Análisis bifurcaciones

Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
Análisis bifurcaciones
Este apartado del proyecto quiere profundizar en el conocimiento de los sistemas
tratados hasta el momento. Además de sacar conclusiones sobre los parámetros y su
influencia para el trazado de las poblaciones de las variables de estado, estudiaremos la
probabilidad de que el sistema se encuentre con puntos de bifurcación reales.
Análisis de Bifurcaciones
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Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
1. Introducción de la teoría de bifurcaciones
A continuación, realizaremos un estudio de bifurcaciones de los parámetros del sistema.
Además de observar sus efectos sobre la cuenca de atracción, con el análisis de
bifurcaciones pretendemos encontrar los valores límites de la estabilidad del sistema en
función de los parámetros.
Antes de continuar con este paso, haremos una pequeña introducción teórica de este
estudio, y las implicaciones que tiene sobre el modelo analizado.
Teoría de bifurcaciones
La teoría de bifurcaciones se encarga del análisis topológico y estructural de un sistema
de ecuaciones diferenciales. Así, podemos estudiar diferentes características de una
familia de ecuaciones matemáticas como, por ejemplo, la cuenca de atracción. En
nuestro caso, veremos cómo cambia el vector de estados en régimen permanente a
través de los parámetros y extraeremos información acerca de los límites de operación.
Veamos un ejemplo clásico:
𝑥̇ = 𝑟 + 𝑥 2
En función del valor de 𝑟 encontramos diferentes tipos de puntos de equilibrio:
El diagrama de bifurcación para los valores de 𝑥 en régimen permanente en función del
valor del parámetro 𝑟 es:
Análisis de Bifurcaciones
65
2. Análisis de bifurcaciones del biestable simple
Consideramos en este apartado, al igual que en los anteriores, y por simplificar el
análisis, que es sistema es simétrico i.e. que los parámetros de las ecuaciones son
parejos. Aunque esto no es cierto, nos ayudará a comprender de forma más directa los
resultados que extraigamos.
Siendo el sistema:
𝑑𝑥1
𝐴
=
− 𝑥1
𝑑𝑡
1 + 𝐵 · 𝑥2𝛼
𝐴′
𝑑𝑥2
=
− 𝑥2
1 + 𝐵′ · 𝑥1𝛼′
𝑑𝑡
Comenzamos con el parámetro A. Los valores que se le asignan a esta magnitud serán
desde 0 a 35.
25
20
15
x2
10
5
0
0
5
10
15
20
25
x1
66
Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
La gráfica muestra los tres caminos que sigue el sistema cuando partimos desde cada
situación de equilibrio y variamos el parámetro A desde 0 a 35. Las tres línea que
aparecen en la imagen se deben al punto de equilibrio del cual parten en el estudio de
bifurcación:
Línea roja
Línea negra
Línea azul
x1 > x2
x1 = x2
x1 < x2
Vemos que existe un punto de bifurcación. Pero antes, veamos los diagramas de
bifurcaciones donde se muestra la evolución de cada variable de estado en función del
valor del parámetro.
Análisis de Bifurcaciones
67
Parámetro: A
Límite inferior: 0
Límite superior: 5
5
4.5
4
3.5
3
x1
2.5
2
1.5
X: 1.9
Y: 0.9744
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
A
3
3.5
4
4.5
5
3
3.5
4
4.5
5
5
4.5
4
3.5
3
x2
2.5
2
1.5
X: 1.9
Y: 0.9743
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
A
Observaciones: Encontramos que existe un punto a través del cual los 3 estados de
equilibrios tienden al mismo y único equilibrio.
Valor crítico: 1.9
68
Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
Parámetro: B
Límite inferior: 0
Límite superior: 5
10
9
8
7
6
X: 0.039
Y: 5.04
x1 5
4
3
2
1
0
0
0.05
0.1
0.15
B
10
9
8
7
6
X: 0.039
Y: 5.023
x2
5
4
3
2
1
0
0
0.05
0.1
0.15
B
Observaciones: De nuevo tenemos un punto de bifurcación que se encuentra en
medio de la imagen. Es interesante cómo afecta el valor de este parámetro a la
evolución de los puntos de equilibrios. Veamos cómo afecta a cada variable de
estado.
