Matemática Módulo 4 Geometría Docentes

MATEMÁTICA
MÓDULO 4
Eje temático: Geometría
1. CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GENERADOS POR
TRASLACIÓN O ROTACIÓN DE FIGURAS PLANAS
Tal como se vio en el módulo del estudiante, es conveniente repasar las
fórmulas de áreas y volúmenes de los cuerpos elementales:
•
•
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•
•
cubo.
paralelepípedo.
cono.
cilindro.
esfera.
Después de este repaso y de calcular el volumen generado por algunas figuras
planas al trasladarlas o rotarlas, se sugiere estudiar las siguientes situaciones:
1. Traslación de un cuadrado o un rectángulo en una dirección
perpendicular al plano que lo contiene, genera un paralelepípedo recto.
2. Traslación de un círculo en dirección perpendicular al plano donde se
encuentra, genera un cilindro recto circular.
3. Rotación de un rectángulo en torno a uno de sus lados, genera un
cilindro recto circular.
4. Rotación de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos,
genera un cono recto circular.
5. Rotación de un triángulo rectángulo en torno a su hipotenusa, genera
dos conos rectos circulares pegados en la base.
6. Rotación de un cuarto de círculo en torno de uno de los radios que la
limita, genera una semiesfera.
7. Rotación de un semicírculo en torno a su diámetro, genera una esfera.
Aparte de practicar con situaciones como las anteriores, se recomienda
ejercitar con el cálculo de volúmenes de cuerpos inscritos en otros cuerpos y la
razón entre estos volúmenes; por ejemplo: la razón entre los volúmenes de un
cilindro recto circular y la esfera inscrita en él, etc.
Aprendizaje esperado:
•
Resuelven problemas relativos al cálculo de áreas y volúmenes de
cuerpos generados por rotación o traslación de figuras planas.
1
En el rectángulo de la figura está inscrita una semicircunferencia. Si el largo
del rectángulo mide 12 cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera al
hacer girar indefinidamente la figura sombreada en torno al lado AB ?
Solución:
Al hacerlo girar en torno al lado AB , el rectángulo genera un cilindro de radio
basal BC = 6 cm y altura AB = 12; por lo tanto su volumen es:
V1 = π 62 . 12 = 432 π cm3.
Por otro lado, al hacer girar la semicircunferencia en torno al diámetro AB ,
genera una esfera de radio 6 cm.
V2 =
4
π ⋅ 63 = 288π cm3.
3
Entonces el volumen del cuerpo generado por la superficie sombreada es:
V1 – V2 = 432π – 288π = 144π cm3.
Respuesta: 144π cm3.
2. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
El estudio de la geometría del espacio debe comenzarse presentando los
axiomas y postulados. A partir de ellos, se sugiere ir demostrando algunas
propiedades de modo de ir presentando la geometría como una ciencia
deductiva.
2
Se pueden presentar como axiomas:
1. Por dos puntos pasa una única recta.
2. Tres puntos no colineales determinan un único plano.
3. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única recta
paralela a ella, etc.
En una segunda etapa, se pueden presentar las posiciones relativas entre:
•
•
•
dos planos.
dos rectas.
una recta y un plano.
En una tercera etapa, analizar la perpendicularidad entre:
•
•
•
dos planos.
dos rectas.
una recta y un plano.
Además, los diversos teoremas asociados a paralelas y perpendiculares ya sea
entre rectas, entre planos, o entre rectas y planos.
Por ejemplo, se sugiere discutir acerca de la veracidad de la siguiente
afirmación:
“Si se tienen dos planos paralelos y una recta es perpendicular a uno de ellos,
esta es necesariamente perpendicular a la otra.”
Un ejercicio interesante sería, en la afirmación anterior, sustituir la palabra
plano por recta y viceversa, y discutir su veracidad.
Además se puede utilizar la sala de clases, las mesas, los estantes, etc., para
determinar modelos de planos paralelos, rectas perpendiculares, rectas
perpendiculares a planos, etc.
3. SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL
Acerca de este tema, se recomienda que los estudiantes:
•
•
•
ubiquen puntos en el espacio dadas sus coordenadas.
dados ciertos puntos en el espacio, determinen sus coordenadas.
determinen características de las coordenadas de puntos que están en
los diversos ejes y planos coordenados.
3
Aprendizaje esperado:
•
Resuelven problemas geométricos utilizando coordenadas de puntos en
un sistema cartesiano tridimensional.
En el ∆ABC de la figura, las coordenadas de los vértices son A(3,00); B(0,3,0)
y C(0,0,3).
¿Cuál es el área del triángulo?
Solución:
Utilizando los triángulos rectángulos que se forman, obtenemos que:
AB = BC = CA = 3 2 .
Como la altura de un triángulo equilátero de lado “a” es:
altura del triángulo ABC es:
3 2
3 6
⋅ 3=
.
2
2
Por lo tanto el área del ∆ABC es: A =
Respuesta:
3 6
2 = 9 3.
2
2
3 2⋅
9 3
.
2
4
a
3 , en este caso la
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Sitios sugeridos
Geometría del espacio:
http://aeditec.galeon.com/arqalfxm.htm#1
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Geom_esp_d3/rectas_y_planos.htm
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Geom_esp_d3/indice.htm
Ejercicios de áreas y volúmenes:
http://sauce.cnice.mecd.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/geomesp.pdf
Actividades de traslación y rotación de figuras planas:
http://www.sectormatematica.cl/media/trayrot.htm
Sitios que contienen animaciones de cuerpos de revolución:
Cilindro:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/cilindros.htm
Esfera:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/esferas.htm
Cono:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/conos.htm
Cuerpos redondos:
http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Cuerpos_d3/redondos.htm
Ejercicios de planos y rectas:
http://www.educarchile.cl/medios/171220049558.doc
Software interactivo con sólidos geométricos 3D:
http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t5geometria/Geometria/node9.html
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Presentaciones Power Point
Sólidos geométricos:
http://www.santamaria.edu.pe/webareas/matematica/Gali/Webs/Presentaci%
C3%B3n8.ppt
http://www.sectormatematica.cl/ppt/poliedros.ppt
http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93100.html
Mapa conceptual
Mapa conceptual Geometría (ppt)
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