Problemas de ModeJización 1. Un problema común a diversas industrias es el de las pérdidas asociadas al corte de rollos de papel, tela, planchas metálicas etc., para poder cumplimentar los pedidos de los clientes. Este problema deriva del hecho que normalmente las fábricas producen rollos de de anchura estándar (p.ej. 100 pulgadas) y longitud fija (p.ej. 500 pies). Los clientes requieren a menudo rollos de menor anchura para sus usos. Los rollos se cortan en una máquina cuyas cuchillas pueden fijarse a cualquier combinación de anchuras, siempre que la anchura de la combinación no exceda la del rollo. Así, el problema se convierte en el de asignar los pedidos de manera que: a) El número total de rollos estándar usados para satisfacer los pedidos sea mínimo, o bien b) Se minimice la pérdida total, siendo la pérdida la parte de un rollo no usada al ser su anchura menor que cualquier medida pedida, así como el número de rollos cortados que sobran respecto al número de rollos (de cierta anchura) pedidos. Suponiendo que una fábrica de papel de periódico que fabrica rollos están dar de 100", debe satisfacer un pedido de 75 rollos de 24", 50 rollos de 40" y 110 rollos de 32", formular el problema como uno de programación entera, para las dos funciones objetivo anteriores. Sugerencia: enumerar las posibilidades de conar un rollo de anchura 100" en rollos de anchuras 24",40" Y32". Definir como variable de decisión Xia la i-ésima forma de efectuar el corte 2. En el congreso de los diputados hay n comités. El j-ésimo comité tiene Vj vacantes j=l,...,n. Hay m diputados para cubrir las vacantes (m$Lvj). Pij es la preferencia del diputado i por una vacante del comité j (i=l,...,m; j=1 ,n). Cada vacante debe cubrirse por un diputado pero cada diputado puede cubrir, como máximo, vacantes en dos comités. Hay tres tipos de comités: exclusivos, semiexclusivos y no exclusivos. Si un diputado cubre una vacante en un comité exclusivo, no puede cubrir ninguna otra, pero si cubre una vacante en uno semiexc1usivoy -, otra en otro comité, el otro debe ser no exclusivo. Formular este problema corno uno de programación entera sometido a las condiciones dadas que maximice las preferencias. ¿Cúal sería la formulación en el ejemplo numérico siguiente? Diputado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 #vacantes Tipo Agricultura O 1/3 O O O O O O O O O 1/2 1/3 5 Semiex Ba.nc4 1 O O O O O O O O 1 O O 1/2 3 Semiex EduC3Ción Autonomías O 1/2 O 1 O O O 1 O 1 O 1/2 O 1 O O O 1 O O O 1 O O O 1 1 1 Semiex Ex 1 Judicial O O O 1/2 O 1 1/2 O O O O O 1 1 Semiex Ciencia O O O O O 1/3 O O O O O O O 2 Semiex Interior O O O O 1/2 O O O O O O O O 1 Noex COITeas 1/2 1 O O O O 1/3 O O O O O O 1 Noex 3. Plantear el siguiente problema de programaciónmatemática: Una compañía minera desea planificar sus operaciones de laboreo de manera que le permita controlar el grado de plomo que va a los molinos en cada turno. Las minas tienen 15 túneles que han de ser tratados entre los tres turnos de cada día. El porcentaje de plomo y las toneladas de mineral que pueden explotarse por turno en cada tunel son: Tunel 1 2 %Plomo 2 5 Tm min 540 520 3 8 480 4 20 600 5 25 580 6 7 4 8 575 555 8 10 540 9 12 530 10 18 535 11 12 585 12 4 530 13 2 510 14 1 500 15 3 620 En cada turno.se han de trabajar 5 túneles y la combinación de mineral que ha de producir el turno debe contener, como mínimo un 8% de plomo. ¿Qué túneles se trabajan en cada turno? 4. Plantear el siguiente problema: Al realizar el plan de inversiones los responsables de una empresa deben decidir entre 5 proyectos, para los que han estimado las siguientes cifras de inversión e ingresos actualizados en millones de piS: Proyecto A B Inversión 10 20 Ingresos 13 27 C 10 14 D 50 60 E 30 40 Hallar el plan que maximiza el beneficio total, considerando que sólo se pueden invertir 60 millones y que: 1) Los proyectos A y C son incompaúbles 2) Si se invierte en A y B no puede invertirse en E 3) Si se invierte en D ó E. no puede inverúrse ni en A ni en B 4) Si se invierte en C debe invertirse en E 5. Durante la construcción de una presa han de transportarse grandes cantidades de grava apta para la producción de hormigón desde los depósitos hasta la planta de fabricación de hormigón aheja a la presa. La tabla proporciona las cantidades estimadas y los costes de producción y transporte de la grava desde las ubicaciones de los depósitos hasta la planta de fabricación. Ubicacióndeldepósito Canúdad(m3) coste/m3 A 8000 380 pts. B 16000 540 pts. C 8000 340 pts. D 6000 480. pIS. En la construcción de la presa se utilizan tres tipos de hormigón en las cantidades que se indican, que se obtienen mezclando los distintos tipos de grava con cemento y otras componentes según los límites especificados y los costes que da la tabla: Tipo de hormigón 1 2 3 Límites (A+B)S50%. C~10%. D sin limite (A+B)S60%, C~lO%. (C+D)S(A+B) .Q20%. (C+D)?1/2(A+B) coste/m3 580 500 650 Requerimiento (rn3) 6000 15000 8000 FormuJar el problema como un problema lineal, cuyo objetivo es la minimización de los costes de transporte y producción de las cantidades requeridas de los diferentes tipos de hormigón. 