Vectores R3

4 3 / V E C T O R E S EN EL E S P A C I O
131
Vectores en el Espacio
H e m o s visto q u ecualquier p u n t o e n u np l a n o se puede representar c o m o u n
p a r o r d e n a d o d e números reales. Análogamente, c u a l q u i e r p u n t o e n e l e s p a c i o
s e p u e d e r e p r e s e n t a r p o r u n a terna ordenada d e n ú m e r o s r e a l e s
(a, b, c)
(1)
3
R está c o m p u e s t o d e v e c t o r e s d e l a f o r m a ( 1 ) . P a r a r e p r e s e n t a r u n p u n t o e n e l
e s p a c i o e m p e z a m o s p o r e s c o g e r u n p u n t o e n I R . L l a m a m o s a e s t e p u n t o e l origen, d e n o t a d o 0 . L u e g o d i b u j a m o s t r e s e j e s m u t u a m e n t e p e r p e n d i c u l a r e s q u e
l l a m a m o s e l eje x, e l eje . y y e l eje z. E s t o s e j e s s e p u e d e n s e l e c c i o n a r d e v a r i a s
m a n e r a s , p e r o l a selección m á s c o m ú n e s c o n l o s e j e s x e y d i b u j a d o s h o r i z o n t a l m e n t e c o n e l e j e z v e r t i c a l . E n c a d a e j e e s c o g e m o s u n a dirección p o s i t i v a y
m e d i m o s l ad i s t a n c i a a l o l a r g o d e esee j e c o m o e lnúmero d e u n i d a d e s e n esta
dirección p o s i t i v a m e d i d a s d e s d e e l o r i g e n .
3
Figura 4.28
X
L o s d o s s i s t e m a s básicos d e r e p r e s e n t a r e s t o s e j e s s e v e n e n l a F i g u r a 4 . 2 8 . S i
l o s e j e s s o n u b i c a d o s c o m o e n l a F i g u r a 4.28», e n t o n c e s s e d i c e q u e e l s i s t e m a
e s d e mano derecha; s i s e c o l o c a n c o m o e n l a F i g u r a 4.28¿?, s e d i c e q u e e s d e
mano izquierda.
E nlasfiguras l a sflechas indican l a sdirecciones positivas
d e l o s e j e s . L a justificación d e e s t o s términos e s l a q u e s i g u e : E n u n s i s t e m a d e
m a n o d e r e c h a , s i p o n e m o s l a m a n o d e r e c h a d e f o r m a q u e e l d e d o índice a p u n t e e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e x, m i e n t r a s q u e e l d e d o m e d i o a p u n t e e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e y, e n t o n c e s e l p u l g a r a p u n t a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l
e j e z. E s t e c o n c e p t o s e i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 2 9 . P a r a u n s i s t e m a d e m a n o i z q u i e r d a l a m i s m a r e g l a sea p l i c a p a r a l am a n o i z q u i e r d a . E nl oq u e resta d e este
t e x t o s e g u i r e m o s l a práctica común y d i b u j a r e m o s l o s e j e s c o o r d e n a d o s u s a n do u nsistema de m a n o derecha.
Figura 4 . 2 9
V
S i a ú n así s e t i e n e n p r o b l e m a s p a r a v i s u a l i z a r l a l o c a l i z a c i ó n d e e s t o s e j e s ,
p r u e b e e l s i g u i e n t e e n f o q u e . M i r e m o s c u a l q u i e r rincón d e l p i s o d e l a h a b i t a -
132
4/VECTORES EN R
2
Y R
: i
ción e n d o n d e e s t a m o s . L l a m e m o s a l rincón e l o r i g e n . E n t o n c e s e l e j e x está e n
d o n d e s e i n t e r s e c a n e l p i s o y l a p a r e d a l a i z q u i e r d a ; e l e j e y e n l a intersección
d e l p i s o y l a p a r e d a l a d e r e c h a ; y e l e j e z e s l a intersección d e l a s d o s p a r e d e s .
E s t o se ilustra e n l a F i g u r a 4.30.
L o s t r e s e j e s e n n u e s t r o s i s t e m a d e t e r m i n a n t r e s planos coordenados
que son
l l a m a d o s e l p l a n o xy, e l yz y e l xz. E l p l a n o xy c o n t i e n e a l o s e j e s x e y y e s
simplemente elplano con elcual hemos estado tratando e n l am a y o r parte de
e s t e l i b r o . L o s p l a n o s xz e yz s e p u e d e n p e n s a r d e m a n e r a a n á l o g a .
H a b i e n d o c o n s t r u i d o n u e s t r a e s t r u c t u r a d e ejes y p l a n o s c o o r d e n a d o s , p o d e m o s d e s c r i b i r c u a l q u i e r p u n t o P e n R e n f o r m a única:
3
(2)
d o n d e l a p r i m e r a c o o r d e n a d a x e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o yz a P ( m e d i d a e n l a
d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e x y a l o l a r g o d e u n a l i n e a p a r a l e l a a l e j e x), l a s e g u n d a c o o r d e n a d a y e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xz a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e y y a l o l a r g o d e u n a l í n e a p a r a l e l a a l e j e y) y l a t e r c e r a c o o r d e n a d a z
e s l a d i s t a n c i a d e l p l a n o xy a P ( m e d i d a e n l a d i r e c c i ó n p o s i t i v a d e l e j e z y a l o
l a r g o d e u n a l í n e a p a r a l e l a a l e j e z). A s í , p o r e j e m p l o , c u a l q u i e r p u n t o e n e l
p l a n o xy t i e n e c o o r d e n a d a z = 0; c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o xz t i e n e c o o r d e n a d a y = 0 y c u a l q u i e r p u n t o e n e l p l a n o yz t i e n e c o o r d e n a d a x = 0 . A l g u n o s p u n tos representativos se dibujan e n l a F i g u r a 4 . 3 1 .
4 3 V E C T O R E S EN EL E S P A C I O
133
1
E n e s t e s i s t e m a l o s t r e s p l a n o s c o o r d e n a d o s d i v i d e n I R e n o c h o ociantes a l
i g u a l q u e e n I R l o sd o s ejes c o o r d e n a d o s d i v i d e n e l p l a n o e n c u a t r o c u a d r a n t e s . E l p r i m e r o c t a n t e es s i e m p r e aquél e n e l q u e l a s t r e s c o o r d e n a d a s s o n p o s i tivas.
2
E l s i s t e m a c o o r d e n a d o así e s c o g i d o e s f r e c u e n t e m e n t e l l a m a d o e l sistema
coordenado
rectangular
o e l sistema coordenado
cartesiano.
U n a vez q u e n o s
f a m i l i a r i c e m o s c o n l a f o r m a d e describir u n p u n t o e n este sistema, p o d r e m o s
generalizar varios conceptos d e l plano.
TEOREMA 1
S e a n P= (x¡, y¡, z>) y Q = (x , y , z ) d o s p u n t o s e n e l e s p a c i o . E n t o n c e s l a d i s t a n c i a PQ e n t r e P y Q e s t á d a d a p o r
2
=
PQ
Demostración
2
V(JC, -
2
2
2
x)
+ (y, - y ) + (z, - z )
2
2
2
(3)
2
L o s d o s p u n t o s están d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 2 . D e l t e o r e m a d e Pitágoras,
c o m o l o s s e g m e n t o s PR y RQ s o n p e r p e n d i c u l a r e s , e l t r i á n g u l o PQR e s u n
triángulo rectángulo y
2
2
PR
Figura 4 . 3 2
/>(.*„ y
u
2
t
= PS
+
(4)
2
SR
S ( . Y „ >•;._-,)
)
-A
P e r o , u s a n d o n u e v a m e n t e e l t e o r e m a d e Pitágoras,
»
2
PQ
2
=
(5)
2
PR +RQ
Así, c o m b i n a n d o ( 4 ) y ( 5 ) o b t e n e m o s
2
2
PQ
= PS
2
+ SR
(6)
2
+
RQ
C o m o las coordenadas x y z de P y S son iguales.
PS
2
Análogamente,
R S
y
R 0
= ( y - , )
2
2
(7)
2
y
= (x -x,)
2
(8)
= (z -z,)
2
(9)
2
2
2
Así, u s a n d o ( 7 ) , ( 8 ) y ( 9 ) e n ( 6 ) t e n e m o s
2
PQ
= (x - x,)
2
l o q u e c o m p l e t a l a demostración.
2
2
+ (y - y,) + (z - z,)
2
2
2
134
4/VECTORES EN R
EJEMPLO
1
2
Y R
:l
Calcule l a distancia entre los puntos (3, - 1 ,
Solución
P Q = V [ 3- ( - 2 ) ]
2
6)y ( - 2 , 3, 5).
2
2
+ ( - 1 - 3 ) + (6 - 5 ) = V 4 2
E n l a s S e c c i o n e s 4 . 1 y 4 . 2 d i s c u t i m o s p r o p i e d a d e s geométricas d e l o s v e c t o res e n e lp l a n o . D e b i d o a q u e l o s sistemas c o o r d e n a d o s e n R y R s o n m u y sim i l a r e s , n o es s o r p r e n d e n t e q u el o s vectores e n I R y R , t e n g a n estructuras
m u y similares. Discutiremos a h o r a e lconcepto de u nvector e n e lespacio. E l
d e s a r r o l l o d e e s t e t e m a seguirá e s t r e c h a m e n t e e l d e s a r r o l l o d e l a s últimas d o s
s e c c i o n e s y p o r t a n t o s e omitirán a l g u n o s d e t a l l e s .
