MUDULO-MATEM-FINANCIERA_II-VN

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
SEMIPRESENCIAL
TECNOLOGÍA EN:
ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
ESPECIALIDAD: CONTABILIDAD Y AUDITORIA
MATEMATICAS FINANCIERAS II
AUTOR: M.Sc. VINICIO NICOLALDE MORETA
QUITO - ECUADOR
Octubre 2011
1
ÍNDICE
TEMA
PAG.
INTRODUCCIÓN
4
CONTENIDOS
5
COMPETENCIA GENERAL
6
UNIDAD I: COMPETENCIA ESPECÍFICA
7
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
7
CAPITALIZACIÓN SIMPLE
7
CAPITALIZACIÓN COMPUESTA
9
ANUALIDADES
11
DEFINICIONES Y CLASIFICACIÓN
11
ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS
12
MONTO Y VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD
13
FORMULAS DE ANUALIDADES
15
PAGO PERIÓDICO, PLAZO, TASA DE INTERÉS
(MEDIANTE INTERPOLACIÓN)
16
ANUALIDADES ANTICIPADAS: VALOR FUTURO, PRESENTE
21
ANUALIDADES DIFERIDAS: VALOR PRESENTE, RENTA
24
UNIDAD II: COMPETENCIA ESPECÍFICA
32
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
32
II. AMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN
32
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN
32
CÁLCULO DE LOS VALORES DE LAS AMORTIZACIONES
32
ELABORACIÓN TABLA DE AMORTIZACIÓN
33
INTERÉS EN EL VALOR DE UN BIEN ADQUIRIDO
33
2
FONDOS DE AMORTIZACIÓN
34
TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
38
UNIDAD III: COMPETENCIA ESPECÍFICA
44
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
44
III. BONOS
44
INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES
44
PRECIOS DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERESES
45
COMPRA A PREMIO O DESCUENTO
47
EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO
48
PROBLEMAS PROPUESTOS
49
BIBLIOGRAFÍA
53
3
INTRODUCCIÓN:
Las Matemáticas Financieras es una derivación de la matemática aplicada
que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el
tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de
evaluación que permiten tomar decisiones de inversión.
Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o
ingeniería económica.
Se relaciona multidisciplinariamente, con la contabilidad, por cuanto suministra
en momentos precisos o determinados, información razonada, en base a
registros técnicos, de las operaciones realizadas por un ente privado o público,
que permiten tomar la decisión más acertada en el momento de realizar una
inversión. Con el derecho, por cuanto las leyes regulan las ventas, los
instrumentos financieros, transportes terrestres y marítimos, seguros, corretaje,
garantías y embarque de mercancías, la propiedad de los bienes, la forma en
que se pueden adquirir, los contratos de compra venta, hipotecas, préstamos a
interés.
Con la economía, por cuanto brinda la posibilidad de determinar los mercados
en los cuales, un negocio o empresa, podrían obtener mayores beneficios
económicos.
Con la ciencia política, por cuanto las ciencias políticas estudian y resuelven
problemas económicos que tienen que ver con la sociedad, donde existen
empresas e instituciones en manos de los gobiernos. Las matemáticas
financieras auxilian a esta disciplina en la toma de decisiones en cuanto a
inversiones, presupuestos, ajustes económicos y negociaciones que beneficien
a toda la población.
Con la ingeniería, que controla costos de producción en el proceso fabril, en el
cual influye de una manera directa la determinación del costo y depreciación de
los equipos industriales de producción. Con la informática, que permite
4
optimizar procedimientos manuales relacionados con movimientos económicos,
inversiones y negociaciones.
Con la sociología, las matemáticas financieras trabaja con inversiones y
proporciona a la sociología las herramientas necesarias para que las empresas
produzcan más y mejores beneficios económicos que permitan una mejor
calidad de vida de la sociedad y con las finanzas, disciplina que trabaja con
activos financieros o títulos valores e incluyen bonos, acciones y préstamos
otorgados por instituciones financieras, que forman parte de los elementos
fundamentales de las matemáticas financieras.
Por ello, las matemáticas financieras son de aplicación eminentemente
práctica, su estudio está íntimamente ligado a la resolución de problemas y
ejercicios muy semejantes a los de la vida cotidiana, en el mundo de los
negocios.
CONTENIDOS:
1
UNIDAD I
(breve repaso sobre:
capitalización simple y compuesta);
ANUALIDADES.
1.1 Capitalización Simple
1.2 Capitalización Compuesta
1.3 Anualidades (acumulación compuesta de una serie uniforme).
1.3.1
Definiciones y clasificación.
1.3.2
Anualidades ciertas ordinarias.
1.3.3
Monto (valor futuro) y valor presente de una anualidad.
1.3.4
Formulas de anualidades.
1.3.5
Pago periódico, plazo, tasa de interés (mediante interpolación).
