TEMA8-Errores - Plan de Estudio de la Especialización

Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
TEMA 8. Fuentes de error en GPS y modelización
1. Introducción.
Como en toda observación geodésica o topográfica que se haga, cualquier observación
con GPS está sometida a varias fuentes de error. Lo importante de ello son dos
aspectos: por un lado saber las causas y la forma de minimizar estos errores, si no se
pueden eliminar completamente y por otro lado, en este último caso de que no se
puedan anular o modelizar, saber sus magnitudes.
En este capítulo se analizan las causas del error que tradicionalmente se contemplan,
sin
tener
en
cuenta
los
condicionantes
de
tiempos
de
observación,
equipo,
metodología, software, etc... Se suelen agrupar en tres causas diferentes: satélite,
propagación de la señal y equipo de medida, según la tabla siguiente.
ELEMENTO
Satélite
FUENTE DE ERROR
Errores en el oscilador (reloj)
Errores o variaciones en los parámetros
orbitales (efemérides transmitidas)
S/A. Disponibilidad Selectiva
Anti-spoofing (AS)
Efecto relativista
Refracción ionosférica
Propagación de la señal Refracción troposférica
Pérdidas de ciclos
Multipath
Errores en el oscilador (reloj)
Equipo
Error en las coordenadas del punto de
referencia
Error en el estacionamiento y manipulación
Ruido e incertidumbre de medida
Retardos instrumentales
Variación y desfase del centro de la antena
Tabla 1. Fuentes de error
Algunos de estos errores sistemáticos pueden ser modelados e incluso eliminados
utilizando combinaciones apropiadas de los observables a partir de una o dos
frecuencias, o trabajando en modo diferencial, utilizando dos receptores.
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Dentro de cada apartado se contemplarán los aspectos que nos interesan: causa,
modelización, corrección o minimización del error y por último, la cuantía del mismo.
El modelado de estos términos en pseudodistancias entre un receptor i y un satélite j contiene los
términos:
P1ij = ρ i j + c(dti − dt j ) + reli j + Ti j + α1 I i j + K1ij + M Pj1,i + ε Pj1,i
ρi j
Pseudodistancia o distancia euclídea sat-receptor
c ( dti − dt j ) Corrección por diferencia de estados de reloj
reli j
Corrección relativista
j
Retardo troposférico
Ti
α1 I i j
Retardos instrumentales
j
P1,i
Multipath
K1
M
Retardo ionosférico
j
i
ε Pj
1,i
Ruido
2. Errores dependientes del satélite.
2.1. Error en el reloj de satélite.
2.1.1. Causa.
Desfase que tiene el reloj del satélite respecto al Tiempo GPS. Los satélites llevan
relojes atómicos con osciladores de cesio o de rubidio, sin embargo ningún reloj,
incluso el atómico es perfecto.
2.1.2. Corrección
Los errores en los osciladores de los satélites pueden eliminarse mediante las
correcciones enviadas en el mensaje de navegación que recibe cada receptor, las
cuales son calculadas, enviadas y actualizadas por las estaciones de seguimiento. Esto
se hace corrigiendo la deriva con más de 10 relojes atómicos en tierra muy precisos.
Para cada reloj de satélite se determina el desfase respecto a una época inicial y los
coeficientes de la marcha o deriva del estado del reloj.
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Generalmente lo que suele ocurrir es un adelanto del reloj debido a que el satélite está
situado en un campo gravitatorio más débil. Por esto se diseñan los relojes de tal
forma que en la superficie terrestre atrasen y al ponerlos en órbita funcionen bien,
pero es evidente que no se consigue totalmente y existe una deriva de 1 ns cada tres
horas.
En cualquier caso, la corrección de esta fuente de error es casi total. Aún así, sigue
permaneciendo un pequeño error residual estimado en unos pocos ns (hasta 10) y que
es debido a la imposibilidad de predecir exactamente la marcha del estado del reloj del
satélite.
2.1.3. Cuantía
Si no se hiciese ninguna corrección (por metodología), al final, en un posicionamiento
simple con un receptor de código, se puede estimar el error producido por esta fuente
en 1 m. Hay que tener en cuenta que un error de 1 nanosegundo de imprecisión en el
reloj del satélite produce 30 cm en la pseudodistancia.
2.1.4. Modelado del estado de los relojes.
• El offset del reloj del receptor (dti) se estima al mismo tiempo que sus coordenadas.
• El offset de los relojes de los satélites (dtj) se calcula a partir de los valores a0, a1,
a2 y t0 que se transmiten en el mensaje de navegación, de acuerdo a
(pseudodistancia):
dtj = a0 + a1 (t – t0) + a2 (t - t0)2
Donde:
a0 = deriva del reloj (clock drift)
a1 = evolución de la deriva (clock drift rate)
t0 = tiempo del reloj de satélite
2.2.Efecto relativista (relacionado con estados de reloj).
Adelanto del reloj debido a:
1. El satélite está situado en un campo gravitatorio más débil (relatividad
general)
2. Velocidad relativa entre ambos (relatividad especial)
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Modelado del efecto relativista
-
Una componente constante que depende del valor del semieje mayor de la
órbita (valor de corrección de la frecuencia del oscilador ~ -4,464 · 10-10)
- Una componente periódica debida a la excentricidad de la órbita (a corregir por el
receptor):
rel = 2
r ⋅v
metros
c
2.3. Errores en los parámetros orbitales del satélite.
2.3.1.Causa
Las estaciones de seguimiento registran datos de pseudodistancia y medidas de fase
que mandan a la Estación de Control principal, donde se calculan las futuras posiciones
orbitales de los satélites. Estas serán transmitidas a los receptores, a través de las
efemérides. Pero las efemérides transmitidas por los satélites tendrán asociado un
error, a causa de que es imposible predecir exactamente sus posiciones.
Los satélites se desvían de las órbitas calculadas por diferentes razones, entre las que
se pueden citar:
9
Variación del campo gravitatorio.
9
Variaciones en la presión de radiación solar (coeficientes de variación).
9
Fricción del satélite con moléculas libres.
Se han diseñado en función de estas fuentes unos algoritmos basados en datos
empíricos (experimentales), los cuales se transmiten en el mensaje de navegación
para que se reduzca el error.
Las leyes de Kepler sobre la rotación de un cuerpo en una órbita están idealizadas para
un campo gravitatorio esférico. Para cualquier satélite orbitando entorno a la Tierra no
se da el caso ideal y la posición kepleriana se verá afectada por esas fuerzas
perturbadoras.
En primer lugar, la Tierra no es una esfera perfecta y por otro lado, tampoco su
distribución de masas es homogénea. El efecto que tiene en el campo gravitacional ya
Tema 8 – 288
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vimos que se representaba por armónicos esféricos a través del potencial perturbador
en un punto concreto. El coeficiente más grande es el J2 (o C20), que representa el
achatamiento terrestre en el campo gravitacional. Este coeficiente es 1000 veces más
grande que el resto, aunque en el cálculo de órbitas se usan hasta los coeficientes de
orden y grado (m y n) 36, aunque para el GPS es suficiente llegar a la modelización
con grado y orden 8.
Fig. 1. Fuerzas perturbadoras.
Otros planetas (en particular el Sol y la Luna) ejercen atracción sobre el satélite. Esto
es conocido como el efecto del tercer cuerpo. La atracción gravitacional del tercer
cuerpo tiene efecto adicional en la órbita del satélite, ya que causan además las
mareas terrestres y oceánicas. El cambio de la distribución de masas de la Tierra y la
forma altera el campo de gravedad y también las fuerzas actuando sobre cualquier
otro cuerpo en órbita. De todas formas, las magnitudes de estas fuerzas están
perfectamente modeladas y sus efectos son bien predichos y reducidos.
Por otro lado, el satélite no está viajando por un perfecto "vacío" y experimentará
fricciones atmosféricas. Esto es función de la densidad atmosférica y la altura orbital,
en el caso del GPS, a 20180 km, es notable.
Finalmente, como última causa de perturbación de la órbita se puede citar el impacto
de fotones de luz emitidas por el sol directa e indirectamente (efecto albedo). Esto es
conocido como presión de radiación solar y será función del área efectiva del satélite
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(área normal expuesta a la radiación), la superficie de reflectividad, la luminosidad del
Sol y la distancia al Sol. Para satélites GPS esta fuente no se puede ignorar y además
es bastante difícil su modelización, lo cual hace que sea la principal fuente de error en
el desconocimiento de la órbita del satélite en tiempo real. En software de alto nivel
(GAMIT, Bernese...) se introducen en el cálculo de órbitas, en las efemérides precisas,
coeficientes de radiación de presión.