2
2
3
3
3
S e a n P y Q d o s p u n t o s d i s t i n t o s e n R . E n t o n c e s e l segmento de recta
dirigido PQ e s e l s e g m e n t o d e r e c t a q u e v a d e P a Q. D o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i d o s s o n equivalentes
s i t i e n e n l a m i s m a m a g n i t u d y d i r e c c i ó n . U n vector e n R
es e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s s e g m e n t o s d e r e c t a d i r i g i d o s e q u i v a l e n t e s a u n segm e n t o d e r e c t a d i r i g i d o d a d o y c u a l q u i e r s e g m e n t o d e r e c t a d i r i g i d o PQ e n e s e
c o n j u n t o e s l l a m a d o u n representante
del vector.
3
H a s t a aquí, l a s d e f i n i c i o n e s s o n idénticas. P o r c o n v e n i e n c i a e l e g i m o s P
c o m o elorigen d e f o r m a q u ee lvector v = O Q s e pueda describir p o rlas coord e n a d a s (x, y, z) d e l p u n t o Q. E n t o n c e s l a m a g n i t u d d e v = |v| = V * + y + z
(Teorema 1).
2
EJEMPLO
2
Solución
2
2
S e a v = ( l , 3 , - 2 ) . E n c u e n t r e |v|.
|V| = V 1
2
2
+ 3 + ( - 2 ) = N/14.
S e a n u = (x¡, y¡, z , ) y v = ( x , y , z ) d o s v e c t o r e s y s e a a u n n ú m e r o r e a l ( e s calar). Entonces definimos
2
2
2
u + v = (x, + x , y, + y , z , f Z )
2
y
2
2
au = ( a x , , a y , , a z , )
E s t a e s l a m i s m a definición d e s u m a d e v e c t o r e s y multiplicación p o r u n e s c a l a r
q u e teníamos a n t e s y se i l u s t r a e n l a F i g u r a 4 . 3 3 .
Figura 4.33
(a)
(c)
4.3/VECTORES EN EL ESPACIO
135
Figura 4.33
(continuación)
U n vector unitario u e s u n v e c t o r d e m a g n i t u d 1 . S i v e s c u a l q u i e r v e c t o r d i s t i n t o d e c e r o , e n t o n c e s u = v/|v| e s u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t i e n e l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v.
EJEMPLO 3
Solución
E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o q u e t e n g a l a m i s m a d i r e c c i ó n q u e v = (2, 4, - 3 ) .
C o m o |v | = V 2 + 4 + ( - 3 ) = 7 2 9 , t e n e m o s que u = ( 2 / 7 2 9 , 4 / 7 2 9 ,
2
2
2
-3/729).
3
A h o r a p o d e m o s d e f i n i r f o r m a l m e n t e l a dirección d e u n v e c t o r e n I R . N o
p o d e m o s d e f i n i r l a c o m o e l ángulo 9 q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l a p a r t e p o s i t i v a
d e l e j e x p u e s , p o r e j e m p l o , s i O < 0 < 7 r / 2 , e n t o n c e s e x i s t e u n número
infinito
de v e c t o r e s q u e f o r m a n e l ángulo 9 c o n l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x y t o d o s e l l o s
f o r m a n u n c o n o ( F i g u r a 4.34).
Figura 4.34
DEFINICIÓN 1
L a dirección d e u n v e c t o r v d i s t i n t o d e c e r o e n I R , s e d e f i n e c o m o l a d i r e c c i ó n *
d e l v e c t o r u n i t a r i o u = v/|v|.
3
Observación. P o d r í a m o s h a b e r d e f i n i d o l a d i r e c c i ó n d e u n v e c t o r v d e U d e
e s t a f o r m a . S i u = v/|v|, e n t o n c e s u = ( e o s 9, s e n 9) d o n d e 6 e s l a d i r e c c i ó n d e v.
2
D e f i n i r e m o s l a dirección d e u n v e c t o r e n términos d e c i e r t o s ángulos. S e a v
e l v e c t o r OP d e s c r i t o e n l a F i g u r a 4.35. D e f i n i m o s a c o m o e l á n g u l o e n t r e v y
l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e x, /8 e l á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e y y y e l
á n g u l o e n t r e v y l a p a r t e p o s i t i v a d e l e j e z- L o s á n g u l o s a, ¡3 y y s e c o n o c e n
c o m o l o s ángulos directores d e l v e c t o r v. E n t o n c e s , d e l a F i g u r a 4.35,
* H a s t a aquí s o l a m e n t e t e n e m o s u n a i d e a i n t u i t i v a d e l a "dirección" d e u n v e c t o r u n i t a r i o , d e
f o r m a q u e e s t a definición n o e s matemáticamente p r e c i s a . C o m o v e r e m o s b r e v e m e n t e , s i n e m b a r g o ,
l a dirección d e u n v e c t o r u n i t a r i o s e d e t e r m i n a p o r l o s ángulos q u e f o r m a e l v e c t o r c o n l o s e j e s
coordenados.
136
4/VECTORES EN U- Y
R'
Figura 4.35
S i v es u n i t a r i o e n t o n c e s
|v| = 1 y
eos a = x
0
e o s |3 = y
0
eosy = z
(11)
0
P o r d e f i n i c i ó n , c a d a u n o d e e s t o s t r e s á n g u l o s e s t á e n e l i n t e r v a l o [ 0 , ir]. L o s
c o s e n o s d e e s t o s t r e s á n g u l o s s o n l l a m a d o s l o s cosenos directores
d e l v e c t o r v.
Notemos, de lasEcuaciones (10), q u e
2
eos
2n ,
2
* 0 + y + Z o
x l + y l + Z J
a + e o s fi + e o s y =
r-75
= —5
5
; = i
|v|
X f . + Vo + Z ,
0
2
(12)
2
S i a , /3 y y s o n t r e s n ú m e r o s c u a l e s q u i e r a e n t r e 0 y ir q u e s a t i s f a c e n l a c o n d i ción ( 1 2 ) , e n t o n c e s d e t e r m i n a n u n v e c t o r único d a d o p o r u = ( c o s a , e o s /3,
eos 7).
Observación. S i v = (a, b, c) y |v| f 1 , e n t o n c e s l o s n ú m e r o s a, b y c s e c o n o c e n
c o m o l o s números
directores
d e l v e c t o r v.
EJEMPLO 4
Solución
EJEMPLO 5
Encuentre los cosenos
directores delvector v = (4, - 1, 6 ) .
L a d i r e c c i ó n d e v e s v/|v| = v / V 5 3 = ( 4 / V 5 3 ,
-1/V53,
6/V53). Entonces
cosa =4/753^0.5494,
e o s0 = - 1 / 7 5 3 = - 0 . 1 3 7 4 , y eos 7 = 6 / 7 5 3 =
0 . 8 2 4 2 . D e aquí, u s a n d o u n a t a b l a d e c o s e n o s o u n a c a l c u l a d o r a d e b o l s i l l o o b t e n e m o s a = 56.7° = 0 . 9 8 9 r a d , 0 = 9 7 . 9 ° = 1 . 7 1 r a d , y 7 = 34.5° = 0 . 6 0 2
r a d . E l v e c t o r , j u n t o c o n s u s á n g u l o s a, /3 y 7 , a p a r e c e e n l a F i g u r a 4 . 3 6 .
Encuentre u n vector v de m a g n i t u d 7 y cuyos cosenos
1/73, y 1 / 7 2 .
directores sean
l/Tó,
4 ) V E C T O R E S EN EL ESPACIO
Solución
137
S e a u = ( l / V ó , 1 / V 3 , 1 / V 2 ) . E n t o n c e s u e s u n v e c t o r u n i t a r i o p u e s |u| = 1 . A s í ,
l a d i r e c c i ó n d e v e s t á d a d o p o r u y v = |v| u = 7 u = (7/Vó, 7 / V 3 , 7 / V 2 ) .
Nota. P o d e m o s r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a p o r q u e ( 1 / n / 6 ) + ( 1 /
2
/
v
3) + (I/
/
2
v
2) = 1.
2
E s i n t e r e s a n t e n o t a r q u e s i v, u n v e c t o r e n I R , s e e s c r i b e v = ( e o s 0)\ +
(sen
d o n d e 6 e s l a d i r e c c i ó n d e v, e n t o n c e s e o s 6 y s e n 6 s o n l o s c o s e n o s
d i r e c t o r e s d e v. A q u í a = 6 y d e f i n i m o s 0 c o m o e l á n g u l o q u e v f o r m a c o n e l e j e
y. ( F i g u r a 4 . 3 7 } . E n t o n c e s (3 = (ir/2)-a
y así e o s (5 = e o s ( 7 r / 2 - a ) = s e n a y v
se p u e d e e s c r i b i r e n f o r m a d e c o s e n o s d i r e c t o r e s :
2
v = c o s a i + cos£¡ j
Figura 4.37
y
0
r
1
*
E n l a Sección 4 . 1 v i m o s q u e c u a l q u i e r v e c t o r e n e l p l a n o s e p u e d e e s c r i b i r e n
términos d e l o s v e c t o r e s básicos i y j . P a r a e x t e n d e r e s t a i d e a a
definimos
i =(1,0,0)
j = (0,1,0)
k = (0,0,1)
(13)
A q u í , i, j y k s o n v e c t o r e s u n i t a r i o s . E l v e c t o r i e s t á s o b r e e l e j e x, j e n e l e j e y
y k e n e l e j e z ( e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 3 8 ) . S i v = ( x , y, z) e s u n v e c t o r
cualquiera e n R - \ entonces
v = (x, y,z )= ( x , 0 , 0 ) + (0, y , 0 ) + ( 0 , 0 , z )= x i + y j + z k
E s t o e s : Cualquier vector v en U* se puede
de los vectores i, j y k.