2 6. El presidente de la Tim Burr Company desea emplear de la mejor forma posible los recursos madereros en una de sus áreas forestales. En esta zona hay un aserradero y un molino de contrachapado; por tanto, la madera de los árboles puede convertirse en tablas de madera o madera contrachapada. Una tabla de madera vendible de 1000 pies cuadrados requiere 1000 pies cuadrados de pícea y 4000 pies cuadrados de abetO; 1000 pies cuadrados de madera contrachapada requieren 2000 pies cuadrados de pícea y 4000 pies cuadrados de abeto. En la zona hay 32000 pies cuadrados de pícea y 72000 pies cuadrados de abeto. El departamento de ventas exige que, en este periodo, se produzcan 5000 pies cuadrados de tablas de madera y 12000 pies cuadrados de contrachapada. Las contribuciones al beneficio son de 45$ por 1000 pies cuadrados de tablas de madera y 60$ por 1000 pies cuadrados de madera contrachapada. Sean T y C las cantidades (en miles de pies cuadrados) de tablas de madera y madera contrachapada producidas respectivamente. Formular el problema como un modelo lineal. 7. El gerente de una planta de la Compañía de Acero Jericho debe decidir cuantas libras de acero puro Xl y cuantas libras de chatarra X2deben utilizarse en una aleación que se funde para uno de sus clientes. El coste por libra del acero puro es de 3 y el de la chatarra es de 6 (que es superior porque primero deben eliminarse todas las impurezas). El pedido del cliente es de 5 libras, a pesar de que estaría dispuesto a aceptar una producción mayor si la Compañía Jericho se lo exige. Se dispone de 4 libras de acero puro y de 7 de cbatarra. La proporción de chatarra con respecto al acero puro no debe superar los 7/8. En la planta sólo disponen de 18 horas para realizar este pedido; en el proceso total, cada libra de acero puro requiere 3 horas mientras que cada libra de chatarrarequiere sólo 2 horas. Formular el problema como un modelo lineal. 8. El ayuntamiento de la ciudad en la que está ubicada la Compañía Química Fowlayer, le ha exigido que instale y utilice mecanismos para evitar la polución. La compañía comercializa dos productOs;para cada uno de ellos el proceso de manufactura produce una cantidad excesiva de gases irritantes y partículas (sólidos que flotan en el aire). La tabla sigúiente muestra la emisión diaria, en libras, de cada polucionante por cada 1000 galones de producto producido: Libras de Polucioname emitido Tipo de polucionante Gas GM Gas SD Particulas Por 1000 galones de producto 1 24 8 100 Por 1000 galones de produclo 2 36 12 50 La compañía no puede emitir más de Gl, G2 YPl libras de gas GM, gas SD y partículas, respectivamente. El beneficio por cada 1000 galones de los productos 1 y 2 obtenidos por día son Pl y P2 respectivamente. El encargado de producción, ha aprobado la instalación de dos mecanismos antipolutivos. El primero de ellos elimina 75% del gas GM, 50% del gas SD y 90% de las partículas, independientemente del producto que se esté fabricando. El segundo, elimina 33% del gas GM, nada del gas SD y 80% de las partículas en el producto 1, y 25% de CM, nada de SD y 60% de las partículas en el producto 2. El primer mecanismo reduce el beneficio por miles de galones producidos diariamente en q, independientemente del produclo; 3 análogamente, el segundo mecanismo reduce el beneficio en C2 por cada 1000 galones producidos diariamente, independientemente del producto. Las necesidades comerciales requieren que se produzcan por lo menos Rl miles de galones diariamente del producto 1 y R2 miles de galones diarios del producto 2. Si las variables de decisión son: Xl: DÚlesde galones del producto 1 obtenidos diariamente sin utilizar ningún mecanismo antipolutivo xII: miles de galones del producto 1 obtenidos diariamente utilizando el primer mecanismo antipolutivo x12: DÚlesde galones del productO 1 obtenidos diariamente utilizanto el segundo mecanismo antipolutivo. Análogamente. para el producto 2 se defineen x2, x21 YX22. Formular un modelo de optimización apropiado. 