La mayoría de todos estos efectos son modelados, aunque es difícil en el caso de la
presión de radiación solar y las fuerzas perturbadoras "de albedo". Todas las fuerzas
perturbadoras que actúan de empuje sobre el satélite son cuantificadas en términos de
sus aceleraciones perturbadoras. Estos parámetros de perturbación son:
9
Corrección al movimiento medio calculado.
9
Magnitud del cambio de la ascensión recta.
9
Magnitud del cambio de la inclinación.
9
Términos de corrección en forma de seno y coseno del argumento de la latitud.
9
Términos de corrección en forma de seno y coseno del radio geocéntrico.
9
Términos de corrección en forma de seno y coseno de la inclinación del plano
orbital.
2.3.2. Corrección
¾
Es evidente que los errores en los parámetros orbitales se pueden eliminar
trabajando con las efemérides precisas, donde aparecen las verdaderas
posiciones de los satélites.
¾
Cuando trabajamos en modo diferencial podemos eliminar casi todos los errores
relativos a los satélites, ya que afectan de forma casi igual a ambos receptores.
En un trabajo normal en modo diferencial ocurrirá esto, pero para líneas base
largas los errores en los parámetros orbitales no se eliminan del todo, porque
los errores que provocan en la seudodistancia a un satélite en un punto no son
los mismos que los que se producen en el otro punto para el mismo satélite e
instante. El error depende de la orientación del vector error para cada uno de
los puntos.
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¾
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En cualquier caso, en postproceso, se recomienda utilizar efemérides precisas
en baselíneas > 10 Km (según tiempo de observación y método elegido).
Ya hemos visto que las efemérides precisas pueden ser descargadas desde varios
sitios.
Normalmente
se
utilizan
las
calculadas
por
el
IGS
(International
for
Geodynamics and GPS Service), que son una combinación de las calculadas por 7
centros. (ftp://igscb.jpl.nasa.gov/components/prods_cb.htm). El formato estándar es
igsXXXXY.SP3, donde XXXX es la semana GPS e Y el día de la semana (0=dom,
6=sáb).
Es un fichero ascii con unos datos de cabecera y un listado con las coordenadas de
cada satélite cada 15 minutos (en Km), en el (ITRF00), y el estado del reloj en ese
momento (en microseg).
/* FINAL ORBIT COMBINATION FROM WEIGHTED AVERAGE OF:
/* cod emr esa gfz jpl ngs sio
/* REFERENCED TO GPS CLOCK AND TO WEIGHTED MEAN POLE:
/* CLK ANT Z-OFFSET (M): II/IIA 1.023; IIR 0.000
*
2000 12 23 0 0 0.00000000
P 1 25009.229226 -1038.379027 -8783.781739
157.623480
P 2
5929.057474 -23003.501053 11964.266325
-315.218438
P 3 18749.526629 12904.610597 -13780.068354
68.678197
P 4 -4920.995246 -25539.899034
4815.595853
621.135986
P 5 -20024.093758
6772.442608 15979.174875
278.625625
Tabla 2. Efemérides precisas.
2.4. Disponibilidad Selectiva (SA) - antes de 01/05/2000.
El Gobierno de los EEUU definió el Posicionamiento GPS estándar: "SPS (Standar
Positioning Service) es el servicio de posicionamiento y tiempo, compuesto por la
frecuencia L1. La frecuencia L1, transmitida por todos los satélites contiene un código
C/A (Coarse Acquisition) y un mensaje de navegación. El SPS es la capacidad de
proveer a un usuario de un código básico C/A, no estando disponibles el código P y la
frecuencia L2 a los usuarios SPS. Las precisiones están garantizadas a los usuarios SPS
mejor que (DoD, 1995):
100 m en posición horizontal
95% del tiempo
156 m en la componente vertical
95% del tiempo
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300 m en posición horizontal
99.99% del tiempo
500 m en la componente vertical
99.99% del tiempo
340 nanosegundos de precisión en t
95% del tiempo
En orden a mantener o limitar estas precisiones el US DoD ha implementado la SA
(Selective Availability- Disponibilidad selectiva) para reducir las capacidades de
posicionamiento horizontal a aproximadamente entre 20 y 100 m y el AS (AntiSpoofing) para denegar el código P".
2.4.1. Causa
Como vemos, consiste en una degradación intencionada de la señal por parte del
Department of Defense (DoD) para el usuario civil. En esta degradación de la señal se
actuaba sobre los estados de los relojes (dither) y los parámetros orbitales (epsilon).
"Dither" es una manipulación intencionada de la frecuencia del reloj del satélite, de tal
forma que en la generación de la onda portadora y los códigos se varían las longitudes
de onda de la portadora. En otras palabras, bajo la SA, la distancia entre cada chip
código C/A puede variar, no siendo los 293 metros diseñados. La réplica generada en
el receptor asume la longitud nominal y las
medidas de pseudodistancia están basadas en
ello. Los errores típicos para satélites con la
SA activada estaban en los 100 metros, para
usuarios estándar, no de PPS.
La componente "epsilon" de la SA se refiere a
un error en las efemérides transmitidas, es
decir,
en
la
posición
posicionamiento,
satélites
las
estaban
del
satélite.
coordenadas
alteradas
de
Para
los
usando
información incorrecta y los errores en esas
coordenadas se propagaban al receptor.
Fig. 2. Componentes de la SA
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El 1 de Mayo de 2000, Clinton anunció el fin de la degradación intencionada de la señal
GPS, llamada SA o Selective Availability. Esto significaba que los usuarios civiles
podían determinar coordenadas 10 veces más precisas que antes (unos 10 metros).
Fig. 3. Momento de desactivación de la SA en altura, posiciones independientes.
Fig.4. Momento de desactivación de la SA, planimetría, posiciones independientes.
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2.4.2. Corrección.
En GPS diferencial, con líneas base no demasiado grandes, el error introducido en
ambos receptores era similar, con lo cual este error se elimina.
Para aplicaciones geodésicas y
topográficas no ha supuesto apenas mejora, puesto
que el método de trabajo aplicado siempre ha sido diferencial.
2.4.3.Cuantía
Los errores típicos que se introducían eran de ± 35 m. (según algunos autores, 100
m).
2.5. Anti-Spoofing.
2.5.1. Causa
Este método de degradación de la señal consiste en encriptar el código P mediante el
uso del llamado codigo protegido Y, mezclando P+W de tal forma que solamente
usuarios autorizados tienen acceso al código P.
2.5.2. Solución
Algunos receptores tienen desarrolladas técnicas para hacer medidas de código P con
sólo añadir un poco de ruido: técnicas de correlación cruzada (Talbot, 1992 o Ashjaee
y Lorenz, 1992).
Fig.5. Correlación cruzada.
La correlación cruzada se basa en el principio de que el código Y transmitido por un
satélite es el mismo en ambas frecuencias. Por lo tanto, correlando los dos códigos Y
en L1 y L2, la diferencia entre los respectivos tiempos de viaje puede ser deducida.
Esta diferencia es igual al tiempo de retardo que la frecuencia sufre cuando pasa por la
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ionosfera. Sumando la diferencia de retrasos de tiempo a la medida de código C/A de
la L1 resulta una medida de pseudorango conteniendo la misma información que la
medida de código P en L2.
3. Errores dependientes de la propagación de la señal.
Las principales fuentes de error pueden ser predecibles (por ejemplo, las causadas por
la geometría) aunque hay otras de naturaleza aleatoria (como las turbulencias
atmosféricas).
La ionosfera y la troposfera causan demoras en la señal de GPS que se traducen en
errores de posicionamiento. Algunos errores se pueden corregir mediante modelación y
correcciones matemáticas. El GPS Diferencial puede eliminar casi todos los errores.
La velocidad de propagación de la señal es crítica para cualquier sistema de medida de
distancias. Esta velocidad multiplicada por el intervalo de tiempo en que se propagó la
señal nos da una medida de la distancia. Si una onda electromagnética se propaga por
el vacío, su velocidad de propagación, sea cual sea su frecuencia es la velocidad de la
luz (c). Sin embargo, en el caso de observaciones GPS, las señales deben atravesar las
capas de la atmósfera hasta llegar al receptor posicionado sobre la superficie de la
tierra. Las señales interaccionan con partículas cargadas, que provocan un cambio en
la velocidad y dirección de propagación, es decir, las señales son refractadas. Cuando
la señal viaja por un medio que no es el vacío, ésta sufre un retardo debido a que la
velocidad de propagación es menor, y a que la trayectoria aumenta su longitud al
curvarse por refracción, si el medio no es isótropo.
