Lección 10: División de Polinomios

Lección 10: División de
Polinomios
Dra. Noemí L. Ruiz Limardo
2009 ©
Objetivos de la lección
Al finalizar esta lección los estudiantes:
• Dividirán polinomios de dos o más términos
por polinomios de uno y dos términos.
• Aplicarán el método de la división larga al
dividir por un binomio.
• Aplicarán el método de la división sintética al
dividir por un binomio del tipo (x- a).
Introducción
• La división de polinomios es muy útil en
muchas aplicaciones relativas a la economía,
física e ingeniería, entre otras.
• Entre estas aplicaciones se encuentran la
teoría de números, el análisis numérico, la
teoría de operadores, la teoría de
representación de grupos y la mecánica
cuántica, por citar algunas.
Introducción
• Para dividir polinomios podemos aplicar varios
métodos.
• En esta lección estudiaremos cómo se dividen
polinomios de dos o más términos por
polinomios de uno y dos términos.
• Estudiaremos el método de la división larga y el
método de la división sintética.
• La división larga aplica a todo tipo de polinomio.
La división sintética aplica solo a unos casos
particulares que discutiremos más adelante.
Comprendiendo la División
Comprendiendo la División
• La división es una operación matemática que
consiste en saber cuántas veces un número (el
divisor) está contenido en otro número (el
dividendo).
• Ejemplo:
– Cuando decimos “6 dividido por 2” (6 ÷ 2),
queremos determinar cuántas veces está contenido
el 2 dentro de 6.
– En este ejemplo, el 2 es el divisor y el 6 es el
dividendo.
Componentes de la División
• Los componentes de la división son los siguientes:
–
–
–
–
Dividendo
Divisor
Cociente
Residuo
Cociente
Divisor ) Dividendo
- (cociente x divisor)
Residuo
• Se le llama cociente al resultado de la división y
residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el
producto del cociente por el divisor.
• La relación existente entre estos componentes es la
siguiente:
DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO
Relación entre los Componentes de
la División
DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO
• A veces es conveniente expresar la relación de división
anterior de otra manera.
• Si dividimos cada lado de la ecuación anterior por el divisor,
1
DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO
DIVISOR
DIVISOR
DIVISOR
1
• Obtenemos la siguiente expresión:
DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUO
DIVISOR
DIVISOR
• Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.
Relación entre los Grados de los
Componentes de la División
• Al dividir polinomios encontramos que el grado del
residuo debe ser menor que el grado del divisor.
• Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del
divisor.
• Así también, la división de polinomios asume que el
grado del dividendo será mayor o igual que el grado del
divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendría
exponentes negativos y entonces no sería un
polinomio.
• Esta relación nos permite comparar con facilidad los
grados de todos los componentes involucrados en la
operación.
Grado
< Grado
≤ Grado
residuo
divisor
divdendo
Formas de Expresar la División
• Existen tres formas de expresar la división:
– Forma 1: a ÷ b, donde “a” es el dividendo y “b”
es el divisor.
– Forma 2: b a , donde “a” es el dividendo y “b”
es el divisor.
a
– Forma 3:
, donde “a” es el dividendo y “b”
es el divisor. b
• La forma 2 se conoce como la forma de la “casita de división”.
• La forma 3 se conoce como la forma de “fracción”.
Formas de Expresar la División
• Es necesario que podamos intercambiar entre una
expresión y otra para poder entender mejor y llevar a
cabo el proceso de división.
• Por ejemplo:
-En la expresión (x2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) debemos saber
que la expresión a la izquierda del signo de división
(x2 + 2x + 1) es el dividendo y la que aparece a la
derecha del mismo (x + 1) es el divisor.
-Podemos expresar esa división de esta otra forma, en
la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de
división y el divisor se coloca fuera de la misma:
x 1 x2 2x 1
-También, podemos expresar esa división de la siguiente
manera:
x2 2x 1
x 1
Ejemplo 1
• Exprese la siguiente división usando la forma 2
(casita de división): 2
x
7 x 12
x 3
• Cuando tenemos la forma de fracción, el
polinomio que está en el numerador es el
dividendo y el que está en el denominador es
el divisor.