9. Una economista de la compañía publicitaria, Flag-Poole Advertising Company, opina que puede conocer la forma óptima de distribuir los dólares invertidos en publicidad de un cliente mediante un programa lineal. Basta con identificar las audiencias a las que quiere dirigirse el cliente- tales corno adolescentes, parejas recién casadas, tercera edad, etc. Sea i el índice que representa la i-ésima audiencia. El cliente debe especificar el nivel de exposición que desea para cada audiencia i, Ei. Entonces se evalua en función de su efectividad cada uno de los medios publicitarios (tales como un anuncio en televisión, un anuncio en color en un suplemento dominical, etc.). Sea j el rndice que representa el j-ésirno -mediopublicitario, y aij la efectividad evaluada de invertir un dolar para la i-ésima audiencia en el j-ésimo medio. Cada variable de decisión se designa por Xj, que representa la cantidad tOtal de dólares que se invierten en el medio publicitario j durante una campaña de promoción. El objetivo del cliente es minimizar el gastOtOtalpublicitario, manteniendo sus niveles deseados de exposición. Suponiendo que hay 4 audiencias y 5 medios publicitarios, escribir el modelo lineal que se describe anteriormente. 10. La Best Tasties Corporation hace cuatro tipos de cereales para el desayuno; Noisies, Soggies, Bursties y Reposies. Cada uno de ellos es un compuesto de ingredientes (granos, vitaminas, azucar y conservantes). Sea i el índice que representa al i-ésimo ingrediente i=I,...,l. Sea aNila cantidad del ingrediente i en una libra de Noisies, y similarmente aSi, aBi Y aRi las cantidades para los otros tres cereales. Supongamos que Mi es la máxima cantidad disponible el próximo mes del ingrediente i para la producción de los cereales. La contribución al beneficio de una libra de Noisies se representa por PN,y similarmente las contribuciones al beneficio de los otros cereales se representan por PS, PB y PRoSean xN, xs, xB YXRlas libras de cada cereal que se van a producir el próximo mes. Por lo menos deben producirse 15000 libras de Noisies, así corno 130000 libras de Soggies, 45000 libras de Bursties y 600000 libras de Reposies. Escribir un programa lineal para obtener un esquema de planificación de la producción óptimo. 11. La compañía Turned-On Transistor Radio Company, fabrica tres modelos de radio, A, B Y C, cuyas contribuciones al beneficio son de 16,30 Y50 respectivamente. La demanda mínima semana] de] modelo A es de 20 unidades, 120 unidades para el modelo B y 60 para el C. . Cada tipo de radio requiere una cierta cantidad de tiempo para la fabricación de componentes, montaje y embalaje. Específicamente, doce unidades del modelo A requieren 3 horas de ~, fabricación,4 horas de montaje y 1 hora de embalaje. Los tiempos correspondientes para una docena de unidades del modelo B son 3.5, 5 Y 1.5, Ypara una docena de unidades del modelo C son 5, 8 Y3. La semana próxima la compañía dispondrá de 120 horas de fabricación, 160 horas de montaje y 48 horas de tiempo de embalaje. Formular un programa lineal para obtener un esquema de planificación de la producción óptimo. 12. Antes de que termine la cosecha la compañía Fickle-Pickle debe efectuar los pedidos de compra de pepinos a cada uno de los N productores. El producto se envía posteriormente a M plantas de producción en las que se transforma en encurtidos. Actualmente se conoce la variación esperada en el tamaño de los pepinos comprados a cada uno de los granjeros. Hay D clases de pepinos (medidos en términos de los tamaños de sus diametros). La i-ésima planta de producción requiere Rik bushels. de pepinos de diámetro k, donde i=l,...,M y k=l,...,D. Sea Xjel número de bushels que se compran al cultivador j, y Uj el máximo número de bushels disponibles del cultivador j. Sea Pjkla fracción de un bushel comprado al granjero j que tienen pepinos de diametro k. (P.ej. si P34=0,5, entonces la mitad de cada bushel comprado al cultivador 3 pertenece a la clase de diametro 4). Por tanto, Pj~O y LPjk=l, tornando la suma en k. El coste por bushel de pepinos comprado al cultivador j es Cjy el coste de transporte por bushel comprado al cultivador j hasta la planta i es Cji.Hay que hotar que, en general, cualquier esquema de pedidos hará que la compañía adquiera más pepinos de determinados tamaños que los que en realidad requiere. Supongamos que después de su encargo, los pepinos se ordenan por su tamaño en el lugar de cultivo y los bushels de pepinos de cualquier tamaño con una proporción superior a la requerida se destruyen "in situ" sin ningún coste adicional. Formular un modelo de optimización apropiado que indique cúantos bushels deben comprarse a cada cultivador y qué tamaños deben tener los pepinos que deben transportarse a cada planta. .Bushel: Medida de áridos correspondiente a 36,36 litros. 