1. INECUACIONES POLINÓMICAS 2. INECUACIONES RACIONALES

U D INECUACIONES MATEMÁTICAS Colegio La Presentación 1. INECUACIONES POLINÓMICAS a) Nos da la inecuación con un polinomio de cualquier grado de esta forma ~ 0 . Donde ~ es cualquier signo de estos , , , . b) Hallamos las raíces de la ecuación 0 . Y nos salen: ,
,…,
como mucho n raíces reales. c) Las colocamos en una tabla como esta, y estudiamos el signo de la siguiente manera: De esta manera podemos decir, mirando a la tabla: 9 Si 0 entonces la solución será: ∞,
,
, ∞ ,
, ∞ 9 Si 0 entonces la solución será: ∞,
9 Si 0 entonces la solución será: ,
,
,
9 Si 0 entonces la solución será: ,
,
,
2. INECUACIONES RACIONALES a) Nos da la inecuación con un polinomio de cualquier grado de esta forma b)
c)
~ 0 . Donde ~ es cualquier signo de estos , . Hallamos las raíces de la ecuación 0 . Y nos salen: ,
,…,
como mucho n raíces reales. También hallamos las raíces de la ecuación 0 y nos vuelven a salir ahora como mucho, otras m raíces que pueden coincidir con las anteriores. ,
,…,
como mucho, m raíces reales más. En conclusión hayamos en total y como mucho, raíces reales. Las colocamos en una tabla como esta, y estudiamos el signo de la siguiente manera: De esta manera podemos decir, mirando a la tabla: 9 Si 0 entonces la solución será: ,
,
9 Si 0 entonces la solución será: ,
,
9 Si 0 entonces la solución será: ∞,
,
, ∞
9 Si 0 entonces la solución será: ∞,
,
, ∞ ,
,
En este caso SÓLO LLEVARÁN CORCHETE LAS RAÍCES DEL NUMERADOR. 1 , ,
U D INECUACIONES EJEMPLOS A)
2 MATEMÁTICAS 2
Colegio La Presentación 0 1
1 , a 2
continuación las colocamos de manera ordenada en la tabla y estudiamos el signo a un lado y a otro de las raíces, para ello probamos los números sustituyéndolos en el 0 , 0
0 , 2
0 . polinomio: 3
0 ,
15
2 1
1
Solución de la inecuación: ∞, 2
1,1 B)
0 Llamamos 2 2 y 3 4 12. Hallamos las 2
1
1
raíces , a continuación y antes de hacer la tabla, vamos a simplificar la 2
2
3
expresión colocando los polinomios de forma factorizada: 1
1
2
1
1
2 2
2
2
3
2
3
3 4 12
Ahora si las colocamos de manera ordenada en la tabla y estudiamos el signo a un lado y a otro de las raíces, para ello probamos los números sustituyéndolos al igual que antes en el polinomio del numerador, y del polinomio en el denominador. 1 1
2
3
2 Llamamos al polinomio SOLUCIÓN: ∞, 1
2. Hallamos las raíces 1,2
3, ∞ 3. SISTEMAS DE INECUACIONES (1 INCOGNITA) 2 U D INECUACIONES MATEMÁTICAS Colegio La Presentación a) Nos dan varias inecuaciones: b) Se resuelve gráficamente cada inecuación. c) Calculamos la INTERSECCIÓN de forma gráfica y esa es la solución. 4. SISTEMAS DE INECUACIONES (2 INCOGNITAS) a) Nos dan varias inecuaciones en dos incógnitas e . b) A continuación dibujamos el recinto que genera cada inecuación de la siguiente manera y sabiendo lo siguiente: 9 Cada inecuación representa un semiplano en 9 Si la inecuación tiene una desigualdad estricta , entonces el semiplano se delimita por una línea discontinua. 9 Si por el contrario, la inecuación tiene una desigualdad no estricta , . entonces el semiplano se delimita por una línea continua. 9 Cada inecuación se representa realizando una tabla como esta: 0
0 1 1
9 Por último, una vez dibujada la recta, decidimos qué región del plano es la “adecuada”, tan sólo probar un punto arriba y debajo de la recta en la inecuación. El punto que la verifique estará en el semiplano solución de dicha inecuación. c) Repetimos el proceso para todas las inecuaciones. Y la solución del sistema será la intersección de todos los semiplanos. La solución se expresa exclusivamente de manera gráfica. EJEMPLOS 3 U D INECUACIONES MATEMÁTICAS Colegio La Presentación 1
C)
4 Dibujamos cada inecuación por separado y hacemos la intersección (LO QUE 6
ES COMÚN A TODOS): SOLUCIÓN: 4,6 2
2
1 Vamos a representar cada inecuación, para ello vamos a seguir el D)
2
3
siguiente esquema: 1. Escribimos las rectas que representa cada inecuación en la forma despejando la en cada inecuación, así nos queda: 2
2
1 2. Representamos cada recta usando la tabla de valores indicada en el punto 4. b) 4 U D INECUACIONES MATEMÁTICAS Colegio La Presentación 3. Ahora decidimos para cada recta qué región del plano es la que nos indica la inecuación dada al principio. Para esto nos vamos a fijar en sólo una recta, acto seguido, vamos a elegir dos puntos del plano, que estén, uno encima y otro debajo de la recta. Esos dos puntos los vamos a sustituir en la inecuación y vamos a quedarnos, de los dos, con el que la verifique. Eso es muy fácil, veámoslo para cada inecuación. Puntos Encima/Debajo Inecuación 2 2
1 2
3 2,2 0,0 0,3 0,0 0,0 0, 2 Verificación 2 2 2
0 0 2
2·0 3 1
2·0 0 1
0 2·0
3
0 2· 2
3
Parte que nos quedamos
Encima Debajo Encima 4. Ahora tachamos la región que nos ha quedado de cada recta y nos quedamos con la intersección de todas las regiones sombreadas. (A veces en la libreta se puede ver más claro sombreando la parte que NO nos quedamos, así sólo nos queda en blanco la región que queremos.) 5 U D INECUACIONES MATEMÁTICAS Colegio La Presentación 5. Señalo la región solución para que se vea más claro 6