Valor crítico: 0.039
Análisis de Bifurcaciones
69
Parámetro: alfa
Límite inferior: 1
Límite superior: 3
10
9
8
7
6
x1
5
4
X: 1.31
Y: 2.441
3
2
1
0
1
1.1
1.2
1.3
1.4
alfa
1.5
1.6
1.7
1.8
1.4
alfa
1.5
1.6
1.7
1.8
10
9
8
7
6
x2
5
4
3
X: 1.31
Y: 2.37
2
1
0
1
1.1
1.2
1.3
Observaciones: También encontramos un punto de bifurcación, al igual que en los
anteriores. Ese punto es el mismo en las tres ocasiones, sólo que alcanzado desde
cada uno de los parámetros.
Valor crítico: 1.31
70
Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
Compendiamos los resultados obtenidos y sus interpretaciones:
Parámetro
𝐴
𝐵
𝛼
Valor límite
1.9
0.039
1.31
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐿𝐴𝐶𝐼
− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝐿𝐴𝐶𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐿𝐴𝐶𝐼 · [𝑐𝐼]𝛼𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑐𝑡𝑒𝑠𝐶𝐼
̇ =
[𝑐𝐼]
− 𝑐𝑡𝑒𝑑𝐶𝐼 · [𝑐𝐼]
𝛽
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟𝐶𝐼 · [𝐿𝑎𝑐𝐼]𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
̇ =
[𝐿𝑎𝑐𝐼]
Recordando el significado de las constantes, podemos establecer una relación entre el
parámetro biológico y su valor límite para no encontrar situaciones no estables o de no
equilibrios.
𝑐𝑡𝑒𝑠 > 1.9
𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟 > 0.039
𝛼, 𝛽 > 1.31
𝑐𝑡𝑒𝑠
> 1.9
1 + 𝑐𝑡𝑒𝑝𝑟
Análisis de Bifurcaciones
71
3. Estudio de bifurcaciones del modelo del biestable
mejorado
Hacer lo mismo que para el biestable simple y pasamos por cada uno de los parámetros
globales y estudiamos si existen puntos de bifurcación, conociendo así valores críticos de
estos.
De nuevo, supondremos que las cinéticas de las reacciones parejas son iguales.
Recordando el sistema:
𝑑𝑚1
𝐴
=
− 𝑑𝑚 · 𝑚1
1 + 𝐵 · 𝑥2𝑎
𝑑𝑡
𝑑𝑚2
𝐴′
=
′ − 𝐾𝐴 · 𝑖1 · 𝑚2 − 𝑑𝑚 · 𝑚2
𝑑𝑡
1 + 𝐵 ′ · 𝑥1𝑎
𝑑𝑖1
𝐴
=
− 𝐾𝐴 · 𝑖1 · 𝑚2 − 𝑑𝑚 · 𝑖1
𝑑𝑡
1 + 𝐵 · 𝑥2𝑎
𝑑𝑖2
= 𝐶 ′ · 𝑚2 − 𝐾𝑃 · 𝑖2 · 𝑥1 − 𝑑 · 𝑖2
𝑑𝑡
𝑑𝑥1
= 𝐶 · 𝑚1 − 𝐾𝑃 · 𝑖2 · 𝑥1 − 𝑑 · 𝑥1
𝑑𝑡
𝑑𝑥2
= 𝐶 ′ · 𝑚2 − 𝑑 · 𝑥2
𝑑𝑡
Los parámetros a analizar serán: A, B, C, KA, KP y alfa.
A pesar de no conocer el equilibrio inestable del sistema estudiaremos cómo varían los
estados estables del biestable mejorado a través de los valores de los parámetros.
Además en los siguientes diagramas de bifurcación, la línea que hace referencia a la
rama inestable del sistema se ha superpuesto como idea cualitativa de lo que debe
ocurrir en entre las dos ramas estables.
En las simulaciones realizadas con algunos toolbox de Matlab, sí que hemos llegado a
encontrar el equilibrio inestable pero sólo para algunos casos específicos sin lograr, una
línea continua que mostrar.
