fís. moderna

Física
Física moderna
DEPARTAMENTO DE
FÍSICA E QUÍMICA
20/05/11
Nombre
Problemas
[6 Ptos.]
1. El trabajo de extracción del sodio es 2,46 eV.
a) ¿Cuál es la longitud de onda de una radiación que al incidir sobre una célula fotoeléctrica de sodio,
produce electrones cuyo potencial de frenado es de 1,54 V?
b) Si se intentase producir efecto fotoeléctrico con radiación del doble de longitud de onda que la del
apartado anterior, ¿se conseguiría?
En caso afirmativo, determina la velocidad máxima de los electrones emitidos. En caso negativo, calcula la longitud de onda umbral e indicar a qué color corresponde.
400 nm
500 nm
violeta
azul
600 nm
verde
amarillo
700 nm
anaranjado
rojo
60
60
0
0
2. Un (1,00) miligramo de 60
νe siendo el pe27Co se desintegra de acuerdo con la reacción 27Co → 28 Ni + -1e + 0 ̄
ríodo de semidesintegración igual a 5,271 años. Halla:
a) La energía que se habrá desprendido cuando se haya desintegrado totalmente.
b) El número de desintegraciones por segundo en el momento inicial.
DATOS: masas nucleares: m(Co) = 59,919010 u
m(Ni) = 59,915439 u
m(e) = 5,486×10-4 u
1 u = 1,660540×10-27 kg
c = 2,997925×108 m/s
-19
-34
1 e = 1,602189×10 C
h = 6,626176×10 J·s
Cuestiones
[4 Ptos.]
1. Un «tren relativista» se mueve a una velocidad v > 0,1 c a lo largo del eje X respecto a un andén. Desde
la base de un vagón se emite verticalmente un fotón que choca con el techo. La altura interior del vagón
es D. Obtén la expresión del tiempo Δt (medido por un observador situado en el andén), que tarda el fotón en hacer este recorrido, y di si es, con respecto al tiempo propio Δt' = D / c (medido por un observador que viaja en el tren):
A) Igual.
B) Mayor.
C) Menor.
2. La teoría de la relatividad de Einstein está basada en dos postulados. Enúncialos e indica si las opciones
A o B corresponde a uno de ellos.
A) La velocidad de la luz depende de la velocidad relativa del observador respecto a la fuente.
B) El tamaño de un objeto depende de la velocidad a la que se mueve respecto a un observador.
C) Ninguna de las anteriores.
3. Utiliza las ecuaciones de Einstein y Planck, como hizo De Broglie, para obtener la ecuación de la longitud de onda asociada a una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v. Comprueba que el resultado obtenido es:
ln 2
h
m⋅c2
A) λ=
B) λ=
C) λ=
T½
m⋅v
h⋅ f
4. Un átomo de 238
92 U sigue una serie radioactiva que termina en el
las alfa y beta. El número de partículas alfa emitidas es:
A) 3
B) 6
C) 9
214
82
Pb , tras emitir una serie de partícu-
Soluciones
1. El trabajo de extracción del sodio es 2,46 eV.
a) ¿Cuál es la longitud de onda de una radiación que al incidir sobre una célula fotoeléctrica de sodio,
produce electrones cuyo potencial de frenado es de 1,54 V?
b) Si se intentase producir efecto fotoeléctrico con radiación del doble de longitud de onda que la del
apartado anterior, ¿se conseguiría?
En caso afirmativo, determina la velocidad máxima de los electrones emitidos. En caso negativo, calcula la longitud de onda umbral e indicar a qué color corresponde.
