ℜ→Ω : X

Universidad Técnica Federico Santa María
Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Informática
ILI-280
Capítulo 5:
Variables Aleatorias
Distribuciones
Estadística Computacional
I Semestre 2006
Profesor :
Profesor :
Héctor Allende
Carlos Valle
Variables Aleatorias
Función que asigna a cada punto del espacio
muestral un número real
X :Ω → ℜ
Ejemplo N°1:
Ω ={falla , no falla}
X({ no falla }) = 0
X({ falla }) = 1
2
1
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Variables Aleatorias
Ω
Espacio Muestral
no falla
A cada s ∈ Ω
le corresponde
exactamente
un valor X(s)
falla
X({no falla}) = 0
X({falla}) = 1
IR Conjunto
Números
−∞
0
+∞
1
X:Ω
Reales
Rx ∈ IR
1(]-∞, x]) ∈
X
ℑ
Familia de eventos elementales
3
Variables Aleatorias
si
Ω
X(s) = b; s ∈ Ω
A
sk
X(s) = a
RX
a
b
• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).
• En cierto sentido podemos considerar RX como otro espacio muestral.
• El espacio muestral original “induce”
un espacio muestra RX asociado a la
Ω
Variable Aleatoria X.
• Luego un evento A en S induce un evento en el espacio muestral RX.
4
2
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Variables Aleatorias
si
X(s) = b; s ∈ Ω
A
sk
X(s) = a
RX
Nótese que
para cada
par de
números
reales a y b
existen los
siguientes
conjuntos
a
(
(
[
[
a<x<b
a<x≤b
a≤x<b
a≤x≤b
(
x<b
x≤b
x>a
(
x≥a
-∞
-∞
b
)
]
)
]
)
]
∞
∞
Función de Probabilidad
El concepto de Probabilidad de ocurrencia
de eventos en el espacio muestral Ω se
puede aplicar a eventos en RX.
0 ≤ P(X(s) = x ) = f(x) ≤ 1
f(x)
1
Ω
f: R
[0, 1]
RX
0
X(s) = x
s
X: Ω
RX
6
3
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Variable Aleatoria
X :Ω → ℜ
X −1 (] − ∞, x]) ∈ ℑ
Variable Aleatoria Discreta
Sea C ∈ ℑ (con C ⊆ Ω)
f:C → ℜ
Soporte contable
C = {ci : i ∈ I ⊆ N }
i) f (ci ) ≥ 0
ii)
∑ f (c ) = 1
i
i∈I
Usando la transformacion X
7
Variable Aleatoria Discreta
Sea X una variable aleatoria
Si el número de valores de X (esto es su Recorrido).
Es finito (contable) o.
Es contablemente infinito (denumerable).
Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.
Esto es, los valores de X (w) pueden ser enumerados.
x1, x2, x3, …, xn, …
En el caso contable la lista es finita.
En el caso denumerable la lista es infinita contable
8
4
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Variable Aleatoria Discreta
Sea C ∈ℑ , conjunto de eventos elementales de una familia
de eventos del espacio muestra; C ⊆ Ω
X : C →ℜ es una función definida sobre el Espacio
Muestral, que mapea en el conjunto de los Números Reales
los eventos elementales definidos en C = { ci: i ∈ I ⊆ N }, tal
que:
p(ci ) = P(ci ) ≥ 0
Sea A el evento tal los eventos elementales ci∈C pertnezcan
también a A, esto es ci ∈ C ∩ A. Usando la transformación
X:
x(ci ) = xi
P ( A) =
∑
f (c j ) = ∑ P ( X = xi )
j∈{i:ci ∈C ∩ A}
i
9
Función de Probabilidad v.a discreta
A cada resultado posible xi se
asocia un número
f ( xi ) = P( X ( s ) = xi )
llamado la probabilidad de xi