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Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
Parámetro: A
Límite inferior: 0
Límite superior: 5
25
20
15
x1
10
5
X: 0.3
Y: 0.08329
0
-5
0.5
0
1
1.5
2
2.5
1.5
2
2.5
A
25
20
15
x2
10
5
X: 0.3
Y: 2.947
0
-5
0
0.5
1
A
Observaciones: A partir de un valor crítico, tenemos una situación biestable, mientras
que por debajo de éste, el sistema tiende a un único equilibrio
Valor crítico: 0.3
Análisis de Bifurcaciones
73
Parámetro: B
Límite inferior: 0
Límite superior: 0.5
10
9
8
7
6
x1
5
4
3
2
1
X: 0.075
Y: 0.1319
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
B
10
X: 0.075
Y: 9.638
9
8
7
6
x2
5
4
3
2
1
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
B
Observaciones: A partir de un valor crítico, tenemos una situación biestable, mientras
que por debajo de éste, el sistema tiende a un único equilibrio
Valor crítico: 0.075
74
Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
Parámetro: C
Límite inferior: 0
Límite superior: 5
4.5
4
3.5
3
2.5
x1
2
1.5
1
0.5
0
X: 1.8
Y: 0.1301
0
0.5
1
1.5
2
2.5
C
5
4.5
4
X: 1.8
Y: 3.425
3.5
3
x2
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
C
Observaciones: A partir de un valor crítico, tenemos una situación biestable, mientras
que por debajo de éste, el sistema tiende a un único equilibrio
Valor crítico: 1.8
Análisis de Bifurcaciones
75
Parámetro: KA
Límite inferior: 0
Límite superior: 10
5
4.5
4
3.5
3
x1
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
KA
3
3.5
4
4.5
5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
KA
3
3.5
4
4.5
5
5
4.5
4
3.5
3
x2
2.5
2
1.5
1
0.5
0
Observaciones: Este parámetro no afecta a la biestabilidad. Sin embargo, sí que
observamos cómo incrementa el valor de régimen permanente de una de las ramas, y
baja el valor de la otra. Su acción provoca un alejamiento de los puntos de equilibrio.
Aquí encontramos de nuevo otro punto de bifurcación asociado.
Valor crítico: 0
76
Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
Parámetro: KP
Límite inferior: 0
Límite superior: 5
5
4.5
4
3.5
3
x1
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1.5
2
2.5
KP
5
4.5
4
3.5
3
x2
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
KP
Observaciones: La proteólisis afecta a la estabilidad del sistema de la misma forma en
que lo hace la inhibición por ARN antisentido. Así, no encontramos ningún punto de
bifurcación en función de este parámetro.
Valor crítico: -
Análisis de Bifurcaciones
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Parámetro: alfa
Límite inferior: 1
Límite superior: 5
10
9
8
7
6
x1
5
4
3
2
1
X: 1.36
Y: 0.04176
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
alfa
2.2
2.4
2.6
2.8
3
1.6
1.8
2
alfa
2.2
2.4
2.6
2.8
3
10
X: 1.36
Y: 9.747
9
8
7
6
x2
5
4
3
2
1
0
1
1.2
1.4
Observaciones: Este parámetro resulta decisivo para la biestabilidad y muestra un
valor crítico por debajo del cual se precipita a una única situación de equilibrio.
Valor crítico: 1.36
78
Análisis de Bifurcaciones
Modelado, análisis y control de un sistema biológico biestable
Cómo resumen del análisis de bifurcaciones de los parámetros del biestable mejorado,
veamos la tabla de parámetros críticos:
Parámetro
A
B
C
KA
KP
alfa
Valor crítico
0.3
0.075
1.8
0
1.36
Los valores encontrados no llegan a tener demasiado interés por sí mismos. Lo que
resulta interesante es conocer la capacidad de que los parámetros para modificar la
estabilidad del sistema. Para un estudio más profundo del sistema sería necesario tener
unos valores de referencia más específicos.
Análisis de Bifurcaciones
79
80
Análisis de Bifurcaciones