Caracterización del comportamiento fractal de BH adquirida en el

Caracterización del comportamiento fractal de BH
adquirida en el Observatorio Geoelectromagnético
de Juriquilla durante tormentas geomagnéticas de
2005.
Ana Gabriela Bravo Osuna.
Centro de Geociencias, Campus Juriquilla
Universidad Nacional Autónoma de México
Querétaro, México.
Mayo, 2011
Resumen
El conocimiento detallado del campo magnético durante una tormenta
geomagnética puede ser útil para determinar su efecto en las
actividades humanas que involucran cierto tipo de tecnologías.
En este artículo se analizan algunas tormentas magnéticas, elegidas
por su índice Dst, del año 2005 para caracterizar el comportamiento
de la componente BH del campo geomagnético registrado en
Juriquilla, a través del análisis que proporciona el programa Benoit
1.3 para la estimación del coeficiente de Hurst.
El valor estimado de H permitió encontrar la firma de cada tormenta
analizada y mostró que las firmas son muy similares debido a que las
tormentas siguen una secuencia de fases.
1. Introducción.
Una potente tormenta magnética es capaz de paralizar
telecomunicaciones y redes de suministro eléctrico durante muchos
días. Las tormentas magnéticas pueden originar incendios y causan
interferencia en las señales de radio, afectan los sistemas de
navegación aéreos e inducir corrientes eléctricas en tuberías. El
conocimiento detallado de ellas puede ayudar a estimar sus efectos
sobre diferentes tecnologías.
La interacción entre el viento solar y la magnetosfera incrementa el
número de partículas cargadas. Estas partículas andan a la deriva
alrededor de la Tierra creando una corriente de anillo que produce
una depresión en el campo magnético horizontal durante la fase
principal (Gustavsson, 2006). Es por esta razón que se ha elegido la
componente horizontal del campo magnético registrado por los
magnetómetros.
Una tormenta magnética pasa por tres etapas principales:
1. Una fase inicial causada por el incremento de la presión del plasma
asociado con un incremento en densidad y velocidad. Esta etapa se
caracteriza por un impulso súbito (Sudden Impulse, SI) medible a
nivel de terreno (Rostoker et al., 1997).
2. Una fase principal, en donde el valor de la componente BH tiene un
pico hacia valores negativos.
3. Una fase de recuperación con duración de horas o días. Durante
esta fase la componente BH recupera sus valores pre-tormenta
gracias a una combinación de procesos de pérdida de partículas
energéticas.
La intensidad de una tormenta magnética se mide comunmente por
el índice Dst durante la tormenta, este índice (Sigiura, 1964) fue
desarrollado como una medida de la componente simétrica de la
corriente de anillo.
El análisis fractal se puede aplicar a cualquier sistema complejo autoorganizado, es decir, una serie de tiempo resultante de un proceso
que obedezca a una ley de potencias. Es, por tanto, aplicable al
estudio de fenómenos geofísicos para los que se ha utilizado en la
predicción de éstos (Gotoh, et al., 2003; Anh et al.,2005).
En este artículo se analizaron las series de tiempo de cinco tormentas
de 2005, series de once días (cinco días antes de la tormenta, más el
día de la tormenta, más cinco días después de la tormenta). Esto
permite conocer la evolución de una tormenta en términos de
dimensión fractal.
Las series de tiempo son analizadas día a día mediante el software
Benoit 1.3 para obtener el índice H, o exponente de Hurst. Se
grafican los puntos obtenidos para cada uno de los días analizados.
Los once puntos estimados de cada tormenta describen a la misma a
modo de “firma”.
Finalmente se comparan las firmas de las cinco tormentas para
observar la similitud de las firmas.
La sección 2 describe la metodología seguida desde la selección de
los datos, descripción de índices y el método de análisis.
La sección 3 muestra los resultados obtenidos a través de los análisis
de series de tiempo, gráfica de índices H y comparación entre firmas
de tormentas.
