divisibilidad - Mestre a casa

DIVISIBILIDAD
1.-MÚLTIPLOS Y DIVISORES
1.1.-DEFINICIONES
• Un número a es múltiplo de otro ‘b’ si se obtiene multiplicando este último por un número natural
•
Ej: 15 es múltiple de 5 porque 15=5·3 Î Se escribe 15 = 5
• Un número ‘b’ es divisor de otro ‘a’ sí al dividir el segundo (a) entre el primero (b ) la división es exacta
es decir b:a tiene resto 0. También se dice que a es divisible por b
Ej: 5 es divisor de 15 porque 15: 5=3 Î Se escribe: 5 15
a es múltiplo de b
⎫
⎪
b es divisor de a
a
⎪
⎬ si la división es exacta
a es divisible por b
b
⎪
a y b tienen relación de divisibilidad ⎪⎭
En resumen, diremos que:
* Cálculo de todos los divisores de un número
Por calcular todos los divisores de un número procedemos de la siguiente manera:
- Dividimos el número, ordenadamente, entre la serie de números naturales más pequeños que este
número, empezando por el 1 hasta que el cociente obtenido sea menor o igual que el divisor
- Escribimos ordenadamente los divisores y los cocientes de las divisiones que hayan resultado exactos.
Ejemplo: Calcularemos todos los divisores de 24
24:1=24
24:2=12
24:3= 8
24:4= 6
24:5= X (No es exacta)
24:6=4
D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}
1.2.- CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por:
⇒ 2 cuando acaba en 0 o en cifra pareja
Ejemplos: Son divisibles por 2: 24,38,40,12,96..( ya que acaban en cifra par).
⇒ 5, cuando acaba en 0 o 5
Ejemplos: Son divisibles por 5: 20,35,40,955..(pues acaban en 0 o 5).
⇒ 3, cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3
Ejemplo: 34524 es divisible por 3 porque 3+4+5+2+4=18, que es divisible por 3
⇒ 11, cuando la diferencia entre la suma de las cifras a que ocupan lugar par y la suma de las cifras a
que ocupan el lugar impar es 0, o un múltiple de 11
Ejemplo:67397 es divisible por 11 porque (6+3+7)-(7+9)=16-16=0
2.- NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
2.1.- DEFINICIONES
⇒ Un número es primo si sólamente tiene dos divisores diferentes, la unidad y él mismo
Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
⇒ Un número es compuesto si tiene más de dos divisores diferentes.
Ejemplos: 12, 4, 25, 49, 121, 100...
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2.2.- DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Descomponer un número en factores primeros quiere decir expresarlo como producto de números
primos. Eso se llama descomposición factorial
40=4·10
40=8·5
No es descomposición en factores primos ( 4 y 10 no son primos)
No es descomposición en factores primos ( 8 no es primo)
40=2·2·2·5=23·5 Esta es la descomposición en factores primos
Realicemos la descomposición en factores primos de 36
Î
36 = 2 ·3
2
2
3.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
3.1.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( MCD )
ƒ El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor de los divisores que estos números
tienen en común
Ej: MCD(18,24)
Divisores (18)={1,2,3,6,9,18}
Divisorres (24)={1,2,3,4,6,8,12,24}
El mayor del divisores comunes es 6. Entonces MCD(18,24)=6
Para calcular el MCD:
1r: Haremos la descomposición factorial de los números
2n: El MCD será el producto de los factores comunes elevados al menor
exponente
3.2.- MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO(mcm)
ƒ El mínimo común múltiplo (m c m) de dos o más números es el menor de
los múltiplos que estos números tienen en común
Ej: mcm(4, 6)
Múltiplos(4)={ 4,8,12, 16, 20,24,28,...}
Múltiplos(6)={6,12,18,24,30, 36, 42... }
El menor del múltiplos comunes es 12. Entonces mcm (4, 6)=12
Para calcular el mcm:
1º: Haremos la descomposición factorial de los números
2º: El mcm será el producto de los factores comunes elevados al mayor
exponente y los no comunes
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