DATOS: 1 e = 1,602189×10-19 C h = 6,626176×10-34 J·s
c = 2,997925×108 m/s
400 nm
500 nm
600 nm
700 nm
violeta
azul
verde
ama
rillo
anaranjado
rojo
Solución
Datos
q e :=1,602189×10−19 C
Carga del electrón:
Constante de Planck: h :=6,626176×10−34 J⋅s
Velocidad de la luz en el vacío:
c :=2,997925×108 m / s
eV :=q e⋅1 V=1,60×10⁻¹⁹ J
electrónvoltio:
Trabajo de extracción: W 0 :=2,46 eV=3,94×10⁻¹⁹ J
Potencial de frenado: V f :=1,54 V
Ecuaciones
E ce=q e⋅V
energía cinética máxima de los electrones a partir del potencial de frenado:
E f =W 0 +E ce
de Einstein del efecto fotoeléctrico:
E
=h⋅
f
de Planck:
f
relación entre longitud de onda λ y frecuencia f de una onda luminosa: c = λ · f
f
Cálculos
E ce :=q e⋅V f =2,47×10⁻¹⁹ J
a) energía cinética máxima de los electrones:
E f :=W 0 +E ce=6,41×10⁻¹⁹ J
energía del fotón de la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
Ef
frecuencia del fotón de la ecuación de Planck: f := =9,67×10¹⁴ Hz
h
c
λ := =3,10×10⁻⁷ m
longitud de onda de la radiación:
f
b) Longitud de onda de la segunda radiación:
λ 2 :=2⋅λ=6,20×10⁻⁷ m
c
=4,84×10¹⁴ Hz
λ2
E f2 :=h⋅ f 2 =3,20×10⁻¹⁹ J
Energía de la segunda radiación:
Como E f2<W 0 =true , no se produce efecto fotoeléctrico.
Frecuencia de la segunda radiación:
f 2 :=
De la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la frecuencia umbral es: f 0 :=
La longitud de onda umbral será: λ 0 :=
W0
=5,95×10¹⁴ Hz
h
c
=5,04×10⁻⁷ m que corresponde al color verde.
f0
60
60
0
0
2. Un (1,00) miligramo de 60
̄ siendo el pe27Co se desintegra de acuerdo con la reacción 27Co → 28 Ni + -1 e + 0 ν
ríodo de semidesintegración igual a 5,271 años. Halla:
a) La energía que se habrá desprendido cuando se haya desintegrado totalmente.
b) El número de desintegraciones por segundo en el momento inicial.
Datos: masas nucleares: m(Co) = 59,919010 u
m(Ni) = 59,915439 u
-4
-27
m(e) = 5,486×10 u
1 u = 1,660540×10 kg
c = 2,997925×108 m/s
Solución
Datos
unidad de masa atómica:
masa nuclear del cobalto-60:
masa nuclear del níquel-60:
masa del electrón:
Velocidad de la luz en el vacío:
masa inicial de cobalto:
período de semidesintegración:
u :=1,660540×10− 27 kg
m Co :=59,919010 u
m Ni :=59,915439 u
m e :=5,486×10−4 u
c :=2,997925×108 m / s
m 0 :=1,00 mg=1,00×10⁻⁶ kg
T ½ :=5,271 años=1,66×10⁸ s
Ecuaciones
de Einstein de la relatividad general:
actividad radioactiva:
Δ E=Δ m⋅c2
−dN
A=
=λ⋅N
dt
de desintegración radioactiva:
N =N 0 e−λ t
período de semidesintegración:
T ½=
⇒ ln
( )
N0
=λ t
N
ln 2
λ
Cálculos
a) defecto de masa en la desintegración β:
cantidad inicial de cobalto-60:
masa total convertida en energía:
energía total desprendida:
Δ m:=mNi +m e−m Co=-0,00302 u /átomo de cobalto
m
N 0 := 0 =1,01×10¹⁹ núclidos de cobalto-60 en 1 mg
mCo
mt :=Δ m⋅N 0 =-3,04×10¹⁶ u m t =-5,04×10⁻¹¹ kg
Δ E :=m t⋅c2 =-4,53×10⁶ J
ln 2
=4,17×10⁻⁹ s−1
T½
A :=λ⋅N 0 =4,19×10¹⁰ Bq
número de desintegraciones por segundo en el momento inicial:
b) constante de desintegración radioactiva:
λ :=
Cuestiones
1. Un «tren relativista» se mueve a una velocidad v > 0,1 c a lo largo del eje X respecto a un andén. Desde
la base de un vagón se emite verticalmente un fotón que choca con el techo. La altura interior del vagón
es D. Obtén la expresión del tiempo Δt (medido por un observador situado en el andén), que tarda el fotón en hacer este recorrido, y di si es, con respecto al tiempo propio Δt' = D / c (medido por un observador que viaja en el tren):
A) Igual.