Los f(xi) deben satisfacer:
f(xi)
0 ≤ f ( xi ) ≤ 1
∑ f (x ) = 1
i
x
i
El conjunto de pares
(xi, f(xi)) se le denomina
Función de Probabilidad o
Cuantía.
x1 x2 x3 x4 x5 x6
xn
P (X=5) = f(5) Función de Probabilidad de “masa”
Función de Frecuencia
10
5
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Función de Cuantía de una v.a. discreta
x (ci ) = xi
P ( A) =
∑
f (c j ) = ∑ P( X = xi )
j∈{i:ci ∈C ∩ A}
i
Propiedades función de cuantía:
P( X = xi ) ≥ 0
∑ P( X = x ) = 1
i
i
Función de Distribución
F ( x) = ∑ P( X = xi ) = ∑ f ( xi )
xi ≤ x
xi ≤ x
11
Esperanza y Varianza de una v.a. discreta
Esperanza de una v.a.d. X
E [ X ] = ∑ xi P ( X = xi )
i
Varianza de una v.a.d X
V [ X ] = ∑ ( xi − E [ X ]) 2 P ( X = xi )
i
12
6
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Distribución Bernoulli
Consideremos un solo experimento ε
sea A un evento asociado con tal experimento.
supongamos que P(A) = p; luego P(Ac) = 1- p
Sea la v.a. X(A ) = 1
X(Ac)
f(x)
P(X = 1) = p
=0
P(X = 0) = 1 – p
p = 0,7
Entonces su función de
cuantía es
f(x) = P(X =x) = px (1 – p)1-x
X = 0, 1
0<p<1
x
0
0
1
13
Distribución Bernoulli
Variable aleatoria discreta Bernoulli:
X :Ω →ℜ
donde se tienen sólo 2 eventos posibles:
P( X ( w) = 0) = 1 − p
P( X ( w) = 1) = p
Esperanza:
Varianza:
E [X] = 0 ( 1 - p ) + 1 * p = p
V [X] = ( 0 - p )2( 1 - p ) + ( 1 - p )2 p
=p(1-p)
14
7
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Distribución Binomial
Supongamos que de una línea de producción
se extraen n piezas con reemplazo, las
cuales pueden ser defectuosas o no con una
probabilidad “p”.
X: N° de piezas defectuosas en las n
extracciones
Entonces
n
P( X = k ) =   p k (1 − p ) n − k
k 
k = 0,1,..., n
15
Distribución Binomial
• Sean n repeticiones independientes del experimento.
• Ω consiste de todos los posibles secuencias { a1, a2, a3, .., an},
donde cada ai puede ser un evento A o un evento Ac.
• Existen 2n de tales secuencias.
Sea la variable aleatoria
X := número de veces que
ocurre el evento A
sus posibles valores son:
0, 1, 2, 3 , ....., n
f(x)
0,300
0,200
n = 16
p = 0,2
f(x) = P(X = x) =
n
px (1 –p)n-x
x
0,100
0,000
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
x = 0, 1, 2,......,n
0<p<1
16
8
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Distribución Binomial
Esperanza:
Varianza :
Notación:
E [X] = np
V [X] = np (1-p)
X ~ Bi (n, p )
Características:
Se utiliza en el muestreo de una población finita
con reemplazo.
También cuando la población es muy grande, con
o sin reemplazo, ya que “p” se hace
relativamente constante.
17
Distribución Binomial
18
9
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Distribución Hipergeométrica
Surge en poblaciones que contienen
elementos clasificables en 2 estratos (con
defectos: D ; sin defectos: N - D).
Consideremos un lote de tamaño N. Se
extrae una muestra de tamaño n sin
reemplazo.
X: N° de artículos defectuosos en la muestra
19
Distribución Binomial
 D
 
