álgebra y geometría analítica - UTN - FRLP

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
Trabajo Práctico Nº 6
Espacios Vectoriales
Cursada 2014
Desarrollo Temático de la Unidad
Leyes de composición Interna y externa. Propiedades. Definición de espacio vectorial.
Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineal. Sistema de generadores.
Base y dimensión de un espacio vectorial. Cambio de base. Bases ortogonales y
ortonormales. Proceso de ortonormalización de bases de Gram-Schmidt. Interpretación
geométrica del proceso..
Ejercitación a desarrollar en el aula:
Se deberá desarrollar en el aula los ejercicios 3, 4a, 4b, 4k, 5, 6, 9, 15, 16a, 16c, 18a,
18b, 20c, 22, 26. Los demás ejercicios deben ser realizados por los alumnos.
1.- El conjunto R3 está formado por todas las ternas ordenadas de números reales que
se simbolizan x, y, z  / x, y, z  R. Demostrar que este conjunto tiene estructura de
espacio vectorial
2.- En R2 definir y representar las operaciones de: suma, resta y producto de un vector
por un escalar.
3.- En R2 justificar gráficamente las propiedades conmutativa y asociativa para la suma
de vectores
4.- Escribir en forma explícita:
a- El inverso para la suma en R3.
b- El inverso aditivo de (1,-2,3,-4).
c- El inverso aditivo del inverso aditivo de un vector v de Rn.
d- El inverso aditivo del neutro para la suma de un vector v  de Rn.
e- El vector suma de (1,1,1) con (2,3,3).
f- el vector suma de (2,3,4,5) con el inverso aditivo de (1,3,5,6).
g- Tres veces el vector (1,2,2).
h- menos dos veces el vector (1,1,1,1,1).
i- El inverso aditivo de cuatro veces el vector (1,3,-6).
j- La suma de (2,4,5,4) con tres veces el vector (-1,-2,3,2).
k- El vector 3(1,2,4) + 4(-2,3,8) + 6(1,0,1).
l- El vector –(1,0,2)+ 3{ (2,3,3) – 2[ -(1,1,2) + 7(0,2,0)]}.
ll- El vector (2,1,0,0) – (2,1,1,1) multiplicado por el escalar –2.
m- El inverso aditivo del vector –(1,2,3,4) + 2(2,2,1,2) multiplicado por el escalar
–3.
n- El vector de R4 que sumado al vector (3,2,0,0) da como resultado el vector
(1,1,2,1).
ñ- El vector de R3 que sumado con el inverso aditivo del vector (1,-4-6) da como
resultado el vector 3(3,4,2).
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Facultad Regional La Plata
Álgebra y Geometría Analítica
Trabajo Práctico Nº 3 – Álgebra Vectorial
5.- Expresar el vector (7,5) como combinación lineal (c.l.) de los vectores (2,1) y (1,1).
Representar gráficamente.
6.- Expresar el vector (1,1,0) como c.l. de (1,2,3); (-1,-1,2) y (1,3,8).
7.- Definir dependencia e independencia lineal.
8.- Demostrar que dos vectores son linealmente dependiente (l.d.) si y solo si uno de
ellos es múltiplo de otro.
9.- Utilizar el ejercicio anterior para decidir (a simple vista) si los siguientes pares de
vectores son linealmente independientes (l.i.) o l.d.
a- (2,4,1) y (8,16,4).
b- (0,0,0) y (3,-2,4).
c- (1,1,2,0,1) y (3,3,6,0,3).
10.- Demostrar que cualquier conjunto de vectores de Rn que contenga al vector nulo es
linealmente dependiente
11.- Probar que un conjunto formado por un solo vector no nulo es l.i.
12.- Demostrar que si V es un conjunto de vectores linealmente independientes de Rn,
entonces cualquier subconjunto de V es l.i.
13.- Demostrar que si v es un conjunto de vectores l.d. de Rn, entonces cualquier
conjunto que contenga a V es tambien l.d.
14.- Probar que si los vectores v1,v2 y v3 son de R3 son l.d., entonces alguno de ellos se
puede escribir como c.l. de los restantes.
15.- Demostrar que el conjunto de vectores (2,1), (1,3) y (2,2) es l.d.
16.- Decidir si los siguientes conjuntos son l.i. o l.d.:
a- {(1,2)}.
b- {(3,2,1); (1,0,0); (-4,5,-2)}.
c- {(1,1,9); (2,1,3); (2,2,3); (3,-3,7)}.
d- {(1,2,3,4); (0,2,3,4); (0,0,3,4); (0,0,0,4)}
17.- Demostrar que cualquier conjunto de vectores l.i. de R3 no necesariamente forman
una base del mismo.
18.- Explicar porque cada uno de los siguientes conjuntos de vectores de R3 no pueden
conformar una base en dicho espacio:
a- {(1,2,1); (2,3,4)}.
b- {(1,-1,3); (0,0,0); (2,3,5)}.
c- {(2,5,4); (1,3,2); (2,4,6)}.
d- {(3,4,3); (1,1,1); (2,2,2)}.
e- {(3,2,2); (2,4,4); (4,3,2); (1,1,5)}.
19.- Verificar que todo vector de R2 se puede escribir como una c.l. de los vectores
(1,3), (3,7) y (-3,5). ¿Esto significa que el conjunto formado por estos tres vectores es
una base de R2? (aplicar el concepto de sistema de generadores linealmente
dependientes)
20.- Verificar que los siguientes conjuntos constituyen bases de los espacios
correspondientes:
a- {(1,2); (2,1)}.
b- {(1,1,1); (0,5,2); (0,0,19)}.
c- {(1,0,0,0); (1,1,0,0); (1,1,1,0); (1,1,1,1)}.
21.- Demostrar que el conjunto {(a,b); (c,d)} es una base de R2 si ad - bc ≠ 0.
22.- Verificar que {(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)} es una base de R3 y escribir el vector (3,4,5) en
términos de esta base.
Av. 60 esq. 124 Tel. (0221) 4217578 – 4823155 – La Plata (1900)
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Trabajo Práctico Nº 3 – Álgebra Vectorial
 
23.- El vector (3,4) corresponde a la base canónica { (i , j ) }; expresarlo en base
B={(1,2);(2,1)}.
5
2
24.- Las componentes de un vector referido a la base {(1,2);(2,1)} son
y
.
3
3
Expresarlo en base {(2,3);(3,2)}.
25.- En el proceso de ortonormalización de base de Gram - Schmidt los dos primeros


vectores normalizados son y1 e y 2 . Si el tercer vector de la base que se pretende
ortonormalizar es x3, obtener los valores que deben tomar α y β en la combinación lineal



z3  x3   y1   y2 para que el vector z3 resulte simultáneamente perpendicular a y1 e

y 2 . Escribir la combinación lineal resultante
26.- En el espacio tridimensional, ortonormalizar la base {(1,2,3); (4,-1,2); (2,2,1)}.
Realizar una interpretación geométrica del proceso.
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