B) Mayor.
C) Menor.
Solución:
Desde el sistema de referencia propio ligado al tren, el tiempo que tarda el fotón en recorrer la altura D del
vagón es
ΔtP = D / c
Desde el sistema de referencia exterior ligado al andén, el movimiento del fotón no es vertical sino oblicuo.
En un tiempo Δt medido por el observador del andén, la distancia que recorre el tren que se mueve con la
velocidad v es
d = v · Δt
y la distancia que recorre el fotón es la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
donde la velocidad c de la luz es la misma que la del sistema ligado al tren, por los
postulados de Einstein de la relatividad especial.
En el triángulo rectángulo se cumple que:
(c · Δt)2 = (v · Δt)2 + (c · ΔtP)2
c · ∆tp
D' = c · Δt
c
t
·∆
v · ∆t
Agrupando los términos en Δt
c2 · Δt2 – v2 · Δt2 = c2 · ΔtP2
sacando factor común Δt
Δt2 (c2 – v2) = c2 · ΔtP2
y dividiendo por c2 :
Δ t2
(c 2 – v 2 )
= Δ t 2P %DELTA not defined
c2
( )
Δ t2 1 –
Δ t=
v2
= Δ t 2P %DELTA not defined
c2
ΔtP
√
1–
v 2 %DELTA not defined
c2
que suele escribirse como
Δt =  · ΔtP
donde
γ=
1
√
1–
v 2 – not defined
c2
es mayor que la unidad, por lo que el tiempo medido desde el andén es mayor que el tiempo propio (dilatación del tiempo)
2. La teoría de la relatividad de Einstein está basada en dos postulados. Enúncialos e indica si las opciones
A o B corresponde a uno de ellos.
A) La velocidad de la luz depende de la velocidad relativa del observador respecto a la fuente.
B) El tamaño de un objeto depende de la velocidad a la que se mueve respecto a un observador.
C) Ninguna de las anteriores.
Solución:
La teoría de la relatividad especial de Albert Einstein está basada en dos postulados.
1º postulado: No existe ningún medio ni mecánico ni electrodinámico que permita averiguar si
un sistema de referencia se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme
2º postulado: La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores inerciales.
3. Utiliza las ecuaciones de Einstein y Planck, como hizo De Broglie, para obtener la ecuación de la longitud de onda asociada a una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v. Comprueba que el resultado obtenido es:
A) λ=
h
m⋅c2
h not defined B) λ=
h not defined
m⋅v
h⋅ f
C) λ=
ln 2
T_½ not defined
T½
Solución:
Según Planck, la energía de un fotón, partícula asociada a una onda luminosa de frecuencia f, es proporcional a su frecuencia:
Efotón = h·f
Según Einstein la energía de una partícula de masa m es:
E = m · c2
donde c es la velocidad de la luz en el vacío.
La frecuencia y la longitud de onda de una onda luminosa están relacionadas por:
c=·f
Si una onda luminosa lleva asociada una partícula, su momento lineal vendrá dado por
p=m·c
Igualando las dos expresiones de la energía
h · f = m · c2
h· f
= m· c · not defined
c
h
= m·c = p p not defined
λ
Una partícula lleva asociada una onda, de longitud de onda:
λ=
h
h
=
h not defined
p m· v
4. Un átomo de 238
lsup not defined sigue una serie radioactiva que termina en el 214
lsup not defined,
92 U
82 Pb
tras emitir una serie de partículas alfa y beta. El número de partículas alfa emitidas es:
A) 3
B) 6
C) 9
Solución:
Una partícula α es un núcleo de helio: 42 He lsup not defined, una partícula β– es un electrón
fined.
La reacción global es:
238
214
4
0
92U → 82 Pb +a 2 He +b −1 e
Por las leyes de conservación del número atómico (carga) y número bariónico (masa)
238 = 214 + 4 a + 0 b
92 = 82 + 2 a + (-1) · b
Despejando, queda:
a=6
b=2
0
−1
e lsup not de-