θ θ π π α ψ π π = ψ Bmax - Universidad de Extremadura

UNIVERSIDAD DE EXTREMADURA
Dpto. de ING. ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA y AUTOMÁTICA
MÁQUINAS ELÉCTRICAS
ESTUDIO DE LA CURVA DE INDUCCIÓN CUADRADA
La idealización del inductor de las máquinas de polos da la forma de onda de la curva
de la figura, que se ha supuesto de p ciclos y recubrimiento ψ.
Se pretende analizar la forma de onda en los términos que se usan en el análisis general
de estas máquinas. En muchos de los casos, los procedimientos y resultados aquí
descritos son de aplicación para otros parámetros de la máquina.
Calculemos:
a) Valor medio
b) Valor eficaz
c) Factor de forma
d) Onda fundamental en la posición de la figura
RESOLUCIÓN
Apdo. a)
El valor medio ⟨B⟩ es, como se sabe:
B =
1
π/ p
LN ↑+ π / p
∫LN ↑
B (θ ) dθ
En este caso se puede fácilmente calcular a partir del área del semiciclo:
⎤
1
1 ⎡ π
⎡⎣α p Bmax ⎤⎦ =
B =
ψ Bmax ⎥ = ψ Bmax
⎢
π/ p
π/ p ⎣ p
⎦
Apdo. b)
El valor eficaz, B, es, para ondas periódicas con simetría de semionda:
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1
2
⎡ 1
⎤
B=⎢
B 2 (θ ) dθ ⎥
∫
LN
↑
⎣ π/ p
⎦
2
La integral es el área de un cuadrado de base αp y altura Bmax
, luego:
LN ↑+ π / p
1
2
⎡ 1
π 2 ⎤
B=⎢
ψ Bmax
⎥ = ψ Bmax
⎣ π/ p p
⎦
Apdo. c)
El factor de forma kf se define como el cociente entre el valor eficaz de una onda y su
valor medio. En este caso:
B
1
=
kf =
B
ψ
Apdo. d)
Para describir la amplitud de la onda fundamental del desarrollo en series de Fourier
(luego veremos la posición), supondremos por comodidad la primera línea neutra de la
figura del enunciado colocada en θ = 0 (ver Figura 1). Así, el desarrollo sólo tiene
términos en seno (función impar) y la descripción para un ciclo magnético (ángulo γ =
pθ ) es:
∞
B ( γ ) = ∑ bn sen ( n γ )
1
(con simetría de semionda tampoco existe componente de valor medio).
cdtm, B
1−ψ π
2 p
1−ψ
π
2
1+ψ
π
2
π /p
θ
π
γ
Fig. 1. Curva de inducción desplazada para facilitar la
integración en un semiciclo.
Las amplitudes de los términos vienen dadas por:
2 2π
bn =
B ( γ ) sen ( n γ ) d γ
2π ∫0
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Para la onda de la Figura 1:
2π − β
1 π −β
bn = ⎡ ∫ ( Bmax ) sen ( nγ ) d γ + ∫
( − Bmax ) sen ( nγ ) d γ ⎤⎥ ,
β
π
+
β
⎢
⎦
π⎣
en donde:
1 −ψ
β=
π
2
Resolviendo la integral para n =1 tenemos la amplitud buscada:
4B
⎛ 1 −ψ ⎞
π⎟
b1 = max cos ⎜
π
⎝ 2
⎠
Observe que para ψ = 1 se obtiene se obtienen los parámetros de la onda cuadrada
completa.