Unidade 7
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Educación secundaria Dirección Xeral de Educación, Formación para personas adultas Profesional e Innovación Educativa Ámbito científico tecnológico Educación a distancia semipresencial Módulo 2 Unidad didáctica 7 Cuerpos geométricos Página 1 de 24 Índice 1. Introducción...............................................................................................................3 1.1 1.2 1.3 2. Descripción de la unidad didáctica................................................................................ 3 Conocimientos previos.................................................................................................. 3 Objetivos....................................................................................................................... 3 Secuencia de actividades y contenidos ..................................................................4 2.1 Clasificación de los cuerpos geométricos ..................................................................... 4 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 Poliedros ............................................................................................................................................................4 Prismas ..............................................................................................................................................................5 Pirámides ...........................................................................................................................................................7 Cuerpos de revolución .......................................................................................................................................9 Volúmenes de cuerpos geométricos ........................................................................... 13 3. Resumen de contenidos .........................................................................................15 4. Actividades complementarias................................................................................16 5. Ejercicios de autoevaluación .................................................................................17 6. Solucionarios...........................................................................................................18 6.1 6.2 Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 18 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación .......................................................... 22 7. Glosario....................................................................................................................23 8. Bibliografía y recursos............................................................................................24 Página 2 de 24 1. Introducción 1.1 Descripción de la unidad didáctica En esta unidad de geometría se estudian los cuerpos geométricos más sencillos y trabajaremos con ellos conociendo sus formas y sus propiedades. Aprenderemos a calcular sus longitudes, las áreas y los volúmenes, y veremos ciertas aplicaciones prácticas. 1.2 Conocimientos previos En el módulo 1, en la unidad 3, se explican las operaciones básicas con números naturales y enteros, fracciones y decimales, así como el uso de la calculadora para estas operaciones. Dominar estos aspectos es básico para la resolución de los problemas de geometría de la presente unidad. 1.3 Objetivos Identificar y clasificar cuerpos geométricos sencillos: poliedros, paralelepípedos y cuerpos de revolución. Calcular longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos sencillos en el contexto de resolución de problemas geométricos con objetos del entorno inmediato. Página 3 de 24 2. Secuencia de actividades y contenidos 2.1 Clasificación de los cuerpos geométricos Los cuerpos geométricos se dividen en poliedros (poliedros regulares, prismas y pirámides) y cuerpos de revolución (cilindros, esferas y conos). 