S e a n P=(a
b c , ) y Q = (a ,
v e c t o r v = PQ s e p u e d e e s c r i b i r
u
u
2
b , c ).
2
2
escribir
de forma
única en
(14)
términos
E n t o n c e s , c o m o e n l a Sección 4 . 1 , e l
138
4/VECTORES EN R- Y
\ = (a -a )i
2
i
+ (b -b )j
2
+
l
(15)
(c -c )k
2
x
Figura 4.38
(0.0,
l)
j
(0. í . o )
(1,0,0)
L o s v e c t o r e s v y PQ e s t á n d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4.39.
Figura 4.39
,Q(u .h ,c )
2
2
2
v = ( o j - <J,)Í + ( h - />,JJ + ( c "
2
EJEMPLO 6
Solución
2
E n c u e n t r e u n v e c t o r e n e l e s p a c i o q u ese p u e d a r e p r e s e n t a r
r e c t a d i r i g i d o d e (2, — 1 , 4) a (5, 1, —3).
p o re l s e g m e n t o d e
v = (5 - 2)i + [1 - ( - l ) ] j + ( - 3 - 4)k = 3i + 2j - 7k
3
L a definición d e p r o d u c t o e s c a l a r e n U e s , d e s d e l u e g o , l a definición q u e
d i m o s e n l a S e c c i ó n 2.2. N o t e m o s q u e i - i = l , j - j = l , k * k = l , i - j = 0,
j»k = 0 , e i « k = 0 .
TEOREMA 2
S i ip d e n o t a e l m e n o r á n g u l o p o s i t i v o e n t r e d o s v e c t o r e s u y v d i s t i n t o s d e c e r o ,
tenemos q u e
Demostración
EJEMPLO 7
L a d e m o s t r a c i ó n e s c a s i i d é n t i c a a l a d e m o s t r a c i ó n d e l T e o r e m a 4.2.1 y s e d e j a
c o m o e j e r c i c i o ( P r o b l e m a 62).
C a l c u l e e l c o s e n o d e l á n g u l o e n t r e u = 3i — j + 2k y v = 4i + 3j — k.
4.3/VECTORES EN EL E S P A C I O
Solución
u • v = 7, |u| = V l 4 , y
139
|v| = V 2 6 , d e m o d o q u e e o s <p = 7/V(l4)(26) = 7 / V 3 6 4 «
0.3669 y <p « 6 8 . 5 ° = 1.2 r a d .
DEFINICION 2
D o s vectores u y v distintos de cero son:
i. Paralelos,
s i e l á n g u l o e n t r e e l l o s e s c e r o ó r,
ii. Ortogonales
( o perpendiculares),
s i e l ángulo e n t r e e l l o s e s 7r/2.
TEOREMA 3
i. S i u ^ O , e n t o n c e s u y v s o n p a r a l e l o s s i y s ó l o s i v = c v u p a r a a l g u n a
ii.
Demostración
EJEMPLO
8
Solución
Figura 4.40
N u e v a m e n t e , l a d e m o s t r a c i ó n e s fácil y s e d e j a c o m o e j e r c i c i o ( P r o b l e m a 63).
M u e s t r e q u e l o s v e c t o r e s u = i + 3j - 4 k y v = — 2i - 6j + 8 k s o n p a r a l e l o s .
u « v = - 5 2 , | u | = V 2 6 , y |v| = V 1 0 4 = 2 V 2 6 . A s í , u • v/|u| |v| = - 5 2 / ( V 2 6 - 2 V 2 6 )
= — 1 , d e m a n e r a q u e e o s 6 = — 1 , 0= i r y u y v s o n p a r a l e l o s ( p e r o d e d i r e c c i o n e s o p u e s t a s ) . O t r a f o r m a d e v e r e s t o e s n o t a n d o q u e v = — 2u y , p o r e l
T e o r e m a 3, u y v s o n p a r a l e l o s ( F i g u r a 4 . 4 0 ) .
(-2.
-6.8)
(1.3,
EJEMPLO 9
Figura 4.41
cons-
tante
a^O.
S i u y v s o n d i s t i n t o s d e c e r o , e n t o n c e s u y v s o n o r t o g o n a l e s s i y sólo s i
u«v = 0 .
-4)
E n c u e n t r e u n n ú m e r o a t a l q u e u = 8¡ - 2j + 4 k y v = 2i + 3j + « k s e a n o r t o g o n a l e s
140
4/VECTORES EN R-' Y R '
:
Solución
D e b e m o s m o s t r a r q u e 0 = u«v = 10 + 4a d e d o n d e a = — §. L o s v e c t o r e s u y v
están d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4.41.
V o l v a m o s a h o r a a l a definición d e l a proyección d e u n v e c t o r s o b r e o t r o .
P r i m e r o e s t a b l e c e r e m o s u n t e o r e m a a n á l o g o a l T e o r e m a 4.2.4 ( y q u e t i e n e
idéntica demostración).
TEOREMA 4
S e a v u n v e c t o r d i s t i n t o d e c e r o . E n t o n c e s p a r a c u a l q u i e r o t r o v e c t o r u,
u •v
w = u--rrrv
M
e s o r t o g o n a l a v.
DEFINICION 3
S e a n u y v d o s v e c t o r e s d i s t i n t o s d e c e r o . E n t o n c e s l a proyección
d e n o t a d a proy u, se define
v
Solución
v,
d e u e n l a d i r e c c i ó n v e s t á d a d a p o r (u • v)/|v|.
L a componente
E J E M P L O 10
de u sobre
como
S e a n u = 2i + 3j + k y v = i + 2 j - 6 k . E n c u e n t r e
proy u.
v
A q u í (u • v)/|v| = 2/41 y p r o y u = i M + a r J - í f k . L a c o m p o n e n t e d e u e n l a d i r e c c i ó n v e s (u • v)/|v| = 2 / V 4 1 .
2
v
N o t e m o s que, c o m o e n e l caso d e l p l a n o , p r o y u es u n vector q u e tiene l a
m i s m a dirección q u e v s i u«v>0 y dirección o p u e s t a q u e v s i u«v<0.
v
P R O B L E M A S 4.3
E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 9 d i b u j e e l p u n t o d a d o e n U\
1. ( 1 , 4 , 2 )
4.(8,-2,3)
7. ( - 2 , - 8 , 0 )
2. ( 3 , - 2 , 1 )
5. (-2, 1,-2)
8. (0,4,7)
3. ( - 1 , 5 , 7 )
6.(1,-2,1)
9. (1,3,0)
E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 0 a l 13 e n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e l o s d o s p u n t o s .
10. ( 8 , 1 . 6 ) ; ( 8 , 1 , 4 )
12. ( 3 , - 4 , 7 ) ; ( 3 , - 4 , 9 )
11. ( 3 , - 4 , 3 ) ; ( 3 , 2 , 5 )
13. ( - 2 , 1 , 3 ) ; ( 4 , 1 . 3 )
4 3/VECTORES EN EL E S P A C I O
141
2
14. T r e s p u n t o s P , Q y R s o n colineales
s i están e n l a m i s m a r e c t a . M u e s t r e q u e e n R ,
P , Qy R s o n c o l i n e a l e s s i P R = P Q + Q R ó P Q = P R + R Q ó Q R = Q P + P R . U s e
e s t e último h e c h o e n R p a r a m o s t r a r q u e l o s p u n t o s ( - 1 , - 1 , - 1 ) , (5, 8 , 2) y
( — 3 , — 4 , —2) s o n c o l i n e a l e s .
15. M u e s t r e q u e l o s p u n t o s (3, 0 , 1 ) y ( 0 , - 4 , 0 ) y ( 6 , 4, 2) s o n c o l i n e a l e s .
* 1 6 . S e a n P = (x y
z¡) y Q = ( x , y , Z )- M u e s t r e q u e e l p u n t o m e d i o d e P Q e s e l p u n t o R = ((*, + x )/2Ay
+y /2.)
( z , + z ) / 2 ) . [Sugerencia: M u e s t r e q u e P , Q y R s o n
colineales y q u e P R = R Q . ]
17. E n c u e n t r e e l p u n t o m e d i o d e l s e g m e n t o q u e u n e a l o s p u n t o s (2, - 1 , 4 ) y
(5, 7, - 3 ) .
3
u u
2
2
]
2
2
2
2
E n l o s P r o b l e m a s d e l 18 a l 31 e n c u e n t r e l a m a g n i t u d y l o s c o s e n o s d i r e c t o r e s d e l v e c tor dado.
18.
21.
24.
27.
30.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
*38.
39.
40.
v = 3j
19. v = 3i
2 0 . v = 4i j
v = i + 2k
22. v = i - j + k
23- v = i + j k
v= -i + j+ k
25. v = i - j - k
26. v = i + j k
v= -¡-j +k
28. v = - i - j - k
29. v = 2i + 5 j - 7 k
v = - 3 i - 3 j + 8k
31. v = - 2 i - 3 j - 4 k
L o s t r e s ángulos d i r e c t o r e s d e c i e r t o v e c t o r u n i t a r i o s o n l o s m i s m o s y están e n t r e 0
y 7 r / 2 . ¿Cuál e s e l v e c t o r ?
E n c u e n t r e u n v e c t o r d e m a g n i t u d 12 q u e t e n g a l a m i s m a dirección q u e e l v e c t o r d e l
P r o b l e m a 32.
M u e s t r e q u e n o e x i s t e ningún v e c t o r u n i t a r i o c u y o s ángulos d i r e c t o r e s s e a n x / 6 ,
TT/3 y i r / 4 .
S e a n P = ( 2 , 1 , 4) y Q = ( 3 , — 2 , 8). E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o e n l a d i r e c ción P Q .