En la sección 4 se discuten los resultados y se comparan con los
resultados obtenidos por otros autores utilizando métodos diferentes.
2. Método.
De acuerdo con los registros de Dst de Kyoto, se han elegido
tormentas del año 2005 (año con mínima actividad solar) cuyos
“picos” rebasan el umbral de -100 nT, éstas ocurrieron los días 8 de
mayo (Dst≈ -127), 15 de mayo (Dst≈-263), 30 de mayo(Dst≈-138),
12 de junio (Dst≈-105)y 24 de agosto (Dst≈-216).
Se seleccionó un análisis basado en Wavelet para estimar un índice
de Hurst, mismo que indica qué tan predecible es un valor a partir del
valor anterior en la serie.
La transformada Wavelet tiene una base fractal y es útil al aplicarse a
series no periódicas multiescaladas, a series no estacionarias.
Los datos analizados corresponden a la componente BH del campo
magnético registrada en el Observatorio Geoelectromagnético del
Campus Juriquilla de la UNAM (Cruz-Abeyro et al.,2005). El campo
magnético es medido mediante magnetómetros fluxgate con una
frecuencia de muestreo de 1 Hz, es decir, la serie de tiempo es
discreta y, por su naturaleza, cumple con una ley de potencias.
Wavelet. El análisis wavelet es una herramienta para analizar las
variaciones de una serie de tiempo cuya frecuencia varía en el
tiempo, no estacionarias.Es la forma más satisfactoria de medir la
fuerza de la persistencia en estas series no estacionarias. Wavelet no
presenta los problemas del análisis espectral de Fourier (Malamud y
Turcotte, 1999). Las propiedades fractales se hacen presentes ahí
donde el espectro de potencia de la ondeleta es una ley de potencia
de la frecuencia. El método Wavelet está basado en la propiedad de
que las transformadas Wavelets de series de tiempo autoafines
tienen propiedades auto-afines. Considerando n transformadas
wavelet cada una con un coeficiente de escalado diferente ai , donde
S1, S2 ,… Sn , son las desviaciones estándar de cero de los coeficientes
de escalado respectivos ai .
€
€
€
Al€definir la razón de las desviaciones estándar G1, G2 , …, Gn−1 como:
€
€
€
€
G1 =
€
€
S1
S
S
, G2 = 2 ,…, Gn−1 = n−1 . Al estimar el valor promedio de Gi como:
S2
S3
Sn
€
G prom
∑
=
n−1
i=1
Gi
n −1
€
El exponente de Hurst (H) es H = f (G prom ) , donde f es una función
heurística la cual aproxima
el exponente Hurst usando G prom para
€
series de tiempo auto-afines.
€
Índice de Hurst. El análisis wavelet que realiza el programa Benoit
€
1.3 permite estimar el índice Hurst y la dimensión fractal. Ya que el
análisis wavelet analiza variaciones en la potencia al descomponer
una serie de tiempo en un espacio tiempo frecuencia para determinar
tanto los modos dominantes de la variabilidad y el modo en que éstos
varían con el tiempo.
Benoit usa n = 4 y ai= 2i para i = 0,1,2,3. La dimensión fractal es
Dw = 2 − H y la ondeleta madre es una función escalón.
€
El significado
€
€ del índice Hurst se resume de la siguiente
€ del valor
manera:
H > 1: Auto-afín con fuerte persistencia
H=0: Ruido blanco
H < 1: No persistente
Las series de tiempo de la componente BH adquirida en el
Observatorio Geoelectromagnético de Juriquilla fueron analizadas de
la siguiente manera:
1. Abriendo en excel el archivo del día o segmento a analizar y
corriendo el punto cinco decimales . En el programa Benoit 1.3 se
elige la opción wavelet y se copia el segmento de datos a analizar. El
programa Benoit mostrará una ventana con el exponente H estimado
y la dimensión fractal.