3.0. Fundamentos: velocidad de fase y grupo.
Un
medio en el cual la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas
dependen de las frecuencias es un medio dispersivo. En tal medio la refractividad
depende de la frecuencia o la longitud de onda. El efecto de dispersión es causado por
interacciones electromagnéticas entre un campo cargado eléctricamente del medio y
un campo externo de ondas penetrantes.
Se deben distinguir:
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•
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velocidad de propagación de la fase de una onda particular con longitud de
onda uniforme (velocidad de fase vph).
•
velocidad de propagación de un grupo de ondas, generada por la superposición
de ondas diferentes de diferente longitud de onda (velocidad de grupo vgr).
Considerando una onda electromagnética simple propagándose en el espacio con una
longitud de onda λ y frecuencia f, la velocidad de su fase será:
vph = λ f
En GPS, la portadora de las ondas L1 y L2 se propagan con esta velocidad (es decir, la
fase).
Para un grupo de ondas con frecuencias ligeramente diferentes, la propagación de la
energía resultante es definida por la velocidad de grupo:
v gr = −
df 2
λ
dλ
Esta es la velocidad que hay que considerar en GPS para las observaciones de código.
Esto implica que las observaciones de código y las de fase se van a comportar de
forma diferente en su propagación por el mismo medio.
La relación entre ambas velocidades viene dada por la ecuación de Rayleigh:
v gr = v ph − λ
dv ph
dλ
Como vemos, esta ecuación contiene ya implícitamente el concepto de la dispersión,
ya que vemos que la velocidad de fase depende de la longitud de onda (o la
frecuencia). La velocidad de fase y grupo son iguales en un medio no dispersivo y se
corresponde con la velocidad de la luz en el vacío.
Si lo relacionamos con el índice de refracción n, sabemos que la velocidad de
propagación en cualquier medio es:
v=
c
n
Evidentemente, aplicando esta relación a las velocidades de fase y grupo:
v ph =
c
n ph
v gr =
c
n gr
Tema 8 – 296
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y aplicando estas relaciones a la anterior ecuación de Rayleigh, queda la relación entre
los índices de refracción en la forma (ecuación modificada de Rayleigh):
n gr = n ph − λ
dn ph
dλ
Esta ecuación también resulta muy útil expresándola en función de la frecuencia, en
lugar de la longitud de onda, para lo cual hay que derivar la relación c = λf con
respecto a λ y f:
dλ
λ
=−
df
f
y sustituyendo esta relación en la ecuación modificada de Rayleigh:
n gr = n ph + f
dn ph
df
3.1. Ionosfera
3.1.1. Causa
La Ionosfera es aquella región de la atmósfera comprendida entre 100 y 1000 Km de
altitud, donde las radiaciones solares y otras radiaciones ionizan una porción de las
moléculas gaseosas liberando electrones, que interfieren en la propagación de ondas
de radio.
La Ionosfera es un medio dispersivo para ondas de radio, por lo tanto su índice de
refracción es función de la frecuencia de la onda.
Este error es negativo para la medida de fase (se produce un avance de la portadora y
se miden distancias más pequeñas), y positivo para las pseudodistancias (se produce
un retardo y se miden distancias más largas), pero tienen el mismo valor absoluto.
En otras palabras, el código GPS es retrasado resultando las pseudodistancias de
código más largas comparadas con la distancia geométrica al satélite y las de fase,
más cortas:
λΦ = ρ + c Δδ + λN - ΔIono(f)
Tema 8 – 297
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R = ρ + cΔδ + ΔIono(f)
El índice de refracción de una onda simple (fase) refractiva puede ser expresado en
forma de series:
n ph = 1 +
c
c2
c
+ 33 + 44 + .....
2
f
f
f
Los coeficientes c2, c3, c4 no dependen de la frecuencia, sino de la cantidad Ne que
denota el número de electrones por metro cúbico (densidad de electrones) a lo largo
del camino de propagación. Usando una aproximación por eliminación de las series de
expansión a partir del término cuadrático, tenemos:
n ph = 1 +
c2
f2
diferenciando esta ecuación:
dn ph = −
y sustituyendo esta y la anterior en
2c 2
df
f3
n gr = n ph + f
n gr = 1 +
dn ph
df
resulta:
c2
c
2c
− f 32 = 1 − 22
2
f
f
f
Luego aquí ya vemos que el índice de refracción del grupo y la fase tienen signo
diferente respecto a la unidad (índice de refracción en el vacío).
Si se estima c2=-40.3 Ne, entonces resulta que ngr> nph y también vgr< vph y por tanto
se demuestra lo que se dijo anteriormente: el grupo se retrasa (código) y la fase se
adelanta ⇒ las distancias de código son medidas demasiado largas y las distancias de
fase son medidas demasiado cortas comparadas con la distancia geométrica real
satélite-receptor. La cantidad es la misma en ambos casos.
Evaluando estas relaciones con respecto a la distancia geométrica satélite-receptor (s0)
se obtiene que los retardos ionosféricos son:
Tema 8 – 298
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Δ ph
Iono
⎛c
= ∫ ⎜⎜ 2
⎝ f2
⎞
⎟⎟ds o
⎠
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Δ gr
Iono
⎛c
= − ∫ ⎜⎜ 2
⎝ f2
⎞
⎟⎟ds o
⎠
cuyo resultado puede ser escrito también como:
Δ ph
Iono
=−
40,3
N e ds o
f2 ∫
Δ gr
Iono
=−
40,3
N e ds o
f2 ∫
Definiendo el contenido total de electrones (TEC) como:
TEC = ∫ N e ds o
Y sustituyendo en cada una de las expresiones anteriores:
Δ ph
Iono
=−
40,3
TEC
f2
Δ gr
Iono
=
40,3
TEC
f2
Expresados de esta forma los retardos ionosféricos, tienen dimensiones de longitud. El
TEC es medido en unidades de 1016 electrones por m2 (TECU). En un ejemplo
numérico, para el código C/A, tomando TEC=1, ΔIonogr= 0,16 m.
Al introducir el TEC, se está suponiendo una columna de 1 m2 de sección entre satélite
y receptor, pero lógicamente, habrá que tener en cuenta la inclinación de esta
dirección, por lo que lo que se modela es el TVEC (Total Vertical Electron Content) o
TEC para satélites en el cenit. Para otras direcciones, habrá que tener en cuenta el
ángulo cenital del satélite según la figura mediante:
Δ ph
Iono
=−
1 40,3
TVEC
cos z ' f 2
Δ gr
Iono
=
1 40,3
TVEC
cos z ' f 2
Tema 8 – 299
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Fig. 6. Geometría del retardo ionosférico
En esta figura se representa un modelo muy simple de una capa en el que a partir de
una determinada altura hm se encuentra la ionosfera y el ángulo z’ (cenital en la base
de la ionosfera) se puede deducir a partir del ángulo z0 en la superficie de la Tierra con
la relación:
sin z ' =
RE
sin z 0
RE + hm
La altura hm de modelo que suele tomarse está entre 300 y 400 km. La importancia de
esta cifra radica en la altura de los satélites (cuanto más bajos sean, más influencia
tiene en el resultado).
El error es proporcional a la densidad de electrones (TEC-Total Electron Content) a lo
largo
del
camino
seguido
por
la
señal
y
éste
depende
de
cinco
factores
fundamentalmente:
9
Latitud geomagnética del receptor.
9
La hora del día
9
Elevación del satélite.
Tema 8 – 300
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
9
Variaciones estacionales y diurnas.
9
Actividad del Sol (ciclos de 11 años).
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Se producen grandes retardos para señales emitidas desde satélites con baja
elevación, ya que viajan a lo largo de una gran sección de la ionosfera, produciéndose
un pico durante las horas centrales del día y bajando mucho durante la noche
(importancia de observaciones nocturnas), debido a la radiación solar. En regiones
cerca del ecuador geomagnético o de los polos, también el retardo es mucho mayor.