2.1.1 Poliedros Son figuras tridimensionales limitadas por varios planos en forma de polígonos. En un poliedro sus elementos principales son: Caras: son los polígonos que limitan el poliedro. Aristas: son los segmentos comunes a dos caras. Vértice: es el punto del poliedro donde se juntan tres o más aristas. El número de caras, vértices y aristas está relacionado. La fórmula de Euler indica que se cumple que: Caras + vértices = aristas + 2 Página 4 de 24 Poliedros regulares Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cada uno de sus vértices converge el mismo número de caras. Poliedro regular Definición Figura y desarrollo Tetraedro Formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. Cubo o hexaedro Formado por seis caras que son cuadrados. Octaedro Formado por ocho caras que son triángulos equiláteros. Este poliedro gira libremente cuando se sujeta por vértices opuestos. Dodecaedro Formado por doce caras que son pentágonos regulares. Icosaedro Formado por veinte caras que son triángulos equiláteros. Áreas de los poliedros regulares. Teniendo en cuenta el número de caras que tenga y el área del polígono regular del que está formado, se calcula el área del poliedro regular multiplicando esos dos datos. 2.1.2 Prismas Es un poliedro limitado por dos polígonos iguales y paralelos entre sí, que forman las bases, y las caras laterales. La altura del prisma es la distancia entre las bases. El prisma es recto si las caras laterales son rectángulos y perpendiculares a las bases. Prismas rectos. Tienen en las bases polígonos regulares (prismas regulares). Página 5 de 24 Prismas oblicuos. Las caras laterales no son perpendiculares a las bases. Clasificación de los prismas En función de que el polígono de las bases del prisma sea un triangulo, un cuadrado, un pentágono, etc., se denominan prismas triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales, etc. Áreas de los prismas A partir del desarrollo de un prisma podemos calcular con claridad su área: Área total = área lateral + 2 · área de la base. Área lateral: AL es la suma de las áreas de sus caras laterales (área lateral = perímetro de la base · Altura (h)). Área de las bases: AB es la suma de las áreas de sus dos bases (área total = área lateral + 2 · área de las bases). Paralelepípedos Son prismas en que todas sus caras son paralelogramos; cada par de caras opuestas son iguales. Ortoedros Son paralelepípedos con todas las caras rectangulares. Área Total = 2.a.b + 2.a.c +a.b.c = 2 ( a.b + a.c + b.c ) Página 6 de 24 Cubos Cubo es un ortoedro en el que las tres dimensiones son iguales Área Total = 6. a2 2.1.3 Pirámides Se trata de un poliedro con un polígono cualquiera por base, y triángulos con un vértice común a las caras laterales. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano que contiene la base. Clasificación de las pirámides Una pirámide es regular si es recta y tiene como base un polígono regular. Si no cumple estas características, se denomina irregular. En una pirámide regular, todas las aristas laterales son iguales y las caras laterales son triángulos isósceles. Las alturas de los triángulos se llaman apotemas de la pirámide. Las pirámides se llaman triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales... según sea el tipo de polígono de su base. Área de la pirámide A partir del desarrollo de una pirámide se puede calcular con claridad su área: Área total = área lateral + área de la base Área lateral: AL es la suma de las áreas de sus caras laterales, n triángulos iguales: AL = n b. a perímetro da base ⋅ a = 2 2 Área de la base: AB AB = Perímetro da base ⋅ a ′ 2 Página 7 de 24 Por tanto, el área total de una pirámide es: Área total = Área lateral + Área de la base AT = AL + AB = Perímetro da base ⋅ a Perímetro da base ⋅ a ′ + 2 2 Actividad resuelta Calcule el área total de un prisma de base pentagonal, de altura 10 cm, lado de la base 4 cm y apotema 2,75 cm. A Lateral = Perímetro de la base altura = (4 cm 5) 10 cm = 200 cm2 Solución A Total = A Lateral + 2 . A Base = 200 cm2 + 2 27,5 cm2 = 78 cm2 Actividades