1.3.6 Anualidades Anticipadas: Valor Futuro, Valor Presente
1.3.7 Anualidades Diferidas: Valor Presente, Renta
5
2 UNIDAD II AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION.
2.1 Sistema de amortización.
2.1.1 Cálculo de los valores de las amortizaciones.
2.1.2 Elaboración tabla de amortización.
2.1.3 Interés en el valor de un bien adquirido.
2.1.4 Extinción de deudas consolidadas.
2.2 Fondos de amortización.
2.2.1 Tabla del fondo de amortización.
3 UNIDAD III BONOS.
3.1 Introducción y definiciones.
3.2 Precios del bono en una fecha de pago de intereses.
3.3 Compra a premio o descuento.
3.4 El precio cotizado de un bono.
COMPETENCIA GENERAL:
Que los estudiantes conozcan y dominen los factores que entran en juego en el
cálculo: de capitalización simple, el descuento simple, la capitalización
compuesta, las anualidades, las amortizaciones, los fondos de amortización y
los bonos, y suministrarles las herramientas matemáticas para que manejen
estos factores y los apliquen en la solución de problemas frecuentes en el
campo financiero.
6
UNIDAD I
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y aplica elementos matemáticos financieros de
anualidades.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una Unidad introductoria con temas de repaso, inicialmente, se
recomienda a los y las estudiantes que se familiaricen con los factores que
intervienen en la capitalización simple y compuesta, así como también con los
principios de matemáticas financieras para resolver toda clase de problemas de
acumulación compuesta de series uniformes o anualidades.
Deben llegar a conocer y dominar las fórmulas para resolver toda clase de
anualidades. Se desarrollarán ejercicios de aplicación en clase y se enviarán
problemas propuestos para su resolución en casa.
I. BREVE REPASO SOBRE CAPIALIZACIÓN SIMPLE Y COMPUESTA;
ANUALIDADES
En todas las actividades financieras se acostumbra a pagar un rédito por el uso
del dinero prestado. Toda persona o empresa que obtiene un préstamo queda
obligada a pagar un rédito (renta de capital) o interés, por el uso del dinero
tomado en préstamo. En general el dinero genera dinero, acumulando valores
que varían con el tiempo; el análisis de las causas de la acumulación del dinero
con el paso del tiempo es el problema fundamental de las finanzas.
Interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado en
préstamo.
1.1.- CAPITALIZACIÓN SIMPLE (Interés Simple)
El interés o rédito que se paga por una suma de dinero tomada en préstamo,
depende de las condiciones contractuales y varía en razón directa con la
cantidad de dinero prestada y con el tiempo de duración del préstamo.
7
Para el cálculo del Monto o capital final, se utiliza la siguiente fórmula:
Cn = Co (1+n* i)
Cn = Monto o Capital final
Co = Capital inicial
i = tasa de interés
n = número de períodos o tiempo
El Monto de Interés ganado o pagado se obtiene por la diferencia entre el
Capital final menos el Capital inicial:
I = Cn – Co
De la primera fórmula se despeja cualquier incógnita que se desee calcular, de
acuerdo a los datos conocidos, así tenemos:
Para calcular el Valor o capital inicial: 𝑪𝒐 =
n=
𝟏+𝐧∗𝐢
𝐂𝐧
−𝟏
𝐂𝐨
Para calcular la tasa de interés: i=
Para calcular el tiempo:
𝐂𝐧
𝐧
𝐂𝐧
−𝟏
𝐂𝐨
𝐢
Ejemplo:
1.- Una persona necesita $ 10.500 y para obtenerlos firma un pagaré a 90 días
con la tasa de descuento bancario del 14%. Calcular el valor del pagaré
firmado.
Co = 10.500
n = 3 meses
i = 14% /12 = 1,17%= 0,0117
8
Cn = Co (1+n* i)
Cn = 10.500 (1+ 3 * 0,0117)
Cn = 10.500 (1+ 0,0351)
Cn = 10.500 (1,0351)
Cn = 10.868,55
1.2.- CAPITALIZACIÓN COMPUESTA (Interés Compuesto)
En los problemas de interés simple, el capital que genera los intereses
permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. Si en cada
intervalo de tiempo convenido en una obligación se agregan los intereses al
capital, formando un monto sobre el cual se calcularán los intereses en el
siguiente intervalo o período de tiempo, y así sucesivamente, se dice que los
intereses se capitalizan y que la operación financiera es a interés compuesto.
En una operación financiera a interés compuesto, el capital aumenta en cada
final de período, por adición a los intereses vencidos a la tasa convenida.
Período de capitalización.- es el intervalo de tiempo convenido en la
obligación, para capitalizar los intereses.
Tasa de interés compuesto.- es el interés fijado por período de capitalización.
Valor futuro de un capital a interés compuesto o monto compuesto, es el valor
del capital final, o capital acumulado, después de sucesivas adiciones de los
intereses.
Ejemplo:
1.- Se adquiere una deuda de $ 1.000 a 5 años de plazo al interés del 10 % con
capitalización anual. Esto significa que al final de cada año los intereses deben
capitalizarse. A continuación se muestra en el cuadro de desarrollo de la deuda
el capital acumulado al final de cada período, que en este caso es anual.
