Material para Ayudantía No. 5, Maximización de la

Material para Ayudantía No. 5, Maximización de la Utilidad y Elección (Capítulo 4 Nicholson)
1.
Cada día Paul, que se encuentra en tercero básico, almuerza en la escuela. Solo come panecillos Twinkies
(t) y soda (s), y éstos bienes le proveen una utilidad de:
a)
b)
2.
En las tardes, J.P. disfruta del consumo de Cigarros (c) y brandy (b) de acuerdo a la siguiente función:
a)
b)
3.
Maximice la utilidad del Sr. Ball si px=$3, py=$4, y tiene $50 para gastar
Grafique las curvas de indiferencia del Sr. Ball y señale el punto óptimo (el punto de tangencia) ¿En
verdad se trata de un máximo para el Sr. Ball?
Para el caso de la función de utilidad Cobb-Douglas:
a)
b)
5.
¿Cuántos cigarros y vasos de brandy consumirá al día? (El dinero no le importa a J.P.)
Los doctores han aconsejado a J.P. que debe limitar la suma del consumo de brandy y cigarros a 5.
¿Cómo dividirá J.P. su consumo bajo estas nuevas circunstancias?
El Sr. Odde Ball disfruta de los bienes x y y de acuerdo a la siguiente función de utilidad:
a)
b)
4.
Si los Twinkies cuestan $0,10 y cada soda cuesta $0,25, ¿Cómo debe Paul gastar un dólar que le da su
madre cada día, a manera de maximizar su utilidad?
Si la escuela trata de desincentivar el consumo de Twinkies elevando el precio a $0,40, ¿Qué tanto
deberá la madre de Paul incrementar su mesada para dejarlo en el mismo nivel de utilidad que en la
situación (a)?
con
Calcule la función de Utilidad Indirecta
, donde m es ingreso
Calcule la función de Gasto
, donde u0 es un nivel fijo de utilidad
Repita los mismos incisos pedidos en el problema anterior para el caso de la función de utilidad CES de la
forma:
1
a.
Set up Lagrangian
£  ts   (1.00  .10t  .25s) .
£
 ( s / t )0.5  .10
t
£
 (t / s)0.5  .25
s
£
 1.00  .10t  .25s  0

Ratio of first two equations implies
Hence
t
 2.5
s
1.00 = .10t + .25s = .50s.
s=2 t=5
Utility =
b.
t  2.5s
10
New utility
10 or ts = 10
t .25 5


s .40 8
5s
t
8
and
Substituting into indifference curve:
5s 2
 10
8
s2 = 16 s = 4 t = 2.5
Cost of this bundle is 2.00, so Paul needs another dollar.
2
U (c, b)  20c  c 2  18b  3b 2
a.
U
= 20  2c = 0,
c
c = 10 |
U
= 18  6b = 0,
b
b= 3
So, U = 127.
b.
Constraint: b + c = 5
£  20c  c 2  18b  3b 2   (5  c  b)
£
= 20  2c   = 0
c
£
= 18  6b   = 0
b
£
= 5  c  b=0

c = 3b + 1 so b + 3b + 1 = 5, b = 1, c = 4, U = 79
3
U ( x, y )  ( x 2  y 2 )0.5
Maximizing U2 in will also maximize U.
a.
£  x 2  y 2   (50  3x  4 y )
£
= 2x  3 = 0
x
 = 2x 3
£
= 2y  4  = 0
y
= y 2
£
= 50  3x  4y  0

First two equations give
y = 8 , U = 10.
b.
4
y  4 x 3 . Substituting in budget constraint gives x = 6,
This is not a local maximum because the indifference curves do not have a diminishing MRS (they are
in fact concentric circles). Hence, we have necessary but not sufficient conditions for a maximum. In
fact the calculated allocation is a minimum utility. If Mr. Ball spends all income on x, say, U = 50/3.
U ( x, y )  x y1
a.
The demand functions in this case are
utility function gives
x   I px , y  (1   ) I py . Substituting these into the
V ( px , p y , I )  [ I px ] [(1   ) I p y ]  BIpx p y(1 ) where
B    (1   )(1 ) .
5
E ( px , py ,V )  B 1 px p (1y  )V .
b.
Interchanging I and V yields
c.
The elasticity of expenditures with respect to p x is given by the exponent  . That is, the more
important x is in the utility function the greater the proportion that expenditures must be increased to
compensate for a proportional rise in the price of x.
Think!