• En la forma 2 el dividendo es el término que
va dentro de la casita de división y el divisor el
que va fuera:
x 3 x
2
7 x 12
Ejemplo 2
• Exprese la siguiente división usando la forma 3
(forma de fracción):
( x 2 5x 6) ( x 2)
• En la forma 1 el dividendo es el término que
que está a la izquierda del símbolo de división
y el divisor es el que está a la derecha:
• En la forma 3 el dividendo es el término que
va en el numerador y el divisor el que va en el
x 2 5x 6
denominador:
x 2
División de Polinomios por un
Monomio
División por un Monomio
Ejemplo 1: (16x5 – 8x4 + 5x3 – 2x2) ÷ 4x
• Para dividir por un monomio es conveniente
5
4
3
2
16
x
8
x
5
x
2
x
expresar la división de esta forma:
4x
• Observa que esto es una expresión racional, es decir,
una fracción con numerador y denominador.
• En una expresión racional, el denominador es común
a todos los términos del numerador, por lo tanto
podemos re-escribir la expresión de la siguiente
forma:
16 x 5 8 x 4 5 x 3 2 x 2
4x
4x
4x
4x
Continúa en la próxima pantalla.
División por un Monomio
• En una expresión como la anterior, donde tenemos
varios monomios divididos por otro monomio,
aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada
16 x 8 x 5 x 2 x
expresión:
4x
4x 4x 4x
• Esto es, se dividen los coeficientes numéricos que se
puedan dividir y se restan los exponentes de las
variables que tienen bases iguales.
5
4
3
2
– Siempre se resta el exponente de la variable que está en el
numerador menos el exponente de la variable que está en
el denominador.
– Si los coeficientes numéricos no se pueden dividir, se dejan
expresados tal como están o se simplifican si tienen algún
factor común entre sí.
División por un Monomio
• Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio
anterior tenemos:
16 x
4x
5
4
8x
4x
3
5x
4x
2
2x
4x
4x
4
2x
3
5 2
x
4
Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio,
dividimos cada término del polinomio por el monomio, en
forma individual. Luego aplicamos las leyes de exponentes.
1
x
2
Ejemplo 2
Divide (12x3 8x 2 x 4) por 4x.
• Escribimos en forma de fracción y dividimos
cada término del polinomio por el monomio 4x.
Luego aplicamos leyes de exponentes y
simplificamos:
12 x 3 8 x 2
4x
x 4
12 x 3
4x
3x
2
8x 2
4x
x
4x
1
2x
4
1
x
4
4x
Ejemplo 3
4
5
3
4
2
3
2
3
Divide ( 8x y 3x y 5x y ) por x y
• Escribimos en forma de fracción y dividimos
2 3
x
cada término del polinomio por el monomio y.
Luego aplicamos leyes de exponentes y
simplificamos:
8 x 4 y 5 3x 3 y 4 5 x 2 y 3
x2 y3
8x 4 y 5
x2 y3
3x 3 y 4
x2 y3
8x 2 y 2 3xy 5
5x 2 y 3
x2 y3
División de Polinomios por un
Binomio:
Método de la División Larga
División por un binomio
Divide (x 2 5x 8 ) por ( x 3 ).
• Cuando tenemos un polinomio dividido por un
binomio aplicamos el método de la división
larga.
• El método de división larga es similar al
proceso que utilizamos para dividir dos
números cardinales cualesquiera.
• En la próxima pantalla repasaremos la división
de números cardinales.
Repaso de División de Cardinales
• Si deseamos dividir (4565 ÷ 25) utilizamos la casita de
división y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar
correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente
manera:
Cociente
182
25 4565
Divisor
Dividendo
-25
206
-200
65
-50
15
Residuo
• Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.
División por un binomio
• Divide ( x 2 5x 8 ) por ( x
x
x 3 x
2
5x 8
x2 + 3x
3) .
1. Se divide x2 y el resultado es x.
x
2. Se coloca el resultado x en el
cociente.
