AEC2pauta - Diego Espinoza Emmer

Universidad Diego Portales.
Escuela de Industrias, Facultad de Ingeniería.
Modelos Estocásticos; 2do semestre de 2014.
Profesor: Franco Basso
Ayudantes: Diego Espinoza
Ayudantía Extra
Problema 1
Una gran marca de Retail esta pronto a abrir un nuevo local, se ha estructurado un sistema
para atraer al público esperado para su apertura, en el cual los clientes se hacen socios
teniendo algunos beneficios de compra. Los clientes llegan al nuevo local de acuerdo a un
procesos de poisson {N(t), t>=0} a tasa 𝜆 =
𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
. Se sabe que del total de clientes que
llegan a comprar al centro comercial, el 70% son clientes registrados (socios) y el 30% son
clientes no registrados (no socios), los cuales llegan a comprar al local comercial en forma
independiente. Además el modelo asume que cada cliente compra al menos algún artículo.
Solución:
Sean:
N(t) = N° de clientes en [0,t] que llegan a comprar a tasa 𝜆
Ns(t) = N° de clientes socios en [0,t] que llegan a comprar a tasa 0.7 𝜆
Nn(t) = N° de clientes no socios en [0,t] que llegan a comprar a tasa 0.3 𝜆
a) Determine una expresión simplificada para la probabilidad de que durante las 2
primeras horas lleguen m socios a comprar al local.
𝑃{𝑁𝑠(2) = 𝑚} =
7𝜆
7𝜆
𝑒 −10∗2 ∗ (10 ∗ 2)𝑚
𝑚!
b) Determine una expresión simplificada para la probabilidad de que dado que han
llegado 5 clientes al local, todos ellos sean socios.
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5/ 𝑁(𝑡) = 5}
=
=
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5 Λ 𝑁(𝑡) = 5}
𝑃{𝑁(𝑡) = 5}
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5 Λ 𝑁(𝑡) − 𝑁𝑠(𝑡) = 5 − 5}
𝑃{𝑁(𝑡) = 5}
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5 Λ 𝑁𝑛(𝑡) = 0}
𝑃{𝑁(𝑡) = 5}
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5} ∗ 𝑃{𝑁𝑛(𝑡) = 0}
𝑃{𝑁(𝑡) = 0}
𝑒 −0.7𝜆𝑡 (0.7𝜆𝑡)5 𝑒 −0.3𝜆𝑡 (0.3𝜆𝑡)0
∗
0!
5!
= 0,75 = 0,16807
−𝜆𝑡
𝑒 (𝜆𝑡)5
5!
c) Calcule el número medio de clientes no socios que compran algún artículo en los
primeros 45 minutos.
45
45
9
𝐸 {𝑁𝑛 ( )} = 0.3𝜆 ∗
=
𝜆
60
60 40
d) Si se sabe que han llegado n clientes al local determine una expresión simplificada para
la probabilidad de que, de estos, k de ellos hayan sido socios y el resto no socios.
Demuestre que se puede calcular como un modelo binomial.
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 𝑘/ 𝑁(𝑡) = 𝑛}
=
=
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5 Λ 𝑁(𝑡) = 5}
{𝑁(𝑡) = 𝑛}
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5 Λ 𝑁(𝑡) − 𝑁𝑠(𝑡) = 𝑛 − 𝑘}
𝑃{𝑁(𝑡) = 𝑛}
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5 Λ 𝑁𝑛(𝑡) = 𝑛 − 𝑘}
𝑃{𝑁(𝑡) = 𝑛}
𝑃{𝑁𝑠(𝑡) = 5} ∗ 𝑃{𝑁𝑛(𝑡) = 𝑛 − 𝑘}
𝑃{𝑁(𝑡) = 𝑛}
𝑒 −0.7𝜆𝑡 (0.7𝜆𝑡)𝑘 𝑒 −0.3𝜆𝑡 (0.3𝜆𝑡)𝑛−𝑘
∗
𝑘!
𝑛 − 𝑘!
𝑒 −𝜆𝑡 (𝜆𝑡)𝑛
𝑛!
Simplificado
𝑛!
7 𝑘
3 𝑛−𝑘
∗( ) ∗( )
(𝑛 − 𝑘)! 𝑘! 10
10
𝑛
( ) (0.7)𝑘 (0.3)𝑛−𝑘
𝑘
Queda entonces demostrado.
Problema 2
Suponga que en un proceso productivo se tiene dos máquinas que trabajan en paralelo
elaborado un mismo producto. Sean N1(t) y N2(t) procesos de poisson independientes de tasa
𝜆 1 y 𝜆 2 respectivamente, cuente el n° de fallas hasta el instante t de la Maquina 1 y Maquina
2. Calcular la probabilidad de que la Maquina 2 falle por primera vez antes de que falle la
Maquina 1 por primera vez.
Solución:
Definimos:
𝑇11 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 1
𝑇12 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 2
Problema 3
A un proceso productivo llegan piezas a ser procesadas de acuerdo a un proceso de poisson a
tasa 𝜆 =
12 𝐶𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
.
ℎ𝑜𝑟𝑎
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en los primeros 45 minutos lleguen m piezas?
3
𝑒 −𝜆1 𝑡 (12 ∗ 0.75)𝑚
𝑃 {𝑁 ( ) = 𝑚} =
4
𝑚!
b) Si en la primera hora llegan 9 piezas ¿Cuál es la probabilidad de que en los primeros 30
minutos hayan llegado exactamente 5 piezas?
1
= 𝑃{𝑁 ( ) = 5 / 𝑁(1) = 9}
2
=
𝑃{𝑁(1/2) = 5 Λ 𝑁(1) − 𝑁(1/2) = 9 − 5}
𝑃{𝑁(1) = 9}
=
𝑃{𝑁(1/2) = 5} ∗ 𝑃{𝑁(1/2) = 4}
𝑃{𝑁(1) = 9}
1
𝑒 −12∗2 (12 ∗ 1/2)5 𝑒 −12∗1/2 (12 ∗ 1/2)4
∗
4!
5!
−12∗1
𝑒
(12 ∗ 1)9
9!