S e a n P = ( — 3 , l , 7 ) y 0 = ( 8 , 1 , 7). E n c u e n t r e u n v e c t o r u n i t a r i o c u y a dirección s e a
la opuesta a l a de P Q .
E n e l P r o b l e m a 36 e n c u e n t r e t o d o s l o s p u n t o s R t a l e s q u e P R X P Q .
M u e s t r e q u e e l c o n j u n t o d e p u n t o s q u e s a t i s f a c e n l a condición d e l P r o b l e m a 37 y
l a condición | P R | = 1 f o r m a u n círculo.
S i u y v están e n R " \ m u e s t r e q u e | u + v | ^ | u | + | v | .
¿Bajo qué c i r c u n s t a n c i a s l a d e s i g u a l d a d d e l P r o b l e m a 39 s e p u e d e s u s t i t u i r p o r u n a
igualdad?
E n l o s P r o b l e m a s d e l 4 1 a l 53 s e a n u = 2 i - 3 j + 4 k ,
y t = 3i + 4 j + 5 k .
41.
43.
45.
47.
49.
50.
51.
54.
v = - 2 i - 3j + 5k,
w = i- 7 j + 3k.
Calcule u + v.
42. C a l c u l e 2 u - 3 v .
Calcule t+ 3 w - v .
44. C a l c u l e
2u-7w-i-5v.
Calcule 2v + 7 t - w .
46. C a l c u l e u • v .
Calcule |w|.
48. C a l c u l e u - w - w t .
C a l c u l e e l ángulo e n t r e u y w .
C a l c u l e e l ángulo e n t r e t y w .
Calcule proy v.
52. C a l c u l e p r o y , w .
53. C a l c u l e p r o y , v .
E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a e n t r e e l p u n t o P = (2, 1 , 3) y l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s
Q = ( — 1 , l , 2 ) y R = ( 6 , 0 , 1 ) . [Sugerencia: V e a e l P r o b l e m a 4 . 2 . 4 2 ] .
55. E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a d e l p u n t o P = ( l , 0 , 1 ) a l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s
Q = ( 2 , 3 , - 1 ) y R = (6, 1 , - 3 ) .
56. M u e s t r e q u e l o s p u n t o s P = ( 3 , 5, 6 ) , Q = ( l , 2 , 7) y R = ( 6 , 1 , 0 ) s o n l o s vértices d e
u n triángulo rectángulo.
u
142
4 / V E C T O R E S EN R- Y R
;i
57. M u e s t r e q u e l o s p u n t o s P = ( 3 , 2 , - l ) , y g = ( 4 , 1 , 6 ) , / ? = ( 7 , - 2 , 3 ) y S = ( 8 , - 3 ,
1 0 ) s o n l o s vértices d e u n p a r a l e l o g r a m o .
*58. U n a f i g u r a sólida e n e l e s p a c i o c o n e x a c t a m e n t e c u a t r o vértices, s e c o n o c e c o m o
u n tetraedro
( F i g u r a 4 . 4 2 ) . P r e p r e s e n t a e l v e c t o r O P . Q e l v e c t o r O Q y así s u c e s i v a m e n t e . S e t r a z a u n a r e c t a d e c a d a vértice a l c e n t r o i d e * d e l l a d o o p u e s t o . M u e s t r e q u e e s t a s c u a t r o líneas se i n t e r s e c a n e n e l p u n t o f i n a l d e l v e c t o r
\ = ( P + Q + R + S)/4.
59. U n a f u e r z a d e 3 N actúa e n l a dirección d e l v e c t o r c o n c o s e n o s d i r e c t o r e s ( 1 / V 6 ,
l / \ / 3 , l / \ / 2 ) - E n c u e n t r e el trabajo realizado a l m o v e r el objeto del p u n t o ( 1 , 2 , 3)
a l p u n t o ( 2 , 8 , 1 1 ) , d o n d e l a s d i s t a n c i a s s e m i d e n e n m e t r o s . [Sugerencia:
Ejemplo 4.2.10].
60. E n c u e n t r e e l t r a b a j o r e a l i z a d o c u a n d o u n a f u e r z a d e 3 N a c t u a n d o e n l a dirección
del vector v = i + j — k , m u e v e u no b j e t o desde ( — 1, 3 ,4 )a (3, 7 , — 2 ) . N u e v a m e n t e
l a d i s t a n c i a se m i d e e n m e t r o s .
6 1 . D e m u e s t r e q u e l a fórmula ( 1 5 ) e s c o r r e c t a . [Sugerencia:
Siga los pasos que llevan
a l a fórmula ( 4 . 1 . 1 0 ) ] .
62. D e m u e s t r e e l T e o r e m a 2 .
63. D e m u e s t r e e l T e o r e m a 3 .
64. D e m u e s t r e e l T e o r e m a 4 .
*65. S e a P Q R u n triángulo e n R ' . M u e s t r e q u e s i u n a f u e r z a d e TV N m u e v e u n o b j e t o
a l r e d e d o r d e l triángulo, e n t o n c e s e l t r a b a j o r e a l i z a d o p o r l a f u e r z a es c e r o .
*66. E n c u e n t r e e l ángulo f o r m a d o e n t r e l a d i a g o n a l d e u n c u b o y l a d i a g o n a l d e u n a d e
sus caras.
^T.T"
El Producto Cruz de dos Vectores
H a s t a aquí e l único p r o d u c t o d e v e c t o r e s q u e h e m o s c o n s i d e r a d o e s e l p r o d u c to escalar o p r o d u c t o p u n t o . D e f i n i m o s a h o r a u n n u e v o p r o d u c t o l l a m a d o
producto
cruz t ( o producto
vectorial)
q u e sólo está d e f i n i d o e n R \
DEFINICION 1
S e a u = a , Í + b,\ + c , k y v = a , i + b j + c j k . E n t o n c e s e l producto
cruz
(producto vectorial)
d e u y v, d e n o t a d o u x v , e s u n n u e v o v e c t o r d e f i n i d o p o r
* E l c e n t r o i d e d e u n triángulo e s u n p u n t o e q u i d i s t a n t e d e l o s vértices.
+ Ñola histórica: E l p r o d u c t o q r u z f u e d e f i n i d o p o r H a m i l t o n e n u n o d e l o s artículos e n q u e
discutía l o s c u a t e r n i o n e s , p u b l i c a d o s e n Philosophical
M a g a z i n e e n t r e l o s años 1844 y 1850.
4.4/EL P R O D U C T O C R U Z DE DOS V E C T O R E S
u x v = (b c l
c , b ) ¡ + ( c a - a c )\
2
2
1
2
1
Observe que el resultado del producto
del producto
escalar es un escalar.
143
(1)
+ (a b -b a )k
2
1
2
l
2
cruz es un vector
mientras
el
resultado
Parecería q u ee l p r o d u c t o c r u z h a s i d o d e f i n i d o d e u n a m a n e r a u n t a n t o a r bitraria. Existen obviamente varias maneras de definir u n producto vectorial.
¿ P o r q u é s e escogió e s t a definición? R e s p o n d e r e m o s a e s t a p r e g u n t a e n e s t a
sección d e m o s t r a n d o a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o c r u z e i l u s t r a n d o
algunos de sus usos.
EJEMPLO 1
Solución
S e a u = i - j + 2k y v = 2i + 3 j - 4 k . C a l c u l e w = u x v.
U s a n d o l a fórmula ( 1 ) ,
w = [ ( - l ) ( - 4 ) - (2)(3)]i + [(2)(2) - ( l ) ( - 4 ) ] j + [(1)(3) - (- l)(2)]k
= - 2 i + 8j + 5k
Nota. E n e s t e e j e m p l o u • w = ( i - j + 2k) • ( - 2 i + 8j + 5k) = - 2 - 8 + 1 0 = 0.
A n á l o g a m e n t e v»w = 0. E s t o e s , u x v e s o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v. C o m o
v e r e m o s e n b r e v e , e l p r o d u c t o c r u z d e u y v s i e m p r e e s o r t o g o n a l a u y a v.
A n t e s d e c o n t i n u a r n u e s t r a discusión d e l o s u s o s d e l p r o d u c t o c r u z o b s e r v e m o s q u e h a y u n a f o r m a fácil d e c a l c u l a r u x v c o n e l u s o d e d e t e r m i n a n t e s .
TEOREMA 1
i
uxv =
Demostración
¡
J
k
a,
b,
c,
a
b
c
2
2
a,
&,
a
b
2
o.
»2
*
k
j
c
2
c,
-j
c
2
2
a¡
c,
a
c
2
+ k
2
a,
b,
a
b
2
2
2
= (b c x
2
c b )i
l
2
+ (c a
l
2
- aiC )j
2
+ (a¡b
2
-
b a )k
t
2
l o q u e e s i g u a l a u X v d e a c u e r d o a l a Definición 1 .
* E s t e n o e s r e a l m e n t e u n d e t e r m i n a n t e p u e s i , j y k n o s o n números. S i n e m b a r g o , u s a n d o n o t a ción d e d e t e r m i n a n t e s , e l T e o r e m a 1 n o s a y u d a a r e c o r d a r cómo s e c a l c u l a u n p r o d u c t o c r u z .
144
4/VECTORES EN R- Y R
EJEMPLO 2
C a l c u l e u x v , d o n d e u = 2i + 4 j - 5 k y v = - 3 i - 2 j + k.
Solución
í
j
2
U X v =
k
= (4 - 10)i - (2 - 1 5 ) j + ( - 4 + 12)k
4 - 5
-3
-2
1
= - 6 i + l 3 j + 8k
E l siguiente t e o r e m a r e s u m e a l g u n a s d e l a s p r o p i e d a d e s d e lp r o d u c t o
TEOREMA 2
S e a n u, v y w v e c t o r e s e n U
3
iii.