13. La gerente de la Boilen Oil Company desea encontrar las proporciones óptimas de dos posibles procesos de mezclado. En el proceso 1, un input de un barril de aceite crudo A y 3 barriles de aceite crudo B produce un output de 50 galones de gasolina X y 20 galones de gasolina Y. En el proceso 2, un input de 4 barriles de aceite crudo A y 2 barriles de aceite crudo Bproduce un output de 30 galones de gasolina X y 80 galones de gasolina Y. Sean Xl y X2los números de barriles que se decide utilizar en el proceso 1 y 2 respectivamente. La cantidad máxima disponible de Acite Crudo A es de 120 barriles y 180 barriles de Aceite Crudo B. El departamento de ventas exige que se produzcan por 10 menos 2800 galones de Gasolina X y 2200 galones de Gasolina Y. Los beneficios unitarios de los Procesos 1 y 2 son pl y p2 respectivamente. Formular este problema de mezclas corno un problema de program.ación lineal. 14. La encargada de High Tail Airflight Company, compañía que opera desde un terminal central dispone de 8 aviones de tipo 1, 15 aviones de tipo 2 y 11 aviones de tipo 3 disponibles para . los vuelos de hoy. Las capacidades de tonelaje (en miles de toneladas) son de 45 para el 5 tipo l. 7 para el tipó 2 y 5 para el tipo 3. La encargada decide enviar aviones a las ciudades A y B. Los tonelajes necesarios (en miles de toneladas) son de 20 para la ciudad A y 28 en la ciudad B; si se proporcionan aviones con un exceso de tonelaje sobre el requerido ello no supone ningún coste extra. Un avión puede volar una única vez por día. El coste de enviar un avión desde el termina]hasta cada ciudades el siguiente: . Tipo1 Tipo2 Tipo3 CiudadA QudadB 23 58 lS 20 1.4 3,8 Sean xI. x2 Y x3las variables que denotan el núniero de aviones de cada tipo que se envían a la ciudad A. y. similarmente. YI. Y2.Y3los aviones enviados a la ciudad B. Formular un modelo lineal para resolver este problema de itineratios. 15. La Glassey-Staire Television Network desea establecer precios competitivos para sus tiempos publicitarios. Lo que sigue es una versión simplificada del problema. Supongamos que hay tres tipos de periodos publicitarios: tarde-noche. entre-semana y SábadolDomingo-tarde (antes de las 6 p.m.). Sean PI. P2 YP3 los precios por minuto en cada uno de los periodos. respectivamente. La compañía vende bloques de tiempo a K grandes compañías publicitarias que tienen un efecto imponante en los precios que se fijan. Se sabe que la compañía k desea adquirir un lote que constiste en aIk, a2k Ya3k minutos en los 3 periodos publicitarios y está dispuesta a pagar Ak dólares por todo el lote. La compañía también vende tiempo a publicitarios menores y piensa que, si los precios son adecuados para los K grandes publicitarios, en total puede vender MI, M2 YM3 minutos de tarde-noche, entre-semana y Sábado/Domingo-tarde, respectivamente. Formular este problema como un modelo de programación lineal. 16. La ciudad de Shlepping. Massachusetts, tiene tres distritos educativos; en cada uno de ellos, la proporción de estudiantes residentes blancos y negros es diferente. El Consejo Educativo (CE) local quiere definir un plan de asignación de estudiantes a los distintos distritOs que, en la medida de 10posible, establezca las mismas proporciones raciales en sus colegios. Entre los planes alternativos posibles, el CE elegirá uno que minimice el coste total de transpone. El CE ha contratado a un consultor para diseñar un plan y ha establecido que la proporción (o fracción) de estudiantes blancos en los colegios de los distritos no debería diferenciarse en más de 0.1 de la proporción de estudiantes blancos en toda la ciudad. (Por ejemplo. si la proporción de estudiantes blancos en toda la ciudad es de 0.73. entonces. la proporción de estudiantes blancos en cada distrito debe estar entre 0.63 y 0.83). A partir de estadísticas publicadas, se sabe que la cantidad de residentes en edad escolar negros y blancos en los Distritos 1.2 Y3 son nl.bl; n2. b2 ; Yn3. b3; respectivamente. El máximo número de estudiantes que pueden ubicarse en los Distritos 1.2 Y3 son NI, N2 YN3, respectivamente. El coste de transporte desde el distrito i hasta el distrito j por estudiante es CijoSupongamos que las variables de decisión Xij,Yij(i:;1!:j) representan las cantidades de estudiantes negros y blancos. respectivamente. que deben transladarse desde el distrito i hasta el distrito j. Formular un modelo de optimización adecuado para diseñar un buen plan. . ,... 