Se pueden utilizar modelos ionosféricos, como el de Klobuchar (1986) que establecen
la distribución del TEC, pero estas concentraciones de electrones son irregulares y poco
predecibles, por lo que cualquier modelo ionosférico es sólo una aproximación. Los
receptores de una frecuencia utilizan este modelo: ocho parámetros eran transmitidos
con las efemérides correspondientes al modelo y son usados en forma de polinomio de
tercer grado, dependientes también de la hora del día y de la latitud geomagnética del
lugar de observación. Estos polinomios hacen una estimación del retardo ionosférico
vertical, el cual es entonces combinado con un factor de oblicuidad dependiente de la
elevación del satélite, produciendo un retardo satélite-receptor de la señal. El valor
final provee una estimación dentro de un 50% del retardo real (entre 5 m por la noche
y 30 m por el día, horas centrales para satélites con baja elevación y de 3 a 5 m para
satélites con alta elevación en latitudes medias).
En definitiva, la solución pasa por tres opciones que vamos a analizar:
1. Medir el TEC.
Algunos organismos (como el CODE, Center Orbit Determination in Europe), calculan
modelos en tiempo casi real a partir de observaciones y los ponen a disposición pública
(cada 2 horas).
Tema 8 – 301
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Fig. 7. Evolución diaria del TEC (CODE)
2. Calcular el efecto del TEC usando un modelo.
El citado modelo de Klobuchar (1986) da como resultado el retardo para medidas de
código en una línea vertical satélite-receptor. Este modelo es de gran importancia, ya
que se usó durante mucho tiempo al transmitirse los coeficientes en el mensaje de
navegación. El modelo es:
Tema 8 – 302
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⎛ 2π (t − A3 ) ⎞
⎟⎟
ΔTviono = A1 + A2 cos⎜⎜
A4
⎠
⎝
donde:
•
A1= 5*10-9 s = 5 ns
•
A2 = α 1 + α 2ϕ IPm + (α 3ϕ IPm ) 2 + (α 4ϕ IPm ) 3
•
A3= 14h de tiempo local
•
A4 = β1 + β 2ϕ IPm + ( β 3ϕ IPm ) 2 + ( β 4ϕ IPm ) 3
Los coeficientes αi y βi para i=1,2,3,4 son los que venían en el fichero de navegación
de los satélites. El parámetro t es el tiempo local en el punto ionosférico (IP), que
puede hallarse mediante:
t=
λ IP
15
+ tUT
donde λIP es la longitud geomagnética del IP (en grados) y tUT es el Tiempo Universal
de la época de observación.
Finalmente,
ϕ IPm
es la latitud geomagnética del punto IP. Considerando ϕP, λP las
coordenadas geográficas del Polo geomagnético y ϕIP, λIP las del punto IP,
puede
obtener
mediante
la
relación
coordenadas
ϕ IPm
se
geomagnéticas-coordenadas
geográficas:
cos ϕ IPm = sin ϕ IP sin ϕ P + cos ϕ IP cos ϕ P cos(λ IP − λ P )
donde en la época actual ϕP=78.3º N y λP=291.0º E.
3. Eliminar el efecto del TEC (doble frecuencia, libre ionosfera).
Es sin duda, el método más eficiente y preciso, mediante la utilización de las dos
observaciones de doble frecuencia. Es la principal razón también de que la señal GPS
tenga dos portadoras L1 y L2 y el método que se utiliza en observaciones de precisión
para geodesia y topografía.
Tema 8 – 303
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
Para observaciones de fase, recordamos que el modelo de observación teniendo en
cuenta el retardo ionosférico se puede escribir en términos de distancia como (1 hace
referencia a la observación con L1 y 2, con L2):
λ1Φ 1 = ρ1 + c ⋅ Δδ + λ1 N 1 − Δiono
λ2 Φ 2 = ρ 2 + c ⋅ Δδ + λ2 N 2 − Δiono
Dividiendo por las correspondientes longitudes de onda:
Φ1 =
ρ c ⋅ Δδ
Δiono
+
+ N1 −
λ1
λ1
λ1
Φ2 =
ρ c ⋅ Δδ
Δiono
+
+ N2 −
λ2
λ2
λ2
Usando la relación c=fλ y por tanto
λ=
c
, sustituimos λ y obtenemos:
f
f1 ⋅ ρ
f 1 ⋅ Δiono
Φ1 =
+ f1 ⋅ Δδ + N 1 −
c
c
Φ2 =
f2 ⋅ ρ
f ⋅ Δiono
+ f 2 ⋅ Δδ + N 2 − 2
c
c
Introduciendo los términos:
a=
b=
ρ
c
+ Δδ
f 2 iono
Δ
c
en las expresiones anteriores, estas quedan como:
Φ 1 = a ⋅ f1 + N1 −
b
f1
Tema 8 – 304
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Φ2 = a ⋅ f2 + N2 −
Madrid, noviembre 2009
b
f2
en donde b incluye el término del retardo ionosférico. Este se puede eliminar
multiplicando la primera ecuación por f1 y la segunda por f2 y restando la primera
menos la segunda:
Φ 1 f1 − Φ 2 f 2 = a ⋅ f1 + N 1 ⋅ f 1 − b − a ⋅ f 22 − N 2 ⋅ f 2 + b
2
Φ 1 f1 − Φ 2 f 2 = a ⋅ ( f 1 − f 22 ) + N 1 ⋅ f1 − N 2 ⋅ f 2
2
donde el término b ha desaparecido y por tanto el retardo ionosférico. La combinación
f1
f − f 22
libre ionosfera finalmente se obtiene multiplicando la ecuación por
2
1
y
reordenando términos:
⎡
⎤
⎡
⎤
f2
f 12
f2
f12
a
f
N
N
⋅
=
⋅
+
−
Φ
−
⋅
Φ
2⎥
1
2⎥
⎢ 1
⎢ 1
2
2
2
2
f1
f1
⎣
⎦ f1 − f 2
⎣
⎦ f1 − f 2
Como
vemos
en
esta
combinación
desaparece
la
naturaleza
entera
de
las
ambigüedades.
3.1.2. Cuantía
Puede llegar a ser de hasta 100 m en pseudodistancia. Normalmente 10 m.
El retardo ionosférico es menor en el cenit, aumentando cuando disminuye el ángulo
de elevación (de ahí la máscara de elevación en una observación).
Por la noche el TEC también es menor (antiguamente obs nocturnas).
Aún aplicando un modelo, quedará un error residual que afectará mayormente a la
altitud y al cálculo del estado del reloj del receptor. De ahí también que el error
altimétrico sea mayor que el planimétrico.
3.1.3. Corrección o mitigación
Tema 8 – 305
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
¾
Madrid, noviembre 2009
Para eliminar el retardo ionosférico se utilizan dos señales de diferentes
frecuencias. Como hemos dicho que el retardo depende de la frecuencia, será
distinto para cada una y se podrá observar un retardo diferencial entre ambas,
siendo por tanto este retardo deducible. Esta es una de las razones por la que
los receptores de precisión utilizan dos frecuencias (L1 y L2).
La combinación lineal que elimina el efecto es la llamada "libre ionosfera" o L3:
L3 =
¾
(
1
f 12 L1 − f 22 L2
2
f − f2
2
1
)
También es evidente que trabajando en modo diferencial, el retardo afectará
por igual a estaciones, pero siempre que estén cercanas. Esto no tiene porqué
cumplirse en líneas base largas. De hecho, la combinación libre ionosfera se
recomienda aplicar en líneas base a partir de 10 km.
¾
La observación nocturna minimiza el error, cuando el TEC es menor.
¾
Incrementar la máscara de observación (15º normalmente) minimiza el error
que se introduce al tener en cuenta observaciones de satélites a baja altura, las
cuales atraviesan la ionosfera durante mayor recorrido.
3.2. Troposfera
3.2.1. Causa
De la misma forma, la capa más baja de la atmósfera, contiene vapor de agua, con lo
cual el índice de refracción para un área parcial es función de su temperatura, de la
presión y del vapor de agua.
La Troposfera es la última zona o capa de la atmósfera (hasta unos 80 Km, pero sólo
en los últimos 40 se producen retardos significativos), donde se produce retardo y
donde las temperaturas decrecen con el incremento de altura. El espesor de la
Troposfera no es el mismo en todas las zonas. La presencia de átomos y moléculas
neutros en la Troposfera afecta a las señales de propagación electromagnética. El
índice de refracción para un área parcial es función de su temperatura, de la presión
de los gases secos y del vapor de agua.
Tema 8 – 306
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
Esta atmósfera neutra es un medio no disperso con respecto a las ondas de radio de
frecuencias superiores a 15 GHz, por lo tanto, la propagación es independiente de la
frecuencia, y esto precisamente hace que el tratamiento y la eliminación del retardo
troposférico no se pueda realizar como en la ionosfera, con diferentes frecuencias.