Entonces:
0.
i. u x O = O x u =
ii.
y sea a u n escalar.
cruz.
uxv = -(vxu) (propiedad a n t i c o n m u t a t i v a d e lp r o d u c t o vectorial).
(au)xv = a(uxv).
iv. u x ( v + w) = ( u x v ) + ( u x w )
(propiedad distributiva delproducto
vec-
torial).
v. (u x v) • w = u • (v x w ) . ( E s t o e s l l a m a d o e l triple producto escalar d e u ,
v yw).
vi. u • (u x v) = v • (u x v) = 0. ( E s t o e s , u x v e s o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o
a v).
vii.
Demostración
S i u y v s o n p a r a l e l o s e n t o n c e s u X v = 0.
i. S e a u = fl,i + ¿ ? | j + c k . E n t o n c e s
]
u x O =
ii.
a,
o,
c,
0
0
0
Oi + Oj + O k =
0
A n á l o g a m e n t e 0 X u = 0.
S e a v = a \ + bj + c k . E n t o n c e s
2
2
i
'
a
j
2
b
c
c
a,
o,
c,
1»,
UXV =
a
02
2
k
k
i
2
-(vxu)
2
2
d e b i d o a q u e a l i n t e r c a m b i a r los renglones d e u nd e t e r m i n a n t e se tiene e l
e f e c t o d e m u l t i p l i c a r e l d e t e r m i n a n t e p o r — 1 ( P r o p i e d a d 3.2.4).
i
iii.
(au)Xv =
a
2
i
k
i
aa |
ac,
02
c
2
= a
i
0,
"2
k
£•>
;
a (u X v )
0:
L a s e g u n d a i g u a l d a d s e d e d u c e d e l a P r o p i e d a d 3.2.2.
iv. S e a w - o,i + 6,j + c,k. E n t o n c e s
4.4/EL P R O D U C T O C R U Z DE D O S V E C T O R E S
i
u x ( v + w)
:
145
k
i
ai
a + a
2
c + c
3
>
i
a,
b,
a
b
2
2
k
+
c
2
j
b
a
b
k
i
a,
x
3
2
3
c
3
3
= (uxv) + (uxw)
Aquí h e m o s u s a d o l a P r o p i e d a d 3 . 2 . 3 .
v. ( u x v ) • w = [ ( b c - c b ) i + ( c a - a c ) j + ( a , b - b a ) k ]
1
2
2
1
1
• [a i + b ] +
3
= bc a
i
2
3
2
1
2
2
1
2
3
— cb a
l
2
c k]
3
3
+ cab
x
2
—acb
3
1
2
3
+ a- b c
í
2
3
—
b- a c
í
2
3
P o d e m o s m o s t r a r f á c i l m e n t e q u e u • (v x w) e s i g u a l a l a m i s m a e x p r e sión*.
S a b e m o s q u e u»(u x v) = (u X v)«u ( p u e s e l p r o d u c t o e s c a l a r e s c o n m u t a t i v o ; v e a l a p a r t e (/'/') d e l T e o r e m a 2 . 2 . 1 ) . P e r o , d e l a s p a r t e s (ii) y ( v ) d e
este t e o r e m a ,
( u x v ) • u = u • ( v x u ) = u • ( - u x v ) = - u • ( u x v ) . Así,
u«(uXv)= - U ' ( u x v ) , l o c u a l p u e d e o c u r r i r s o l a m e n t e s i u«(uxv) = 0 .
U n cálculo s i m i l a r m u e s t r a q u e v«(uxv) = 0 .
vi.
vii.
S i u y v s o n paralelos entonces
m a 4.3.3) de f o r m a q u e
i
UXV =
i
k
ab
ac,
x
a (Teore-
=0
a,
aa
pues u n determinante
dad 3.2.6).
v = au p a r a algún e s c a l a r
x
c o n dos renglones
proporcionales
es cero
(Propie-
H e m o s v i s t o q u e u x v e s u n v e c t o r o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v ( p a r t e vi
d e l ú l t i m o t e o r e m a ) . P e r o s i e m p r e e x i s t e n a l m e n o s dos v e c t o r e s u n i t a r i o s o r togonales a u y v (Figura 4.43). S u p o n g a m o s q u e l o s vectores n y - n s o n
a m b o s o r t o g o n a l e s a u y a v. ¿ C u á l d e e l l o s e s t á e n l a d i r e c c i ó n d e u x v? L a
r e s p u e s t a e s t á d a d a p o r l a regla de la mano derecha. S i l a m a n o d e r e c h a s e
p o n e d e f o r m a q u e e l d e d o índice a p u n t e e n l a dirección d e u y e l d e d o m e d i o
Figura 4.43
-
y
• P a r a u n a interpretación geométrica i n t e r e s a n t e d e l t r i p l e p r o d u c t o e s c a l a r v e a e l P r o b l e m a 3 7 .
146
4 / V E C T O R E S EN K- Y R '
:
a p u n t e e n l a dirección d e v e n t o n c e s e l d e d o p u l g a r a p u n t a e n l a dirección d e
u x v ( F i g u r a 4.44).
Figura 4.44
¿Qué s u c e d e c u a n d o t o m a m o s e l p r o d u c t o c r u z d e l o s v e c t o r e s básicos i , j y
k? E s sencillo verificar l o siguiente:
(2)
ixi = jxj = kxk = 0
ixj =k
kxi =j
jxk = i
(3)
jxi = -k
ixk = -j
kxj = -¡
(4)
P a r a r e c o r d a r e s t o c o n s i d e r e m o s e l c í r c u l o d e l a F i g u r a 4.45. E l p r o d u c t o
c r u z d e d o s v e c t o r e s c o n s e c u t i v o s e n l a dirección d e l a s m a n e c i l l a s d e l r e l o j
es p o s i t i v o ; e l p r o d u c t o c r u z d e d o s v e c t o r e s c o n s e c u t i v o s e n l a dirección
Figura 4.45
c o n t r a r i a a l a d e l a s m a n e c i l l a s d e lr e l o j es n e g a t i v o . N o t e m o s q u e l a s fórmul a s p r e c e d e n t e s m u e s t r a n q u e e l p r o d u c t o c r u z no es asociativo
pues, p o r
e j e m p l o , i x ( i x j ) = i x k = j m i e n t r a s q u e ( i x i ) x j = 0 x j = 0, d e f o r m a q u e
i x ( i x j ) * ( i x i ) x j . E n general,
U X ( v X w ) 5¿ ( U X v ) X W
EJEMPLO 3
C a l c u l e (3¡ + 4 k ) x ( 2 i - 3 j ) .
(5)
4 4/EL P R O D U C T O C R U Z DE D O S V E C T O R E S
Solución
147
E s t e es u n b u e n e j e m p l o d e l a u t i l i d a d d e l T e o r e m a 2 y l a s fórmulas ( 2 ) ,
(3) y ( 4 ) . T e n e m o s
(314- 4 k ) x ( 2 1 - 3 j ) = ( 3 - 2 ) ( i x i ) 4- ( 4 - 2 ) ( k x i ) + 3 ( - 3 ) ( i x j )
+4(-3)(kxj)
= 0+ 8 j - 9 k + 1 2 i = 12i+ 8 j - 9 k
S a b e m o s q u e u X v es u nv e c t o r o r t o g o n a l t a n t o a u c o m o a v . E l siguiente r e sultado n o sd a su magnitud.
TEOREMA 3
Demostración
S i ¡p e s e l á n g u l o e n t r e u y v , e n t o n c e s
E s fácil m o s t r a r ( c o m p a r a n d o
2
2
( P r o b l e m a 31). Entonces, c o m o (u«v) =
|uXv|
2
2
2
2
= |u| H -|u| |v|
2
= |u| |v|
2
2
componentes)
2
eos
|u| |v|
2
2
q u e | u xv | = |u| |v|
2
2
—( u • v )
c o s V (delT e o r e m a 4.3.2),
2
<p = | u | H
2
(1-cos
2
0)
2
s e n <p
y e l t e o r e m a q u e d a d e m o s t r a d o t o m a n d o l a raíz c u a d r a d a d e a m b o s
lados.
E x i s t e u n ainterpretación geométrica i n t e r e s a n t e d e l T e o r e m a 3 . L o s v e c t o r e s u y v están d i b u j a d o s e n l a F i g u r a 4 . 4 6 y s e l o s p u e d e i m a g i n a r c o m o l o s d o s
Figura 4.46
x
l a d o s a d y a c e n t e s d e u n p a r a l e l o g r a m o . E n t o n c e s , d e l a geometría e l e m e n t a l ,
vemos que
Á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o = | u | | v | s e n <p = | u x v |
(7)
2
148
4 / V E C T O R E S EN R
EJEMPLO 4
2
Y R
3
E n c u e n t r e e l á r e a d e l p a r a l e l o g r a m o c o n vértices c o n s e c u t i v o s e n P = ( l , 3, —2),
Q = (2, l , 4 ) y / ? = ( - 3 , 1 , 6 ) .
Figura 4.47
K(-3,
1,6)
6(2, 1 , 4 )
P ( l , 3, - 2 )
Solución
E l p a r a l e l o g r a m o e s t á d i b u j a d o e n l a F i g u r a 4.47. T e n e m o s
A r e a = | P C 5 x " Q R | = | ( i - 2 j + 6k) x ( - 5 i + 2k)|
¡
í
1
-2
-5
0
k|
6 = | - 4 i - 3 2 j - 10k| = V 1 1 4 0 u n i d a d e s
cuadradas
2
P o d e m o s u s a r l a discusión a n t e r i o r p a r a d a r u n a interpretación geométrica
del d e t e r m i n a n t e . Sea A u n a m a t r i z d e2 x 2 y sean u y v d o svectores c o n d o s
componentes. Sean u =
yv =
g u r a 4.48. E l área generada
j . E s t o s v e c t o r e s están d a d o s e n l a F i -
p o r u y v s e d e f i n e c o m o e l área d e l p a r a l e l o g r a m o
dado e nl a figura.
