+2
es irreducible aplicamos lo siguiente:
En el segundo miembro de la igualdad aplicamos el mínimo común múltiplo (mcm).
5
+ 3 = 2 (Z + [ )( + 2) + '
=
( + 2)
( + 2)
Dado que en los dos miembros de la igualdad tenemos el mismo denominador, entonces los
podernos cancelar. Por lo que:
5
+3 =2=Z
+ Z2 + [ + 2[ + '
5
+ 3 = 2 = (Z + ')
Si efectuamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos los
coeficientes de x2, x y los del término independiente, obtendremos:
+ (2Z + [) + 2[
Ya identificamos los coeficientes x2, x y del término independiente, éstos nos servirán para
construir las ecuaciones que nos permitirán conocer los valores de A, B y C.
Para la ecuación 1 se consideran los coeficientes de x2, que en el miembro derecho de la
igualdad son A+C. En el miembro izquierdo de la ecuación es 5. Por lo que:
Z+' =5
Ecuación 1.
Para la ecuación 2 se consideran los coeficientes de x, que en el miembro derecho de la
igualdad son 2A+B. En el miembro izquierdo de la ecuación es 3. Por lo que:
2Z + [ = 3
Ecuación 2.
Para la ecuación 3 se consideran los coeficientes del término independiente, que en el
miembro derecho de la igualdad son 2B. En el miembro izquierdo de la ecuación es -2. Por lo
que:
2[ = =2
Ecuación 3.
Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que:
A=2
B= -1 y C=3
Sustituimos los valores de A, B y C.
$
5
U" 9
"V
$
$
5
5
U" 9
$
$
"V
5
5
+3 =2
+2
"7
"9
=
+3 =2
+2
+3 =2
+2
"7
"9
=$
Z +[
"7
"9
=$
+
2
= E2
= = + E2
+3 =2
+2
+3 =2
+2
"
=
"
1
+$
'
+2
Descomponemos la primera integral y nos queda:
=$
+$
3
+2
+ 3X2( + 2) + '
+ 3X2( + 2) Aplicando las propiedades de los logaritmos.
1
= = + E2
1
= = + ln(
+ X2( + 2) + '
) ( + 2) + '
Caso 4. Algunos factores cuadráticos (irreducibles) del denominador se repiten.
Para cada factor de la forma @ + i + .
que se encuentre en el denominador, le
corresponde una suma de n fracciones de la forma:
Z +[
@ +i +.
+
@
' +j
+i +.
7
+⋯
l +m
@ +i +.
Ejemplo resuelto.
$
+2 +1
(+2
+1
Factorizando tenemos que:
$
(
+2 +1
+2 +1
=$
+2 +1
( + 1)
Como el término ( + 1) es irreducible y es el factor que se repite, se deberá escribir la
fracción con el denominador ( = 1) y todas las potencias inferiores.
+2 +1 Z +[
' +j
=
+
( + 1)
+ 1 ( + 1)
En el segundo miembro de la igualdad aplicamos el mínimo común múltiplo (mcm).
+ 2 + 1 (Z + [ )( + 1) + (' + j)
=
( + 1)
( + 1)
Dado que en los dos miembros de la igualdad tenemos el mismo denominador, entonces los
podernos cancelar. Por lo que:
+ 2 + 1 = (Z + [ )( + 1) + (' + j)
Si efectuamos las operaciones del segundo miembro de la igualdad y agrupamos los
coeficientes de x2, x y los del término independiente, obtendremos:
+ 2 + 1 = (Z + [ )(
+ 2 + 1 = Z(
+ 1) + (' + j)
)+Z +[
+[+' +j
Ordenando de acuerdo al grado de la variable tenemos:
+ 2 + 1 = Z(
)+[
+ (Z + ' ) + ([ + j)
Ya identificamos los coeficientes x3, x2, x y del término independiente, éstos nos servirán
para construir las ecuaciones que nos permitirán conocer los valores de A, B, C y D.
Para la ecuación 1 se consideran los coeficientes de x3, que en el miembro derecho de la
igualdad son A. En el miembro izquierdo de la ecuación es 0 porque no existe término
cúbico. Por lo que:
Z
0
Ecuación 1.
[
1
Ecuación 2.
Para la ecuación 2 se consideran los coeficientes de x2, que en el miembro derecho de la
igualdad son +B. En el miembro izquierdo de la ecuación es 1. Por lo que:
Para la ecuación 3 se consideran los coeficientes de x, que en el miembro derecho de la
igualdad son A+C. En el miembro izquierdo de la ecuación es 2. Por lo que:
2
Z+'
Ecuación 3.
Para la ecuación 4 se consideran los coeficientes del término independiente, que en el
miembro derecho de la igualdad son B+D. En el miembro izquierdo de la ecuación es 1. Por
lo que:
B+D= 1
Ecuación 4.
Resolvemos el sistema de ecuaciones y encontramos que:
A=0, B=1, C=2 y D=0.
Sustituimos los valores de A, B y C.
+2 +1
0 +1
2 +0
$
=$
+$
( + 1)
+1
( + 1)
$
+2 +1
( + 1)
=$
+1
+$
(
2
+ 1)
Resolvemos las integrales por separado.
"9
"
(" 9
$
= n@27
"
)9
==
+2 +1
( + 1)
"
"9
= n@2 7
Aplicando la fórmula 22.
Se resuelve por cambio de variable.
= n@2 7
=
1
+'
+1