9
Numero de
Capital al inicio de
Interés en el
Capital más intereses
períodos
período
período
a final de período
1
1.000,00
100,00
1.100,00
2
1.100,00
110,00
1.210,00
3
1.210,00
121,00
1.331,00
4
1.331,00
133,10
1.464,10
5
1.464,10
146,41
1.610,51
Si el préstamo fuese a interés simple, su monto al final de los 5 años sería:
Cn = Co (1+n* i)
Cn = 1.000 (1+ 5 * 0,10)
Cn = 1.000 (1+ 0,50)
Cn = 1.000 (1,50)
Cn = 1.500
Valor Final (Cn) a interés compuesto = 1.610,51
FÓRMULAS:
Para calcular el Monto o Valor Futuro Cn
𝑪𝒏 = 𝐂𝐨(𝟏 + 𝐢)𝒏
Para calcular el Valor Presente Co
𝑪𝒐 =
𝐂𝐧
(𝟏 + 𝐢)𝒏
Para calcular el Monto del Interés I
𝑰 = 𝑪𝒏 − 𝑪𝒐
Para calcular la tasa de interés i
10
𝒏
𝒊= √
𝑪𝒏
𝑪𝒐
-1
Para calcular la duración n
𝐥𝐨𝐠𝐂𝐧 − 𝐥𝐨𝐠𝐂𝐨
𝒏=
𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝐢)
Ejemplo:
2.- Calcular el Valor Futuro de un depósito de $ 6.000, al 9% anual de interés
compuesto, capitalizable semestralmente, durante 14 años 6 meses.
Co = 6.000
i = 9% /2 = 4,5% semestral = 0,045
n = 14 años 6 meses = 29 semestres
𝐶𝑛 = Co(1 + i)𝑛
𝐶𝑛 = 6.000(1 + 0,045)29
𝐶𝑛 = 6.000(3,58)
𝐶𝑛 = 21.480
1.3.- ANUALIDADES (ACUMULACIÓN COMPUESTA DE UNA SERIE
UNIFORME).
1.3.1 Conceptos y clasificación
Una Anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos iguales
de tiempo. Ejemplos de anualidades son abonos semanales, pagos de renta
mensuales, dividendos trimestrales sobre acciones, pagos semestrales de
intereses sobre bonos, primas anuales en pólizas de seguros de vida, etc.
11
Intervalo de pago.- El tiempo transcurrido entre cada pago sucesivo de la
anualidad se conoce como intervalo de pago.
Plazo de la anualidad.- El tiempo contado desde el principio del primer
intervalo de pago hasta el final del último intervalo de pago se conoce como
plazo de la anualidad.
Renta.- Es el valor de cada pago periódico. La suma de todos los pagos
hechos en un año se conoce como renta anual; en consecuencia, una renta
anual de $2000 pagaderos trimestralmente significa el pago de $500 cada 3
meses.
Tasa de una anualidad.- es el tipo de interés fijado.
CLASIFICACIÓN
Según el
tiempo, las anualidades se agrupan en dos clases: Anualidades
Ciertas y Anualidades Eventuales o Contingentes.
Anualidadades Ciertas.- son aquellas cuyas fechas inicial y terminal se
conocen por estar estipuladas en forma concreta.
Anualidades Eventuales o contingentes son aquellas en las que el primer
pago ó el último, es decir, la fecha inicial ó la fecha final dependen de algún
suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse.
Una serie predeterminada de pagos periódicos forman una anualidad cierta; ya
que los pagos periódicos de primas en el seguro de vida terminan al ocurrir la
muerte del asegurado, éstos forman una anualidad contingente.
Anualidades Perpetuas o perpetuidades.- éstas son una variación de las
anualidades ciertas, en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitada.
Según la forma como se estipule el pago de la renta o anualidad, se originan
las anualidades Ordinarias o vencidas y las anualidades Anticipadas.
1.3.2.- Una anualidad cierta ordinaria o Vencida es aquella en la cual los
pagos son efectuados al final de cada intervalo de pago, es decir, que el primer
pago se hace al final del primer intervalo de pago, el segundo al final del
segundo intervalo de pago y, así sucesivamente.
12
Una anualidad es Anticipada si el pago se efectúa al principio del periodo de
pago.
Anualidades Inmediatas.- son aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar
o terminar el primer período.
Anualidades Diferidas.- son aquellas en las que se estipula que el primer
pago debe efectuarse transcurrido cierto número de períodos.
ANUALIDADES CIERTAS
ORDINARIAS O VENCIDAS
ANTICIPADAS
Inmediatas
Inmediatas
Diferidas
Diferidas
Perpetuas inmediatas
Perpetuas inmediatas
Perpetuas diferidas
Perpetuas diferidas
ANUALIDADES EVENTUALES O CONTINGENTES
Cada una de las distintas formas de anualidades presenta variantes en la forma
de calcular sus valores, según el número de pagos en el año y numero de
periodos de capitalizaciones anuales que estipule el tipo de interés.
Anualidades Simples.- son aquellas cuyo período de pago coincide con el
período de capitalización.
ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS
1.3.3.- MONTO O VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE UNA
ANUALIDAD.
Consideremos una anualidad ordinaria de $ 1000 anuales,
durante 4 años, al 5%.