Figura 4.48
P o d e m o s pensar e n u y v c o m o vectores de
en elplano
xy.
= |u,t) -
uv\
«A
r
"2
0/
lo
«i
j
W
«1
v
i
Área g e n e r a d a
p o ru y v = l u x vi
• N o t e m o s q u e éste e s e l v a l o r a b s o l u t o d e l d e t
0
2
0
2
= \(u v y
k
2
u v )k\
2
x
2
2
x
4 4 EL P R O D U C T O C R U Z DE D O S V E C T O R E S
A
a
/
H
AhoraseanA =
2l
(
a
^
V
l
\a v
2i
+
a
i
2
V
+
í
i z \ f
0,22'
\a
y v ' =
a
2
\
A
t
A
*
c
, u ' = ^ u , y v ' =A\.
i
Entonces u =
/
a
l l " l +
149
a
U
12 2\
\a u¡+a u /
2l
22
2
¿Cuál e s e l área g e n e r a d a p o r u' y v ' ? S i g u i e n d o l o s
a v'
22
2
pasos anteriores calculamos
i
Área g e n e r a d a p o ru' y v ' =|u'xv'| =
a
+a u
2
au
1
+a u
2
0
2
av
1
+a v
2
0
1
12
12
= |(a,, u , + a
1 2
u )(a
2
2 1
ü ! + a t > ) - (a u
2 2
k
ant), + a v
l l
u
í
2
2l
l
21
21
22
+ a u ){a^v
22
22
2
x
+
a v )\
12
2
C o n álgebra e l e m e n t a l p o d e m o s v e r i f i c a r q u e l a última expresión e s i g u a l a
| ( a a
n
2
2
- a
1
2
a
2
1
) ( u , u - U ÜI)| = ± d e t A
2
2
(área g e n e r a d a p o r u y v ) .
A s í ( e n e s t e c o n t e x t o ) : El determinante
tiene el efecto de multiplicar el área. E n
el P r o b l e m a 4 1 se p i d e m o s t r a r q u e , e n c i e r t o s e n t i d o , u n d e t e r m i n a n t e d e 3 x 3
tiene el efecto d emultiplicar el volumen.
P R O B L E M A S 4.4
E n l o s P r o b l e m a s d e l 1 a l 20 e n c u e n t r e el p r o d u c t o c r u z u x v .
u =i-2j; v = 3k
2. u = 3 i - 7 j ; v = i + k
u =i - j ; v =j + k
4. u
-7k; v = j + 2k
u = - 2 i + 3j; v = 7i + 4 k
6 . u = a i + b j ; v = c\ + d\
u = a i + b k ; v = ci + dk
8. u = a j + b k ; v = c i + d k
u = 2 i - 3 j + k ; v = i + 2j +k
10. u = 3 i - 4 j + 2 k ; v = 6 i - 3 j + 5 k
u = - 3 i - 2 j + k ; v = 6i + 4 j - 2 k
12. u = i + 7 j - 3 k ; v = - i - 7 j + 3 k
u =i - 7 j - 3 k ; v= - i + 7 j - 3 k
14. u = 2 i - 3 j + 5 k ; v = 3 i j - k
u = 10i + 7 j - 3 k ; v = - 3 i + 4 j - 3 k
16. u = 2i + 4 j - 6 k ; v = - i - j + 3 k
u = 2i—j + k ; v = 4i + 2j + 2 k
18. u = 3 i - j + 8 k ; v = i + j - 4 k
u = a i + a j + a k ; \ = bi + b\ + bk
2 0 . 11 = a i + b j + c k ; v = a i + b j — c k
E n c u e n t r e d o s vectores u n i t a r i o s o r t o g o n a l e s a u = 2 i - 3 j y a v = 4j + 3 k .
Encuentre d o svectores unitarios ortogonales a u= i+j + k y a v = i — j — k .
U t i l i c e e l p r o d u c t o c r u z p a r a e n c o n t r a r e l s e n o d e l ángulo <p e n t r e l o s v e c t o r e s
u = 2 i + j — k y v = — 3i — 2 j + 4 k .
24. U t i l i c e e l p r o d u c t o e s c a l a r p a r a c a l c u l a r e l c o s e n o d e l ángulo <p e n t r e l o s v e c t o res d e l P r o b l e m a 23. L u e g o m u e s t r e q u e p a r a l o s v a l o r e s c a l c u l a d o s s e c u m p l e
s e n V + e o s se = 1 .
1.
3.
5.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
22.
23.
2
E n l o s P r o b l e m a s d e l 25 a l 30 e n c u e n t r e e l área d e l p a r a l e l o g r a m o c o n l o s vértices a d y a centes dados.
150
4 / V E C T O R E S EN R - Y
R
3
25. (1,-2,3); (2,0,1); (0,4,0)
27. (-2,1,0); (1,4,2); (-3,1,5)
2 9 . (a, 0 , 0 ) ; ( 0 , b , 0 ) ; ( 0 , 0 , c )
2
26. (-2,1,1); (2,2,3); ( - 1 , - 2 , 4 )
28. (7, - 2 , - 3 ) ; ( - 4 , 1 , 6); (5, - 2 , 3)
3 0 . ( a , b , 0 ) ; ( a , O, 6 ) ; (O, a , b )
= | u | | v | - ( u « v ) . [Sugerencia:
D e s a r r o l l e e n términos d e
2
2
2
31. M u e s t r e q u e | u x v |
sus c o m p o n e n t e s ] .
32. M u e s t r e q u e e l área d e l triángulo P Q R está d a d a p o r A
33. U t i l i c e e l r e s u l t a d o d e l P r o b l e m a 3 2 p a a c a l c u l a r e l área
ces e n ( 2 , 1 , - 4 ) , ( 1 , 7 , 2 ) y (3, - 2 , 3).
34. C a l c u l e e l área d e l triángulo c o n vértices e n ( 3 , 1 , 7 ) ( 2 ,
35. C a l c u l e e l área d e l triángulo c o n vértices e n ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 ,
e s t e triángulo.
36. M u e s t r e q u e s i u = ( o , , b , , c , ) , v = ( a , b , c ) y w = ( a , b
r
2
2
ai
u • (v x w) =
a
a
*37.
2
3
2
bi
b
b
3
3
= j|PQxQ~R|.
d e l triángulo c o n vérti- 3 , 4 ) y (7, - 2 , 4 ) .
1 ,0 ) y (0, 0 , 1). D i b u j e
3
, c ), entonces
3
c,
2
c
2
c,
S e a n u , v y w t r e s v e c t o r e s q u e n o están e n e l m i s m o p l a n o . E n t o n c e s e l l o s f o r m a n
l o s l a d o s d e u n paralelepípedo e n e l e s p a c i o ( F i g u r a 4 . 4 9 ) . D e m u e s t r e q u e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo está d a d o p o r V = | ( u x v ) - w¡.* [Sugerencia:
E l área d e l a
base es | u x v | ] .
Figura 4.49
u
38. C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s u = 2 i — j + k ,
v = 3i + 2j - 2 k , y w = 3 i + 2j.
39. C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s i — j , 3 i + 2 k ,
- 7 j + 3k.
40. C a l c u l e e l v o l u m e n d e l paralelepípedo d e t e r m i n a d o p o r l o s v e c t o r e s P Q , P R , y PS,
d o n d e P = ( 2 , 1 , - 1 ) , (? = ( - 3 , 1,4 ) , P = ( - 1 , 0 , 2 ) y S = ( - 3 , - 1 , 5 ) .
* * 4 1 . E l v o l u m e n g e n e r a d o p o r t r e s v e c t o r e s u , v y w d e O? s e d e f i n e c o m o e l v o l u m e n
d e l paralelepípedo c u y o s l a d o s s o n u , v y w ( F i g u r a 4 . 4 9 ) . S e a A u n a m a t r i z d e
3 x 3 y sean u, = A u , v, = A \ , y w, = A w . M u e s t r e que:
3
V o l u m e n generado p o r u,, v, yw ,
= (± det/4)(volumengenerado por u, v y w)
• E s t o s i g n i f i c a q u e e l v o l u m e n d e l p a r a l e l o g r a m o está d a d o p o r
V =
4 5 R E C T A S Y P L A N O S E S EL E S P A C I O
151
E s t o m u e s t r a que a l igual que el d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e 2 x 2 m u l t i p l i c a el
área, e l d e t e r m i n a n t e d e u n a m a t r i z d e 3 x 3 m u l t i p l i c a e l v o l u m e n .
,2
14
\1
a.
b.
c.
d.
, 5
3 Iv
, 2v
/!>
- 1 51, u = l - 1 ) , v=
= | 0 j y w= ^ 3 j .
0 6/
\ 0/
\4>
C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r u, v y w.
C a l c u l e e l v o l u m e n g e n e r a d o p o r A u , Av y Aw.
Calcule el determinante de A .
M u e s t r e q u e [ v o l u m e n e n l a p a r t e (b)] = ( ± d e b 4 ) x [ v o l u m e n e n l a p a r t e (a)].