k
P( X = k ) =  
 N − D


n
−
k


N
 
n
k =0,1,2,.....,min{
{n,D}
E[X ] = n
D
N
V [X ] = n
D( N − D)( N − n)
N 2 ( N − 1)
Es aplicable al muestrear lotes de tamaño pequeño
en relación al tamaño de la muestra (N ≤ 10 n).
20
10
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Distribución de Poisson
Supongamos que tenemos una muestra de
tamaño grande, para lo cual la probabilidad
de encontrar un artículo defectuoso es
pequeño “p”, y por lo tanto “np” el número
total de artículos defectuosos en la
muestra.
Sea λ = np.
Entonces
P( X = k ) =
λk e − λ
k!
k = 0,1,2,....
21
Distribución de Poisson
22
11
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Distribución de Poisson
Esperanza:
Varianza:
E [X] = λ
V [X] = λ
Caso límite: X ∼ B( n , p )
k
 n  λ   λ 
P ( X = k ) =    1 − 
 k  n   n 
con
n −k
I (k )
{
}
0 ,1, 2 ,.... , n
n→∞ y p≈0
P( X = k ) =
λk
k!
e −λ I N 0 ( k )
23
Construcción de un Modelo Probabilístico
Ejemplo:
Las piezas a la salida de una línea de producción se
clasifican en defectuosas (D) o no defectuosas (N).
Se toma tres piezas aleatoriamente y se clasifican de
acuerdo a este esquema. El Ω para este experimento es:
Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
La probabilidad que una pieza sea defectuosa es p y no
cambia. Eso implica que si la población es finita, las
observaciones se hacen con reemplazo
Interesa el número de piezas D y no el orden en que
salen.
Se define una v.a. X igual al número de piezas
defectuosas; luego, X = { 0, 1, 2, 3). Encontrar (xi, f(xi))
24
12
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Creando un modelo probabilístico
f(x)
3(1-p)2p
0,5
(1-p)3
0,4
3(1-p) p2
0,3
0,2
p3
0,1
x
0
0
1
2
3
Ω = {NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
X(NND)= 1
X(NDN)= 1
X(DNN)= 1
3 P(N) P(N) P(D)
25
Función de distribución v.a. discreta
F(x)
F(x) = 0
x < x1
1
1
= Σ f( xi )
x1 ≤ x < x2
= Σ f( xi )
x2 ≤ x < x3
= Σ f( xi )
x3 ≤ x < x4
i=1
2
i=1
3
i=1
4
= Σ f( xi )
i=1
x4 ≤ x < x5
0
P(X=x5) = f(x5) Función de Probabilidad de “masa”
Función de Frecuencia
x
x1
x2
x3
x4
x5
x6
xn
26
13
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Variables Aleatorias Continuas
Cuando el experimento ε se realiza sobre un espacio muestral
Ω que está relacionado con escalas intevalares.
tales como mediciones de distancias, volúmenes, pesos,
tiempos, velocidad, voltajes, intensidad, caudal,
temperatura, etc.
Ya que los posibles valores de X en un intervalo, a < x < b, son
infinitos - no enumerables - no podemos hablar del i-ésimo
valor de X = xi; En tales casos se habla de Variables
Aleatorias Continuas, donde Rx es un intervalo o un conjunto
de intervalos; entonces existe una función continua especial:
f :ℜ → ℜ
f ( x) = lim
h →0
P ( x < X < x + h)
>0
h
27
Variables Aleatorias Continuas
Sea X una variable
aleatoria continua. La
función densidad de
probabilidad (pdf) es
una función que
satisface:
f(x) > 0;
f(x)
A: un evento
a
x
b
∀ x ∈ Rx ∈ −∞, +∞
A: { x| a < x ≤ b)
∫ f(x) dx = 1
Rx
b
P(A) = P(a < x < b) =
∫ f( x ) dx
a
28
14
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribuciones de Probabilidad Continuas
Están definidas por una densidad de v. a. X
f :ℜ → ℜ
se dice densidad de probabilidad
Propiedades:
f(x) ≥ 0
∞
∫ f(x)dx = 1
-∞
29
Propiedades y Definiciones
b
∫
1. P ( a ≤ x ≤ b) = f ( x )dx
a
2. F ( x ) = P ( X ≤ x) =
x
∫ f (t )dt
−∞
3. F (-∞
∞) = 0 ; F (∞
∞) = 1
b
A = ∫ f ( x)dx
f(x)
4. Fx es no decreciente
5. E [ X ] =
6.
∫ xf ( x)dx
a
a
x
b
|R
V [ X ] = ∫ ( x − E [X ]) 2 f ( x)dx
R
30
15
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Función de distribución acumulada
Si X es una variable aleatoria, la Función de Distribución
Acumulada mide la probabilidad de un suceso en un intervalo de
valores:
F ( x ) = P ( X ≤ x)
Si X es
es una v.a.
v.a. Discreta
Discreta
F ( x) =
∑
Si X es una v.a. Continua
x
f ( xi )
F ( x) =
∀i ∃xi ≤ x
∫ f (t )dt
−∞
Donde la suma es tomada
sobre todos los índices i
que satisfacen xi ≤ x
Donde la sumatoria es
reemplazada por una
integración para todos
los valores de t ≤ x
31
Construcción de Modelos de Probabilidad
Sea F : ℜ → ℜ es una función de distribución,
entonces:
F es no decreciente
F es continua por la derecha
lim f ( x ) = 0 y lim f ( x ) = 1
x → −∞
x →∞
Luego P(]] -∞
∞ , x ]) = F(x) define una Probabilidad
Además:
P( ]a,b]
P( [a,b]
P( ]a,b[
P( [a,b[
) = F(b) - F(a)
) = F(b) - F(a-)
) = F(b-) - F(a)
) = F(b-) - F(a-)
32
16
Universidad Técnica Federico Santa María
Variables Aleatorias Continuas
Sea X una variable aleatoria
continua que puede tomar
cualquier valor entre a ≤ x ≤ b;
cuya pdf es:
f (x) =
1
−
b a
a≤ x≤b
f(x)
Sea a = 3; b = 12
0,2
A: el evento { 4 < x < 7 }
0,1
Entonces:
7
x
0,0
2 3 4 5
6 7
P(A) = P(4 < x < 7)
8 9 10 11 12
a
b
min
máx
=
∫
1
9
dx
4
1
P(A) =
3
33
Distribución Uniforme
Función de densidad
f ( x) =
1
b−a
a< x<b
Función de Distribución es

