ELIPSE

ELIPSE
DEFINICIÓN Y PROPIEDADES. (Ilustración nº 1).
La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos tiene la propiedad que la suma de distancia de cada uno de ellos a
otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor de la elipse.
Los ejes se cortan perpendicularmente en el centro de la elipse, esta es simétrica respecto a los dos ejes.
El "eje mayor" se denomina eje real y el menor "eje imaginario".
La distancia focal, o la determinación de los focos, se realiza de la siguiente manera: Se traza un arco de radio igual al
semieje mayor y de centro un extremo del eje menor; los puntos de corte del arco anterior con el eje de simetría mayor
son los focos de la elipse (F1 y F2).
En la Ilustración nº 1 observamos como trazando dos rectas desde un punto (P) cualquiera de la Elipse, hasta los focos
(F1 F2) se obtienen dos segmentos que al sumarlos nos darán una magnitud igual al eje de simetría mayor AB.
D
b
P
A
F2
F1
B
A
C
F2
F1
B
2B= Eje Imaginario
D
P
C
c
2c Distancia Focal
ILUSTRACIÓN Nº 1
a
2a= Eje Real
PARÁMETROS DE LA ELIPSE: (Ilustración nº 1)
a= La distancia que hay desde el centro de la elipse a un extremo del eje de simetría mayor (a). Eje de simetría Mayor
(AB) se denomina 2a.
b= La distancia que hay desde el centro de la elipse a un extremo del eje de simetría menor (b). Eje de simetría Menor
(CD) se denomina 2b.
c=La distancia que hay desde el centro de la elipse a uno de los focos (F1, por ejemplo) Distancia Focal se denomina
2c.
R
D
DIÁMETROS CONJUGADOS: (Ilustración nº 2)
M'
Son las cuerdas que pasan por el centro de la elipse de tal modo que cualquier
cuerda paralela a uno de dichos diámetros queda dividida en dos partes iguales.
S'
A
O
M
R'
B
S
C
D
O
A
C
ILUSTRACIÓN Nº 2
B
Para construir una elipse a partir de sus diámetros conjugados se sigue el siguiente método:
1º)
Se traza una circunferencia de diámetro igual al conjugado mayor
(AB) y se levanta perpendiculares a él de manera arbitraria.
2º)
Por los puntos de intersección entre las cuerdas anteriores con el
diámetro conjugado AB se trazan paralelas al otro conjugado (CD).
3º)
Unir mediante rectas los extremos del diámetro de la circunferencia
con los extremos del conjugado menor (CD) y trazar por los extremos de las cuerdas obtenidas anteriormente paralelas a los segmentos anteriores (extremos del diámetro de la circunferencia y CD)
hasta que corten a cada paralela a CD en dos puntos, éstos determinan la elipse.
ELIPSE FUNDAMENTOS (II)
R
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL:
(Ilustración nº 3)
Es el lugar geométrico de los
pies de las perpendiculares trazadas desde un foco a las tangentes de la cónica correspondiente.
P
A
F1
B
AB
/2
F2
=
La intersección de una recta tangente a la cónica con la circunferencia principal determina dos puntos
(P y R) que son los pies de las perpendiculares trazadas a dicha recta
tangente, éstas cortarán al eje de
simetría mayor determinando los
focos.
T
a
El centro de esta circunferencia es
el de la elipse, siendo su radio el
semieje mayor (a).
C
D
ILUSTRACIÓN Nº 3
CIRCUNFERENCIAS FOCALES:
(Ilustración nº 4)
Las circunferencias focales se definen como: el lugar geométrico de
los puntos simétricos del otro
foco respecto de las tangentes a
la cónica.
C
F1'
T
CIR
CU
NF.
FO
CA
L=
A
Los centros de estas circunferencias son los focos de la cónica, y su
radio es igual al eje de simetría mayor (2a).
a=
AB=
2a
F1
CIRC
UNF
. FO
CAL
= a=
La elipse tiene dos circunferencias
focales.
B
F2
AB=
2a
D
ILUSTRACIÓN Nº 4
OTRA DEFINICIÓN DE ELIPSE:
(Ilustración nº 5)
Es el lugar geométrico de todos
los centros de las circunferencias
que son tangentes a una circunferencia focal y que pasan por el
otro foco.
Los puntos de tangencia de las circunferencias con la focal estarán
alineados con su foco correspondiente.
En la ilustración nº 4 F1’ está en
línea con P y F2 y F2’ con R y F1.
C
F1'
P
F2
A
B
F1
R
D
ILUSTRACIÓN Nº 4
F2'