Rectas y Planos en el Espacio
2
E n elplano U
p o d e m o s e n c o n t r a r l a ecuación d e u n a r e c t a d a d o s d o s p u n t o s
3
d e l a r e c t a o u n p u n t o y l a p e n d i e n t e d e l a r e c t a . E n U , n u e s t r a intuición n o s
d i c e q u e l a s i d e a s básicas s o n l a s m i s m a s . C o m o d o s p u n t o s d e t e r m i n a n u n a
r e c t a deberíamos d e s e r c a p a c e s d e c a l c u l a r l a ecuación d e u n a r e c t a e n e l e s p a cio s ic o n o c e m o s dos p u n t o s e n ella. D eo t r a f o r m a s ic o n o c e m o s u np u n t o y l a
dirección d e l a r e c t a d e b e m o s también s e r c a p a c e s d e e n c o n t r a r s u ecuación.
E m p e z a m o s c o n d o s p u n t o s P=(x¡,
y
z ) y Q=(x ,
u
x
y,
2
2
U n v e c t o r p a r a l e l o a L es u n v e c t o r c o n representante
Z) e n u n a recta L .
2
Pc5. A s í , d e l a F ó r m u -
la 4.3.15
v = ( x - x ) i + (y -y )j + (z -z )k
2
1
2
1
2
(1)
1
e s u n v e c t o r p a r a l e l o a L . A h o r a , s e a R = (x, y, z) o t r o p u n t o e n l a r e c t a . E n t o n c e s PR e s p a r a l e l o a PQ,
q u e a s u v e z e s p a r a l e l o a v y así, p o r e l T e o r e m a
4.3.3
(2)
PR=tv
p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. D e l a F i g u r a 4 . 5 0 t e n e m o s ( e n c a d a u n o d e l o s t r e s
casos posibles)
Figura 4.50
X
(a)
X
X
(b)
(c)
152
4 / V E C T O R E S EN R Y
2
Y , c o m b i n a n d o (2) y (3) obtenemos
PR=OR-OP=ty
o
OR =
OP+1\
L a E c u a c i ó n ( 4 ) e s l l a m a d a l a ecuación
(4)
vectorial
d e l a r e c t a L . S i R está e n L
e n t o n c e s ( 4 ) e s s a t i s f e c h a p a r a a l g ú n n ú m e r o r e a l t. I n v e r s a m e n t e , s i ( 4 ) e s s a t i s f e c h a e n t o n c e s r e g r e s a n d o s o b r e n u e s t r o s p a s o s v e m o s q u eP R es p a r a l e l a a
v l o q u e s i g n i f i c a q u e R está e n L .
S i d e s a r r o l l a m o s e n c o m p o n e n t e s l a Ecuación ( 4 ) o b t e n e m o s
x i + y i + z k= x i+ X2J + x k + í ( x - X | ) i + r ( y - y ) +
1
3
2
x = x + t(x
—
y = yi +
f ( y - y i )
2
z = z +
t{z -z )
x
ó
2
2
x
1
l
2
(5)
x
paramétricas
F i n a l m e n t e , r e s o l v i e n d o p a r a t e n ( 5 ) y d e f i n i e n d o x -x
2
de u n a recta.
=a,
x
y —y
2
x
= b, y
= c, e n c o n t r a m o s q u e
z —Z|
2
x - x
t
y - y i
Z - Z l
b
c
a
L a s E c u a c i o n e s ( 6 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones
a,byc
EJEMPLO 1
2
x)
L a s E c u a c i o n e s ( 5 ) s e c o n o c e n c o m o l a s ecuaciones
son
f(z -Zi)k
(6)
simétricas
d e l a r e c t a . Aquí
s o n l o s números d i r e c t o r e s del v e c t o r v . D e s d e l u e g o , las E c u a c i o n e s ( 6 )
válidas sólo s i o , b y c s o n d i s t i n t a s d e c e r o .
E n c u e n t r e u n a ecuación v e c t o r i a l , l a s e c u a c i o n e s paramétricas y las
ecuaciones
simétricas d e l a r e c t a L q u e p a s a p o r l o s p u n t o s P = ( 2 , - l , 6 ) y c 9 = ( 3 , 1 , — 2 ) .
Solución
Primero calculamos
v = ( 3 - 2 ) i + [ l - ( - l ) ] j + ( - 2 - 6 ) k = i+ 2 j - 8 k .
c e s , d e ( 4 ) s i R = (x,
y,
z) e s t á e n l a l í n e a , o b t e n e m o s
O P + t v = 2 i - j+ 6k+t(i + 2 j - 8 k )
x = 2+ í
Enton-
OR = x i + y j + z k =
ó
y = -
l + 2í
z = 6 - 8 f
Finalmente, c o m o a = l , 6 = 2 y c = - 8 encontramos lasecuaciones
simétricas
4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL E S P A C I O
x ^
=
y ^ l
1
2
153
z - 6
=
-
1
8
P a r a verificar esto v e a m o s q u e (2, - 1 ,6 ) y (3, 1 , - 2 )
'
están r e a l m e n t e e n l a
r e c t a . T e n e m o s [después d e s u s t i t u i r e s t o s p u n t o s e n ( 7 ) ]
2 - 2
-
- 1 + 1 6 - 6
r
—
=
3 - 2
1
—
=
°
1 + 1 - 2 - 6
~
2
"
_
- 8
1
Se pueden encontrar otros puntos d e l a recta. Si t = 3, por ejemplo,
3
_ x - 2 _ y + l
1
obtenemos
z - 6
2
que n o sd a el p u n t o (5, 5, - 1 8 ) .
EJEMPLO 2
Solución
E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 , - 2 , 4 )
y e s p a r a l e l a a l v e c t o r v = i + j —k.
U s a m o s l a f ó r m u l a ( 6 ) c o n P=(x ,y ,
* , )= ( 1 , - 2 , 4 ) y v c o m o a r r i b a d e form a q u e a= 1 , b= 1 y c= - 1 . E s t o n o s d a
l
l
x - l _ y + 2 _ 2 - 4
i
"
i
¿ Q u é s u c e d e s i u n o d e l o s n ú m e r o s d i r e c t o r e s a , fió c e s c e r o ?
EJEMPLO 3
Encuentre
P=(3,
Solución
las ecuaciones
4, - 1 ) y Q = ( - 2 ,
simétricas d e l a r e c t a q u e c o n t i e n e a l o s p u n t o s
4, 6).
A q u í v = — 5 i + 7 k y cr = — 5 , ¿> = 0 y c = 7 . E n t o n c e s u n a r e p r e s e n t a c i ó n
para-
m é t r i c a d e l a l í n e a e s x = 3 - 5 r , y = 4, y z = — 1 + 7 / . R e s o l v i e n d o p a r a t, e n contramos que
x - 3
z + l
—— =
- 5
7
y
'
y = 4
y
L a e c u a c i ó n y = 4 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xz y así
hemos
o b t e n i d o u n a ecuación d e u n a r e c t a e n e s e p l a n o .
EJEMPLO 4
E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s s i m é t r i c a s d e l a r e c t a ( e n e l p l a n o xy) q u e p a s a p o r l o s
p u n t o s ( x , , y¡,0)y
( x , y , 0 ) d o n d e x , =ÉX .
:
2
2
154
4 / V E C T O R E S EN R
Solución
2
Y R
3
Aquí, v = ( x - x ) i + ( y - y ) j
1
2
2
y
1
obtenemos
y
P o d e m o s escribir esto
Aquí
0 : - > ' ) / ( x ' - X i ) = m,
1
2
l
y = mx+
1
- y
como
y - y i
yf — [0'i—y)V(X2—x )]x
2
=
l a pendiente
de l a recta.
Cuando
x =0 y =
= b, l a i n t e r s e c c i ó n d e l a r e c t a c o n e l e j e y. E s t o e s ,
b, q u e e s l a f o r m a s i m p l i f i c a d a d e u n a r e c t a e n e l p l a n o xy. A s í v e m o s
q u e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o r e a l m e n t e s o n u n a g e neralización d e l a ecuación d e u n a r e c t a e n e l p l a n o .
¿Qué s u c e d e s i d o s d e l o s números d i r e c t o r e s s o n c e r o ?
EJEMPLO 5
Solución
E n c u e n t r e l a s e c u a c i o n e s simétricas d e l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s p u n t o s
( 2 , 3, - 2 ) y Q = (2, - 1 , - 2 ) .
P=
A q u í v = — 4 j , d e m a n e r a q u e a = 0, b= —4 y c = 0. U n a r e p r e s e n t a c i ó n
para-
m é t r i c a d e l a r e c t a e s , p o r l a E c u a c i ó n (5), x-2;
4t; z= — 2 . S a b e m o s
y-2—
q u e x = 2 e s l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o yz m i e n t r a s q u e z = — 2 e s
l a e c u a c i ó n d e u n p l a n o p a r a l e l o a l p l a n o xy. S u i n t e r s e c c i ó n e s l a l í n e a
x=2,
z = — 2, q u e e s p a r a l e l a a l e j e y. D e h e c h o , l a e c u a c i ó n y = 3 — 4t d i c e , e s e n c i a l m e n t e , q u e y p u e d e t o m a r c u a l q u i e r v a l o r ( m i e n t r a s xy
Advertencia. L a s e c u a c i o n e s
z permanecen
fijas).
p a r a m é t r i c a s o s i m é t r i c a s d e u n a r e c t a no s o n
únicas. P a r a v e r e s t o b a s t a e m p e z a r c o n o t r o s d o s p u n t o s d e l a r e c t a .