2. Se analiza una serie de tiempo de un día y se estima un coeficiente
H. El análisis se aplica al día de la tormenta y a los cinco días previos
y cinco posteriores a ella.
3. Análisis de la serie de tiempo iniciando cinco días antes del día de
la tormenta, el día de la tormenta y los cinco días siguientes, en
segmentos de tres horas, lo cual permite llevar una secuencia más
detallada del comportamiento de H al obtener ocho análisis de tres
horas para cada día que permiten calcular una desviación estándar
que se muestra en barras de incertidumbre para cada uno de los días
analizados.
3. Resultados.
Los resultados descritos en la metodología se muestran en esta
sección.
Tormenta del 8 de mayo, 2005. La tormenta del 8 de mayo aparece
señalada con una flecha roja indicando el valor del índice Dst. El pico
más bajo ocurre tras una caída previa y la fase de recuperación se
muestra perturbada (Figura 1).
Figura 1. Índice Dst para Mayo de 2005.
El comportamiento de BH cinco días previos, durante la tormenta y
cinco días después, se muestra en la figura 2, y está acorde a las
principales etapas del índice Dst, aunque la perturbación durante la
recuperación se aprecia mejor en la gráfica de BH.
Figura 2. Gráfica de BH del día 3 al 13 de Mayo.
El desarrollo de la tormenta del 8 de mayo en términos de H cada 24
horas puede describirse como una firma que tiene un valor cercano a
0.5 (ruido blanco), seguido de un máximo valor, cercano a la unidad
el día de la caída de BH, y una caída del valor de H durante los dos
días siguientes que corresponden a una fase de recuperación.
Se muestran los resultados del análisis con el programa Benoit con
sus barras de incertidumbre obtenidas según punto 3 de sección
“Índice de Hurst”.
*Día de la tormenta.
Figura 3. Comportamiento de H a lo largo de 11 días,
analizado en segmentos de 24 horas.
Tormenta del 15 de mayo, 2005. La tormenta se caracteriza por
tener un inicio súbito antes de que una tormenta anterior (8 de
mayo) lograra su recuperación a niveles pre-tormenta, de modo que
el impulso súbito de la tormenta del 15 de mayo se da en un
ambiente perturbado seguido de la caída del índice Dst y la fase de
recuperación con duración de cuatro días.
Figura 4. Comportamiento del índice Dst para la
tormenta del 15 de Mayo.
El comportamiento de la componente BH registrado en Juriquilla se
muestra en la figura 5. Corresponde con el índice Dst observado. La
rugosidad es evidenciada en la figura 5.
Figura 5. Componente BH registrada en Juriquilla.
La evolución de la tormenta, en términos de coeficiente H a lo largo
de 24 horas se muestra en la figura 6. Se nota una elevación en el
valor de H el día 13, seguido de una caída cercana a 0.6 para
después alcanzar su máximo cercano a la unidad, también
correspondiente a la caída de índice Dst y de BH; los dos días
siguientes el valor de H vuelve a descender hasta ser casi ruido
blanco en la fase de recuperación.
La figura 6 muestra la evolución de H con barras de incertidumbre
obtenidas según punto 3 de sección “Índice de Hurst”.
Figura 6. Evolución de H analizado por día para la
tormenta del 15 de Mayo.
Tormenta del 30 de Mayo. Esta tormenta se caracteriza por iniciar
durante ambiente perturbado magnéticamente. El impulso súbito
ocurre en nivel negativo, la caída es amortiguada y la recuperación
no es suave. La tormenta en cuestión está señalada en la figura 7.
Figura 7. Tormenta del 30 de mayo.
La figura 8 muestra el comportamiento de la componente BH medida
en Juriquilla, donde los valores de BH se muestran perturbados
mientras ocurre la caída del índice Dst. Los picos de BH no coinciden
a la perfección con los picos de Dst.
Figura 8. Comportamiento de BH durante la tormenta del 30 de
mayo.