propuestas S1. Complete la tabla y compruebe que se cumpla para los cinco poliedros regulares la fórmula de Euler: cara + vértice = arista + 2 Nombre Caras Vértices Aristas C + V=A + 2 Tetraedro 4 4 6 4+4=6+2 Página 8 de 24 S2. Clasifique los siguientes prismas según sus bases: S3. Un prisma cuadrangular tiene una altura de 5 cm y la arista de la su base mide 3 cm. Calcule su área total. S4. Las dimensiones de un ortoedro son 6 cm, 11 cm y 10 cm. Calcule su área. S5. Calcule el área de un cubo que tiene una arista de 10 cm de longitud. S6. Calcule el área total de una pirámide cuadrangular de apotema 6 cm y 4 cm de lado del cuadrado de la base. S7. Calcule el área total de una pirámide que tiene de base un cuadrado de 10 cm y una altura de 12 cm. Recuerde que lo primero es calcular la altura de uno de sus triángulos laterales (apotema de la pirámide) aplicando el teorema de Pitágoras. S8. Calcule el área total de una pirámide de base hexagonal: tiene 6 cm de altura y 3 cm de lado de la base. 2.1.4 Cuerpos de revolución Cuando giramos una figura plana alrededor de un eje obtenemos un cuerpo de revolución. Los tres cuerpos de revolución más importantes, y que vamos a estudiar, son el cilindro, el cono y la esfera. Cilindro Es un cuerpo geométrico generado a partir de un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. La altura de un cilindro es la longitud del eje de giro. Generatriz del cilindro corresponde a la longitud del lado opuesto al eje, es decir, coincide con la altura. A partir del desarrollo del cilindro se puede calcular con claridad su área: Página 9 de 24 Área total = Área lateral + 2 Área de la base Área lateral: AL es el área de un rectángulo en el que la base es la longitud de la circunferencia de la base, 2 π r, y la altura, h, es la altura del cilindro. AL = 2 π r .h Área de la base: AB, cada base, como es un círculo, tendrá un área de: AB = π r2 Área total = Área lateral + 2. Área de la bases AT = AL+ 2. AB = 2 π r .h + 2. π r2 Conos Son cuerpos geométricos generados a partir de un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus catetos. La altura de un cono (h) es la longitud del eje de giro. Generatriz del cono es la longitud de la hipotenusa del triángulo. A partir del desarrollo de un cono se puede calcular con claridad su área: Área total = Área lateral + Área de la base Área lateral: AL es el área de un sector circular con longitud 2 π r y radio x. AL = Asec torcircular = LArco ⋅ raiodo sec tor 2π r ⋅ x = =π ⋅r⋅ x 2 2 Página 10 de 24 Área de la base: AB corresponde al área de un círculo: AB = π r2 Por lo tanto, el área total de un cono es: Área total = Área lateral + Área de la base ATotal = Al + A B = π . r . x + π r2 Esfera Las esferas son cuerpos de revolución que se generan al hacer girar un semicírculo alrededor del su diámetro. El eje de la esfera es el diámetro sobre el que gira el semi- círculo. El centro corresponde al centro del semicírculo. El radio es el radio del semicírculo. Área de la esfera. El área de una esfera de radio r es: A = 4. π . r2 Actividad resuelta Calcule el área lateral y total de un cilindro que tiene de radio de la base 3 m y de altura 5 cm. Calcule la superficie de una esfera de 8 cm de diámetro. Cilindro: Solución A Lateral = 2 π r .h = 2. 3,14. 3m. 5m = 94,2 =cm2 A Base = π r2 = 3,14 . 9 cm2 = 56,5 cm2 A Total = 150,7 cm2 Esfera: A = 4. π . r2 = 4. π . (4 cm)2 = 200,96 cm2 Actividades propuestas S9. Indique la cantidad de chapa que se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de 60 cm de radio de base y 1,8 m de altura. S10. Calcule la superficie total de un tronco de madera cilíndrico recto, de 3 cm de altura y diámetro de la base 30 cm. Página 11 de 24 S11. Una tienda de campaña cónica tiene una altura de 2 m y un diámetro de 1 m. Calcule los metros cuadrados que se necesitan para forrarla, sin incluir la base. S12. Determine el área total de un cono de 5 cm de radio y 20 de generatriz. S13. Calcule la superficie esférica de un balón que tiene 20 cm de diámetro. S14. Una