1. Cálculo de probabilidades en espacios muestrales finitos

M. Iniesta
Grado en Ciencia y Tecnología de los Alimentos
Universidad de Murcia
Práctica 3:
Problemas de Probabilidad
1. Cálculo de probabilidades en espacios muestrales
nitos
En los siguientes problemas se pretende asignar probabilidades a sucesos de espacios
muestrales nitos.
Además, si los puntos muestrales son equiprobables es posible usar la llamada regla
de Laplace. Para ello basta calcular el número de puntos muestrales que contiene el
espacio muestral Ω y cuántos de ellos verican el suceso A. Así, si llamamos Car(Ω) y
Car(A) a dichos números, asociaremos al suceso A la probabilidad
P (A) =
Car(A)
Car(Ω)
En otros casos en donde no hay equiprobabilidad en los puntos muestrales hay que
hacer una asignación de probabilidad a cada no de ellos y asignar al suceso A una
probabilidad que se corresponde con la suma de probabilidades de los puntos muestrales
que dicho suceso contiene, es decir
P (A) =
X
P (i)
i∈A
1. Se lanzan dos dados equilibrados simultáneamente. Sean los sucesos:
A: La suma de los números es exactamente 8
B : Los números obtenidos son iguales
Expresar los sucesos A, B , A ∩ B y A ∪ B como subconjuntos del espacio muestral
Ω y asociar una probabilidad a cada uno de ellos
2. Una urna contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5. Calcular la probabilidad de que al
sacar dos bolas la suma de los números sea impar si la extracción de las dos bolas
se hace con reemplazamiento
3. Una urna contiene dos bolas blancas y tres rojas. Efectuadas dos extracciones
sucesivas, determinar la probabilidad de extraer una bola blanca y a continuación,
una bola roja cuando hay reemplazamiento de la primera bola.
4. Una urna contiene 5 bolas blancas 3 verdes y 2 rojas. Se extraen 3 bolas al azar.
Se consideran los siguientes sucesos:
A: Las 3 bolas seleccionadas son del mismo color.
B: De las 3 bolas seleccionadas, 2 de ellas son rojas.
C: Alguna de las 3 bolas seleccionadas es verde.
Calcula las probabilidades de los sucesos anteriores en el supuesto de que las bolas
se eligen una a una con reemplazamiento.
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2. Propiedades de las probabilidades
A partir de los axiomas de probabilidad se derivan una serie de propiedades de
las probabilidades muy útiles para la resolución de problemas. Se trata de aplicar
dichas propiedades a los problemas que vienen a continuación.
5. Sean A y B dos sucesos de los que se conocen P (A ∪ B) y P (A ∩ B). Hallar una
fórmula para la probabilidad de que ocurra exactamente uno de esos sucesos.
Indicación: Representa mediante diagramas de Venn los sucesos implicados
6. Se tienen dos sucesos A y B con
P (A) = 0.4, P (B) = 0.2
y
P (A ∪ B) = 0.5.
¾Son los
sucesos A y B incompatibles?.
7. Dados dos sucesos
A
y
B,
con
P (A) = 0.5
y
P (A ∪ B) = 0.7.
Calcular
P (B)
en los
siguientes supuestos:
a)
A
y
B
son independientes.
b)
A
y
B
son mutuamente excluyentes.
c ) sabiendo que
P (A | B) = 0.5.
8. En la fabricación de un cierto artículo se presenta un tipo de defecto con una probabilidad
de
0.1
y defectos de un segundo tipo con probabilidad
0.05.
Sabiendo que ambos tipos
de defectos son independientes, calcular la probabilidad de que:
a ) un artículo no tenga ambas clases de defectos.
b ) un artículo sea defectuoso.
c ) sea defectuoso pero tenga sólo un tipo de defecto.
9. Las probabilidades de los sucesos
A
y
B
son
P (A) = 0.4
y
P (B) = 0.5.
P (A ∩ B) y P (A ∪ B) en cada una de las siguientes situaciones: (i) P (A ∩
B) = 0.1, (ii) A ⊂ B , (iii) A y B son independientes, y (iv) A y B son incompatibles.
a ) Calcular
b ) Determina todos los posibles valores que puede tomar
P (A ∩ B) indicando bajo qué
condiciones se alcanza el valor mínimo y el máximo.
10. Se considera un dado imperfecto en el que la probabilidad de que salga la cara
lanzamiento cualquiera es
i
21 , para
i
en un
i = 1, 2, ..., 6.
a ) ¾La asignación de probabilidades a las distintas caras es una función de probabili-
dad?
b ) Si la respuesta es armativa, ¾son independientes los sucesos
A = {par} y B ={ menor
o igual que cuatro}?.
c ) Responder a la misma cuestión si el dado fuese equilibrado.