3. Se multiplica el cociente x por todo
el divisor (x+ 3) y se coloca debajo
del dividendo.
4. Ahora tendríamos que restar:
(x2 + 5x) – (x2 +3x). Veremos en la
próxima pantalla.
División por un binomio
• Divide ( x 2 5x 8) por
x
x 3 x 2 5x 8
-x2 + -3x
2x + 8
(x 3) .
5. Recuerda que la resta de polinomios se
convierte en la suma del opuesto de
cada término del segundo polinomio:
(x2 + 5x) – (x2 +3x) =
(x2 + 5x) + (-x2 + -3x)
Observa que los signos del segundo
polinomio cambian al opuesto de lo que
eran y ahora se suma, y no se resta.
6. Se efectúa la suma del opuesto y se
baja el próximo término del
dividendo. Observa que el primer
término x2 y -x2 se eliminan.
7. Se repite el proceso (pasos 1-6).
Veamos en la próxima pantalla.
División por un binomio
• Divide ( x 2 5x 8) por
x +2
x 3 x 2 5x 8
-x2 + -3x
2x + 8
-2x + -6
2
(x 3) .
8. Se divide 2x y el resultado es 2.
x
9. Se coloca el resultado + 2 en el
cociente.
10. Se multiplica el cociente +2 por todo el
divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se
coloca este resultado debajo del
11. Se efectúa la suma del opuesto.
anterior. Ahora tendríamos que restar y
Observa que el primer término 2x
como restar equivale a sumar el
se elimina.
opuesto tendríamos:
(2x + 8) – (2x +6) =
12. Hemos finalizado el proceso ya que
(2x + 8) + (-2x + -6)
no tenemos ningún otro término en el
dividendo que tengamos que bajar. El
resultado es (x + 2) con residuo 2.
División por un binomio
• Divide x 2 5x 8 por
x +2
x 3 x
2
5x 8
-x2 + -3x
2x + 8
-2x + -6
2
x 3
.
Podemos expresar esta división de la
siguiente manera:
x 2 5x 8
x 3
Cociente
( x 2)
2
x 3
Residuo
Observa que el residuo 2 es una parte
fraccionaria del divisor.
Ejemplo 2
• Divide (5x 4 x3 3x 2 6 x 8) por
5x3
x 1 5x
4
x
3
5x4 - 5x3
3x
2
6x 8
(x 1)
.
1. Se divide 5x4 y el resultado es 5x3.
x
2. Se coloca el resultado 5x3 en el
cociente.
3. Se multiplica el cociente 5x3 por todo
el divisor (x - 1) y se coloca debajo
del dividendo.
4. Ahora tendríamos que restar:
(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3). Veremos en
la próxima pantalla.
Continuación de Ejemplo 2
• Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por
x 1
.
5x3
x 1 5x 4
x 3 3x 2 6 x 8
-5x4 + 5x3
6x3 – 3x2
5. Recuerda que la resta de polinomios se
convierte en la suma del opuesto de cada
término del segundo polinomio:
(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) =
(5x4 + x3) + (-5x4 + 5x3)
6. Se efectúa la suma del opuesto y se
baja el próximo término del
dividendo. Observa que el primer
término 5x4 y -5x4 se eliminan.
7. Se repite el proceso (pasos 1-6).
Veamos en la próxima pantalla.
Continuación de Ejemplo 2
• Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por
5x3 + 6x2
x 1 5x 4
x 3 3x 2 6 x 8
-5x4 + 5x3
6x3 – 3x2
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
x 1
.
8. Se divide 6x3 y el resultado es 6x2.
x
9. Se coloca el resultado + 6x2 en el
cociente.
10. Se multiplica el cociente + 6x2 por todo el
divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 – 6x2. Se
coloca este resultado debajo del anterior.
Ahora tendríamos que restar y como restar
equivale a sumar el opuesto tendríamos:
(6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) =
12. Se baja el próximo término -6x.
(6x3 – 3x2) + (-6x3 + 6x2)
11. Se eliminan los primeros términos
6x3 y -6x3 y el resultado es 3x2 .