cúpula semiesférica de un edificio tiene 10 m de diámetro y una altura de 5 m. Calcule su superficie. Página 12 de 24 2.2 Volúmenes de cuerpos geométricos El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Para saber el volumen de un cuerpo sólido hay que conocer sus tres dimensiones. Volumen de un ortoedro Se calcula multiplicando sus tres dimensiones o aristas, a, b, c. Por consiguiente, el volumen es: Vortoedro= a. b . c Un cubo es un ortoedro con las tres dimensiones iguales; en consecuencia, el volumen de un cubo de arista a es igual al valor de su arista elevado a tres. Vcubo = a3 Ortoedro de dimensiones a, b, c Cubo de arista a Volumen de prismas y cilindros El volumen de un prisma con una altura h y área de la base AB , es: Vprisma= AB . h El volumen de un cilindro de radio r y altura h, es: Vcilindro= AB . h = π r2 .h Volumen de pirámides, conos y esferas El volumen de una pirámide con altura h y área de la base A es: Volume pirámide = Áreabase ⋅ Altura 3 El volumen de un cono de radio r y altura h es: Volumecono = π r 2 ⋅ Altura 3 El volumen de una esfera de radio r es: Volumeesfera = 4 π . r3 3 Página 13 de 24 Actividades resueltas Calcule el volumen de un ortoedro de dimensiones, 25 cm, 8 cm y 5 cm. Calcule el volumen de un cubo con una arista de 3 cm. Solución Vortoedro = a . b . c = 25 cm . 8 cm . 5 cm = 1000 cm3 Vcubo = a3 = (3cm)3 = 27 cm3 ¿Cuál es el volumen de una pirámide cuadrangular de 5 cm de lado en la base y de una altura de 9 cm? Solución Volumepirámide = Áreabase ⋅ Altura (5cm) 2 .9cm = = 75cm3 3 3 Actividades propuestas S15. Calcule el volumen de un prisma triangular de 6 cm de altura si la base es un triángulo equilátero de 8 cm de lado. S16. Las latas de refrescos tienen forma cilíndrica de 12 cm de altura y 6 cm de diámetro. Calcule el volumen de refresco que cabe en él. S17. Una piscina tiene 10 m de largo, 6 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse si el grifo arroja 25 litros de agua por minuto? S18. Calcule el volumen de una pirámide regular hexagonal regular, que tiene base de lado 30 cm y una apotema del hexágono de 26 cm, y la altura de la pirámide es 26 cm. S19. Calcule el volumen de un cono de 11 cm de altura y 4 cm de radio. Página 14 de 24 3. Resumen de contenidos Página 15 de 24 4. Actividades complementarias S20. Calcule el área total de una pirámide pentagonal de 9 cm de altura, cuyo polígono de la base tiene 6 cm de lado y una apotema de 4,13 cm. S21. Calcule el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: S22. Calcule el volumen de un prisma de base un pentágono que tiene de apotema 4,13 cm, y cuyo lado mide 6 cm. La altura del prisma es de 8 cm. S23. Calcule el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de altura. S24. El volumen de un depósito cilíndrico de 4 m de radio es de 565,2 m. Halle sus áreas laterales y total. S25. Calcule el volumen de una esfera de 30 cm de diámetro. S26. El radio de la Tierra es de 6.371 km y el de la Luna es de 1.738 km. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de la Tierra que el de la Luna? Página 16 de 24 5. Ejercicios de autoevaluación 1. Indique el cuerpo geométrico que no es poliedro: Icosaedro. Tetraedro. Cilindro. Paralelepípedo. 2. El área total de un prisma cuadrangular de altura 5 cm y de arista de la base 3 cm es: 78 cm2 60 cm2 69 cm2 3. Indique la cantidad de aire que se necesita para inflar 100 balones de 20 cm de diámetro: 418666,6 cm 3 837333,3 cm 3 418666,6 cm 2 4. El volumen de una pirámide con altura 10 cm y área de la base 3 cm2 es: 10 cm3 20 cm3 15 cm3 5. El volumen de un cono de radio 2 cm y altura 6 cm es: 12 cm3 14 cm3 16 cm3 6. El volumen de una esfera de radio 3 cm es: 36 cm3 20 cm3 17 cm3 Página 17 de 24 6. Solucionarios 6.1 Soluciones de las actividades propuestas S1. Tetraedro 4 4 6 4+4=6+2 Cubo o hexaedro 6 8 12 6 + 8 = 12 + 2 Octaedro 8 6 12 8 + 6 = 12 + 2 Dodecaedro 12 20 30 12 + 20 = 30 + 2 Icosaedro 20 12 30 20 + 12 = 30 + 2 S2. Pentagonales Cuadrangulares Hexagonales Triangulares S3. Perímetro = 3 . 