17. Problema Trim. La compañía papelera Fine.Webb Paper Company produce rollos de papel de una anchura estándar de 68 pulgadas. (Cada rollo tiene una longitud fija). Los clientes de la compañía, sin embargo, encargan rollos de anchuras menores (y la misma longitud fija que los rollos fabricados). Los pedidos de hoy son de 110 rollos de 22" de ancho, 120 rollos de 20" de ancho y 80 rollos de 12" de ancho. Estas anchuras inferiores se obtienen conando los rollos de anchura estándar. Por ejemplo, la compañía puede decidir conar un rollo en dos rollos cada uno de 22" de ancho y un rollo de 20" de ancho; esto deja un recorte de desperdicio de 4" de ancho del rollo de 68". El encargado de la planificación de la producción desea realizar los pedidos de hoy minimizando los recortes residuales totales. a) Encontrar todas las formas posibles de conar un rollo de 68" de ancho en combinaciones de rollos de 22", 20" Y 12". Se acaba de ilustrar una combinación de este tipo. Calcular la pérdida residual para cada combinación. Etiquetar las combinaciones 1, 2, 3,... Y definir Xicomo el número de rollos que deben conarse según el i.ésimo patrón. b) Formular el problema como un modelo de programación lineal. (Hay que tener en cuenta que cualquier cantidad de rollos más pequeños obtenidos por encima de la demanda del cliente, debe considerarse también como una pérdida). c) Demostrar que la función objetivo también puede escribirse como mili 68(Xl+X2+...). 18. Resolver las cuestiones del problema 17, suponiendo que la anchura del rollo producido es de 100" y que los pedidos de hoy son 110 rollos de 25" de ancho, 120 rollos de 30" de ancho y 80 rollos de 35" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68). 19. Resolver las cuestiones del problema 17 suponiendo q~e la anchura del rollo producido es de 200" y que los pedidos de hoy son de 110 ro11osde 30" de ancho, 120 ra110sde 55" de ancho y 80 rollos de 65" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68). 20. La gerente de la Ay.by.Night Airline, debe decidir las cantidades de jet fuel que deben comprarse a tres posibles vendedores. La compañía reposta sus aviones regulannente en los cuatro aeropuertos desde los que sirve. Las cantidades que pueden distribuir las compañías de aceites el próximo mes son: 275000 galones la Oil Company 1; 550000 galones la Oíl Company 2; y 660000 galones la Oil Company 3. Las cantidades que necesita la compañía aérea son: 110000 galones en el aeropuerto 1, 220000 galones en el aeropuerto 2 y 330000 galones en el aeropuerto 3 y 440000 galones en el aeropuerto 4. Cuando se añaden los costes de transporte a los precios netos de venta por galón, el coste combinado por galón para el jet fuel de cada uno de los posibles vendedores distribuyendo a un aeropuerto específico son los siguientes: Aeropuerto1 Aeropuerto2 Aeropuerto3 Aeropuerto4 Compañía1 10 10 9 11 Compañía2 7 11 12 13 Formular el problema de decisión como un programa lineal. 7 Compañía 3 8 14 4 9 17. Problema Trim. La compañía papelera Fine-Webb Paper Company produce rollos de papel de una anchura estándar de 68 pulgadas. (Cada rollo tiene una longitud fija). Los clientes de la compañía, sin embargo, encargan rollos de anchuras menores (y la misma longitud fija que los rollos fabricados). Los pedidos de hoy son de 110 rollos de 22" de ancho, 120 rollos de 20" de ancho y 80 rollos de 12" de ancho. Estas anchuras inferiores se obúenen cortando los rollos de anchura estándar. Por ejemplo, la compañía puede decidir conar un rollo en dos rollos cada uno de 22" de ancho y un rollo de 20" de ancho; esto deja un recorte de desperdicio de 4" de ancho del rollo de 68". El encargado de la planificación de la producción desea realizar los pedidos de hoy minimizando los recortes residuales totales. a) Encontrar todas las formas posibles de cortar un rollo de 68" de ancho en combinaciones de rollos de 22", 20" Y 12". Se acaba de ilustrar una combinación de este tipo. Calcular la pérdida residual para cada combinación. Etiquetar las combinaciones 1, 2, 3,... Y definir Xicomo el número de rollos que deben conarse según el i-ésimo patrón. b) Formular el problema como un modelo de programación lineal. (Hay que tener en cuenta que cualquier cantidad de rollos más pequeños obtenidos por encima de la demanda del cliente, debe considerarse también como una pérdida). c) Demostrar que la función objetivo también puede escribirse como mm 68(Xl+X2+...). 18. Resolver las cuestiones del problema 17, suponiendo que la anchura del rollo producido es de 100" y que los pedidos de hoy son 110 rollos de 25" de ancho, 120 rollos de 30" de ancho y 80 rollos de 35" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68). 19. Resolver las cuestiones del problema 17 suponiendo que,la anchura del rollo producido es de 200" y que los pedidos de hoy son de 110 rollos de 30" de ancho, 120 rollos de 55" de ancho y 80 rollos de 65" de ancho. (Ahora el coeficiente en el apartado c) ya no es 68). 