0

 x − a
F ( x) = 
 b−a

1

Esperanza E[X ] =
Notación:
a+b
2
X ~ U ( a , b)
x≤a
a< x<b
x≥b
Varianza V [ X ] =
(b − a) 2
12
34
17
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Distribución Uniforme
35
Distribución Normal o Gaussiana
Función de densidad
f ( x) =
1
2π σ
e
1  x−µ  2
− 

2 σ 
, x∈R
La función de Distribución no tiene expresión
analítica. (Usar tablas o calculadoras)
Esperanza E [ X ] = µ
Varianza
V [X ] = σ 2
Notación: X ~ N ( µ , σ 2 )
36
18
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribución Normal
37
Distribución Normal o Gaussiana
Estandarización
Haciendo
Z=
se tiene que:
X − µ ∼ N( 0 , 1 )
σ
1
f z ( z) =
1 − 2 z2
e
2π
,z∈R
y FZ(z) se obtiene de tablas !
38
19
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Distribución Exponencial
Función de densidad
f X ( x) =
1
λ
e
−
x
λ
x ≥ 0, λ > 0
si
Función de Distribución es
FX ( x) = 1 − e
−
x
λ
x≥0
E[X ] = λ
Esperanza
V [ X ] = λ2
Varianza
Notación: X ~ exp(λ )
39
Distribución Exponencial
40
20
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribución de Rayleigh
Función de densidad
f X ( x) =
x
−
α2
e
x2
2α 2
si
x≥0
Función de Distribución es
FX ( x) = 1 − e
Esperanza
Varianza
Notación:
E[ X ] =
−
x2
2α 2
x≥0
α 2π
2
π
V [ X ] = ( 2 − )α 2
2
X ~ R(α )
41
Distribución de Rayleigh
42
21
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribución de Weibull
Función de densidad
f X ( x) = abx b −1e − ax
b
x ≥ 0 , a > 0, b > 0
si
Función de Distribución es
FX ( x ) = 1 − e − ax
b
x≥0
 1
E [X ] = a −1/ b Γ1 + 
Esperanza
 b

2
1 
Varianza V [X ] = a −2 / b Γ1 + b  − Γ 2 1 + b 



 
Notación: X ~ Weibull (a, b)
43
Distribución de Weibull
44
22
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Distribución tt-student
Función de densidad
ν + 1 
Γ

1
2  1

f X ( x) =
ν +1
 ν  νπ
2
Γ 
 x 2
1 + 
2
 
 ν 
Esperanza
Varianza
Notación:
E[X ] = 0 ν > 1
V [X ] =
ν
ν −2
ν >2
X ~ tν
45
Distribución tt-student
46
23
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribución Gamma
Función de densidad
α −1
f X ( x, α , β ) =
−
x
β
x e
I R + ( x)
Γ(α ) β α
Función de Distribución es
x
FX ( x) = P( X ≤ x) =
∫ f (t ,α , β )dt
−∞
∞
Esperanza E[X ] = αβ
Γ( n ) = ∫ y n −1e − y dy
V [ X ] = αβ 2
0
Varianza
Notación: X ~ Gamma(α , β ) = Γ(α , β )
n>0
47
Distribución Gamma
X ~ Γ(α , β )
48
24
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribución ChiChi-Cuadrado
Función de densidad
f X ( x,n ) =
x
n
x
−1 −
2
2
e
n
n
Γ  2 2
2
I R +(x)
Función de Distribución es
x
FX ( x) = P( X ≤ x) =
∫ f (t , n)dt
−∞
Esperanza E [X ] = n
V [ X ] = 2n
Varianza
Notación: X ~ χ 2 (n) = Γ(n / 2,2)
49
Distribución ChiChi-Cuadrado
50
25
Universidad Técnica Federico Santa María
Distribución Beta
Función de densidad
f X ( x, r , s ) =
Γ( r + s ) r −1
x (1 − x ) s −1
Γ( r )Γ( s )
I[ ]( x)
0 ,1
1
Función de Distribución es
FX ( x ) = P( X ≤ x ) =
E [X ] =
r
r+s
β (r, s) = ∫ xr −1(1− x)s−1 dx
0
x
∫ f (u , r , s )du
Γ( r + s )Γ( r + u )
E [X ] =
Γ( r )Γ( r + s + u )
−∞
µ
Esperanza
Varianza
V [X ] =
Notación:
X ~ Beta(r , s) = β (r , s)
rs
( r + s )2 ( r + s + 1)
51
Distribución Beta
52
26