Ejercicios resueltos

f -1(t) : antiimágenes de un elemento t∈Y
Ejemplo II.3.1
Aplicación: Una correspondencia f entre dos conjuntos A y B recibe el nombre de aplicación, si a
Sean los conjuntos
todo elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento del conjunto B.
1.– Razonar cuáles de las siguientes
los conjuntos
X =correspondencias
{1,2,3,4} e Yentre
= {a,b,c,d,e}
A = {1, 2, 3, 4}
y B = {a, b, c, d, e}
y las correspondencias entre X e Y definidas por los diagramas
son aplicaciones y cuáles no:
h: X
h: A
1
2
3
4
-
Y
B
a
b
c
d
e
g: X
g: A
-
1
2
3
4
Y
B
a
b
c
d
e
f: X
f: A
-
1
2
3
4
Y
B
a
b
c
d
e
Para las correspondencias que sean aplicaciones justificar cuál o cuáles son inyectivas, suprayectivas y/o
Se verifica que
biyectivas.
Solución Una correspondencia f entre dos conjuntos A y B recibe el nombre de aplicación, si a todo
h no es
aplicación
pues
no elemento
tiene imagen
elemento del conjunto
A le
corresponde
un 4solo
del conjunto B.
Es decir, de cada uno de los elemento del conjunto A ha de salir una única flecha hacia B para que
no es aplicación
1 tiene dos imágenes
alguna de estas gcorrespondencias
seapues
aplicación.
Por lo tanto:
h no es aplicación pues al elemento 4 de A no le corresponde ningún elemento de B.
g no es aplicación pues al elemento 1 de A le corresponden dos elementos de B.
f sı́ es aplicación pues a cada elemento del conjunto A le corresponde un solo elemento del conjunto
B.
Vamos a estudiar si la aplicación f es inyectiva, suprayectiva y/o biyectiva.
Para que f sea inyectiva a cada elemento de B ha de llegar como mucho una flecha,; es decir los
elementos de B tienen como mucho una antimagen. Por tanto f no es inyectiva pues el elemento a de
B tiene dos antimagenes. Es decir:
f (1) = f (2)
pero
1 6= 2
Para que f sea suprayectiva a cada elemento de A ha de llegar al menos una flecha; es decir, todos
los elementos de B deben de tener al menos una antimagen. Por tanto f no es suprayectiva pues el
elemento c de B no tiene antimagen. es decir:
@ x ∈ A /f (x) = c
Para que f sea biyectiva a todos y cada uno de los elementos de B ha de llegar exactamente una flecha.
O lo que es lo mismo, una aplicación es biyectiva si y sólo si es inyectiva y suprayectiva. Por lo tanto
f no es biyectiva.
Composición de aplicaciones: Sean f una aplicación de A en B y g una aplicación de B en C.
Construimos una tercera aplicación, h = g ◦ f , de A en C del modo siguiente:
h(x) = g (f (x)) ,
1
∀x ∈ A
Esta construcción se suele representar esquemáticamente del modo siguiente:
A
x
f
g
−→
−→
B
−→
f (x) −→
C
g (f (x)) = h(x)
6
h=g◦f
2.– Consideremos las aplicaciones:
f (x) = 3x2 + 4
y
g(x) = 2x − 5
Construir las aplicaciones (g ◦ f )(x) y (f ◦ g)(x)
Solución
Como para todo elemento x del dominio de la aplicación f que es R se cumple que f (x) ∈ Dom (g) = R,
tenemos que Dom (g ◦ f ) = R. Además:
(g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g(3x2 + 4) = 2(3x2 + 4) − 5 = 6x2 + 3
Inversa de una aplicación inyectiva: Si f : A −→ B es una aplicación biyectiva, existe una
aplicación que denotaremos f −1 definida del modo siguiente:
f −1 : B
y
−→
−→
A
x / f (x) = y
que cumple:
f ◦ f −1 (y) = y
∀y ∈ B
f −1 ◦ f (x) = y
;
∀x ∈ A,
es decir:
f ◦ f −1 = IB
y f −1 ◦ f = IA
Esta aplicación, que es única y existe si y sólo si la aplicación f es biyectiva, se denomina la aplicación
inversa de f .
Si f es una aplicación inyectiva en A y denotamos por B el conjunto imagen de f , es decir, B = Im f ,
como para cada elemento y ∈ B existe un único elemento x ∈ A tal que f (x) = y, podemos definir la
aplicación inversa de f de la siguiente manera:
f −1 : B
y
−→
−→
3.– Calcular la aplicación inversa de f : R −
f (x) =
A
x / f (x) = y
1
3
1
3x − 1
−→ R − {0} definida por:
1
∀x ∈ R −
3
Solución Para calcular la inversa de una aplicación inyectiva procedemos del modo siguiente.
Si y ∈ Im f entonces existe un único x ∈ Dom f tal que y = f (x) o, lo que es lo mismo, con x = f −1 (y).
Por lo tanto, podemos encontrar f −1 (y) en dos pasos:
Primero despejando x de la ecuación f (x) = y, para obtener x = f −1 (y).
Luego obtenemos y = f −1 (x) con sólo cambiar y por x.
2
5.4 Ejercicios
1. Para cada una de las funciones
cuyas gráficas se ven en las figur
5.4 Ejercicios
Analice usted algunos ejemplos y vea como todo esto le puede ayudar mucho al bosquejar gráficos a
Aplicamos este método al ejercicio propuesto:
partir de gráficos conocidos como en los ejercicios que siguen.