Continuación de Ejemplo 2
• Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por
x 1
.
5x3 + 6x2 + 3x - 3
x 1 5x 4
x 3 3x 2 6 x 8
-5x4 + 5x3
6x3 – 3x2
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
-3x2 + 3x
-3x - 8
3x - 3
- 11
13. Se repite el proceso de dividir,
luego multiplicar, luego restar,
finalmente bajar el próximo y
último término.
Observa que cuando se ha
bajado el último término del
dividendo y se ha obtenido el
residuo correspondiente a éste,
el proceso de división finaliza.
Este será el resultado final.
Continuación de Ejemplo 2
• Divide 5x 4 x3 3x 2 6x 8 por
5x3 + 6x2 + 3x - 3
x 1 5x
4
x
3
3x
2
6x 8
x 1
.
Podemos expresar esta división de la
siguiente manera:
-5x4 + 5x3
5 x 4 x 3 3x 2 6 x 8
11
6x3 – 3x2
(5 x 3 6 x 2 3x 3)
x 1
x 1
-6x3 + 6x2
3x2 - 6x
Cociente
Residuo
-3x2 + 3x
-3x - 8
3x - 3
Observa que el residuo -11 es una
parte fraccionaria del divisor.
- 11
Reflexión
• Cuando se aplica la división larga hay dos
reglas que hay que considerar antes de
proceder a dividir.
– El dividendo y el divisor tienen que estar
ordenados en forma descendente de acuerdo al
grado mayor de una de las variables.
– Si faltara alguna potencia de la variable en el
dividendo, hay que reservar este espacio con un
cero. Esto significa que hay 0x ó 0x2 ó 0x3,
dependiende de la potencia que falte.
Ejemplo 3:
125 x 3 8
5x 2
• En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor están
ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo
faltan las potencias de x2 y x1 por tanto, tenemos que
reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO.
5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8
• Dividimos 125x3 por 5x y tenemos 25x2.
25x2
5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8
Continúa en la próxima pantalla.
Continuación Ejemplo 3:
125 x 3 8
5x 2
• Luego multiplicamos 25x2 por todo el divisor (5x -2) y
tenemos:
25x2
5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8
125x3 – 50x2
• Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y
tenemos:
Observa que si no
25x2
5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
Continúa en la próxima pantalla.
hubiéramos reservado el
espacio de la potencia
de x2 , no hubiéramos
podido sumar ya que los
términos no hubieran
sido semejantes.
Continuación Ejemplo 3:
125 x 3 8
5x 2
• Volvemos a dividir, esta vez, 50x2 por 5x que nos da 10x.
Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x – 2). Finalmente
sumamos el opuesto y bajamos el próximo término.
25x2 + 10x
5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
-50x2 + 20x
20x – 8
Continúa en la próxima pantalla.
Continuación Ejemplo 3:
125 x 3 8
5x 2
• No hemos terminado de dividir ya que aunque se bajó el
último término, todavía no hemos obtenido el residuo.
• Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego
multiplicamos 4 por el divisor (5x – 2) y sumamos el opuesto.
El resultado obtenido es el residuo.
25x2
+ 10x
+ 4
5x 2 125x3 0 x 2 0 x 8
-125x3 + 50x2
50x2 + 0x
-50x2 + 20x
20x – 8
-20x + 8
0
Residuo
Ejemplo 4:
x4 9x2 5
x 2
• Se ilustra el proceso para dividir:
x3 + 2x2
–
5x
–
10
x 2 x 4 0 x3 9 x 2 0 x 5
-x4 + 2x3
2x3 – 9x2
-2x3 + 4x2
-5x2 + 0x
5x2 – 10x
-10x – 5
10x – 20
– 25
• El resultado es: x 3
2x2
5x
10
Residuo
25
x 2
Ejemplo 4:
x4 9x2 5
x 2
• Se ilustra el proceso para dividir:
x3 + 2x2
–
5x
–
10
x 2 x 4 0 x3 9 x 2 0 x 5
-x4 + 2x3
2x3 – 9x2
-2x3 + 4x2
-5x2 + 0x
5x2 – 10x
-10x – 5
10x – 20
– 25
• El resultado es: x 3
2x2
5x
10
Residuo
25
x 2
División de Polinomios por
Binomios de la forma (x – a):
Método de la División Sintética
División Sintética
• La división sintética es un proceso de división
sintetizado o resumido.