4 = 12 cm Área lateral = Perímetro de la base. Altura 12 . 5 = 60 cm2 Área de la base = 3 . 3 = 9 cm2 Área total = Área lateral + 2 Área de la base 60 + 2 . 9 = 78 cm2 S4. Siendo a, b, c las aristas. Área Total = 2 ( a.b + a.c + b.c ) 2 .( 6 .11 + 6 .10 + 11 .10) = 472 cm2 S5. Área Total = 6 . a2 6 .102 = 600 cm2 S6. Perímetro = 4 . 4 =16 cm Área lateral = n ⋅ b⋅ a = 4 ⋅ 4 ⋅ 6 = 48 cm2 2 4 Página 18 de 24 Cuadrangulares Cuadrangulares Área de la base = 4 . 4 = 16 cm2 Área total = Área lateral + Área de la base 48 + 16 = 64 cm2 S7. Apotema = 52 + 122 = 13 cm AL = 10 ⋅ 13 ⋅ 4 = 260 cm 2 2 AB=102=100 cm2 AT= AL + AB = 260 + 100 = 360 cm2 S8. Apotema hexágono = 32 − 1,52 = 2,6 cm Apotema pirámide = 2,6 2 + 6 2 = 6,54 cm AL = 6 ⋅ 3 ⋅ 6,54 = 58,86 cm 2 2 6 ⋅ 3 ⋅ 2,6 AB = = 23,4 cm 2 2 AT= AL + AB = 58,86 + 23,4 = 82,26 cm2 S9. AL = 2. π. r. h = 2. 3,14. 0,6. 1,8 = 6,79 m2 AB = π. r2 = 3,14. 0,62 = 1,13 m2 AT= 2.AL + AB = 2. 1,13 + 6,79 = 9, 05 m2 S10. AL = 2. π. r. h = 2. 3,14. 15. 3 = 282,74 cm2 AB = π. r2 = 3,14.152 = 706,86 cm2 AT= 2.AL + AB = 2. 706,86 + 282,74 = 1696,46 cm2 S11. Generatriz = 2 2 + 0,52 = 2,06 m AL = π. r. x = 3,14. 0,5. 2,06 = 3,24 m2 S12. AL = π. r .x = π. 5. 20 = 314,16 cm2 AB = π . r2 = π . 5 . 2= 78,54 cm2 AT = AL+ AB = 314 cm2 + 78,5 cm2 = 392,5 cm2 Página 19 de 24 S13. A = 4. π. r2 = 4. 3,14. 102 = 1256,64 cm2 S14. A = 4. π. r2 = 4. 3,14. 52 = 314,16 m2 314,16 / 2 = 157,08 m2 S15. Altura del triángulo = 82 − 4 2 = 6,93 cm V = 6,93 ⋅ 8 ⋅ 6 = 166,32 cm 3 2 S16. V = π. r2. h = 3,14. 32.12 = 339,29 cm2 S17. V = a .b.c = 10.6.2 = 120 m3 = 120000 dm3 (o litros) 120000 : 25 = 4800 minutos = 80 h S18. Volumepirámide = Áreabase ⋅ Altura 3 AB = 6 ⋅ 30 ⋅ 26 = 2340 cm 2 2 V = 2340 ⋅ 26 = 20280cm3 3 S19. Volumecono = π r 2 ⋅ Altura 3 = π ⋅ 42 ⋅ 11 3 = 184,21cm3 S20. AT= AL+AB= 135 cm2 + 61,95 cm2 = 196,95 cm2 Página 20 de 24 S21. 96.000 cm3 Vprisma = 495,6 cm3 S22. Vcilindro= 942 cm3 S23. AT= AL+AB= 282,49 + 2. 50,26 = 383,01 m2 S24. Vesfera= 14130 cm3 S25. VTierra= 1,08.1012 km VLuna =2,2.1010 km Volumen Tierra / Volumen Luna es aproximadamente 49 veces mayor. Página 21 de 24 6.2 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación 1. Indique el cuerpo geométrico que no es poliedro: Icosaedro. Tetraedro. Cilindro. Paralelepípedo. 2. El área total de un prisma cuadrangular de altura 5 cm y de arista de la base 3 cm es: 78 cm2 60 cm2 69 cm2 3. Indique la cantidad de aire que se necesita para inflar 100 balones de 20 cm de diámetro: 418666,6 cm 3 837333,3 cm 3 418666,6 cm 2 4. El volumen de una pirámide con altura 10 cm y área de la base 3 cm2 es: 10 cm3 20 cm3 15 cm3 5. El volumen de un cono de radio 2 cm y altura 6 cm es: 12 cm3 14 cm3 16 cm3 6. El volumen de una esfera de radio 3 cm es: 36 cm3 20 cm3 17 cm3 Página 22 de 24 7. Glosario Apotema Perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular a uno de sus lados o desde el vértice de una pirámide regular a uno de los lados del polígono de la base. Área Extensión plana limitada por tres o más rectas o curvas. Perímetro Línea que delimita el entorno de una superficie plana y longitud de esta línea. Polígono Figura delimitada por diversos segmentos de recta, con un mínimo de tres (triángulo). V Volumen Espacio ocupado por un cuerpo en las tres dimensiones, y medida de ese espacio. G Geométrico Relativo a la geometría, o parte de las matemáticas que estudia el espacio y las formas y figuras que lo pueden ocupar. A P Página 23 de 24 8. Bibliografía y recursos Bibliografía Para reforzar o ampliar los contenidos relacionados con la unidad se puede utilizar cualquiera de las ediciones de los libros de ciencias de la naturaleza de 2º de ESO y de matemáticas de 1º de ESO y de 2º de ESO. Enlaces de Internet Recomendamos los siguientes enlaces de matemáticas con teoría, juegos y actividades: [http://www.bbo.arrakis.es/geom/] [http://www.disfrutalasmatematicas.com/] [http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material098/geometria/index.htm] Página 24 de 24
