TALLER MATEMÁTICO 2:

Tema 2: Adición y sustracción
SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
1. Resolver oralmente e indicar el tipo de cada uno de los siguientes problemas según la
clasificación de acuerdo con la estructura lógica y semántica de los problemas aditivos.
a) Pedro tiene 37 bolas, juega una partida y pierde 18 bolas, ¿cuántas bolas tiene
después de la partida?
b) Bernardo juega una partida de bolas y pierde 17 bolas; después de la partida tiene
21 bolas. ¿Cuántas bolas tenía antes de jugar la partida?
c) Claudio tiene 19 bolas y juega una partida. Después de la partida tiene 35 bolas.
¿Qué ha pasado en la partida jugada?
d) Pablo juega dos partidas; en la primera gana 37 bolas y en la segunda pierde 18.
¿Cuántas bolas ha ganado o perdido en totall?
e) Bruno juega dos partidas de bolas, una después de otra. En la segunda pierde 17
bolas. Al final de las dos partidas ha ganado 21 bolas. ¿Qué ocurrió en la primera
partida?
f) Carlos juega dos partidas de bolas. En la primera partida gana 19 bolas. Juega una
segunda partida. Después de estas dos partidas, ganó en total 35 bolas. ¿Qué ha
pasado en segunda partida?
Solución:
- Los problemas a) “Pedro” y d) “Pablo” se resuelven mediante una resta, pero ponen en juego
dos esquemas diferentes. “Pedro” corresponde al esquema ETE (estado, transformación, estado)
en la situación más simple: se conoce el estado inicial y la trasformación – aquí es un operador
negativo, “pierde” -; el resultado es por tanto, 37 – 18 = 19. “Pablo” corresponde al esquema
TTT (transformación 1, transfromación 2, transformación compuesta de ambas). También es un
caso sencillo, ya que se conocen las dos transformaciones que se componen y se busca el
resultado. Este problema tiene un índice de dificultad bastante más alto que el anterior.
- Los problemas c) “Claudio”, y f) “Carlos”, corresponden también a los esquemas anteriores
(ETE) Y (TTT), respectivamente, pero la incógnita es diferente.En los dos casos se conoce la
primera etapa y el resultado final. Se busca la transformación intermedia. Es necesario inferir
del enunciado si ha habido una ganancia o una pérdida. Los dos problemas se resuelven por la
misma operación: 35 – 19 =16.
- Los problemas b) “Bernardo” y e) “Bruno” corresponden también a los mismos esquemas
ETE y TTT, respectivamente, pero esta vez se busca el estado inicial, o la primera
transformación. El primer problema es más fácil de interpretar: después de haber perdido,
todavía le quedan a Bernardo 21 bolas, por lo que tendría que tener bastantes más antes de
comenzar, exactamente 17 bolas más. El estado inicial se obtiene sumando lo que le queda a lo
que perdió: 21 + 17 = 38.
Para el problema de “Bruno”, la incógnita es una transformación. Como no se conoce el
estado inicial, resulta imposible –en este estadio- conocer el signo de esta transformación. Este
problema tiene un índice de dificultad elevado incluso para los alumnos de ciclo medio. Les
resultará fácil cuando aprendan el manejo de los números enteros y las ecuaciones: Sea x la
incognita cuyo signo se desconoce, y se modeliza el problema por la siguiente ecuación:
x + (-17) = (+21), por tanto x = (+21) – (-17) = (+21)+ (+17) = +38
1
2. Escribe la tabla de sumar en base cinco y utilízala para realizar la siguiente suma:
134 (5 + 431 (5 . Justifica el algoritmo indicando las propiedades de la adición y las reglas
del sistema de numeración usadas.