13
1000
0
1
1000
2
1000
1000
3
A
4 periodos de interés
S
El monto (S) de la anualidad es la suma de los montos compuestos de los
distintos pagos, cada uno acumulado hasta el término del plazo. Puesto que el
primer pago gana intereses 3 años, el segundo pago 2 años, el tercero 1 año y
el cuanto coincide con el término del plazo, tenemos que:
S = 1000(1,05) 3 + 1000(1,05) 2 + 1000(1,05) + 1000
O, invirtiendo el orden,
S = 1000 + 1000(1,05) + 1000(1,05) 2 + 1000(1,05) 3
S = 1000(1 + 1,05 + 1,1025 + 1,157625)
S = 1000(4,310125) = $4310,12
El valor presente (A)
de una anualidad es la suma de los valores presentes
de los distintos pagos, cada uno descontado al principio del plazo, por tanto,
1
1
1
1
A = 1000 (
) + 1000 (
) + 1000 (
) + 1000 (
)
1
2
3
(1,05)
(1,05)
(1,05)
(1,05)4
1
1
1
1
A = 1000 (
) + 1000 (
) + 1000 (
) + 1000 (
)
1,05
1,1025
1,157625
1,21550625
A = $3545,95
Es conveniente que el estudiante represente cada anualidad en una línea de
tiempo tomando como unidad de medida el periodo de interés. No es necesario
marcar todos Los períodos de interés; sin embargo, el principio del plazo
(representado por 0 en la escala), el término del plazo (n, en la escala) y
algunos de los períodos de interés, deben mostrarse.
14
1.3.4.- Formulas de Anualidades
S= R [ (1 + i )n -1] =(MONTO) Valor futuro
i
A = R [ (1 + i )n -1] = Valor presente
i (1+i) n
En donde:
R = el pago periódico de una anualidad,
i = la tasa de interés por período de interés,
n = el número de intervalos de pago = el número de períodos de interés,
S = el monto o valor futuro de la anualidad,
A = el valor presente de la anualidad.
Ejemplos:
Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades
ciertas ordinarias.
a) $2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8% anual, capitalizable
semestralmente.
R = 2000
i = 8 % anual = 4 % semestral = 0,04
n = 8 ½ años = 17 semestres
S = 2000[(1 + 0,04)17 -1] =
0,04
47.395,07
valor futuro
A = 2000[(1 + 0,04)17 -1 ] =
0,04(1 + 0,04)17
24.331,34
valor presente
b) $4.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable anualmente.
R = 4000
i = 7,3 % anual = 0,073
n = 6 años
15
S = 4000[(1 + 0,073)6 -1] = 28.830,35 valor futuro
0,073
A = 4000 [(1 + 0,073)6 -1 ] = 18.890,85 valor presente
0,073(1 + 0,073)6
c) $200 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% anual, con capitalización
mensual.
R = 200
i = 8 % anual = 0,67 mensual = 0,0067
n = 3 años 4 meses = 40 meses
S = 200 [(1 + 0,0067)40 – 1 ] = 9.133,50 valor futuro
0,0067
A = 200 [(1+ 0,0067)40 – 1 ] = 7.001,81 valor presente
0,0067(1+ 0,0067)40
1.3.5.- CÁLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA
ORDINARIA.-
Es frecuente la necesidad de conocer el importe de pagos periódicos para
lograr determinado resultado; así por ejemplo: ¿cuál es el pago mensual que
debe hacerse para cancelar el valor de una propiedad, en cierto número de
años?; ¿qué cantidad de dinero habrá que colocar periódicamente, en un fondo
de amortización, para cancelar una obligación a largo plazo?; ¿con qué cuotas
periódicas puede cancelarse una mercancía, conocido su valor de contado y la
tasa de interés?
Se pueden plantear dos problemas, según se conozca el Valor Futuro por
cancelar en fecha futura o el Valor Presente por cancelar, mediante pagos
periódicos.
a) Cálculo de la Renta cuando se conoce el Valor Futuro
𝑹=𝑺
𝒊
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
16
El factor
𝒊
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
recibe el nombre de factor del fondo de amortización,
que corresponde al valor de la renta de una anualidad cuyo valor futuro
ascenderá a una unidad monetaria, después de n pagos, a la tasa i por período
de pago.
Ejemplo:
Cuánto debe depositarse al final de cada trimestre, en un fondo de inversiones
que abona el 10 % anual, convertible trimestralmente, para acumular $ 50.000
al cabo de 5 años.
S = 50.000
i = 10 % /4 = 2,5 % = 0,025
n = 5 años * 4 = 20 trimestres
𝑅=𝑆
𝑅 = 50.000
𝑅 = 50.000
𝑖
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
0,025
(1 + 0,025)20 − 1
0,025
(1,63862) − 1
𝑅 = 50.000
0,025
0,63862
𝑅 = 1.957,35
b) Cálculo de la Renta cuando se conoce el Valor Presente
𝒊 (𝟏 + 𝒊)𝒏
𝑹=𝑨
(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏
17
El factor
𝒊 (𝟏+𝒊)𝒏
recibe el nombre de factor de amortización,
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
que
corresponde al valor de la renta de una anualidad que amortiza una deuda de
una unidad monetaria, en n pagos, a la tasa i por período de pago.