1
=y
=
5.4 f (x)
Ejercicios
3x − 1
1. Para cada una de las funciones
Por lo tanto,
1
3x − 1 =
y
cuyas gráficas se ven en las figuras ( 5.16 ), (5.17), (5.18), (5.19),
1+y
3x =
.
y
=⇒
Figura 5.16
De aquı́ que:
x=
5.4 Ejercicios
1+y
,
3y
es decir: f −1 (x) =
1+x
3x
77
Analice usted algunos ejemplos y vea como todo esto le puede ayudar mucho al bosquejar gráficos a
partir de gráficos conocidos como en los ejercicios que siguen.
4.– Para cada una de las aplicaciones cuyas gráficas aparecen en las figuras adjuntas, hallar su dominio
e imagen. Justificar si son inyectivas, suprayectivas o biyectivas.
Figura 5.16
5.4 Ejercicios
1. Para cada una de las funciones
Figura 5.17
cuyas gráficas se ven en las figuras ( 5.16 ), (5.17), (5.18), (5.19),
Figura 5.17
Figura 5.16
5.– Sean las funciones reales de variable real siguientes:
f (x) = 1 − x
g(x) =
1
x
h(x) =
x
1−x
Figura 5.18
hallar su dominio e imagen, y determine si son inyectivas, sobrey
2. Para cada una de las funciones hallar su dominio e imagen, y det
yectivas o biyectivas:
(a)
y
est
(b)
y
está definida
(c)
es el conjunto de los números reales y
Hallar los campos de existencia o dominios de las funciones h ◦ (f ◦ g), g ◦ (f ◦ h) ası́ como sus fórmulas.
Figura 5.17
Figura 5.18
su dominio
e imagen,
y determine
si son
o biyectivas:
6.– Construir las inversas, si es posible,hallar
de las
siguientes
funciones
reales
deinyectivas,
variablesobreyectivas
real:
f (x) = x
2
2. Para cada una de las funciones hallar su dominio e imagen, y determine si son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas:
2x + 2
x
− 4x + 3 (a) g(x) =
h(x) =
está definida por
.
x−3
1 − xy
(b)
y
está definida por:
(c)
es el conjunto de los números reales y
está dada por:
Dominio de una función: el dominio de una función es el conjunto de los valores para los cuales la
función está definida.
5.18
Recorrido de una función: elFigura
recorrido
de una función, también denominado conjunto imagen o
su dominio
e imagen,
y determine
si son
inyectivas,
o biyectivas:
rango de lahallar
función,
es el
conjunto
de los
valores
quesobreyectivas
puede tomar
la función.
2. Para cada una de las funciones hallar su dominio e imagen, y determine si son inyectivas, sobre-
7.– Para
cada
una de las siguientes funciones reales de variable real, hallar el dominio, el conjunto
yectivas
o biyectivas:
imagen y justificar
si son inyectivas, suprayectivas
o biyectivas.
(a)
y
está definida por
.
(b)
y
está definida por:
f (x) = x2
(c)
es el conjunto de los números reales y
g(x) =
x
x−1
está dada por:
Solución
3
h(x) =
√
2
está da
Como la función f está definida para todo x ∈ R, es decir, podemos calcular x2 para cualquier número
real, el dominio de f es todo R y podemos escribir:
Domf = Dom (f ) = R
Como los valores que toma la función f son no negativos pues x2 ≥ 0, su recorrido es el intervalo
[0, ∞). Escribimos:
Imf = Im (f ) = [0, ∞)
Como la función g está definida para todo x ∈ R − {1}, es decir, podemos calcular
número real distinto de 1, el dominio de g es R − {1} y escribimos:
x
para cualquier
x−1
Domg = Dom (g) = R − {1}
Calcular el recorrido de g es un poco más delicado. Observamos que el numerador siempre es mayor
que el denominador, es decir:
x > x − 1 ∀x ∈ R
Recordemos que al multiplicar o dividir una desigualdad (o cadena de desigualdades) por un número
positivo la desigualdad mantiene el sentido. Sin embargo, si multiplicamos o dividimos la desigualdad
(o cadena de desigualdades) por un número negativo la desigualdad cambia el sentido. Es decir:
x
>1
x > x − 1 ∧ x − 1 > 0 =⇒
x−1
x>x−1 ∧ x−1<0
x
<1
x−1
=⇒
Por lo tanto:
Img = Im (g) = R − {1} = (−∞, 1) ∪ (1, ∞)
Al representar gráficamente una función se ven reflejados su dominio, su recorrido y muchas otras
cuestiones de interés.
¿Cómo estudiar si una aplicación es inyectiva?
Si pensamos que la aplicación puede ser inyectiva el razonamiento a seguir es el siguiente:
partimos de f (x) = f (t) e intentamos llegar a la identidad x = t
Si, por el contrario, creemos que no es inyectiva, tendremos que buscar como en el ejemplo anterior dos
elementos x 6= t de A tales que f (x) = f (t).
8.– Comprobar que la función:
f : R−
1
2
x
−→
R−
−→
f (x) =
1
2
x−3
1 + 2x
es una aplicación biyectiva y calcular su inversa.
Solución Para demostrar que f es inyectiva partimos de f (x) = f (y) y demostraremos que necesariamente se ha de cumplir x = y.
f (x) = f (y)
=⇒
x−3
y−3
=
1 + 2x
1 + 2y
(x − 3)(1 + 2y) = (y − 3)(1 + 2x)
=⇒
=⇒ x + 2xy − 3 − 6y = y + 2xy − 3 − 6x
=⇒ 7x = 7y
=⇒
x=y
4
=⇒
x − 6y = y − 6x
=⇒
=⇒