El retardo troposférico experimentado por una señal que va desde un satélite a un
punto en la superficie, puede ser expresado en primera aproximación por la siguiente
integral a lo largo del camino recorrido por la señal, s (distancia geométrica satélitereceptor):
Δtrop = ∫ (n − 1)ds
Usualmente, en lugar del índice de refracción se utiliza la refractividad:
N trop = 10 6 (n − 1)
con lo cual:
Δtrop = 10 −6 ∫ N trop ds
Esta integral puede ser evaluada conociendo el índice de refracción, o puede ser
aproximada por funciones analíticas. Pero lo más normal es utilizar aproximaciones
basadas en modelos atmosféricos simplificados. Algunos de estos modelos son: el
modelo de Hopfield (1969), modelo de Saastamoinen (1972), modelo de Hopfield
modificado, Goad y Goodman (1974), Black (1978), Robinson (1986), etc.
Por otro lado, se han realizado numerosos proyectos para calcular el contenido de
vapor de agua de la troposfera a partir de medidas GPS: meteorología con GPS,
aprovechando la información obtenida del retardo troposférico, es decir, sería invertir
el camino, conocido el retardo, calcular el índice de refracción, y a partir de ahí, el
contenido de vapor de agua en la troposfera.
En la mayoría de los casos, se considera por separado la componente seca y la
componente húmeda :
NTrop = NdTrop + NwTrop
En este caso:
Tema 8 – 307
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
ΔTrop
= 10 −6 ∫ N dTrop ds
d
ΔTrop
= 10 −6 ∫ N wTrop ds
w
y por tanto el retardo troposférico total:
ΔTrop = ΔTrop
+ ΔTrop
= 10 −6 ∫ N dTrop ds +10 −6 ∫ N wTrop ds
d
w
Se ha estudiado mucho el problema de si se puede mejorar el cálculo del retardo
troposférico tomando datos meteorológicos en el lugar de observación, pero esto es
algo que normalmente no se ha utilizado y cuyos resultados no han sido satisfactorios.
La componente húmeda varia espacialmente y temporalmente, mientras que la seca
permanece más estable. La componente seca es la causante de un 90% del total del
retardo y puede ser obtenida con precisión de algunos milímetros a partir de medidas
de presión en superficie. La componente húmeda es función del vapor de agua a lo
largo del camino de la señal, y es difícilmente evaluable.
El gradiente térmico admite modelación con precisión aceptable, pero el principal
problema está en la forma de modelar el vapor de agua, que tiene una irregular
distribución. El simple uso de medidas meteorológicas en superficie no puede dar la
precisión alcanzable con los radiómetros de vapor de agua. Estos instrumentos miden
la radiación basal que se recibe desde el espacio en la dirección de la observación, y
son capaces de medir el contenido de vapor de agua en la atmósfera.
En la práctica, se introducen modelos de refractividad para la componente seca y la
húmeda, bien conocidos desde hace mucho tiempo (ejemplo, modelo de Essen y
Froome, 1951). La correspondiente a la componente seca es:
_
N dTrop
, 0 = c1
p
,
T
c1 = 77,64
Kmb −1
donde p es la presión atmosférica en milibares (mb) y T la temperatura en grados
kelvin (º K).
La componente húmeda es:
Tema 8 – 308
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
_
N wTrop
,0 = c2
Madrid, noviembre 2009
e _ e
+ c3 2 ,
T
T
c 2 = −12,96
Kmb −1
c3 = 3,718 ⋅ 10 5
K 2 mb −1
donde e es la presión parcial de vapor de agua en mb y T es la temperatura en Kelvin
de nuevo. Los valores c 1 , c 2 y c 3 se determinan empíricamente.
1. Modelo de Hopfield.
Usando datos empíricos que cubrían toda la Tierra, Hopfield (1969) desarrolló este
modelo, dando una refractividad seca como función de la altura:
N
trop
d
( h) = N
trop
d ,0
⎡ hd − h ⎤
⎥
⎢
⎣ hd ⎦
4
asumiendo una capa que afecta al retardo troposférico seco con espesor:
hd = 40136 + 148.72 ⋅ (T − 273.16) metros
es decir, algo más de 40 km. Operando y sustituyendo en la expresión del retardo
troposférico resulta:
Δtrop
=
d
10 −6 trop
N d ,0 ⋅ hd
5
En cuanto a la parte húmeda, como se ha dicho, resulta más complicado debido a la
fuerte variación en el tiempo y el espacio, resultando análogamente:
N
trop
w
( h) = N
trop
w, 0
⎡ hw − h ⎤
⎥
⎢
⎣ hw ⎦
4
donde se usa el valor medio hw=11000 metros, aunque se usan otros valores,
normalmente para la componente húmeda entre 10 y 13 km. Análogamente:
Δ
trop
w
10 −6 trop
=
N w , 0 ⋅ hw
5
Tema 8 – 309
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
y el retardo troposférico total será:
Δtrop =
10 −6
trop
[ N wtrop
, 0 ⋅ hw + N d , 0 ⋅ hd
5
expresado en metros.
Evidentemente, el modelo expresa el retardo troposférico en el cenit. Hay que tener en
cuenta la trayectoria real teniendo en cuenta el ángulo cenital, lo cual se expresa como
“función de mapeado” (mapping function). Introduciendo esto el retardo queda como:
Δ
trop
10 −6
trop
=
( N wtrop
, 0 ⋅ hw ⋅ m w ( E ) + N d , 0 ⋅ hd ⋅ m d ( E ))
5
donde m(E) es la correspondiente función de mapeado. Siendo E la elevación del
satélite en la estación:
md ( E ) =
1
sin E 2 + 6.25
mw ( E ) =
1
sin E 2 + 2.25
Hay otras funciones de mapeado mucho más complicadas, aunque más efectivas. La
más conocida y usada es la función de Niell (1996):
ah
⎛
1+
⎜
b
b
⎜
1+ h
1+
⎜ 1
1 + ch
1+ c
+ h(km)⎜
−
m( z ) =
ah
a
⎜ cos z cos z +
cos z +
b
bh
⎜
cos z +
cos z +
⎜
cos z + c
cos z + c h
⎝
1+
a
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Los coeficientes a, b, c... son listados en dos tablas en función de la latitud (una para
la componente seca y otra para la húmeda).
Tema 8 – 310
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
Una mejora a este modelo (Hopfield) lo constituye el de Hopfield modificado, en el que
se asumen diferentes capas concéntricas expresados en forma de integral entre
r=radio de la Tierra hasta r=rd o r=rw.
2. Modelo de Saastamoinen.
La refractividad se deduce de las leyes de los gases, siendo en total:
Δtrop =
0.002277 ⎡
⎛ 1255
⎞
p+⎜
+ 0.05 ⎟e − tan 2
⎢
cos z ⎣
⎝ T
⎠
⎤
z⎥
⎦
donde:
•
z es el ángulo cenital del satélite
•
p la presión atmosférica en mb
•
T la temperatura en º K
•
e la presión parcial de vapor de agua en mb.
Usando parámetros de una atmósfera estándar al nivel del mar, resulta el retardo
troposférico en el cenit de 2.3 metros.
Otro modelo modificado de Saastamoinen añade dos términos correctores, uno
dependiente de la altura de la estación y otro que depende de la altura de la estación
en combinación con la altura cenital del satélite:
Δtrop =
0.002277 ⎡
⎛ 1255
⎞
p+⎜
+ 0.05 ⎟e − B ⋅ tan 2
⎢
cos z ⎣
⎝ T
⎠
⎤
z ⎥ + δR
⎦
donde los términos B y δR se interpolan de tablas.
3.2.2. Solución
¾
Como se ha dicho, lo que se hace es utilizar
modelos atmosféricos
simplificados: Hopfield (1969), Saastamonien (1972), Hopfield modificado,
Goad y Goodman (1974), Black (1978), Essen y Froome (1986), etc. Todos los
software del mercado pueden resolver el problema de esta forma, con
numerosos modelos troposféricos.
Tema 8 – 311
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
¾
Madrid, noviembre 2009
Estimación de los "zenith path delays" (ZPD), introduciéndolos como incógnitas
en el sistema de ecuaciones o una vez determinadas las ambigüedades.
Normalmente se estiman los ZPD’s diferentes cada hora y en cada estación.