20. La gerente de la Fly-by-Night Airline, debe decidir las cantidades de jet fuel que deben comprarse a tres posibles vendedores. La compañía reposta sus aviones regularmente en los cuatro aeropuertos desde los que sirve. Las cantidades que pueden distribuir las compañías de aceites el próximo mes son: 275000 galones la Gil Company 1; 550000 galones la Oíl Company 2; y 660000 galones la Gil Company 3. Las cantidades que necesita la compañía aérea son: 110000 galones en el aeropuerto 1,220000 galones en el aeropuerto 2 y 330000 galones en el aeropuerto 3 y 440000 galones en el aeropuerto 4. Cuando se añaden los costes de transporte a los precios netos de venta por galón, el coste combinado por galón para el jet fuel de cada uno de los posibles vendedores distribuyendo a un aeropuerto específico son los siguientes: Aeropuerto1 Aeropuerto2 Aeropuerto3 Aeropuerto4 Compañía1 10 10 9 11 Compañía2 7 11 12 13 Formular el problema de decisión como un programa lineal. 7 Compañía 3 8 14 4 9 21. La Seymour Rayes Manufacturing Company tiene tres plantas de producción en las que produce una componente pequeña para un producto industrial y luego lo distribuye a 5 distribuidores a un precio fijo de distribución de 2.50$ por unidad. Las previsiones de ventas indican que las distribuciones mensuales serán de 2700 unidades al distribuidor 1, 2700 unidades al distribuidor 2, 9000 unidades al distribuidor 3, 4500 unidades al distribuidor 4 y 3600 unidades al distribuidor 5. Las capacidades de producción mensuales son de 4500 en la planta 1,9000 en la planta 2 y 11250 en la planta 3. Los costes netos de producción por unidad son de 2$ en la planta 1, 1$ en la planta 2 y 1,8$ en la planta 3. Los costes de transporte (en dólares) al distribuir una unidad desde cada planta a cada distribuidor son los siguientes: Distr.l Distr.2 Distr.3 Distr.4 Distr.5 Planta1 Planta2 Planta3 0,05 0,08 0.10 0,07 0.06 0.09 0,11 0.10 0,09 0,15 0.12 0.10 0,16 0,15 0,16 Formular un problema lineal que indique las cantidades de producción óptimas en cada planta, y que indique cuantas componentes deben repartirse desde cada planta a cada distribuidor. 22. La Faye Stout Rayon Company ha introducido una nueva fibra sintética de acetato que ha sustituido muchas de sus ventas actuales de rayon. La gran demanda resultante para la fibra sintética junto con las dificultades de producción en la planta hacen que, cuando el cliente lo permita, la compañía realice cambios en la fibra distribuida. Por tanto, es posible que un cliente que haya realizado un pedido de fibra 3, en realidad reciba parte del pedido en fibra 5, cuando el cliente 10 acepte y la compañía Stout no disponga de fibra 3. Incluso con estos cambios, la producción de la compañía no permite satisfacer todas las d~mandas de los clientes para ciertos tipos de fibras. Para cada una de las fibras de las que no se dispone de cantidades suficientes, la compañía quiere satisfacer la misma proporción del pedido de cada cliente. (En otras palabras, si los pedidos totales de la fibra k son de 150000 libras y la compañía sólo dispone de 100000 libras de fibras para estos pedidos, cada uno de los clientes que ha pedido fibra k recibirá únicamente 2/3 del pedido de fibra k realizado; además la cantidad recibida estará formada por fibra k y sustitutos permitidos). Además, en caso de falta de producto, la compañía intenta distribuir a cada cliente la misma parte proporcional correspondiente de la fibra que en realidad encargó. (Por ejemplo, si cuando se han pedido 150000 libras de fibra k, sólo se dispone de 50000 libras de fibra k, entonces cada cliente recibe aproximadamente 1/3 de su pedido en fibra k. Los 2/3 de su pedido restantes pueden llegar- o no- a distribuirse con alguno de los sustitutos permitidos). Supongamos que el número de fibras producidas es de 10 y que hay 70 clientes. Sea Xijkla cantidad de fibra k que se distribuyen al cliente i, para satisfacer su pedido qij de fibra j, donde i=1,2,...70, j=1,2,...1O y k=1,2,...1O. Cuando j;ék, se está distribuyendo un producto sustituto. La cantidad disponible de fibra j es de Aj libras. El coste por libra de distribuir fiora k al cliente i que pidió fibra j es Cijk(este coste puede incluir una penalización por la sustitución; si el cliente i no permite la sustitución de la fibra k por fibra j, este coste puede fijarse a un valor arbitrariamente grande). Sea Xjla fracción de pedido de cada cliente de fibra j que realmente se distribuye (con fibra j y sustitutos permitidos). Para cada cliente i, sea d¡jel coste de penalización 8 por libra de fibra j pedida pero no distribuida (ni con fibra j ni con ninguno de los sustitutos permitidos). Finalmente, exigimos que cada cliente reciba al menos el 95%, pero no más del 105% de la parte proporcional que le correspondería de cada fibra pedida que no puede suplirse por completo. Formular un modelo adecuado de optimización. 