Tercera relación de ejercicios

Problemas de Geometrı́a Diferencial de Curvas y Superficies.
Relación 3
1.– Considérese las curvas:
s
s s
σ(s) = (a cos , a sin , b ), s ∈ R, c2 = a2 + b2 .
c
c c
4
3
β(s) = ( cos s, 1 − sin s, − cos s), s ∈ R.
5
5
(Hélice)
(a) Probar que el parámetro s es la longitud del arco de ambas curvas.
(b) Determinar su curvatura y torsión.
(c) Determinar el plano osculador de σ en cada punto.
Comprobar que las rectas tangentes a σ forman un ángulo constante con el eje z .
(d) Calcular el triedro de Frenet de β .
2.– Sea σ una curva regular. Probar que:
(a) σ es una lı́nea recta si y sólo si todas las rectas tangentes pasan por un punto fijo.
¿Ocurre lo mismo si la curva no se supone regular?
(b) Supuesto que la curvatura de σ es no nula, demostrar que la traza de σ esta
contenida en una circunferencia si y sólo si todas las rectas normales pasan por un
punto fijo.
(c) Demostrar que la traza de l acurva β del problema anterior es una circunferencia.
Calcular su centro y su radio.
3.– Sea α : I → R3 una curva parametrizada por la longitud el arco con k, k ′ , τ ̸= 0 en
todo el intervalo. Demostrar que la traza de α est contenida en una esfera de radio r
2
si y sólo si R2 + R′ T 2 = r2 , siendo R = k1 y T = τ1 . (Para la suficiencia probar que
α + Rn − R′ T b es constante y además es el centro de la esfera que contiene a α )
4.– Sea α: I → R3 una curva regular que supondremos parametrizada por la longitud del
arco. Se define la curva evolvente de α a partir de c ∈ I como:
β: J → R3 ,
β(s) = α(s) − (s − c)t(s),
J = {s ∈ I, s > c}.
(a) Probar que β es regular si y solo si la curvatura de α es siempre distinta de cero.
En tal caso probar que
√
k2 + τ 2
kβ =
.
(s − c)2 k 2
(b) Calcular la evolvente de una circunferencia.
5.– Dada una curva σ parametrizada por la longitud del arco con torsión distinta de cero
en todos los puntos del intervalo, probar que:
(a) la curvatura k y la torsión τ quedan determinados una vez conocida la aplicación
n = n(s) y los valores k(s0 ) , τ (s0 ) para algún s0 .
(b) la curvatura k y el valor absoluto de la torsión |τ | quedan determinados una vez
conocida la aplicación b = b(s) .
6.– Una curva regular σ es una hélice cilı́ndrica si las rectas tangentes a σ forman un ángulo
constante con una dirección fija llamada eje de la hélice. Supuesto k > 0, demostrar:
(a) σ es una hélice cilı́ndrica si y sólo si τ /k es constante.
(b) σ es una hélice cilı́ndrica si y sólo si las rectas normales son paralelas a un plano
fijo.
(c) Supuesto τ ̸= 0 , σ es una hélice cilı́ndrica si y sólo si las rectas binormales forman
un ángulo constante con una dirección fija.
(d) Una hélice cilı́ndrica es una hélice circular si su proyección ortogonal sobre el
plano perpendicular a su eje es una circunferencia. Probar que una curva regular
con curvatura k > 0 es una hélice circular si y sólo si k y τ son constantes.
7.– Sea f : R → R una función diferenciable verificando: f (t) = 0 , t ≤ 0, f ′′ (t) > 0,
t( > 0 . ¿Para)qué valores de t se anula la curvatura de la curva σ: R → R3 , σ(t) =
t, f (t), f (−t) ?