¾
Trabajando una vez más en modo diferencial, el retardo puede eliminarse, ya
que puede ser aproximadamente el mismo en una y otra estación.
¾
Observaciones a baja altura, incrementarán proporcionalmente al coseno del
ángulo cenital el error (mínimo con z=90, cos 90 = 0).
¾
Se
puede
mejorar
el
cálculo
del
retardo
troposférico
tomando
datos
meteorológicos (en teoría)???
3.2.3. Cuantía
El retardo troposférico causa un error de 1.9 - 2.5 m en la dirección cenital y se
incrementa cuando decrece el ángulo, llegando a ser de 20 - 28 m a unos 5º
(volvemos a recalcar la importancia de la máscara de elevación en una observación).
Los modelos que se introducen pueden llegar a corregir el error hasta dejarlo en 1 – 5
cm.
3.2.4. Modelado de la troposfera en observaciones de código.
En un 90% se puede modelar con:
- ddry es el retardo vertical debido a la componente seca (O y N en equilibrio
hidrostático)
Ti j = (d dry + d wet ) ⋅ m(elev)
- dwet es el retardo vertical debido a la componente húmeda (vapor de agua)
d dry = 2,3( −0,116⋅10
d wet = 0,1 m
−3
⋅H)
m
H, altura s.n.m, en m
Y el factor de oblicuidad para proyectar el retardo vertical en la dirección sat-receptor:
Tema 8 – 312
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
m(elev) =
Madrid, noviembre 2009
1,001
0,002001 + sen 2 (elev)
3.3. Pérdidas de ciclo.
3.3.1. Causa
Las pérdidas de ciclos o "cycle slip" suponen un salto en el registro de las medidas de
fase por:
9
interrupción o pérdida de la señal enviada por el satélite (árboles, edificios,
montañas...), sin duda es la causa más frecuente.
9
baja calidad de la señal, SNR (calidad señal-ruido) debido a una baja elevación
del satélite, malas condiciones ionosféricas, multipath, etc.
9
fallo en el software del receptor, que lleva a un procesamiento incorrecto de la
señal.
9 mal funcionamiento del oscilador del satélite (menos probable).
Los receptores, lo que miden es la diferencia entre la fase de la portadora transmitida
del satélite y la fase de la señal réplica que genera el receptor. Esta medida puede
estar entre 0 y 1 ciclo (0 y 2π). Durante el registro, el contador se incrementa en una
unidad cuando la fase (fraccional) cambia de 2π a 0.
El número entero inicial de ciclos entre el satélite y el receptor no se conoce y tiene
que ser calculado (ambigüedad). Esta cantidad o ambigüedad inicial de fase
permanece siempre que no exista pérdida de señal. Una pérdida de señal causa un
salto en la fase acumulada de un número entero de ciclos entre un tiempo t1 y un
tiempo t2. Obviamente, esto afecta únicamente a las medidas de fase.
La representación gráfica de un salto de ciclo puede verse en la siguiente figura.
Cuando se representa gráficamente las medidas de fase con respecto al tiempo, esta
queda representada por una curva suave. Cuando hay un salto de ciclo, aparece una
discontinuidad en la función.
Tema 8 – 313
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
Fig. 8. Salto de ciclo.
3.3.2. Corrección
¾
El problema es sencillo y también su solución, siempre que el salto de ciclo o
pérdida no sea muy grande.
¾
La detección es sencilla por medio de un chequeo. Una vez detectado que hay
un salto de ciclo y el tamaño de la pérdida de ciclo, la reparación se hace
corrigiendo a todas las observaciones de fase siguientes para este satélite,
según una cantidad fija.
¾
También el software interno del receptor es capaz de detectar y corregir estas
pérdidas.
La detección y corrección de saltos de ciclo se puede llevar a cabo mediante un sencillo
algoritmo en dos pasos:
1. Chequear todas las observaciones y encontrar los intervalos de tiempo con saltos de
ciclo, chequeando que las dobles diferencias de fase estén dentro de una función
suavizada de tiempo que pueda ser representada por un polinomio de grado pequeño
(q), calculando las q+1 primeras derivadas y chequeando si dentro o no de esta
cantidad se encuentra el error medio cuadrático esperado.
2.
Si es posible, reparar los saltos de ciclo, corrigiendo todas las observaciones a
partir de la primera época en la que encuentra el salto de ciclo. Si no es posible
Tema 8 – 314
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
reconstruir la señal, esas épocas tienen que marcarse como "outlier" e introducir una
nueva incógnita de ambigüedad en las ecuaciones.
En realidad la formulación para la detección y reparación de saltos de ciclo es bastante
amplia e incluye observaciones de código y de fase para su detección. El chequeo se
hace con fase (L1 o L2), combinaciones de fases, combinaciones de código y fase o
combinaciones de fase con frecuencia Doppler. El chequeo “in situ” es muy importante
porque permite detectar el salto y corregirlo mediante un software interno en el
receptor para una estación. Cuando hay dos estaciones involucradas, se chequean las
simples, dobles y triples diferencias.
Una opción buena para el chequeo es también la combinación denominada “residuo
ionosférico” de ambas medidas de fase:
Φ1 −
f1
f
f2⎞
b⎛
Φ 2 = N 1 − 1 N 2 − ⎜⎜1 − 12 ⎟⎟
f2
f2
f1 ⎝
f2 ⎠
En condiciones ionosféricas normales, si no hay saltos de ciclo, las variaciones
temporales del residuo ionosférico debería ser pequeño. Los indicadores de saltos de
ciclo son pequeños saltos en los sucesivos valores de este residuo ionosférico. Para la
investigación de si el salto fue en L1, L2 o en ambos, existen otras combinaciones con
código.
3.4. Multipath o Multitrayectoria.
3.4.1. Causa
Este efecto es causado por múltiples reflexiones de la señal emitida por el satélite en
superficies cercanas a la antena. La consecuencia es que las señales recorren un
camino más largo y puede distorsionar la amplitud y forma de la onda.
El efecto multipath depende de la frecuencia de la portadora. Por lo tanto, las medidas
de fase se verán menos afectadas que las medidas de código, donde el efecto
multipath puede alcanzar hasta el nivel de metro.
Tema 8 – 315
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
Fig. 8. Multipath.
La dificultad proviene de que las técnicas de GPS diferencial no eliminan los efectos de
multipath, puesto que es dependiente del sitio de observación, sin embargo el
equipamiento y la elección de un buen sitio de estación sí que evitan que se produzca
este indeseado efecto en una observación GPS.
Se pueden agrupar los errores de multipath en tres clases diferentes:
•
Difusión proveniente de un área grande (por ejemplo, si la señal pasa a través
de una tela metálica).
•
Reflexión especular en objetos bien definidos o superficies reflectantes al lado
de la antena.
•
Fluctuaciones de muy baja frecuencia asociados generalmente con reflexión en
la superficie del agua.
3.4.2. Solución
¾
Elegir puntos protegidos de reflexiones de edificios, vehículos, árboles,
plataformas reflectantes metálicas...
¾
Imponer una vez más la máscara de elevación, ya que con señales procedentes
de satélites a baja altura, el efecto será mayor o más fácil que pueda darse.
Tema 8 – 316
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
¾
Madrid, noviembre 2009
También el diseño de la antena reduce considerablemente el efecto, mediante
antenas tipo “choke ring” o "anillos de choque" se reducen las interferencias de
señales con baja elevación o procedentes de multipath.
Fig. 9. Esquema y antena "choke ring".
El plano de tierra combinado con anillos circulares están diseñados para rechazar el
multipath en las frecuencias de GPS. Este es uno de los aspectos más investigados
en los últimos años y en el que muchos fabricantes han avanzado, desarrollando
técnicas de detección y corrección, sobre todo para equipos de gama alta,
geodésicos, estaciones permanentes, etc. Se basa en discrimar la onda secundaria
procedente de un multipath o rebote y eliminarla: Si la Amplitud de la onda
primaria = Amplitud onda secundaria, pero la diferencia de fase = 180º, la señal
reflejada se cancela, permaneciendo la directa.
Fig. 10. Dispersión de medidas en un antena con y sin choke rings (fuente: Leica)
¾
Utilizando antenas con "plano de tierra", ground plane, para evitar ondas que
provengan de la parte inferior de la antena. Esta es una alternativa a la
utilización de antenas con anillos de choque. Suele ser el plano un disco
metálico donde está el cuerpo de la antena.