23. El departamento de policía de Kleen City necesita diariamente los siguientes policías: Bandahoraria Pmodo #Mínimode policías necesarios en el periodo 2-6 6-10 10-14 14-18 18-22 22-2 1 2 3 4 5 6 22 55 88 110 44 33 Debemos considerar el periodo 1 como el que sigue inmediatamente al periodo 6. Cada persona trabaja 8 horas consecutivas. Sea Xlel número de policías que empiezan a trabajar en el periodo t cada día. El departamento de policía ha contratado los servicios de un experto europeo para obtener un esquema diario que utilice el menor número de policías, cumpliendo los requerimientos anteriores. Formular un modelo lineal par3:encontrar el esquema óptimo. 24. Hacia el 435 A.c. Esparta decidió formar tropas de reserva para complementar su ejercito en activo. Por tanto, podían alistarse nuevos guerreros para periodos de 1, 2, 3 ó 4 años. Sean XIt, X2ltX3t YX4tel númerode guerrerosalistadosen el año t, t=1,2,3,4años respectivamente. Los costes asociados son cIt, C2l,C3tYC4lrespectivamente. Se estableció, que cada año t debía haber un número mínimo de guerreros en la reserva de Rl; Rl variaba cada año. Como general espanano, tu podrías encontrar la política de alistamiento óptima, para los próximos 10 años mediante un programa lineal. Para mayor simplicidad, toma t=1 para d~notar el año 435 AC. 25. El Haut DamWater System comprende varias presas, embalses, afluentes. Uno de ellos, el embalse Gaul Dam se utiliza para recreo (natación, esquí acuatico, canóas, etc.). Es importante mantener la profundidad media de este embalse dentro de unos márgenes prefijados, que varían mensualmente. La jefe de sección del departamento de aguas es responsable de la decisión mensual sobre cúanto agua se debe verter desde la presa de Haut Dam hasta el embalse Gaul Dam. Los ingenieros de su departamento han estimado una tasa alta de filtración y evaporación en Gaul Dam; corno la cantidad de lluvia puede considerarse despreciable, el nivel de agua en Gaul Dam debe mantenerse mediante vertidos desde Haut Dam. Supongamos que en el departamento de aguas se desea hacer una planificación para los próximos 20 meses. ~urante el mes t, sea Xlla variable que denota la profundidad media del embalse, antes de aumentarla con el agua de la presa; x}=25. Sea Ylla variable que denota el número de pies que se dedde añadir a la profundidad media en el mes t; es decir, un valor positivo para Ytindica una decisión de aumentar la profundidad del embalse con agua de la presa. Sean Lt YUt los límites inferior y supl;rior prefijados, respectivamente, para la profundidad media del embalse después del vertido de agua el mes t Supongamos que xt+l es 0.75 de la profundidad media del embalse después del incremento de agua en el mes t . Suponiendo que el coste de incrementar la profundidad del embalse en el mes t es de Ct por pie, formular un modelo apropiado de optimización. 26. El jefe de personal de la Feedmen-Speedmen Airline Company debe decidir cuantas nuevas azafatas deben contratarse y formar en los próximos 6 meses. Las necesidades expresadas en términos de número de horas de vuelo de azafatas necesitadas son 8000 en enero, 9000 en febrero, 7000 en marzo, 10000 en abril, 9000 en mayo y 11000 en junio. Antes de poder asignar una azafata a un vuelo es necesario formarla durante un mes; por tanto una azafata debe contratarse por 10menos un mes antes de que realmente se le necesite. También durante el curso de formación se necesitan 100 horas de supervisión por personal experimentado con 10 que en esos periodos se dispone de 100 horas menos para el servicio regular de vuelos. Cada azafata con experiencia puede trabajar hasta 150 horas al mes, y la compañía dispondrá a p~cipio de enero de 60 azafatas experimentadas. Si el tiempo disponible de azafatas experimentadas excede las necesidades de vuelos y de formación de un mes, durante ese mes las azafatas trabajan menos horas y nadie queda despedido. Al final de cada mes, aproximadamente el 10% de las azafatas experimentadas deja el trabajo por distintos motivos. Una azafata experimentada cuesta a la compañía 850$ por ~es y una en formación 450$ al mes en salarios y otros conceptos. Formular este problema de contratación como un programa lineal. Sea Xtel número de azafatas que empiezan su formación en el mes t, donde xo=62 Definir las variables de decisión adicionales que sean necesarias. 