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3. Probabilidad condicionada y Regla de Bayes
En esta sección trabajamos el concepto de probabilidad condicionada. Para resolver este
tipo de problemas es crucial entender qué información se dispone acerca de los sucesos en
juego y plasmar dicha información como un suceso condicionante. Es decir, la expresión
P (A|B) signica que quiero
suceso B se ha vericado.
asignar probabilidad al suceso
A
una vez que conozco que el
11. Repetir los problemas 2, 3 y 4 suponiendo que se extrae la segunda bola sin haber
reemplazado la primera bola extraida.
12. Dados dos sucesos A y B se sabe que:
3
P (B) = ;
4
Calcula
P (A) = P (A|B) =
1
3
P (A ∪ B).
13. En un examen la materia se divide en dos partes con 10 temas teóricos y 20 prácticos.
Un estudiante piensa que la probabilidad de que se pregunte un tema teórico es de 0.5 y
decide estudiarse 7 temas teóricos y sólo 8 prácticos. ¾Qué probabilidad tiene de saberse
el tema elegido para el examen, suponiendo que lo que piensa es cierto y que en cualquier
caso sólo estudia 15 temas ?. ¾Podría haber planicado mejor para que con 15 temas
estudiados aumentar la probabilidad de saber el tema del examen?
14. Un persona debe introducir nueve bolas blancas y una negra en dos urnas. Ninguna urna
quedará vacía. Posteriormente se elegirá una de estas urnas al azar extrayéndose una bola
de la urna elegida. Si la bola resulta blanca recibirá un premio. ¾Cómo debe distribuirlas?
15. Un taller adquiere dos cajas de piezas de repuestos de un suministrador que le asegura
n piezas defectuosas y m buenas, mientras que la segunda
p piezas defectuosas y q buenas. Un empleado necesita utilizar una pieza, en
que en la primera caja hay
caja contiene
primer lugar saca una pieza cualquiera de la primera caja y la deposita en la segunda, y
posteriormente utiliza una pieza cualquiera de la segunda caja. Calcular la probabilidad
de que la pieza que utiliza sea defectuosa.
16. Se disponen dos urnas, con 3 bolas blancas y 2 negras la primera y con 2 bolas blancas y
3 negras la segunda. Se lanza un dado, extrayéndose una bola de la primera urna si sale
1, 2, 3 ó 4; y extrayéndose de la segunda si sale 5 ó 6.
a ) Calcular la probabilidad de obtener bola negra.
b ) Calcular la probabilidad de que la bola provenga de la primera urna sabiendo que
la bola resultó ser negra.
c ) ¾Son independientes los sucesos sacar bola negra y la bola se extrae de la primera
urna?
17. A dice la verdad 9 de cada 10 veces y B dice la verdad 7 de cada 9. Se extrajo una bola
al azar de una urna que contenía 5 bolas blancas y 20 negras. Tanto A como B dijeron
que la bola extraída era blanca. ¾Cual es la probabilidad de que la bola extraída fuera
blanca?.
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18. En un taller de reparación de ordenadores trabajan Luis, Juan y Antonio; atendiendo al
20 %, 35 % y 45 % de los clientes, respectivamente. Luis es el más eciente reparando el
80 % de las averías, mientras que Juan solo soluciona el 60 % y Antonio el 50 %.
a ) ¾Cuál es la probabilidad de que un cliente quede satisfecho?.
b ) ¾Cual es la probabilidad de que una reparación haya sido hecha por Luis?.
19. Se sabe que la prevalencia de la diabetes en una población es del 2 %, pero también que
sólo la mitad de los afectados lo conocen. Se pide.
a ) Si escogemos un individuo al azar y al preguntarle arma no ser diabético, ¾cuál es
la probabilidad de que en realidad sí lo sea?.
b ) Si escogemos 10 individuos de la población al azar y al ser preguntados todos arman
no ser diabéticos, ¾cuál es la probabilidad de que alguno de ellos sí lo sea?.
20. (Problema de Monty Hall ) Supongamos el siguiente concurso: hay tres puertas cerradas
y detrás de una de ellas hay un coche. El concursante elige una de las tres pero después
el presentador (que sabe dónde está el premio) le muestra una puerta vacía y le da la
oportunidad de cambiar de puerta. ¾Cuál es la probabilidad de ganar el coche si cambia
la primera elección?. ¾Qué debe de hacer, por tanto, el concursante?.
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