Los coeficientes H estimados para cada uno de los días alrededor de
la tormenta del 30 de mayo se pueden ver en la figura 9. En ésta se
aprecian valores de H cercanos a 0.5 antes del impulso súbito, H
toma un valor más alto un día antes de la caída del índice Dst. El
máximo valor de H ocurre con la caída de los valores de BH (o Dst)
para caer al día siguiente.
Conforme al punto 3 de la sección “Índice de Hurst”, la figura 9
muestra la evolución de la tormenta.
Figura 9. Gráfica de H para cada día alrededor
de la tormenta del 30 de mayo.
Tormenta del 12 de junio, 2005. Se trata de una tormenta moderada
con un impulso súbito muy pequeño en Dst (figura 9) pero notable en
BH (figura 10).
Figura 9. Índice Dst para la tormenta del 12 de junio.
En la figura 10 se aprecia mejor la rugosidad de la serie.
Figura 10. Comportamiento de BH alrededor de la tormenta del 12 de
junio.
La figura 11 muestra los valores de H estimados para cada análisis
diario alrededor de la tormenta del 12 de junio. A diferencia de las
otras tormentas analizadas en este artículo, el análisis de la tormenta
del 12 de junio proporciona valores de H menores a 0.5
(antipersistencia).
La figura 11 muestra la evolución de la tormenta del 12 de junio con
barras de incertidumbre obtenidas según punto 3 de sección “Índice
de Hurst”.
Figura 11. Valores de H estimados diariamente alrededor de la
tormenta del 12 de junio.
Tormenta del 24 de agosto, 2005. Esta tormenta se caracteriza por
una fase pre-tormenta poco perturbada, un impulso súbito muy
pequeño y una caida seguida de una fase de recuperación de seis
días.
Figura 12. Comportamiento del índice Dst para la
tormenta del 24 de Agosto.
El comportamiento de BH registrado en Juriquilla se muestra en la
figura 13. La fase previa al impulso súbito está perturbada. El
impulso muestra varios picos y, finalmente una caída a la que sigue
una fase de recuperación perturbada.
Figura 13. Componente BH registrado en Juriquilla para
la tormenta del 24 de Agosto.
El análisis wavelet de Benoit para la tormenta del 24 de agosto. Los
coeficientes H son resultado de analizar 24 horas. La figura 14
muestra el comportamiento de H para los once días, donde se
observa un incremento del valor de H dos días previos a la tormenta,
seguido de un decremento cercano a 0.6 y un pico en el valor de H
cercano a la unidad en la fase de la caída de BH. La fase de
recuperación muestra valores de H decrecientes con el tiempo.
Figura 14. Comportamiento de H en el análisis diario de cinco días
previos, día de la tormenta y cinco días posteriores, donde las barras
de incertidumbre se obtuvieron según punto 3 de sección
“Índice de Hurst”.
Los resultados de los análisis para estimar H a lo largo de once días
para las cinco tormentas se encuentran graficados en la figura 15,
éstos muestran patrones o “firmas”. Puede observarse que, en
general, la forma de las firmas es muy similar, porque a medida que
se acerca el momento de la caida en la componente BH, el
comportamiento de los valores de la serie de tiempo está
fuertemente influenciado. Se aprecia un pico en el valor de H el cual
coincide en cuatro de las cinco series.
Tormenta 8 de Mayo: rojo; tormenta 15 de mayo: verde; tormenta 30 de mayo: azul;
tormenta 12 de junio: cyan; tormenta 24 de agosto: magenta.
Figura 15. Firmas de las cinco tormentas analizadas.
Los valores estimados para H a lo largo del periodo seleccionado
tienen un comportamiento fractal que es muy similar para cuatro de
las cinco tormentas analizadas. En otras palabras, las tormentas
tienen firmas similares debido a que su desarrollo presenta tres fases
bien definidas.
