Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Introducción a la geometrı́a diferencial
Segundo semestre 2014
Práctico 1
1. Sean X ⊂ Rn , Y ⊂ Rm , Z ⊂ Rl subconjuntos arbitrarios, y f : X → Y , g : Y → Z mapas diferenciables.
Entonces, g ◦ f : X → Z es diferenciable y si f y g son difeomorfismos f ◦ g también lo es.
2.
a) Sea Ba la bola abierta de radio a centrada en el origen en Rn . Mostrar que el mapa
ax
x 7→ p
2
a − ||x||2
es un difeomorfismo de Ba sobre Rn .
b) Supongamos que X es una variedad de dimensión n. Mostrar que todo punto de X tiene un
entorno difeomorfo a todo Rn . De esta forma las cartas locales pueden siempre tomarse con
imagen Rn .
3. Mostrar que todo subespacio V de dimensión k de Rn es una variedad diferenciable difeomorfa a Rk , y
que todos los mapas lineales en V son diferenciables. Si ϕ : Rk → V es un isomorfismo lineal, entonces
las funciones coordenadas correspondientes son funcionales lineales y las llamamos coordenadas lineales.
4. Usar que las variedades son regulares y paracompactas para probar que son espacios topológicos
normales.
5. La estructura diferenciable usual en R se obtiene tomando el atlas completo que es generado por la
identidad. Considerar la estructura diferenciable en R dada por el atlas completo que contiene al mapa
t 7→ t3 . Mostrar que estas dos estructuras son diferentes, pero que son difeomorfas.
6. Probar que si ψ : M → N es C ∞ , uno a uno, sobre, y no singular en todo punto (el diferencial es
inyectivo), entonces ψ es un difeomorfismo.
7. Mostrar que no es posible parametrizar la esfera S n con una sola carta.
8. Mostrar que dos abiertos U ⊂ Rn y V ⊂ Rm no son difeomorfos si n 6= m.
9. Sea f : R2 → R definida por
f (x, y) = x3 + xy + y 3 + 1.
¿Para cuáles de los puntos p = (0, 0), p = ( 31 , 31 ), p = (− 13 , − 13 ) es f −1 (f (p)) una subvariedad encajada
en R2 ?
10. Si (M, ψ) es una subvariedad de N tal que para toda g ∈ C ∞ (M ) existe f ∈ C ∞ (N ) tal que f ◦ ψ = g,
entonces ψ es un encaje y ψ(M ) es cerrado en N .
11. Consideremos la variedad producto M × N con las proyecciones canónicas π1 : M × N → M y
π2 : M × N → N .
a) Probar que ψ : P → M × N es C ∞ si y sólo si π1 ◦ ψ y π2 ◦ ψ lo son.
b) Probar que el mapa v 7→ (dπ1 (v), dπ2 (v)) es un isomorfismo de T(p,q) M × N en Tp M ⊕ Tq N .
c) Sean X e Y campos C ∞ en M y N respectivamente. Entonces, por lo anterior X e Y están
determinados por campos X̃ = (X, 0) y Ỹ = (0, Y ) en M × N . Probar que [X̃, Ỹ ] = 0.
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d ) Sea (p0 , q0 ) ∈ M × N . Definamos inyecciones iq0 : M → M × N e ip0 : N → M × N por
iq0 (p) = (p, q0 ),
ip0 (q) = (p0 , q).
Sea v ∈ T(p0 ,q0 ) M × N , y sean v1 = dπ1 (v) y v2 = di2 (v). Sea f ∈ C ∞ (M × N ). Probar que
v(f ) = v1 (f ◦ iq0 ) + v2 (f ◦ ip0 ).
e) Sea f : M → N un mapa diferenciable. Probar que el espacio tangente al gráfico de f en el punto
(p, f (p)) es el gráfico de dp f (con la identificación de b)).
12.
a) Sea f : R → R un difeomorfismo local. Probar que la imagen de f es un intervalo abierto y que
f es un difeomorfismo sobre este intervalo.
b) Dar un ejemplo de un difeomorfismo local f : R2 → R2 que no sea un difeomorfismo sobre su
imagen.
13. Sea ψ : M → N un mapa diferenciable que es uno a uno en una subvariedad compacta S ⊂ M .
Supongamos que el diferencial de ψ es un isomorfismo para todo punto en S. Mostrar que ψ es un
difeomorfismo de un entorno de S en M a un entorno de ψ(S) en N . (Notar que ψ es un difeomorfismo
de S en ψ(S).)
14.
a) Si M es compacta y N conexa, mostrar que toda submersión ψ : M → N es sobreyectiva.
b) Probar que no existe ninguna submersión de una variedad compacta en un espacio euclideano.
15. Verificar que 0 es el único punto crı́tico del mapa ψ : R3 → R definido por
ψ(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 .
Probar que si a y b son ambos positivos o negativos, entonces ψ −1 (a) y ψ −1 (b) son difeomorfos.
Mediante un dibujo representar el cambio en la topologı́a de ψ −1 (c) cuando c pasa por el valor crı́tico.
16.
a) Las matrices n × n con determinante 1 forman un grupo que se denota por SL(n). Probar
que SL(n) es una subvariedad de M (n) y que la multiplicación SL(n) × SL(n) → SL(n) es
diferenciable.
b) Mostrar que el espacio tangente a SL(n) en la identidad se puede identificar con las matrices de
traza cero.
17. Probar que el conjunto de matrices m × n de rango k es una subvariedad de Rmn de codimensión
(m − k)(n − k).
18. Considerar RP2 como el cociente de S 2 = {x ∈ R3 : ||x|| = 1} identificando puntos antı́podas.
Definamos ψ : R3 → R4 por ψ(x, y, z) = (x2 − y 2 , xy, xz, yz). Probar que ψ baja al cociente a un
encaje C ∞ ψ̂ : RP2 → R4 . (Sin embargo, no hay ningún encaje del plano proyectivo en R3 .)
19. Supongamos que M es una variedad que tiene una estructura de espacio métrico y que Γ es un grupo
que actúa discontinuamente por isometrı́as en M . Probar que la acción es necesariamente propiamente
discontinua.
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