Tema 8 – 317
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
¾
Madrid, noviembre 2009
Incrementando el t de observación también se reduce el efecto, puesto que el
ángulo SV-receptor cambia. Por ello, también, al cambiar el ángulo, el efecto
multipath permanecerá por periodos más o menos cortos y el efecto se
enmascarará. Para aplicaciones geodésicas suelen utilizarse periodos de más de
dos horas. Para controles topográficos será conveniente ante la sospecha de
elementos que puedan causar multipath, la elección de periodos de observación
más largos que los recomendados.
¾
Utilizando materiales radioabsorventes alrededor de la antena, suele hacerse en
estaciones permanentes GPS.
3.4.3. Cuantía
El efecto depende de la frecuencia y por ello las medidas de fase están menos
afectadas que las de código, donde pueden llegar a 1 m. Incluso en observaciones de
código pueden ser del orden de hasta 10-20 m e incluso 100 m en las cercanías de
edificios. Casos extremos de multipath producen pérdidas de ciclo o señal.
En el caso de observaciones de fase para posicionamiento relativo con líneas base
cortas y buena geometría de satélites y un cierto tiempo de observación, el multipath
no debería tener efectos mayores que 1 cm. Efectuando observaciones más o menos
largas, periodos intermitentes de multipath no son un problema, por ejemplo cuando el
receptor es estacionado al lado de una autopista y grandes camiones pasan cerca de la
antena. En este caso, observaciones en estático rápido o cinemático se ven más
afectadas por el mutipath.
3.4.4. Modelo matemático
La consecuencia del multipath es que la señal recibida tiene un error en la fase relativa
(phase offset).
No existe un modelo general para el efecto multipath debido a la arbitrariedad de las
diferentes situaciones geométricas que se pueden dar. Sin embargo, su influencia se
puede estimar utilizando una combinación de medidas de código y fase L1 y L2. El
principio está basado en el hecho de que la troposfera, errores de reloj y efectos
relativistas tienen las misma magnitud en la fase y en el código. Sin embargo esto no
sucede con la refracción ionosférica y el multipath, ya que como hemos dicho
anteriormente, dependen de la frecuencia.
Tema 8 – 318
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
Madrid, noviembre 2009
Tomando medidas de código y fase con la combinación libre ionosfera y formando las
correspondientes
diferencias,
los
efectos
mencionados
desaparecen
excepto
el
multipath. Los residuos (quitando un bajo nivel de ruido) corresponden al efecto
multipath.
El efecto del multipath en la fase puede ser estimada teniendo en cuenta que la señal
directa e indirecta que llega al centro de la antena puede representarse como:
Señal directa:
a ⋅ cos ϕ
Señal reflejada o indirecta:
β ⋅ a ⋅ cos(ϕ + Δϕ )
Donde a es la amplitud y ϕ la fase de la señal directa. La amplitud de la señal indirecta
es reducida por el término β debido a la reflexión en una superficie. También la fase de
la señal indirecta es retardada en la cantidad Δϕ, que es función de la configuración
geométrica. La superposición de las señales se representa como:
a ⋅ cos ϕ + β ⋅ a ⋅ cos(ϕ + Δϕ )
Desarrollando esa expresión se llega la expresión para ΔϕM (M=multipath) que
corresponde a:
tan Δϕ M =
β ⋅ sin Δϕ
1 + β ⋅ cos Δϕ
El factor β puede variar entre 0 y 1. Si β=0 (entonces no hay señal reflejada ni
multipath) el resultado es que ΔϕM=0, o sea, la señal resultante es igual a la directa.
La reflexión más fuerte que puede darse es si β=1, con lo cual resulta ΔϕM = 0,5 Δϕ.
Evidentemente, Δϕ se puede expresar en función de la distancia como una función del
camino extra recorrido por la señal, Δs. En el caso de un reflector horizontal (suelo),
según la figura, expresando la deriva de la fase Δϕ en ciclos:
Δϕ =
1
λ
Δs =
2h
λ
sin E
donde h es la altura de antena al suelo, E la elevación del satélite.
Tema 8 – 319
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
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Fig. 11. Geometría del multipath.
4. Errores dependientes del receptor.
4.1. Estado de reloj de receptor
4.1.1. Causa
Igual que el error de reloj en el satélite, cuando el receptor recibe una señal, en ese
momento su reloj interno tendrá un desfase respecto a la escala de tiempo.
El oscilador del GPS se usa para generar la señal réplica. Sin embargo, este error
afectará por igual a todas las medidas de los satélites de los que están registrando
simultáneamente. Para determinar la posición se necesitan 3 SV y uno más para
determinar el error de reloj del receptor.
Se podría mejorar instalando en los receptores GPS relojes atómicos, mucho más
precisos, sin embargo, no es práctico, puesto que la relación coste/beneficio no
resultaría nada rentable. La observación de un cuarto satélite hace que se resuelva el
estado del reloj del receptor de una manera más cómoda. Esto hará que se pueda
ajustar el reloj de nuestro receptor con una precisión como si fuera atómico. Los
receptores corrigen su reloj cada segundo siguiendo una observación a un satélite, por
eso se emplean receptores GPS simplemente para tener una referencia precisa de
tiempos.
4.1.2. Solución
Tema 8 – 320
Curso avanzado de posicionamiento por satélite
¾
Madrid, noviembre 2009
Se eliminarán trabajando con posicionamiento relativo por medidas de fase,
planteando las ecuaciones de dobles diferencias.
¾
En receptores geodésicos o topográficos estos errores se minimizan, debido a la
mayor precisión de sus relojes.
4.2. Variación del centro de fase de la antena.
4.2.1. Causa
Este error se debe a la falta de coincidencia entre el centro radioeléctrico o punto al
que realmente llega la señal y el centro mecánico o físico, generando un error residual
por excentricidad que puede ser de unos milímetros. Es similar a las correcciones
introducidas en un distanciómetro para la constante del prisma, por falta de
coincidencia entre el eje y el centro del prisma.
Además, este centro de fase varía en función de la altura de los satélites de
observación.
Fig. 12. Excentricidad del centro de fase de antena.
Para receptores de doble frecuencia, habrá dos centros de fase, para L1 y L2, con sus
diferentes variaciones y su valor es variable, dependiendo del tipo de antena en el
mercado.
4.2.2. Corrección
En los software de cálculo diferencial, se incluyen ficheros para esta corrección (mm),
en forma de tablas como la que se muestra a continuación, donde se incluyen los
Tema 8 – 321
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incrementos en la altura de antena en función de la elevación de los satélites
(PHAS_IG.01- PCV, Phase Center Variation):
RECEIVER TYPE
ANTENNA TYPE
FROM
TO
TYP
D(Z) D(A)
******************** ******************** ****** ****** ***
*** ***
TRIMBLE 4000SSI
TRM23903.00
0 999999
1
5 360
A\Z
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
L1
0
0.00
4.90
9.30 13.10 16.10 18.40 19.90 20.50 20.40 19.60
L2
0
0.00
0.10
0.50
1.00
1.60
2.10
2.50
2.80
2.80
2.70
Como se puede ver, la L2 es mucho más estable.
Todas las antenas del mercado tienen su calibración con los correspondientes valores
de PCV.
¾
Al trabajar en modo diferencial, se han de orientar todas las antenas hacia el
mismo punto aproximadamente (convencionalmente, el norte), ya que en fábrica se
montan todas las antenas con la misma orientación en la carcasa. Este error es
calibrado en función de la altura de horizonte de cada satélite, y aunque afecta
mayormente a la componente vertical, también existe un desplazamiento horizontal.
Fig. 13. PCV en una antena Trimble.
4.3. Incertidumbre de medida
4.3.1. Causa
Cualquier medida electrónica está sujeta a un error de medida aleatorio (o ruido).
Tema 8 – 322
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El error aleatorio es considerado como la desviación con respecto a cero de las
medidas hechas.
4.3.2. Cuantía
Para la mayoría de los receptores de precisión, la incertidumbre en la medida de fase
es de unos 2 mm o incluso 1 mm en condiciones ideales (geometría satélites, actividad
atmosférica, obstáculos...) y de algún centímetro para medidas de código, aunque
lógicamente dependerá de la calidad del receptor GPS.
4.4. Retardos instrumentales.
Causa
Antenas, cables y filtros utilizados en receptores y satélites
Modelado
Se descompone en un retardo del satélite y otro del receptor.
- Receptor: Se modela incluyéndolo en el offset del reloj del receptor
- Satélite: se transmite en el mensaje de navegación (Total Group Delay) de
cada satélite.