Ejemplo:
Calcular los pagos por semestre vencido, necesarios para cancelar el valor de
$ 100.000 de una propiedad comprada a 8 años de plazo, con un interés del
9% capitalizable semestralmente.
A = 100.000
i = 9% /2 = 4,5% = 0,045
n = 8 años = 16 semestres
𝑖 (1 + 𝑖)𝑛
𝑅=𝐴
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
0,045 (1 + 0,045)16
𝑅 = 100.000
(1 + 0,045)16 − 1
𝑅 = 100.000
0,045 (2,02237015)
(2,02237015) − 1
𝑅 = 100.000
0,09100666
1,02237015
𝑅 = 100.000 (0,08901537)
𝑅 = 8.901,54
CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD SIMPLE
CIERTA ORDINARIA.Mediante interpolación
Ejemplos:
18
1.- Una compañía de Seguros ofrece, por un pago inmediato de $ 90.000, una
renta anual de $ 5.000 pagadera
durante 30 años, al comprador o a sus
herederos. ¿qué tasa de interés abona esta compañía?
𝑅
A partir de la fórmula:
(1+𝑖)𝑛 − 1
𝑖 (1+𝑖)𝑛
=𝐴
Se tiene:
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝐴
=
𝑖 (1 + 𝑖)𝑛
𝑅
A = 90.000
R = 5.000
n = 30
Factor de Valor Presente
(1+𝑖)𝑛 − 1
𝑖 (1+𝑖)𝑛
=
90.000
5.000
= 18
Para encontrar valores del Factor de Valor Presente, entre los cuales se halle
comprendido el valor 18,000000 se busca en la Tabla VI (correspondiente a
valores del Factor de Valor Presente FVP), en la línea correspondiente a n=30
Estos valores son:
Para i 4%, n 30 = 17,29203330; i = 0,04
1
Para i 32%, n 30 = 18,39204541; i = 0,035
Obsérvese que al aumentar i , disminuyen los valores del FVP
Para el valor dado FVP, i %, n 30 = 18, se calcula i por interpolación:
a 0,035 corresponde 18, 39204541
a
i
corresponde 18,000000
a 0,040 corresponde 17,29203330
a 0,040 corresponde 17,29203330
____________________________________________________________
−0,005
es a
1,10001211 como 𝑖 − 0,040 es a
0,70796670
−0,005
𝑖 − 0,040
=
1,10001211
0,70796670
𝑖 − 0,040 =
(−0,005)(0,70796670)
1,10001211
19
𝑖 = 0,040 − 0,003218
𝑖 = 0,036782
𝑖 = 3,67 %
2.- Una persona ha depositado al final de cada mes $ 1.000 en una cuenta de
ahorros; al cabo de 5 años, tiene en su cuenta la suma de $ 70.542 ¿qué tasa
de interés promedio ha ganado?
A partir de la fórmula:
𝑅
(1+𝑖)𝑛 − 1
𝑖
=𝑆
Se tiene:
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
𝑠
=
𝑖
𝑅
S = 70.542
R = 1.000
n = 5 * 12 = 60 meses
Factor de Valor Futuro
(1+𝑖)𝑛 − 1
𝑖
=
70.542
1.000
= 70,542
Para encontrar valores del Factor de Valor Futuro, entre los cuales se halle
comprendido el valor 70,542000 se busca en la Tabla V (correspondiente a
valores del Factor de Valor Futuro FVF), en la línea correspondiente a n=60
Estos valores son:
1
Para i 2%, n 60 = 69,77003051; i = 0,005
7
Para i 12%, n 60 = 71,59290165; i = 0,00583
Obsérvese que al aumentar i , aumentan los valores del FVF
Para el valor dado FVF, i %, n 60 = 70,542 se calcula i por interpolación:
a 0,00583 corresponde 71,59290165 a
a 0,005 corresponde 69,77003051
i
corresponde 70,542000
a 0,005 corresponde 69,77003051
____________________________________________________________
0,00083
es a
1,82287114 como 𝑖 − 0,005 es a
0,77196949
0,00083
𝑖 − 0,005
=
1,82287114
0,77196949
20
𝑖 − 0,005 =
(0,00083)(0,77196949)
1,82287114
𝑖 = 0,005 + 0,00035
𝑖 = 0,00535
𝑖 = 0,53 % (𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙)
ANUALIDADES ANTICIPADAS Y DIFERIDAS
1.3.6.- Anualidades Anticipadas
Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o
vencen al principio del período de pago.
Anualidades simples ciertas anticipadas:
ANUALIDADES VENCIDAS
1
2
n-2
n-1
2
3
n-1
n
n
0
1
ANUALIDADES ANTICIPADAS
Cálculo del Valor Futuro de las Anualidades simples ciertas anticipadas:
Sea el diagrama de una anualidad anticipada de R por período
Š
−1
0
1
2
R
R
R
n-2
n-1
R
R
n
R
Obsérvese que al agregar un último pago R se obtiene el valor futuro de una
anualidad vencida de R por período, pagadera durante n+1 períodos; restando
a éste valor el último pago R, el cual se había agregado, se obtiene el valor
futuro de una anualidad anticipada de R por período, pagadero durante n
períodos.