• Esto implica que es un proceso más corto, lo
único que solo aplica cuando el divisor tiene la
forma (x – a), o sea el coeficiente de x es 1.
• La división sintética se conoce también por el
Método de Ruffini.
• Para entender mejor este método observa la
próxima pantalla.
División Sintética
• Compara la columna de la izquierda con la de la
derecha. ¿Qué observas?
• La columna a la izquierda ilustra el método de
división larga. La columna a la derecha ilustra el
mismo proceso, excepto que solo aparecen los
coeficientes, no aparecen las variables.
x +2
x 3 x 2 5x 8
-x2 + -3x
2x + 8
-2x + -6
2
1+2
1 31 5 8
-1 + -3
2+8
-2 + -6
2
División Sintética
• Veamos otro ejemplo
4 + 5 + 11
4x2 + 5x + 11
x 2 4 x 3 3x 2
x 7
-4x3 + 8x2
5x2 + x
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
1–2
4 3 1 7
-4 + 8
5+ 1
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
• Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el
primer término tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente
es igual al coeficiente del primer término del dividendo,
excepto por el signo opuesto.
División Sintética
• Veamos otro ejemplo
4x2 + 5x + 11
x 2 4 x 3 3x 2
x 7
-4x3 + 8x2
5x2 + x
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
4 + 5 + 11
1–2 4
3 1 7
-4 + 8
5+ 1
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
• Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el
opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color
azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros
términos cuando se van a sumar.
División Sintética
• Veamos otro ejemplo
4 + 5 + 11
4x2 + 5x + 11
x 2 4 x 3 3x 2
x 7
-4x3 + 8x2
5x2 + x
-5x2 + 10x
11x + 7
-11x + 22
29
1–2
4 3 1 7
-4 + 8
5+ 1
-5 + 10
11 + 7
-11 + 22
29
• Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener
también si en vez de sumar el opuesto se divide por el
opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego
sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en
vez de restar.
Reflexión
• En la división sintética se sintetiza el proceso
de división larga al tomar en consideración las
observaciones anteriores.
• Ilustraremos el proceso de división sintética
usando el mismo ejercicio anterior.
4 x 3 3x 2 x 7
x 2
• Veamos en la próxima pantalla:
4 x 3 3x 2 x 7
x 2
Ejemplo 1:
Aquí se escribe el opuesto del segundo
coeficiente del divisor.
Este es el símbolo que se usa para representar la
división sintética
+2 4 -3 1 7
Aquí se colocan los coeficientes del
dividendo en orden descendente. Si falta
alguna potencia de la variable, se reserva el
espacio con un cero
Se coloca esta línea para separar los coeficientes de
la suma
Continúa en la próxima pantalla.
Ejemplo 1:
4 x 3 3x 2 x 7
x 2
1 El proceso comienza
siempre bajando el
primer término.
+2 4 -3 1 7
8 10 22
4 5 11 29
2. Luego se multiplica el
primer coeficiente por el
coeficiente que
representa el divisor y se
coloca debajo del
segundo término del
dividendo.
3. Se suman los
segundos coeficientes.
5. Colocamos una línea
para separar el residuo
del cociente.
4. Se repite el paso 2 y 3
pero con el nuevo
coeficiente hallado.
Ejemplo 1:
4 x 3 3x 2 x 7
x 2
Grado 3
Grado 1
Observa que al dividir por un divisor de
grado 1 (x-a), se producirá un cociente de
grado uno menos que el grado del
dividendo. Esto es, si el dividendo es de
grado 3, el cociente será de grado 2.
+2 4 -3 1 7
8 10 22
4 5 11 29
COCIENTE
RESIDUO
Es por esto que podemos
construir el cociente
asignando a los
coeficientes encontrados,
comenzando con la
variable en un grado
menos que el grado del
dividendo. Las demás
potencias de las variables
quedarán en forma
descendente.