Solución:
Tabla de sumar en base 5:
+/5 0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
4
2
2
3
4
10
3
3
4
10 11
4
4
10 11 12
134
+431
______
1120
4
4
10
11
12
13
(5
Justificación del algoritmo:
134 (5 + 431 (5 = (1.52 +3.5 + 4) + (4.52 +3.5 +1) (Principio de valor relativo;
Descomposición polinómica)
= (1. 52 + 4.52 ) + (3.5 + 3.5) + (4+1); commutativa y asociativa;
= 53 + (5+2).5; distributiva del producto respecto de la suma,
= 53 + 52 +2.5 + 0.5; "5 unidades de un orden forman una unidad del
orden superior"; elemento neutro
= 1120
(principio del valor relativo de las cifras)
3. Realiza la siguiente operación y explica el procedimiento seguido utilizando dibujos
que simbolicen los distintos agrupamientos (representaciones gráficas simulando el uso
de los bloques multibase y el ábaco):
641 (8 – 227 (8
2
Solución:
641 227 =
______
412 (base 8)
m enos
C
B
A
C
B
A
Como la cifra de las unidades del minuendo es menor que la del sustraendo,se pasa una bola
de la posición B a la A, que equivale a 8 unidades:
A continuación se
suprimen de las
distintas varillas del
minuendo tantas bolas
como hay en las
respectivas varillas del
sustraendo:
C
B
C
B
A
A
BLOQUES MULTIBASE:
m enos
La sustracción consiste en quitar del minuendo tantas piezas del mismo tipo que indica el
sustraendo. Como en el minuendo hay una sola unidad se debe descomponer una decena en
piezas de unidades para poder sustraer 7 unidadades.
3
4. Calcula la siguiente suma de números expresados en base 12, indicando las
propiedades de la adición y las reglas del sistema de numeración usadas:
9A57 (12 +38B4 (12
Solución:
9A57 +
38B4
______
1174B
Las propiedades y reglas usadas en la ejecución del algoritmo son
las mismas que las indicadas en el problema 2. La diferencia está sólo
en la base del sistema de numeración, y los convenios de que A significa "diez" y B "once".
5. Efectúa la siguiente sustracción de números naturales expresados en base 8, usando el
algoritmo tradicional de "restar llevando", indicando las propiedades de la resta y del
sistema de numeración correspondiente:
7452 (8 - 6103 (8
Solución:
7452 6103
______
1347 (8
El algoritmo tradicional de "restar llevando" establece que cuando
no se puede efectuar la resta de las cifras del sustraendo de la
correspondiente cifra del minuendo, porque ésta es menor se le suma
la base, en este caso 8, a la cifra del minuendo, y se le suma una
unidad al sustraendo en la cifra siguiente.
Esta técnica se basa en la propiedad de la sustracción de que "el resultado de la
sustracción no varía si se suma el mismo número al minuendo y al sustraendo".
También se usa el convenio del sistema de numeración decimal de que "8 unidades de
un orden equivalen a una unidad del orden superior".
6. Efectúa las operaciones siguientes en las bases que se indican, empleando el
algoritmo de llevada escrita:
a) 10111 (2 + 1101 (2
b) 11001 (2 - 1011 (2
c) 4253176 (8 + 3247615 (8
d) 2055 (8 –1267 (8
Solución:
b)
a)
1
1
1
1
0
10
1
10
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
7
4
2
1
0
2
5
5
6
6
1 0 1 1 1
1 1 0 1
1 0 0 1 0 0
c)
4
3
7
1
1
1
1
1
2
2
5
5
4
2
3
7
3
1
6
0
7
1
1
d)
6
5
3
4
5
7
6
1
1
0
7. Completar la suma y la resta “con huecos” siguientes:
a) (35) + (5) = 764
b) ( 5) – (45)=346
Solución:
a) Se efectúa la operación inversa 764 – (35) = (5). Como 4-5 no se puede restar en N,
restamos 14-5, lo que da 9, con lo que el hueco de la derecha del 5 es 9. A continuación
tendremos, 6 – (+1) = 5; aquí el hueco debe ser 0. La solución será, 305 + 459 = 764.
b) El segundo cálculo se transforma de la misma manera: 346 + (45) = ( 5). Como 6 + 
= 5, es necesario elegir 9 para sustituir al hueco de (45) y llevar una unidad de orden superior.
La suma de las decenas da como resultado: 4 + 5 +1 = 10. Por tanto, el primer hueco será un 0.
Se tiene por tanto, 346 +459) (05) llevándose además una unidad. El segundo hueco debe ser
3+ 4+1= 8.
