Sistemas Autónomos 1. Encontrar y clasificar todos los puntos
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Sistemas Autónomos 1. Encontrar y clasificar todos los puntos críticos de los siguientes sistemas: a) b) c) d) x' = -6·y + 2·x·y - 8 y' = y 2 - x 2 x' = -2·x - y + 2 y' = x·y x' = 4 - y 2 - 4 ⋅ x 2 y' = 3·x·y x' = sin(y) y' = x + x 3 2. Demostrar que el punto (0,0) es un punto centro para el siguiente sistema x' = -y - p·x· (y 2 + x 2 )1 / 2 y' = x - p·y· (y 2 + x 2 )1 / 2 3. Dibujar en el plano de fases las trayectorias de los siguientes sistemas, considerando únicamente el primer cuadrante: a) b) x' = x·(3 - x - y) y' = y·(x - 1) x' = x 2 - x·y - x y' = y 2 + x·y - 2·y c) x' = y·( x 2 + 1) y' = 2·x· y 2 d) x' = y·( x 2 + 1) y' = -x·( x 2 + 1) x' = e y - 1 y' = e x · cos(x) x' = -x y' = 2· (y ⋅ x)2 e) f) 4. Estudiar los puntos críticos y trayectorias del sistema constituido por una masa unida a un resorte y con amortiguamiento: m·x" + b·x' + k·x = 0, en función de los valores -siempre positivos- de las constantes m, b y k. 5. Estudiar los puntos críticos y trayectorias, en el plano de fase, de un péndulo simple cuya ecuación se expresa como: φ′′ + k ⋅ sin(φ) = 0 , siendo k, una constante positiva. ___________________________ © 2002 Tecnun (University of Navarra)
