EJERCICIO 2 DE SELECTIVIDAD Jun`14 A

I.E.S. Los Pedroches. 2º de Bachillerato - Matemáticas II de las CC.SS. Curso 2014-15.
EJERCICIO 2 DE SELECTIVIDAD Jun’14 A
La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa depende de la cantidad invertida x, en miles de euros,
en un determinado proyecto de innovación y viene dada por
a) (1.0 puntos) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo.
b) (0.5 puntos) Calcule
e interprete el signo del resultado.
c) (1.0 puntos) Dibuje la función de beneficios f(x). ¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de
138 mil euros?
a) El máximo se encuentra entre los valores que anulan la derivada primera (puntos críticos).
f ) (x) ' &4x % 36 ' 0 Y 36 ' 4x Y 9 ' x
f (x) ' &2x 2 % 36x % 138 Y / ))
00 f (x) ' &4 Y f )) (9) ' &4 < 0 Y existe máximo en x ' 9 .
f (9) ' &2 " 92 % 36 " 9 % 138 ' 300 .
Luego, la inversión que maximiza el beneficio es de 9 mil euros, y el beneficio máximo es de 300 mil euros.
b) f ) (7) ' &4 " 7 % 36 ' 8 > 0 Y f (x) es creciente en x ' 7 .
El signo positivo de la derivada indica que el beneficio es creciente cuando la inversión es de 7 mil euros.
c) f (x) ' &2x 2 % 36x % 138 , x > 0 ; es una parábola truncada por la izquierda .
&b &36
'
'9
1.º eje : x '
2a
&4
2.º Vértice : V (9 , f (9)) ' (9 , 300)
’ f (9) ' &2 " 92 % 36 " 9 % 138 ' 300
3.º Puntos de corte con OX: (exijo y = 0)
&2x 2 % 36x % 138 ' 0
x 2 & 18x & 69 ' 0
18 ± 182 & 4 " 1 " (&69) 18 ± 600
x'
'
'
2
2
x ' 21,24745
18 ± 24,4949
'
' 1
x2 ' &3,24745 (sin sentido)
2
4.º Tabla de valores: x 0
18
4
14
y 138 138 250 250
vacío
¿Para qué valor o valores de la inversión, x, el beneficio es de 138 mil euros?
f (x) ' &2x 2 % 36x % 138 ' 138
x ' 0 (sin sentido)
Y &2x 2 % 36x ' 0 Y x 2 & 18x ' 0 Y x (x & 18) ' 0 Y
x & 18 ' 0 Y x ' 18 .