EJEMPLO 6
E n el Ejemplo
1 l a r e c t a contenía a l p u n t o
(5, 5,
—18). E s c o j a m o s
P—
(5, 5 , - 1 8 ) y (3 = ( 3 , 1, - 2 ) . E n c o n t r a m o s q u e v = - 2 i - 4 j + 16k, así q u e
x=5
— 2t, y - 5 — 4t, y z=
— 1 8 + 1 6 ? . ( N o t e m o s q u e s i t = §, o b t e n e m o s
z ) = (2, — 1 , 6).) L a s e c u a c i o n e s
(x,y,
simétricas a h o r a s o n
x - 5 _ y - 5 _ z + 1 8
-2
~ -4
~
16
L a ecuación d e u n a r e c t a e n e l e s p a c i o s e o b t i e n e e s p e c i f i c a n d o u n p u n t o e n
l a r e c t a y u n v e c t o r paralelo
a e s t a r e c t a . P o d e m o s d e d u c i r l a ecuación d e u n
plano e n elespacio especificando u np u n t o e nelplano y u nvector ortogonal a
c a d a v e c t o r d e l p l a n o . E s t e v e c t o r o r t o g o n a l s e c o n o c e c o m o e l vector normal
s e d e n o t a p o r n ( F i g u r a 4.51).
y
4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL E S P A C I O
155
Figura 4.51
DEFINICION 1
Sea P u n p u n t o e ne lespacio y sean u nvector d a d o distinto d e cero. E n t o n c e s
e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s p u n t o s Q p a r a l o s c u a l e s PQ • n = 0 f o r m a n u n plano
en
Notación
U s u a l m e n t e d e n o t a m o s u n p l a n o p o r TT.
S e a P=(x ,
_ y , z ) u n p u n t o f i j o e n u n p l a n o c o n v e c t o r n o r m a l n = a\ +
bj + ck. S i Q = (x, y, z ) e s c u a l q u i e r o t r o p u n t o e n e l p l a n o e n t o n c e s PQ =
(x-x )\
+ (y-y )j
+ (z-z )k.
C o m o PQ±n,
t e n e m o s PQ>n =0. P e r o esto
implica q u e
0
0
n
0
n
0
a(x-x„)
+ b(y - y „ ) + c ( z - z ) = 0
o
(8)
U n a f o r m a m á s c o m ú n d e e s c r i b i r l a ecuación d e u n p l a n o s e d e r i v a fácilmente
de (8):
ax + by + cz = d
donde
EJEMPLO 7
d = ax + by + cz
0
0
0
(9)
= OP • n
E n c u e n t r e e lp l a n o x q u epasa p o re lp u n t o (2, 5 , I )y tiene p o rvector n o r m a l
al
n=i - 2 j+ 3k.
Figura 4.52
Solución
D e (8)obtenemos inmediatamente ( x - 2 ) - 2 ( y - 5 ) + 3 ( z - 1)= 0 ó
x - 2 y + 3 z = - 5
(10)
156
4 ' V E C T O R E S EN R
2
Y R<
:
E s t e p l a n o está d i b u j a d o e n l a F i g u r a 4 . 5 2 .
Observación. E l p l a n o s e d i b u j a f á c i l m e n t e h a c i e n d o x =y = 0 e n l a E c u a c i ó n
( 1 0 ) p a r a o b t e n e r ( 0 , 0 , - § ) , x = z = 0 p a r a o b t e n e r ( 0 , f, 0 ) ey=z=0
para
o b t e n e r ( — 5 , 0 , 0 ) . E s t o s t r e s p u n t o s están e n e l p l a n o .
L o s tres planos coordenados
se representan c o m o
sigue:
i. E l plano xy p a s a p o r e l o r i g e n ( 0 , 0 , 0 ) y c u a l q u i e r v e c t o r e n e l e j e z e s
n o r m a l a é l . D e t a l e s v e c t o r e s e l m á s s i m p l e e s k. A s í , d e ( 8 ) , o b t e n e m o s
0 ( x - 0) + ()(y - 0 ) + 1(z - 0 ) = 0 , l oq u e n o s lleva a
z = 0
c o m o l a e c u a c i ó n d e l p l a n o xy.
sorprendente).
ii. E l plano xz t i e n e l a e c u a c i ó n
iii.
E l plano
(11)
( E s t e r e s u l t a d o n o debería s e r m u y
y =0
(12)
x=0
(13)
yz t i e n e l a e c u a c i ó n
Tres puntos n o colineales d e t e r m i n a n u n plano pues ellos d e t e r m i n a n d o s
vectores n o paralelos q u e se intersecan e n u n p u n t o ( F i g u r a 4.53).
Figura 4 . 5 3
EJEMPLO 8
Solución
z
E n c u e n t r e l a ecuación d e l p l a n o
Q =< - 2 , 3, - 1 ) y/?(!,<), 4).
q u e pasa
p o r los puntos
P = (l,
2, 1 ) ,
L o s v e c t o r e s P Q = - 3 i + j - 2 k y QR = 3i — 3j + 5k e s t á n e n e l p l a n o y p o r t a n to s o nortogonales a l vector normal, de donde
n=PQxQR
- i + 9j + 6k
4 5 R E C T A S Y PLANOS EN EL E S P A C I O
y
157
obtenemos
TT:
-(je-l) + 9(y-2) + 6 ( z - l ) = 0
ó
- x + 9 y + 6z = 2 3
N o t e m o s q u e s i e s c o g e m o s o t r o p u n t o , d i g a m o s Q, o b t e n e m o s l a e c u a c i ó n
— ( x + 2 ) + 9 ( y — 3 ) + 6 ( z + 1 ) = 0 , q u e s e r e d u c e a — x + 9y + 6z = 23. E l p l a n o s e
dibuja e n la Figura 4.54.
Figura 4.54
( - 2 3 , 0 , 0¡N/
/
/
• ( 0 , 0 . V)
_ \ _ r ¿ ,(
X
/
/ ,
( 0 , tf, 0 )
DEFINICIÓN 2
D o s p l a n o s s o n paralelos*
si sus vectores n o r m a l e s s o nparalelos; esto es, si e l
p r o d u c t o c r u z d e s u s v e c t o r e s n o r m a l e s es c e r o .
D o s p l a n o s p a r a l e l o s se d i b u j a n e n l a F i g u r a 4 . 5 5 .
Figura 4.55
EJEMPLO 9
L o s planos
2 x + 3 v ' - z = 3 y 7 r n : - 4 x - 6 v + 2 z = 8 s o n paralelos
n, = 2 i + 3 j - k , n = - 4 l - 6 j + 2k = - 2 n , ( y n , x n = 0).
2
pues
2
S i d o s p l a n o s n o s o n p a r a l e l o s e n t o n c e s s e i n t e r s e c a n e n u n a línea r e c t a .
E J E M P L O 10
Encuentre todos
los puntos
d e i n t e r s e c c i ó n d e l o s p l a n o s 2x—y—2
= 3 y
x + 2.y + 3 z = 7 .
Solución
C u a n d o l o s p l a n o s s e i n t e r s e c a n t e n e m o s x + 2>> + 3 z = 7 y 2x—y—z
= 3.
R e s o l v i e n d o e s t e s i s t e m a d e d o s e c u a c i o n e s e n t r e s incógnitas p o r reducción
p o r renglón o b t e n e m o s , s u c e s i v a m e n t e ,
• N o t e m o s q u e d o s p l a n o s p a r a l e l o s podrían s e r coincídentes.
x + y + z = 1 y 2x + 2y + 2z = 2 s o n c o i n c i d e n t e s ( e l m i s m o ) .
P o rejemplo,
los planos
158
4 / V E C T O R E S EN R
2
Y R'<
/l
V2
2
3
7\
-1
-1
3/
A, -2)
j (
/l
* \0
2
3
-5
-7
7
\
-11/
2
3
1
7
7 >
A,,(-2)
l
5
1
f
lo
0
1
1
5
7
5
l)
Asíy=^-Q)zyx=^(j)z. F i n a l m e n t e , h a c i e n d o z = t, o b t e n e m o s l a r e p r e
y = 1 1 lt,
s e n t a c i ó n p a r a m é t r i c a d e l a r e c t a d e i n t e r s e c c i ó n : x — 1 2f—^t,
y z = t.
=
1
C o n c l u i m o s e s t a sección m o s t r a n d o c ó m o s e p u e d e c a l c u l a r l a d i s t a n c i a d e
u n p l a n o a u n p u n t o ( F i g u r a 4.5.6). S i Q e s e l p u n t o , e n t o n c e s l a d i s t a n c i a r e Figura 4.56
Q
q u e r i d a e s l a d i s t a n c i a m e d i d a a l o l a r g o d e u n a r e c t a o r t o g o n a l a ir. E s t o e s , l a
mínima d i s t a n c i a se o b t i e n e t r a z a n d o u n a p e r p e n d i c u l a r d e l p u n t o a l p l a n o .
E s t o se h a c e c a l c u l a n d o ( p a r a c u a l q u i e r p u n t o P d e l p l a n o )
IPD-B!
D=
E J E M P L O 11
Solución
E J E M P L O 12
Solución
Iproy.PC
E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a ¿ e n t r e e l p l a n o 2x—y
+ 3 z = 6 y e l p u n t o Q = ( 3 , 5, - 7 ) .
U n p u n t o e n e l p l a n o es P = ( 3 , 0 , 0 ) y n = 2 i - j + 3 k . E n t o n c e s , PQ = 5 j - 7 k ,
\PQ • n[ = 26 y |n| = sf\A d e f o r m a q u e D = 26/v/l4.
E n c u e n t r e l a d i s t a n c i a d e l p l a n o ax + by + cz = d a l o r i g e n .
S i a ^ O , u n p u n t o d e l p l a n o e s P = (d/a, 0 , 0 ) . ( S i o = 0 p e r o b*0, u n p u n t o e n
e l j p l a n o e s ( 0 , d/b, 0 ) l l e g a n d o a l m i s m o r e s u l t a d o ) . E n t o n c e s n = ai + bj + c k y
P Q = -(d/a)i
d e m o d o q u e \OP-n\
= \d\, |n| = v V + b + c
y
2
2