Teor´ıa de los números Curso 2012/2013. Hoja 6

Teorı́a de los números
Curso 2012/2013. Hoja 6
1. Encontrar los valores de
a
b
en cada uno de los doce casos: a = −1, 2, −2, 3 y p = 11, 13, 17.
2. En los siguientes apartados se pide determinar todas las soluciones de las congruencias.
a) x2 ≡ 2 mod 61
c) x2 ≡ − 2 mod 61
e) x2 ≡ 2 mod 122
g) x2 ≡ − 2 mod 122
b) x2 ≡ 2 mod 59
d) x2 ≡ − 2 mod 59
f ) x2 ≡ 2 mod 118
h) x2 ≡ − 2 mod 118
3. Sean a, b y p números enteros tales que p es primo positivo y (a, p) = (b, p) = 1. Probar que si
x2 ≡ a mod p y x2 ≡ b mod p no son resolubles entonces x2 ≡ ab mod p sı́ puede resolverse.
4. Sea p un número primo positivo. Denotamos sus restos cuadráticos con ri y los no restos
con nj , con los ı́ndices i, j en algún recorrido. Probar que ri ri0 y nj nj 0 siempre son restos
cuadráticos mientras que los ri nj siempre son no restos. Deducir que existen (p − 1)/2 restos
cuadráticos y (p − 1)/2 no restos cuadráticos.
5. Sea g una raı́z primitiva de un primo impar, p. Probar que los restos cuadráticos módulo p
p−1
son congruentes a alguno de {g 2i }i=1 , mientras que los no restos son congruentes a alguno de
p−1
{g 2i−1 }i=1 .
6. Se pide probar los siguientes apartados.
a) Si a es un resto cuadrático módulo un entero positivo m, y ab ≡ 1 mod m entonces b
también es un resto cuadrático.
b) El producto de los restos cuadráticos módulo p es congruente a +1 o bien −1, dependiendo
de que p sea de la forma 4k + 3 o bien 4k + 1.
7. Sea p un primo positivo impar. Probar que si existe un número x, tal que:
a) p | (x2 + 1) entonces p ≡ 1 mod 4.
b) p | (x2 − 2) entonces p ≡ 1 ó 7 mod 8.
1
c) p | (x2 + 2) entonces p ≡ 1 ó 3 mod 8.
d ) p | (x4 + 1) entonces p ≡ 1 mod 8.
8. Probar que si p y q son primos de la forma 4k + 3 y si x2 ≡ p mod q no tiene soluciones,
entonces x2 ≡ q mod p tiene dos soluciones.
9. ¿Cuáles de las siguientes congruencias pueden resolverse?
a) x2 ≡ 5 mod 227
c) x2 ≡ − 5 mod 227
e) x2 ≡ 7 mod 1009
b) x2 ≡ 5 mod 229
d) x2 ≡ − 5 mod 229
f ) x2 ≡ − 7 mod 1009
Nótese que 227, 229 y 1009 son primos.
10. Encontrar los primos p, tales que 10
= 1.
p
11. Probar que existe un número infinito de primos de cada una
de las formas 3n + 1 y 3n − 1.
−3
(Sugerencia: primero determı́nense los primos p tales que p = 1.
12. Usar el toerema de Wilson para probar que si p es un primo de la forma 4n + 3 entonces
1 · 2 · 3···
p−1
≡ (−1)m
2
mod p,
donde m es el número de restos no cuadráticos entre los factores del primer miembro.
13. Sean p1 , p2 , . . . , pn los divisores primos de un entero positivo impar m, y sea
un entero tal
a
a
2
que (a, m) = 1. Probar que x ≡ a mod m tiene una solución si y sólo si pi = 1 (sı́mbolo
de Jacobi), para i = 1, 2, . . . , n,
14. Determinar para cuáles primos p existen enteros x e y con (x, p) = (y, p) = 1, tales que
x2 + y 2 ≡ 0 mod p.
15. Se considera el juego reducido de restos módulo p, un número primo impar. Supongamos que el
juego reducido lo dividimos en dos conjuntos no vacı́os S1 y S2 , de tal manera que el producto
de dos elementos del mismo conjunto siempre cae en S1 , mientras que el de dos elementos de
distinto conjunto cae en S2 . Probar que S1 consiste de los restos cuadráticos y S2 de los no
restos, módulo p. (Sugerencia: usar una raı́z primitiva de p.)
2