Viscos´ımetro de Stokes Fg EF

Viscosı́metro de Stokes
Fı́sica I CiBEX - 2015
El viscosı́metro de Stokes es un instrumento diseñado para medir el coeficiente de viscosidad de un lı́quido en forma
absoluta, es decir, independientemente de los coeficientes de viscosidad de otros lı́quidos. El fı́sico inglés Sir George
Gabriel Stokes (1850) encontró que si una esfera de radio r se mueve con una velocidad ~v en un lı́quido, éste ejerce
sobre la esfera una fuerza F~S , denominada fuerza viscosa, cuyo sentido es opuesto al de la velocidad ~v , y cuyo módulo
viene dado por
|F~S | = 6πηr|~v | ,
donde η es el coeficiente de viscosidad del lı́quido.
Consideremos el caso en que la esfera cae en el seno de un lı́quido por la acción de la fuerza
gravitatoria, partiendo del reposo. Si no tenemos en cuenta la fuerza viscosa, las fuerzas actuantes
sobre la esfera serán el peso y el empuje, y el movimiento será con aceleración constante (es decir
que la velocidad aumentará linealmente con el tiempo). En presencia de la fuerza viscosa, dado que
ésta es opuesta a la velocidad, y (de acuerdo con la ecuación anterior) su magnitud se incrementa
cuando aumenta la velocidad, a medida que transcurra el tiempo la fuerza neta sobre la esfera irá
disminuyendo hasta que en algún instante valga cero. Se habrá llegado entonces a alcanzar un estado
de equilibrio dinámico en el cual la esfera se moverá con velocidad constante. A esta velocidad se la
llama velocidad lı́mite, ya que una vez alcanzado este régimen, en ausencia de otras fuerzas la velocidad
permanecerá constante. Analizaremos esta fase del movimiento en que la suma de las tres fuerzas en
juego (esto es, la fuerza de atracción gravitatoria, el empuje, y la fuerza viscosa) es cero, aprovechando
esta condición para determinar el coeficiente viscosidad del lı́quido.
Consideremos un cuerpo que cae en un lı́quido viscoso, siendo su densidad mayor que la del lı́quido
(de modo que la fuerza gravitatoria es mayor que el empuje). De acuerdo con lo explicado anteriormente, una vez alcanzado el estado de equilibrio dinámico tenemos que (ver figura)
~ + |F~S | − |F~g | = 0 .
|E|
(1)
FS E
Fg
(2)
Para el caso de una esfera de masa me y radio r, la magnitud de la fuerza gravitatoria puede escribirse
4
|F~g | = me g = ρe V g = ρe πr3 g ,
3
(3)
donde ρe es la densidad de la esfera. Por otro lado, para el empuje se tiene
~ = ml g = ρl 4 πr3 g ,
|E|
3
(4)
donde ml es la masa del lı́quido desplazado por la esfera, y ρl la densidad del lı́quido. Introduciendo las ecuaciones
(1), (3) y (4) en la ecuación (2), se obtiene
4
4
ρl πr3 g + 6πηrv − ρe πr3 g = 0 .
3
3
(5)
Despejando η obtenemos
η=
2 r2 g
(ρe − ρl ) .
9 v
(6)
Nótese de esta última ecuación que si logramos disponer de un dispositivo, tal como un tubo vertical, lleno con el
lı́quido en cuestión, y dejamos caer en él a la esfera, midiendo la velocidad de caı́da una vez alcanzada la velocidad
lı́mite, y conociendo la densidad del lı́quido y de la esfera y el radio de ésta última, podemos determinar la viscosidad
del lı́quido. Como una vez alcanzada la velocidad lı́mite, ésta es constante, si la esfera se desplaza una distancia h en
un tiempo t, que podemos medir con un cronómetro, la velocidad lı́mite resulta simplemente
v =
h
.
t
(7)
2
En la práctica las cosas no son tan sencillas. Las fórmulas anteriores valen sólo si el lı́quido no está encerrado en
un recipiente, pues si ese es el caso, el movimiento de la esfera provocará turbulencia que se reflejará en las paredes y
en el fondo del recipiente, perturbando el movimiento. En el caso de un recipiente cilı́ndrico, se puede demostrar que
puede tenerse en cuenta el efecto de la turbulencia multiplicando el lado derecho de la Ec. (6) por el factor
1 + 2, 4 Rr
1
1 + 3,3 hr
,
(8)
donde R es el radio del recipiente. Insertando la Ec. (7) en la (6), y teniendo en cuenta el factor de corrección debido
a la turbulencia, el coeficiente de viscosidad resulta
η=
2 r2 tg
(ρe − ρl )
.
9 h 1 + 2, 4 Rr 1 + 3,3 hr
(9)
Realización de la experiencia
El viscosı́metro es un tubo lleno de glicerina, cuya viscosidad se propone
determinar usando una esferita de acero, como se explicó anteriormente.
Utilice un vernier para medir el radio R del tubo, y un tornilo micrométrico
para determinar el radio r de la esferita. Pese la esferita, y calcule su densidad.
Coloque el ı́ndice móvil a una distancia h de la ranura. Tenga en cuenta que
h no debe tomarse muy grande, pues al principio la esferita quizás no haya
alcanzado el movimiento uniforme [y entonces la Ec. (6) no serı́a válida], ni
muy pequeña, pues el error relativo que se cometerı́a al medir h serı́a más
apreciable.
Mida el tiempo que tarda la esferita en caer desde el ı́ndice móvil hasta la
ranura. Repita esto 10 veces y recoja las correspondientes medidas de tiempos.
¿Son diferentes entre sı́? ¿A qué se deben estas diferencias? Intente no engrasar
las esferas, y que al caer no arrastren burbujas de aire.
Realice una búsqueda bibliográfica para hallar la densidad de la glicerina.
Finalmente, reemplace los valores de todas las cantidades en la Ec. (6) y determine 10 valores del coeficiente de viscosidad, uno para cada valor del tiempo de
caı́da recogido. Realice un promedio y compare el valor promedio con el valor
conocido de η que pueda hallar el la literatura. ¿Son diferentes? ¿Qué ocurre
si utiliza la Ec. (9) en lugar de la (6) para obtener el coeficiente de viscosidad?
¿Obtiene un mejor resultado? ¿A qué pueden deberse las diferencias que todavı́a persisten entre el valor hallado en la experiencia y el valor encontrado
en la literatura?
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