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MEDICIÓN DE VIBRACIONES MECÁNICAS.
Acá se utilizan sensores que se comportan como de segundo orden.
Un esquema del sistema de medición es el de fig. adjunta.
El sensor se aplica contra la superficie del cuerpo que vibra p. ej. los
cojinetes de ejes de máquinas desbalanceadas, o con engranajes o
rodamientos desgastados o rotos, en el mantenimiento preventivo de
equipos importantes que se quieren vigilar para detectar necesidades de
futuras reparaciones.
El sensor consiste en una caja o alojamiento dentro del cual hay una
masa llamada “masa sísmica” que sólo se puede mover en una
dirección preestablecida, determinada por unas guías no mostradas en
el esquema.
Esa dirección constituye el eje del sensor y es la dirección según la cual
se medirá la vibración; en la fig. ésta es: xi.
La masa está sujeta a la caja mediante un elemento elástico (ménsula)
que por no ser perfectamente elástico debe representarse por un resorte
ideal (sin pérdida de energía) y un amortiguador (el que produce las
pérdidas de energía).
Cuando el alojamiento se sujeta a la superficie de una máquina que
vibra, esto hará que la masa sísmica vibre también.
Mediante un transductor de desplazamiento se conoce (se mide) el
desplazamiento relativo de la masa respecto del alojamiento, que
llamaremos: xr.
Entonces:
xi es la señal de entrada, vibración o desplazamiento que se quiere
medir
xr es la señal de salida o respuesta del sensor.
El desplazamiento total o absoluto de la masa x0 es:
x0 = xi + xr
(1)
Para plantear la ec. diferencial del movimiento de la masa sísmica “m”
se hace el diagrama de cuerpo libre de la masa y se aplica la 2º ley de
Newton, recordando que ésta es:
∑ Fuerzas = masa x aceleración (absoluta)
Las fuerzas que actúan sobre la masa son las debidas al elemento
elástico o sea resorte y amortiguador:
a) Fuerza debida al resorte: Fk = - k . xr
k : constante del resorte,
Fk es una fuerza proporcional al desplazamiento (relativo) de la masa y
de signo contrario ( se opone al desplazamiento).
b) Fuerza debida al amortiguador: Fb = - b . d xr /dt
b: constante de amortiguación,
Fb es una fuerza proporcional a la velocidad (relativa) de la masa y de
signo contrario
La aceleración absoluta resulta de derivar dos veces el desplazamiento
respecto al tiempo ( la ec. 1) :
d2x0 /dt2 = d2 xi /dt2 + d2xr /dt2
(2)
Entonces aplicando la 2º ley de Newton queda:
m d2xr /dt2 + b . d xr /dt + k . xr = - m d2 xi /dt2
(3)
Dividiemos todo por K :
m/k . d2xr /dt2 + b/k . d xr /dt + xr = - m/k. d2 xi /dt2
(4)
La forma tipo es :
(1/n2) d2y/dt2 +(2n) dy/dt + y = Kx
(5)
K: sensibilidad estática , x: entrada
Entonces en nuestro caso resulta:
n= (k/m) ½
 b/2.(km)1/2
(6)
Notar que n y son valores establecidos en el diseño del instrumento,
o sea los fabricantes pueden darles lo valores que sean mejores.
Como las vibraciones son periódicas, podemos asumir que están
constituidas por sumas de términos sinusoidales o armónicos de
distintas frecuencias (desarrollo de Fourier) o sea que sin pérdida de
generalidad puedo poner:
xI = Xi sen t ,
(7)
en que Xi es la amplitud o valor máximo del desplazamiento por
vibración que se quiere medir y la frecuencia de la vibración.
Cada tipo de defecto mecánico genera vibraciones de determinadas
frecuencias, por ejemplo el desbalanceo produce una vibración cuya
frecuencia es la velocidad de giro en rad/ segundo.
Entonces:
dxi /dt = Xi  cos t ,
d2 xi /dt2 = - Xi sent
Y resulta:
Kx = - m/k (- Xi sent) = (mkXi sent
(8)
O también: Kx = (n)2 Xi sent
Reemplazando en la ec. (5)
(1/n2) d2y/dt2 +(2n) dy/dt + y = (n)2 Xi sent
Ahora podemos aplicar lo que vimos sobre respuesta de un sensor de
segundo orden a una entrada sinusoidal, tipo: A sen t
ENTRADA: A sen t
SALIDA: y(t) dada por la expresión:
(9)
Con dada por la expresión: 

(10)
En nuestra aplicación la “entrada” o sea el: “ k A sen t ” es el término
que aparece del otro lado del igual, ahora:
“ k A sen t ” = (n)2 Xi sent
Nos interesa es ver como es la relación Xr / Xi entre amplitud medida Xr y
amplitud a medir Xi :
(11)
La gráfica que sigue es la respuesta en amplitud de vibración:
Xr / Xi en función de :  n .
Lo ideal es que Xr / Xi = 1 para que Xr = Xi o sea cero error dinámico
para toda 
En la fórmula anterior y del gráfico resulta que si n es muy grande
(tiende a infinito) el cociente tiende a la unidad. Entonces y para poder
llegar a medir con  grandes conviene que el sensor se construya con
n lo menor posible, y con = 0.707
Lo que estudiamos hasta ahora fue la medida de la amplitud o intensidad
de la vibración, cosa que interesa no solo en máquinas también,
también en el estudio de sismos, actividad de volcanes etc.
ACELERÓMETROS
Otra magnitud que interesa mucho es la medida de aceleraciones.
El análisis de los acelerómetros es muy similar a lo anterior.
De la expresión: d2 xi /dt2 = - Xi sent
se deduce que la amplitud de aceleración de la entrada es : Xi 
Si reordenamos la ec (11) resulta:
De modo que la amplitud de la aceleración de entrada se puede expresar
como
La respuesta de amplitud de aceleración es como se ve en la fig.
siguiente.
Si se diseña el acelerómetro de modo que Ha() valga casi 1, sobre un
gran rango de frecuencias, entonces:
Xi .  2 = ( n2) Xr
O sea la amplitud de la aceleración de entrada ( a medir) estará dada por
la amplitud del desplazamiento relativo Xr multiplicado por la constante
del instrumento:  n2
El rango de frecuencias que mide el sensor es máximo si se elige el  n
tan grande como sea constructivamente posible y el  = 0.707.