La encrucijada de Transmilenio Usuarios se están bajando del

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE ECONOMIA
TEORIA DE JUEGOS
Profesora: Marcela Eslava
Parcial 1
1 de marzo de 2007
Usted tiene 1 hora y 20 minutos para responder este examen
Instrucciones generales:
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• No responderemos preguntas durante el examen
• Asegúrese de que todas sus respuestas están argumentadas de forma
convincente y clara.
• Defina de forma clara toda la notación que use.
• En cualquier pregunta puede hacer uso de sus respuestas anteriores,
siempre y cuando sea claro qué parte de sus respuestas previas está usando
en un momento dado y por qué.
1. Esta pregunta busca analizar de manera formal la situación descrita en el siguiente
fragmento de un artículo aparecido en El Tiempo el pasado 25 de febrero.
La encrucijada de Transmilenio
Usuarios se están bajando del masivo para regresar al transporte
tradicional
“En la deserción de viajeros ha incidido la demora en las rutas y la
congestión en estaciones(...) Jueves 22 a las 11:30 am. No es hora pico y hay
aglomeración. La razón no es un aumento de pasajeros; se debe a que a esa
hora solo circula la mitad de la flota”
Considere el siguiente juego entre Transmilenio y los pasajeros de transporte
público (que modelaremos como un solo agente: el “grupo de pasajeros”). El juego
trata de modelar las razones detrás de la situación descrita en el artículo citado
arriba. Los pasajeros escogen si usar Transmilenio (denotado como acción T) o
transporte público (denotado como acción P) como medio de desplazamiento
fundamental. Los operadores de Transmilenio buscan maximizar sus ganancias,
dadas por sus ingresos menos sus costos de operación. Deben tomar una decisión
entre operar la flota completa (denotado como acción FC) o sólo la mitad de ésta
(denotado como acción MF). Los ingresos de la empresa (en miles de millones de
pesos) son de 21 si los pasajeros deciden usar Transmilenio como medio de
transporte primordial y 15 si deciden usar transporte particular principlamente. Sus
costos son de 10 si usan la flota completa y 5 si sólo operan media flota. Los
pasajeros obtienen una utilidad de 5 si usan transporte público. Su utilidad de usar
Transmilenio depende de qué parte de la flota esté operando: si opera la flota
completa, esta utilidad es de 10, pero si sólo opera media flota su utilidad es de 0.
Transmilenio y los pasajeros toman sus decisiones de manera simultánea, y las
funciones de pagos de ambos jugadores son conocidas por todos los participantes.
Suponga que los jugadores sólo juegan estrategias puras.
a. Escriba la matriz de pagos correspondiente al juego descrito arriba.
b. Solucione el juego usando eliminación iterativa de estrategias estrictamente
dominadas. Escriba claramente y paso a paso el procedimiento, la(s)
solución(es) a la(s) que llega y el o los resultados asociados.
c. Encuentre y escriba la función (o correspondencia) de reacción de cada uno de
los jugadores.
d. Encuentre el o los equilibrio(s) de Nash de este juego. Compare con su respuesta
en b y explique por qué las dos respuestas deberían o no deberían coincidir.
e. Relacione la situación descrita en el artículo de periódico con el resultado
teórico que encontró. ¿Cómo puede explicar la situación socialmente subóptima
que describe el artículo con base en el juego planteado y el resultado que obtuvo
para éste?
2. Ahora retome el juego anterior y permita que los jugadores usen estrategias mixtas.
Suponga que Transmilenio juega FC con una probabilidad de p y que los pasajeros
juegan T con una probabilidad de q.
a. Escriba las funciones de pagos esperados de los dos jugadores.
b. Encuentre todos los Equilibrios de Nash de este juego (tanto en estrategias
mixtas como en estrategias puras).
c. Compare su respuesta en 2.b. con la que obtuvo en el punto 1.d. y explique
la intuición de que al permitir estrategias mixtas surjan no surjan nuevos
equilibrios en este juego (es decir, equilibrios en estrategias mixtas).