27. Formular un modelo de programación para la situación siguiente: Un centro de recuperación recoge cuatro tipos de residuos sólidos para su reciclaje y, después de tratarlos, los mezcla en distintas cantidades para producir tres tipos de producto utilizable. Aunque hay una cierta flexibilidad en las combinaciones que intervienen en la mezcla de cada producto, los estándares de calidad especifican unos límites máximo y mínimo en los porcentajes (en peso) de algunos de los materiales permitidos en cada mezcla. Estas especificaciones,junto con el coste de la mezcla y el precio de venta, son las siguientes: Material1 Material2 Material3 Coste/kgmezcla Precioventalkg MezclaA nomás30% nomenos40% nomás50% 300 850 250 700 MezclaB nomás50% nomenos10% MezclaC nomás70% 200 550 - - El centro de recuperación recoge sus residuos sólidos de fuentes regulares que le permiten mantener un régimen de producción estable para el tratamiento de estos materiales. La tabla siguiente da las cantidades disponibles para la recogida y tratamiento de cada tipo de material: . Material 1 2 3 4 Kg/semanadisponibles Costedel tratamiento 3000 2000 4000 1000 300 600 400 500 10 Por otra parte, compromisos previamente adquiridos obligan a producir al menos 3000 Kg de mezcla A, 4000 de la By 1000 de la e, pero exigencias de la tecnología empleada no permiten que producir la mezcla A en una cantidad mayor del doble de la cantidad de mezcla B producida. El problema de la compañía es determinar qué cantidad de cada mezcla ha de producir y su composición exacta, de manera que maximice el beneficio neto semanal. Solución: . Xir Kg de material j por semana para producir la mezcla i, i=A,B,C. j=l,2.3,4 4 1: Xij j=l i=A i=A i=A C 1: i=AXij Cantid<KIde mezcla A producida Cantidad de mezcla B producida Cantidad de mezcla C producida j=l j=2 j=3 j=4 Cantidad Cantidad Cantidad Cantidad de material de material de material de material 1 producida 1 producida 1 producida 1 producida C Función objetivo:z= ~lrecio de ventapor kg. de la mezclai x cantidadtotal (enkg) de la mezclai C costepor kg. de la mezclai x cantidadtotal (en kg) de la mezclai i=A 1: 4 1:coste por kg. del tratamientOdel material j x cantidad tOtaldel material j tratada (en kg) j=I 2;:: 850 (XAI + xA2 + xA3 + XA4) + 700 (xB1 + xB2 + xB3 + XB4) + 550 (XCI + xC2 + xC3 + X(4) 300 (XAI + XA2+ xA3 + XA4) 250 (xB1 + xB2 + xB3 + xB4) -.200 (XCI + xC2 + xC3 + xC4) 300 (XAI + XBI + XCI) 600 (XA2+ XB2+ xC2) 400 (XA3 + xB3 + xC3) 500 (XA4+ XB4+ xC4) - 'Zi= - - - - - 250 XA1 - 50 XA2 + 150 xA3 + 50 XA4+ 150 XB1 150 xB2 + 50 xB3 50 xC3 . 150 xC4 Restricciones por limitación de recursos Material 1: xAI + xBI + xCI ~ 3000 Malerial2: xA2 + xB2 + xC2 ~ 2000 Material 3: xA3 + xB3 + xC3 ~ 4000 Material 4: xA4 + xB4 + XC4 ~ 1000 Restricciones por estándares de calidad Mezcla A:. XAl ~ 0.3 (XAI + XA2+ XA3 + XA4) xA2 ~ 0,4 (XAI + xA2 + xA3 + XA4) xA3 ~ 0.5 (XAl + XA2+ XA3 + xA4) Mezcla B: XBl ~ 0.5 (xBl + XB2+ xB3 + xB4) XB2~ 0.1 (XBl + xB2 + xB3 + XB4) MezclaC: xCI ~ 0.7 (XCI + xC2 + xC3 + XC4) Restricciones por condiciones tecnológicas xAI + xA2 + xA3 + xA4 ~2 XCI + xC2 + xC3 + xC4 11 - 50 XB4 + 50 xCI -250 xC2 . 28. Una versión simplificada del problema de localización de plantas es: Min L L Cij Xij + L fi Yi ie 1 je J ie 1 Sujeto a (1) L Xij =dj. 'v'je J, J={ 1,2,...,n} Centros de consumo cuyas demandas han de ser satisfechas iel (2) L Xij -Yi ( Ldj) S O, ie 1 = {1 ,2,...,m} Conjunto de almacenes je J je J Xij~, 'v'ie 1, 'v'je J Xij cantidad SumiIÚStradaal centro j desde el almacen i I se abre el almacen de la localización potencial i Yi= o no se abre el almacen en ¡ Esta versión corresponde al llamado problema "sin capacidades" ya que los almacenes no están sometidos a ninguna restricción de capacidad, lo que supone admitir implícitamente que ésta p~~:~ ser lo suficientemente grande como ¡:araque un único almacén satisfaga la demanda total (':"dj) y aprovisione a todos los clientes. Cijes el coste por unidad de surtir el centro j desde el almacén i y f¡es el coste de la decisión de abrir un almacén en la localización potencial i. Las resnicciones (1) garantizan la satisfacción de la demanda de cada centro y (2) impiden que se intemc aprovisionar un centro desde un almacén no abierto ya que Yi=O=> xij=O'v'j. a) Este modelo supone un único producto y una etapa de distribución: almacén-centro de consumo. ¿Cómo se modificaría el modelo si hubiese dos etapas: fábrica-almacén, almacén-centro de consumo y hubiese L productos diferentes? (Sugerencia: Sea X¡jklla cantidad del producto 1,enviada desde la fábrica i a través del almacén k al centro j) b) ¿Y si las fábricas y los almacenes tienen límites superior e inferior para sus capacidades de producción y almacenamiento? c) ¿y si no se admite un fraccionamiento de los pedidos a los almacenes de manera que la demanda del centro j ha de ser satisfecha desde un único almacén? d) ¿Cómo se introducirían en el modelo condiciones del tipo: 1) Los centros del subconjunto lId no pueden ser servidos desde los almacenes lId 2) Si i,j,r son aprovisionados desde k entonces 1,s y t han de serIo desde otro almacén 12