Ejemplo 1:
4 x 3 3x 2 x 7
x 2
4 x 3 3x 2 x 7
x 2
+2 4 -3 1 7
8 10 22
4 5 11 29
(4 x
2
5 x 11)
Grado 0
29
x 2
Como el residuo es parte
fraccionaria del divisor tenemos que
29 representa: 29
x-2
Grado 2
Grado 1
Grado 3
4x2 + 5x+ 11
Ejemplo 2:
x 3 6 x 2 x 30
x 2
+ 2 1 6 -1 -30
2 16 30
1 8
COCIENTE
15
0
Comenzamos colocando
los coeficientes del
dividendo asegurándonos
que las variables están
en orden descendente.
Colocamos el opuesto del
coeficiente en el divisor.
RESIDUO
Bajamos el primer
coeficiente.
Repetimos el
proceso de
multiplicar y sumar
hasta obtener el
residuo.
Sumamos los
segundos
coeficientes
Multiplicamos el
coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del
segundo coeficiente.
Ejemplo 2:
x 3 6 x 2 x 30
x 2
+ 2 1 6 -1 -30
2 16 30
1 8
15
0
RESIDUO
Grado 2
Grado 1
x2 + 8x+ 15
Grado 0
x 3 6 x 2 x 30
x 2
( x 2 8 x 15) 0
Cociente + Residuo
x 2 8 x 15
Ejemplo 3:
-3
2
2 x3 7 x 2 5
x 3
7 0 -5
-6 -3 9
2 1
COCIENTE
-3
4
Colocamos los
coeficientes del dividendo
en orden descendente.
Como falta la potencia x,
reservamos el espacio
con un cero
Colocamos el opuesto del
coeficiente en el divisor.
RESIDUO
Bajamos el primer
coeficiente.
Repetimos el
proceso de
multiplicar y sumar
hasta obtener el
residuo.
Sumamos los
segundos
coeficientes
Multiplicamos el
coeficiente por el divisor y
lo colocamos debajo del
segundo coeficiente.
Ejemplo 3:
-3
2
7 0 -5
-6 -3 9
2 1
2x
2 x3 7 x 2 5
x 3
2
-3
x 3
COCIENTE
4
4
x 3
RESIDUO
2 x3 7 x 2 5
x 3
(2 x
2
x 3)
4
x 3
Ejemplo 4:
+1 1
0 0 0 -1
1 -1 1 1
1 1
x
3
x4 1
x 1
x
2
1
1 0
x 1
COCIENTE
0
x 1
RESIDUO
x4 1
( x3
x 1
x2
x 1)
Ejercicios de Práctica
Instrucciones
• En tu libreta, realiza los ejercicios a
continuación.
• Luego, haz clic para ver resultados.
Ejercicios de Práctica
• Divide los polinomios a continuación.
24 x 6 18 x 5 36 x 2
6x2
4 x 4 3x 3 6
45 y 7 20 y 4 15 y 2
5y2
9 y5 4 y 2 3
(32a 4b3 14a3b2 22a 2b) (2a 2b)
16a 2b2 7ab 11
Ejercicios de Práctica
• Divide los polinomios a continuación.
( x 2 10 x 21) ( x 3)
(a 2 8a 16) (a 4)
(4 y
(2 x 4
3
6y
2
x 7
(a
14) (2 y 4)
x3 5x 2
x 6) ( x 2 2)
2)
32
a 4
(2 y 2
y
(2 x 2
2)
6
2y 4
x 9)
3x 12
x2 2
Ejercicios de Práctica
• Divide los polinomios a continuación.
( x3 2 x 2 2 x 5) ( x 1)
(x2
(a 2 11a 19) (a 4)
(a
(3x 4 25x 2 18) ( x 3)
( y 4 16) ( y 2)
(3x 3
( y3
2 y2
x 1)
7)
9x2
4
x 1
47
a 4
2x
4 y 8)
6)