3. El pasado mes de enero el Banco de la República anunció una estrategia más
proactiva de freno a la revaluación. Una posible interpretación del anuncio de mayor
preocupación por la estabilidad de la tasa de cambio es que el Banco está cambiando
su función objetivo. Mientras la Constitución establece que el objetivo prioritario
del Banco es la lucha contra la inflación, la nueva posición parece implicar que la
lucha contra la revaluación es ahora también parte de esa función objetivo. En el
siguiente problema analizamos este cambio de objetivos.
Suponga la siguiente situación: el gobierno escoge el nivel de impuestos y el Banco
de la República (BR) la política monetaria, que acaba determinando el nivel de
inflación y de revaluación. El gobierno busca maximizar su utilidad, capturada por
la siguiente función:
− r 2 (G − T − r ) 2
UG =
−
− βT
(1)
2
2
donde G es el gasto público, que se considera dado (exógeno al modelo), T es el
nivel de impuestos, r es la revaluación y β es un parámetro que representa la pérdida
de popularidad del gobierno por un incremento de los impuestos. Esta función
captura que el gobierno muestra aversión a los crecimientos de la deuda pública
(donde el crecimiento de la deuda es igual al déficit fiscal) y las altas revaluaciones.
El último término, a su vez, captura que al gobierno subir los impuestos le genera
pérdidas de popularidad con los votantes.
En cuanto al BR, supondremos inicialmente que le interesa sólo luchar contra la
inflación, lo que está capturado por la siguiente función objetivo:
− α (π ) 2
(2)
2
donde α es un parámetro y π es la tasa de inflación. Suponemos que el Banco de la
República escoge π, el gobierno escoge T, y el gobierno y el Banco escogen sus
movidas de manera simultánea. Las funciones objetivo de ambos jugadores son
conocidas por todos los participantes, y sólo se juega estrategias puras. Suponemos
también que la escogencia de π afecta la revaluación según la función r = - π (por
ejemplo porque la política monetaria expansionista impulsa la inflación pero frena la
revaluación).
U BR =
a. ¿Es esta situación un juego, según la definición de juego que hemos utilizado?
Explique.
Suponga ahora que, además de controlar la inflación, el BR decide empezar a
incorporar entre sus objetivos directos la lucha contra la revaluación y el control del
déficit (pues éste también puede afectar la revaluación). La nueva función objetivo
del BR es:
− α (π ) 2 (G − T + r ) 2
−
2
2
2
(G − T + r ) 2
− α (− r )
=
−
2
2
U BR =
U BR
donde el segundo renglón usa el supuesto de que r = - π para expresar el problema
del BR en función de r. Se puede entonces asumir que el BR escoge directamente r y
que maximiza esta última función de utilidad.
b. ¿Es esta nueva situación un juego, según la definición de juego que hemos
utilizado?
c. Encuentre la función de reacción de cada jugador en este caso en que el BR se
preocupa por la revaluación.
d. Encuentre el o los Equilibrio(s) de Nash de este juego (con BR preocupado por
la revaluación).
e. Encuentre las escogencias de equilibrio de T y r en la primera situación en que el
BR sólo se preocupa por la inflación; es decir, la función objetivo del BR es la
ecuación (2). Note que no tiene que encontrar de nuevo la función de reacción
del gobierno (es igual a la que halló en d) y que puede usar r = - π para escribir
la ecuación (2) en función de r y permitir que el BR escoge directamente r.
f. Compare sus resultados sobre revaluación e inflación en d y e. Comente cómo
las diferencias dependen de α y explique la intuición. Explique a partir de su
resultado la preocupación de los analistas de que el combate proactivo de la
revaluación pueda estar contribuyendo al incremento de la inflación observado
en los últimos meses.