4. Discusión.
Los estudios de las tormentas magnéticas han sido enfocados a la
predicción de éstas a partir de métodos estadísticos aplicados a los
índices Dst y Kp y también a la caracterización de las tormentas con
base en estudios fractales de índice Dst (Balasis, 2008).
Mediante métodos estadísticos se ha encontrado una fuerte
correlación entre pendientes de la ley de potencias de las
distribuciones de Dst y Kp, y la intensidad de la tormenta. También
se ha observado que a medida que se acerca la tormenta los
resultados son más confiables, lo cual confirma un comportamiento
de componente BH o índice Dst muy influenciado por la tormenta.
Los resultados encontrados en el presente estudio coinciden con los
resultados encontrados por estudios del índice Dst de largo periodo
realizados por Balasis (2008), quien en sus estudios de índice Dst
encontró una transición de un estado poco ordenado a uno más
ordenado (H cercana a 1), un comportamiento con carácter
antipersistente (H) en una etapa de 32 a 1 días antes de una fuerte
tormenta magnética que tiende a la persistencia conforme pasa el
tiempo.
5. Conclusión. El análisis del índice H arroja información acerca del
comportamiento de una serie de tiempo. En el caso de este estudio,
las series de tiempo analizadas muestran un comportamiento fractal
claramente influenciado por una tormenta magnética, que se refleja
en una firma, los valores en la serie correlacionan con sus adyacentes
exhibiendo una fuerte persistencia en un lapso bien definido.
El estudio de un número mayor de tormentas permitiría clasificar las
tormentas magnéticas por sus firmas ya que no todas tienen un
mismo patrón de evolución.
El estudio de fenómenos como las tormentas magnéticas puede
lograrse con relativa facilidad mediante métodos fractales que
permiten entender la dinámica del fenómeno estudiado a través de
los cambios en H a lo largo del tiempo.
Agradecimientos. Se agradece al Dr. Román Pérez Enríquez el
aporte de los datos, su guía, sus comentarios y sugerencias; a la
Maestra Rebeca López y al Dr. Mario Rodríguez por sus comentarios;
a la Dra. Klavdia Oleschko por la asesoría con los métodos fractales,
y al Dr. Anatoliy Kotsarenko por la información y asesoría sobre
Matlab.
Bibliografía y Referencias.
Anh, V.V., Yu, Z.G., Wanliss, J.A., Watson, S.M. Prediction of
magnetic storm events using the Dst index. 2005
Balasis, Georgios. From normal state to magnetic storms in terms of
fractal dynamics. 2008.
Gotoh, K., Hayakawa, M., Smirnova, N., Hattori, K., Fractal analysis
of seismogenic ULF emissions. Physics and chemistry of the Earth.
2003.
Gustavsson, Anna. Magnetic Storms:Measurement and forecasting.
2006.
Introduction to Space Physics. Editado por Margaret Kivelson y
Christopher Russell. Cambridge University Press. 1995.
Magnetic Storms. Editado por Bruce Tsurutani, Walter Gonzalez,
Yohsuke Kamide y John Arballo. American Geophysical Union. 1997.
Malamud, B.D, Turcotte, D.L. Self affine time series: measures of
weak and strong persistance. Journal of Statistical Planning and
Interference 80 (1999).
Primeras observaciones de micropulsaciones en el Observatorio
Geomagnético del Campus Juriquilla de la UNAM, Querétaro:
Instalación y calibración de los Magnetómetros Fluxgate.
J. A. L. Cruz-Abeyro, R. Pérez Enríquez y A. Kotsarenko. Bol-e, Vol. 1,
No. 1, 2005.
Rostoker, G., Friedrich, Erena and Dobbs, Matthew. Physics of
Magnetic Storm. Magnetic Storms. Geophysical Monograph 98. AGU.
Sugiura, M., Hourly values of the equatorial Dst for IGY, in Ann.Int.
Geophys. Year 35,945, Pergamon Press, Oxford, 1964.