21
Para calcular el Valor Futuro se utiliza la siguiente fórmula:
Š=R[
(1 + 𝑖)
𝑛+1
𝑖
−1
− 1]
Ejemplo:
Una compañía deposita al inicio de cada año $ 20.000 en una cuenta de
ahorros que abona el 7 % de interés. ¿a cuánto ascenderán los depósitos al
cabo de 5 años?
0
1
2
3
4
5
20000
20000
20000
20000
20000
Š
R
R
R
R
R
R = 20.000
𝑖
=7%
𝑛 =5
(1 + 𝑖)
Š=R[
𝑛+1
𝑖
(1 + 0,07)
Š = 20.000 [
−1
5+1
0,07
− 1]
−1
− 1]
Š = 123.065,81
Cálculo
del
Valor
Presente
de
las
Anualidades
simples
ciertas
anticipadas:
Si en el diagrama de una anualidad anticipada pagadera durante n períodos se
suprime el primer pago R, se tiene una anualidad vencida de R por período,
pagadero durante n-1 períodos.
22
Š
Ä
0
1
2
R
R
R
n-1
R
n
R
Para calcular el Valor Presente se utiliza la siguiente fórmula:
Ä =R[
(1 + 𝑖)
𝑛−1
𝑖 (1 + 𝑖)
−1
𝑛−1
+ 1]
Ejemplo:
Una compañía alquila un terreno en $ 4.000 mensuales y propone al propietario
pagar el alquiler anual a principio de año, con la tasa del 12 % convertible
mensualmente. Hallar el valor del alquiler anual.
R = 4.000
𝑖
= 12 % /12 = 1 % mensual
𝑛 = 12
Ä =R[
(1 + 𝑖)
𝑛−1
𝑖 (1 + 𝑖)
(1 + 0,01)
Ä = 4.000 [
−1
𝑛−1
12−1
0,01 (1 + 0,01)
+ 1]
−1
12−1
+ 1]
Ä = 45.470,51
1.3.7.- Anualidades Diferidas
Una Anualidad Diferida es aquella cuyo plazo comienza después de
transcurrido un intervalo.
Intervalo de aplazamiento.- es el tiempo transcurrido entre la fecha inicial, o
fecha de valoración de la anualidad, y la del primer pago.
23
Para medir el intervalo de aplazamiento, se utiliza como unidad el tiempo que
corresponde a un período de pago.
Así por ejemplo, si dentro de 2 años se efectuará el primer pago de una
anualidad vencida de $ R por semestre y cuyo plazo es de 3 años, se tendría:
k
0
1
2
3
A
4
5
6
7
8
9
10
R
R
R
R
R
R
R
K = fecha inicial de la Anualidad Vencida
Tiempo diferido = 3 períodos semestrales
Tiempo de plazo de la anualidad = 7 períodos
Tiempo total = tiempo diferido más tiempo de la anualidad
Las anualidades diferidas se analizan como ordinarias vencidas
Ejemplo:
Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término del 5to
año, cuando se requerirán $ 300 anuales para reparaciones. Se estima que de
ahí en adelante, se necesitarán $300 al final de cada año en los próximos 20
años. Hallar el Valor Presente del mantenimiento del puente, sobre la base de
3 %.
k
0
1
2
3
4
5
6
24
300
300
300
Segunda
Primera
Fecha Focal
Fecha Focal
Se observa en la gráfica que los gastos inician hasta finales del año 5. Se
considera el año 4 como la Fecha Focal a partir de la cual encontraremos el
primer valor presente, o sea, será la Primera Fecha Focal para los 20 pagos de
24
$ 300 anuales. Encontrando el Valor Presente en esta primera fecha focal,
encontraremos el Valor Presente en la Segunda Fecha Focal.
Primera Fecha Focal:
Datos:
R = 300
n = 20
i = 3 % = 0,03
Valor Presente en el año 4 :
1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
𝐴=𝑅
𝑖
1 − 1/(1 + 0,03)20
𝐴 = 300
0,03
𝐴 = 4.624,50
Llevando estos 4.624,50 a la Fecha Focal 2:
Segunda Fecha Focal:
𝐴 = 4.624,50
𝐴 = 4.624,50
1
(1 + 𝑖)𝑛
1
(1 + 0,03)4
𝐴 = 4.108,80
Combinando las dos fórmulas anteriores tenemos:
1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
1
𝐴=𝑅
𝑖
(1 + 𝑖)𝑘
25
En donde k = período de gracia ó tiempo diferido
Cálculo de la Renta o Anualidad
Para el cálculo de la anualidad R (ó Renta) se despeja el valor de R de la
fórmula del Valor Presente
𝑅=
𝐴
1 − 1/(1 + 𝑖)
𝑖
𝑛
1
𝑘
(1 + 𝑖)
Ejemplo:
Al cumplir un joven 12 años, su padre deposita $ 20.000 en un fondo
universitario que abona el 8 % a fin de que al cumplir 18 años comience a
recibir una renta anual suficiente para costear sus estudios universitarios
durante 4 años. Hallar el costo de los estudios.
k
0
1
2
3
4
A
5
6
7
8
9
R
R
R
R
20.000
A = 20.000
𝑖 =8%
K=5
n=4
𝑅=
𝐴
1 − 1/(1 + 𝑖)𝑛
1
𝑖
(1 + 𝑖)𝑘
26
𝑅=
20.000
1 − 1/(1 + 0,08)4
1
𝑖
(1 + 0,08)5
𝑅 = 8.872,41
Ejercicios resueltos:
Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes
condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante
2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la
última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% anual, con capitalización
mensual.
