Relación nº 11 - Universidad de Murcia

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matemáticas
Ampliación de Topologı́a
Relación de problemas no 11
COMPACIDAD
125. Sea (X, τ ) un espacio topológico y B una base de τ . Pruebe que son equivalentes:
(a) K ⊂ X es compacto.
(b) Para todo recubrimiento de K por conjuntos de B, existe un subrecubrimiento finito.
126. Sea (X, τ ) un espacio compacto e (Y, τ 0 ) un espacio de Hausdorff. Si f : X −→ Y
es continua. Demuestre:
(a) f es cerrada.
(b) Si f es biyectiva, entonces es homeomorfismo.
(c) Si f es inyectiva, entonces f es un embebimiento.
127. Si (X, τ ) es un espacio de Lindelöf, pruebe que si toda sucesión en X tiene un
punto de aglomeración, entonces X es compacto.
128. Sea (X, τ ) un espacio compacto. Demuestre que, para todo espacio topológico
(Y, τ 0 ), la proyección
π2 : X × Y −→ Y, π2 (x, y) = y,
es una aplicación cerrada.
129. Estudie si R con la topologı́a de Sorgenfrey es compacto y localmente compacto.
130. Sea K un subconjunto compacto de un espacio métrico (X, d). Demuestre que:
(a) Para todo x ∈ X existe y ∈ K tal que d(x, K) = d(x, p);
(b) Existen puntos x, y ∈ K tales que diam(K) = d(x, y).
131. En un espacio topológico (X, τ ) se considera una colección {Ki , i ∈ I} de subconjuntos cerrados y compactos de X tal que existe un abierto A de X que
contiene a ∩i∈I Ki . Pruebe que existe un subconjunto finito F ⊂ I tal que
∩i∈F Ki ⊂ A.
132. Encuentre en un espacio topológico (X, τ ) subconjuntos S tales que: (i) S es
compacto, pero S no lo es; (ii) S es compacto, pero S no.
133. Pruebe que si (X, τ ) es un espacio localmente compacto y Hausdorff; entonces,
un subconjunto M ⊂ X es localmente compacto si, y sólo si es intersección de
un abierto y un cerrado en X.
134. Sea ([−1, 1], τ ) donde
τ = {A ⊂ [−1, 1] : o bien 0 ∈
/ A, o bien (−1, 1) ⊂ A}
Estudie si este espacio es compacto.
135. Sea (X, τ ) compacto y T2 . Sea {Ci , i ∈ I} una colección de subconjuntos
cerrados y conexos que están ordenados por la inclusión propia. Pruebe que
∩i∈I Ci también es conexo.
136. Sea (X, τ ) compacto y T2 . Sea {Ci , i ∈ I} una familia de cerrados de manera
que cada uno de ellos tiene interior vacı́o. Pruebe que existe un punto x ∈ X tal
que x ∈
/ Ci para todo i ∈ I.
137. Pruebe que si (Xi , τi )i∈I es una familia de espacios topológicos, son equivalentes:
Q
(a) i∈I Xi es localmente compacto.
(b) Xi es localmente compacto para todo i ∈ I y todos, salvo un número finito,
son compactos.
6.5
138. Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado. Definimos la topologı́a del orden
τ≤ sobre X como la que tiene por sub-base los subconjuntos de la forma:
Iy = {x : y < x}; Iz = {x : x < z}
Demuestre que el espacio (X, τ≤ ) es compacto si, y sólo si cada subconjunto no
vacı́o de X tiene extremo inferior y extremo superior.
139. Dados (Q, τu ) y (Q, τD ), averigüe si las compactificaciones por un punto de cada
uno de ellos son equivalentes.
140. Dados N y M = {0} ∪ { n1 , n ∈ N}, tomemos (N, τu|N ) y (M, τu|M ). Véase que
(N, τu|N ) es T2 , localmente compacto, no compacto, cuya compactificación por un
punto, es equivalente a (M, τu|M ).
141. Sea (X, τ ) un espacio T2 donde tenemos una sucesión decreciente {Kn , n ∈ N}
de compactos no vacı́os. Pruebe:
(a) K = ∩n Kn 6= ∅.
(b) Si A es un abierto de X que contiene a K, entonces existe un no ∈ N tal
que Kn ⊂ A para todo n ≥ no .
(c) Si (Y, τ 0 ) es también T2 y tenemos
continua f : (X, τ ) −→
S una aplicación
S
0
(Y, τ ), entonces se tiene que f ( n Kn ) = n f (Kn ).
142. Sea X = [0, 1) ⊂ R dotado de la topologı́a τ = τu|X . Se considera el espacio
(X ∗ , τ ∗ ), donde X ∗ = [0, 1] y τ ∗ = τ ∪ {[0, 1]}. Pruebe que ((X ∗ , τ ∗ ), j) es una
compactificación de (X, τ ). ¿Es la de Alexandroff?