8. ¿En qué base b se ha realizado la siguiente suma: 437 (b + 465 (b = 1013 (b ?
Solución:
Como 7 + 5 = 12 y la cifra de las unidades de la suma es 3 deducimos que la base podría ser 9 =
12-3, provocando que se lleve una unidad de segundo orden. La suma de las unidades de
segundo orden será, 3 + 6 + 1= 10, o sea 1 y se lleva una unidad de tercer orden. Finalmente, 4
+ 4 + 1 = 9, que se escribirá 10 en base 9.
9. Describir la estrategia seguida en los ejemplos siguientes:
a) 371 + 634 = 1000 +1+4
b) 615 -234: (615-200), 415, -34, (415-30), 385, -4, 381.
c) 73 - 27: 53 - 7, 56 - 10, 46
Solución:
a) 371 + 634 = (370 +1) + (630 +4) = 370 + 630 + 1 +4 = 1000 +1+4
b) b)615 - 234 = 615 - (200 + 30 +4) = (615 - 200) - 30 -4
c) 73 - 27 = 73 - (20 +7) = (73 -20) -7 = 53 - 7 = 53 +3 -7 -3 = 56 - 10
10. Empleando la función constante de la calculadora realiza las siguientes actividades
a) Cuenta de uno en uno, desde 0 hasta 50
b) Cuenta de 2 en 2 desde 0 hasta 80
c) Cuenta de 7 en 7 desde 0 a 91
d) Cuenta hacia atrás de 6 en 6 desde 60 hasta 0; anota el número de seis restado.
e) Cuenta hacia atrás de 3 en 3 desde 75 hasta 0; anota el número de tres restado
f) Cuenta hacia atrás de uno en uno desde 25 hasta 0
Solución:
a) Pulsar las teclas siguientes: 1, +, =, =, =, ...
5
b)
c)
d)
e)
f)
Pulsar, 2, +, =, =, ...
7, +, =, =, ...
60, -, 6, =, =, ..., 10 veces
75, -, 3, =, =, ..., 25 veces
25, -, 1, =, ...
11. a) Calcula 273 - 129 sin usar la tecla de restar
b) Calcula 273 + 129 sin usar la tecla de sumar
Solución:
a) 273 - 129 . Se puede obtener pulsando, 129, +, 12, =, =, ...=, 12 veces. Da 273,
luego la resta es 12 x 12 = 144.
b) 273 + 129 = X; X- 129 = 273. Mediante tanteo se puede obtener. Por ejemplo,
400 - 129 = 271, nos faltan 2 unidades, luego 402-129 = 273
12. Calcular el valor exacto de la siguiente suma:
123456789012345678 + 135714468012345678
Solución:
Se puede obtener la suma separando los números en grupos de cifras que sean
calculables con la calculadores disponible, por ejemplo, en grupos de 6 unidades:
1
123456 789012 345678 +
135714 468012 345678 =
______________________
259171 1257024 691356 (la unidad del siguiente orden que se obtiene en el segundo
sumando se añade “como unidades” en la suma siguiente)
Resultado: 259171 257024 691356
13. Calcula el valor exacto de la siguiente sustracción:
1357901234567890 - 1234567890246805
Solución:
1357 901234 567890 1234 567890 246805 =
____________________
123 333344 321085
(Se divide el número en grupos de menor tamaño
de manera que “quepan” en la calculadora, y que
minuendos sean mayores que los sustraendos)
6
14. Calcula las siguientes sumas:
1 + 11 =
1 + 11 + 111 =
1 + 11 + 111 + 1111 =
- ¿Cuál es el patrón que siguen?
¿Cuántos sumandos tiene la expresión en la que falla el patrón por primera vez?
Solución:
1 + 11 = 12
1 + 11 + 111 = 123
1 + 11 + 111 + 1111 = 1234
1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 = 12345
.......
El patrón que siguen los resultados de estas sumas es la serie de números correlativa del
1 hasta el 9. El término que incluye 10 sumandos no cumple ese patrón ya que las cifras
de las unidades y decenas serán ceros.
7