R = 1000
i = 9 % anual = 0,09/12 = 0,0075 mensual
n = 2 años 6 meses = 30 meses
A = 1.000[(1+ 0, 0075)30 – 1 ] = 26.775,08
0,0075(1+ 0, 0075)30
2.500
1
= 1.983,09
(1+0,0075)31
26.775,08 + 1.983,09 + 20.000 = 48.758,17 Respuesta.
¿Cuál es el valor de contado de un equipo industrial comprado con el siguiente
plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con
27
un último pago de $2.500, si se carga el 12% anual, con capitalización
mensual?
R = 1600
i = 12 % anual = 0,12/12 = 0,01 mensual
n = 2 años 6 meses = 30 meses
A = 1.600 [(1+ 0,01)30 – 1 ] = 41.292,33
0,01(1+ 0,01)30
2.500
1
= 1.836,44
(1+0,01)31
41.292,33 + 1.836,44 + 14.000 = 57.128,78 Respuesta
Una mina en explotación tiene una producción anual de $8’000.000 y se estima
que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el
rendimiento del dinero es del 8%.
A = 8.000.000[1 – (1+ 0, 08)-10] =53.680.651,19 respuesta.
0,08
28
En el ejercicio anterior Se estima que al agotarse la mina habrá activos
recuperables por el valor de $1’500.000. Encontrar el valor presente, incluidas
las utilidades, si estas representan el 25% de la producción.
1.500.000(1 + 0,08)-10 = 694.790, 23
53.680.651,19 * 0,25 =13.420.162,8
694.790,23 + 13420.162,80 = 14.114.953,03 Respuesta
En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1.500 en una cuenta que
abona el 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años,
aumento sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a
disposición de ella a los 18 años.
S = 1.500 [(1 + 0, 08)11 -1] =24.968,23
0,08
24.968,23(1 + 0,08)7 =42.791,16
S = 3.000[(1 + 0, 08)7 -1] =26.768,41
0,08
1.500(1 + 0,08)18= 5994,02
42.791,16 + 26.768,41 + 5994,02 = 75.553,60 Respuesta
Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el
6% de interés, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al
cabo de 20 años.
29
0,06 /12 =0,005 tasa mensual
S = 100[(1 + 0, 005)240 -1] =46.204,09 Respuesta.
0,005
• Problemas propuestos
1. Hallar el monto y el valor presente de las siguientes anualidades ordinarias.
(a) $400 anuales durante 12 años al 2 ½%
(b) $150 mensuales durante 6 años 3 meses al 6% convertible mensualmente.
(c)
$500
trimestrales
durante
8
años
9
meses
al
6%
convertible
trimestralmente.
Resp. (a) $5518,22; $4103.10 (b) $130608,98; $9362.05
(c) $22.796,04;
$13.537,80
2. B ahorra $600 cada año y los invierte al 3% c0nvertible semestralmente.
Hallar el importe de sus ahorros después de 10 años.
Resp. $13.874,20
3. Hallar el valor efectivo equivalente a una anualidad de $100 al final de cada
3 meses durante 15 años, suponiendo un interés de 5% convertible
trimestralmente.
Resp. $4203.46
4. M esta pagando $22,50 al final de cada semestre por concepto de la prima
de una póliza dotal, la cual le pagara $1,000 al término de 20 años. ¿Qué
cantidad tendría si en lugar depositara cada pago en una cuenta de ahorros
que le produjera el 3% convertible semestralmente?
Resp. $1221,03
30
5. ¿Que es mas conveniente, comprar un automóvil en $2750 de contado o
pagar $500 iniciales y $200 al final de cada mes por los próximos 12 meses.
Suponiendo interés calculados al 6% convertible mensualmente?
6. ¿Qué cantidad debió ser depositada el 1 de junio de 1950 en un fondo que
produjo el 5% convertible semestralmente con el fin de poderse hacer retiros
semestrales de $600 cada uno, a partir del 1 de diciembre de 1950 y
terminando el 1 de diciembre de 1967?
Resp. $13.887,10
7. se estima que un terreno boscoso producirá $15.000 anuales por su
explotación en los próximos 10 años y entonces la tierra podrá venderse en
$10.000. Encontrar s valor actual suponiendo intereses al 5%
Resp. $121.965,15
8. suponiendo intereses al 5.2% convertible trimestralmente, ¿Qué pago único
inmediato es equivalente a 15 pagos trimestrales de $100 cada uno,
haciéndose el primero al final de tres meses?
Resp. $1354,85
9. M invierte $250 al final de cada 6 meses, en un fondo que paga el 3 ¾%,
convertible semestralmente. ¿Cuál será el importe del fondo, (a) precisamente
después del 12 deposito? (b) antes del 12 deposito? (c) Precisamente antes del
15 deposito?