En receptores de doble frecuencia se incluye y elimina un término (TGD) en la
combinación libre ionosfera (acuerdo de ICD GPS-2000)
4.5. Otros errores en los equipos.
Otro grupo de errores que se nos pueden presentar pueden ser debidos a:
• Desconocimiento de las coordenadas aproximadas correctas de la estación,
imprescindibles para la linealización de las relaciones de observación.
• Error en el estacionamiento de la antena.
• Error en la medida de la altura de antena. Aunque parezca una perogrullada, no es
así y muchos problemas vienen por este motivo. Sobre todo, es frecuente la
indeterminación en saber dónde se refiere la altura (centro de fase, plano de tierra,
parte inferior de la antena) y el modo (vertical, inclinada). Es de vital importancia
Tema 8 – 323
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anotar y referenciar claramente este aspecto en cualquier observación, ya que, aunque
de todos es sabido que hay que hacerlo, muchos errores en el postproceso se deben a
confusiones de este tipo.
• Errores en la manipulación de los equipos. Por ejemplo, comenzar una observación
sin que se hayan sincronizado perfectamente los relojes (se introduciría ruido en la
observación).
5. Niveles de precisión en GPS.
5.1. Anulando errores con DGPS.
La forma de evitar la mayoría de los errores es trabajar en modo diferencial.
Asumiendo que los dos receptores no están demasiado lejanos uno del otro, los errores
debidos al reloj del satélite, orbital, ionosférico, troposférico y la SA afectará a ambos
receptores de la misma forma y con la misma magnitud. Si conocemos exactamente la
posición de uno de los receptores, los errores incidentes en ese punto se pueden
extrapolar al punto de coordenadas no conocidas y compensar en modo diferencial.
Ahora bien, debido al movimiento de los satélites y los cambios en sus relojes, las
correcciones pueden cambiar rápidamente con el tiempo. Trabajando con correcciones
en tiempo real es importante la rapidez en la transmisión de las correcciones.
Por otro lado, a medida que crece la longitud de la línea base, la correlación entre los
errores en ambos puntos disminuye. En otras palabras, habrá errores residuales en la
posición calculada del punto a determinar que depende de la proximidad a la base. Un
valor típico es el de 1 mm por Km, trabajando con receptores de doble frecuencia (1
ppm). Para receptores de una frecuencia, el error puede crecer el doble, 2 ppm.
Como vemos en la tabla siguiente, el modo diferencial anulará la mayoría de los
errores excepto los errores del receptor y el multipath. Estos errores son locales en
cada receptor y no podrán ser anulados en modo diferencial.
Tema 8 – 324
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Fig.14. Tablas de errores estándar con GPS y DGPS código C/A (Según las fuentes, los
valores pueden variar significativamente)
El error de receptor (o ruido) es típicamente de 10 cm para receptores de código y de
1 mm para fase. En receptores de alta calidad, estos errores son más pequeños aún. El
error de multipath puede ser de varios metros para código y algunos centímetros para
la fase. Es decir, si evitamos el multipath, podemos llegar a obtener precisiones
milimétricas con fase y decimétricas con código.
5.2. Diferentes receptores.
Básicamente podemos encontrar tres tipos de receptores en base al observable que
colectan y por tanto, a su precisión (y directamente el precio):
5.2.1. Receptores código C/A.
Los receptores de código proporcionan precisiones típicas de 1 a 5 metros en modo
diferencial y entre 15 - 25 m en modo absoluto. Es evidente que para aplicaciones de
navegación o actualización de cartografía a pequeñas escalas esta precisión es
suficiente.
Esta precisión de 1 - 5 m en la posición podría ser para ocupaciones de una sola época.
Con tiempos de ocupación mayores (3 minutos), nos darán precisiones dentro del
metro e incluso menos, aunque depende de muchos factores (distancia a la base,
configuración, hora...).
Tema 8 – 325
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5.2.2. Receptores con observaciones de fase.
Los receptores con observaciones de fase proporcionan una precisión dentro de los 10
- 30 cm en modo diferencial, suficientes para actualización de todo tipo de cartografía,
por grande que sea la escala.
Estos receptores "cuentan" el número de ondas que contiene la señal C/A, desde el
satélite al receptor, dando una precisión mayor. Sin embargo, requiere una ocupación
mucho mayor para obtener 10-30 cm. Inicializando un trabajo con observaciones de
fase en un punto de coordenadas conocidas requiere una ocupación mínima de 5
minutos. Otros requerimientos adicionales en función del método de observación,
como por ejemplo la necesidad de cercanía a la base o la necesidad de mantener la
constelación de satélites durante el trabajo, serán siempre limitadores.
5.2.3. Receptores de doble frecuencia.
Estos receptores proveen precisión subcentimétrica en modo diferencial, para
aplicaciones geodésicas o trabajos topográficos de precisión.
Fig. 15. Precisión de los equipos GPS según el modo de trabajo y el tipo de receptor.
Tema 8 – 326
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5.3. Indicadores de Precisión
5.3.1. Error equivalente al usuario (UERE)
Un parámetro que aglutina y engloba a todos los errores vistos y dan un indicador al
usuario es el UERE.
• UERE (User Equivalent Range Error): es el error equivalente en distancia al usuario.
Se define como un vector sobre la línea vista entre el satélite y el usuario resultado de
proyectar sobre ella todos los errores del sistema:
- incertidumbres en las efemérides
- errores de propagación (ion, trop,...)
- errores de tiempo de los relojes
- ruido del receptor GPS.
• Este error es equivalente para todos los satélites.
• Se trata de un error cuadrático medio.
5.3.2. Dilution of Precision (DOP)
El indicador de precisión que normalmente se maneja es el DOP (Dilution Of Precision).
- El DOP es la contribución puramente geométrica a la incertidumbre de un
posicionamiento.
- Las mediciones de los satélites pueden ser mejores o peores dependiendo de qué
satélites se empleen para efectuar una medición de posición, ya que dependiendo de
los ángulos relativos en el espacio la geometría puede aumentar o disminuir la
incertidumbre.
- Así, el lugar geométrico de puntos a una determinada distancia del satélite es en
realidad una esfera "difusa". Como la posición del usuario quedaba definida por la
intersección de dichas esferas ya no será un único punto sino un cierto volumen.
- Es inversamente proporcional al volumen de la figura generada entre SV y receptor.
Tema 8 – 327
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- En general existe buena configuración para DOP´s < 4.
El DOP se puede dividir en varios términos:
• GDOP (Geometric DOP), suministra una incertidumbre como consecuencia de la
posición geométrica de los satélites y de la precisión temporal.
• PDOP (Position DOP), incertidumbre en la posición debido únicamente a la posición
geométrica de los satélites.
• HDOP (Horizontal DOP), incertidumbre en la posición horizontal que se nos dá del
usuario.
buen GDOP
mal GDOP
• VDOP (Vertical DOP), suministra una información sobre la incertidumbre en la
posición vertical del usuario.
• TDOP (Time DOP), precisión transmitida en el tiempo.
Algunas consideraciones sobre el DOP:
• DOP sirve mayormente para navegación diferencial, pues se elige la mejor
configuración de 4 satélites que puedan ver al mismo tiempo las dos estaciones.
• DOP es de poco interés en geodesia y topografía: prácticamente todos los satélites
visibles son seguidos por los receptores y es posteriormente el ajuste el que da el
resultado con los errores.
• DOP se puede utilizar para planificación y control particularmente en métodos como
cinemático o estatico rápido.
5.3.3. Otros indicadores de precisión.
• Existe un parámetro semejante al UERE pero que no es el mismo, se trata de la URA
(User Range Accuracy) o precisión en la distancia para el usuario, que es transmitido
por los satélites e informa al usuario de la fiabilidad que se puede obtener en las
medidas.
Otros Parámetros estadísticos:
• CEP (Circular Error Probable) que indica el radio de error al 50% de las medidas.
Tema 8 – 328
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• R95, lo mismo para el 95%.
• 1s o RMS (Root Mean Squared) que proporciona un 67% de probabilidad de que las
medidas estén en el radio especificado.
• 2s proporciona el error máximo en el 95% de los casos.
• 2drms, dos veces el error medio cuadrático en distancia (radialmente a la posición
verdadera).
Otra forma de expresar la desviación estandar en la posición es como el producto de
UERE y DOP (vertical u horizontal).
Fig.16. Relación entre CEP, 2dmrs, R95 y 2σ.
Tema 8 – 329