Resp. (a) $3.329,33, (b) $3079,33, (c) $4034,00
10. al comprar M un coche nuevo de $3750, le reciben su coche usado en
$1250. ¿Cuánto tendrá que pagar en efectivo si el saldo restante lo liquidara
mediante el pago de $125 al final de cada mes durante 18 meses, cargándole
intereses al 6% convertible mensualmente?
Resp. $353,40
31
UNIDAD II
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre amortizaciones y fondos de
amortización.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Por tratarse de una unidad con temas muy útiles en la aplicación práctica de las
matemáticas financieras, se recomienda a los y las estudiantes que pongan
mayor atención e interés y consulten más ejercicios y problemas de varios
autores recomendados en la bibliografía respectiva.
II. AMORTIZACION Y FONDOS DE AMORTIZACION.
2.1.- AMORTIZACION. Se dice que un documento que causa intereses esta
amortizado cuando todas las obligaciones contraídas (tanto capital como
intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos iguales.
Ejemplo 1.
Una deuda de $5000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a
amortizar mediante pagos semestrales iguales R en los próximos 3 años, el
primero con vencimiento al termino de 6 meses. Hallar el pago.
R
0
periodos de Interés
5000
R
1
2
R
3
R
4
R
R
5
6
Los 6 pagos R constituyen una anualidad cuyo valor presente es $5000. Por
tanto:
R a 6/,025 = 5000
y
R = 5000 i (1+i)n
(1+i)n - 1
= $907.75
32
Amorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses,
mediante una serie de n pagos de R cada uno, tal como en el ejemplo 1. Cada
pago R se aplica en primer lugar para el pago del interés vencido en la fecha
del pago; la diferencia se utiliza para disminuir la deuda. En consecuencia, la
cantidad disponible para disminuir la deuda aumenta con el trascurso del
tiempo.
La parte de la deuda no cubierta en una fecha dada se conoce como saldo
insoluto o capital Insoluto en la fecha. El capital insoluto al inicio del plazo es la
deuda original. El capital insoluto al final del plazo es O en teoría, sin embargo,
debido a la práctica de redondear al centavo más Próximo, puede variar
ligeramente de O. El capital insoluto justamente después de que se ha
efectuado un pago es el valor presente de todos los pagos que aún faltan por
hacerse.
TABLA DE AMORTIZACION. Para efectos contables es conveniente preparar
una tabla que muestre la distribución de cada pago de La amortización
respecto a los intereses que cubre y a la reducción de la deuda.
Ejemplo 2.
Construir una tabla de amortización para la deuda del ejemplo 1.
(a)
Periodo
1
2
3
4
5
6
TOTALES
Capital Insoluto
al principio
del periodo
5,000.00
4,217.25
3,414.93
2,592.55
1,749.61
885.60
(b)
Interés
vencido
al final del
período
125.00
105.43
85.37
64.81
43.74
22.14
(c)
907.75
907.75
907.75
907.75
907.75
907.75
Capital pagado
al final del
período
782.75
802.32
822.38
842.94
864.01
885.61
$ 446.49
$ 5,446.50
$ 5,000.01
Pago
(d)
La tabla se llena por renglones como sigue: el capital insoluto (a) al principio
del primer periodo es la deuda original de $5000. El interés vencido (b) al final
33
de ese mismo periodo es 5000(0,025) = $125.
El pago semestral (c) es
$907,75. De los cuales se utilizan $125 para el pago del interés vencido y
$907,75 – 125 = $782,75 se utilizan para el pago del capital (d). Al principio del
segundo periodo el capital insoluto (a) es 5000 – 782,75 = $4217,25.
Al
termino de este periodo, el interés vencido (b) es 4217,25(0.025) = $105,43.
Del campo (c) de $907,75, Quedan 4217,25 – 802,32 = $3414,93 y así
sucesivamente.
2.2 Sistema Americano - Fondo de Amortización - Sinking Fund
En este Sistema de Amortización el deudor, durante el plazo del préstamo,
abonará al acreedor el interés simple sobre el total del capital tomado en
préstamo, en los períodos de tiempo convenido y, al mismo tiempo, deberá
depositar en un fondo cantidades periódicas, las cuales junto con sus intereses,
formarán el monto que reembolsará, en su vencimiento, la totalidad del capital
tomado en préstamo.
Las cantidades que el deudor cancelará al acreedor durante el plazo del
préstamo, cubrirán únicamente los intereses del préstamo, el cual será
reembolsado, a su vencimiento, con el monto formado por las cantidades
ingresadas al fondo de amortización.
Este sistema tiene muy poca aplicación práctica, pues el deudor, pocas veces
cumple con el compromiso de depositar en el fondo de amortización las
cantidades periódicas que formarán el monto para reembolsar el préstamo.
En este sistema nos encontramos con dos tipos de tasas, generalmente
diferente, las cuales distinguiremos por:
i = tasa de interés que produce el fondo de amortización.
r = tasa de interés del préstamo.
Anualidad para formar el Fondo y cancelar intereses.
El principal problema con que nos encontramos en este sistema será del
determinar la correspondiente anualidad que, desglosada en dos partes,
34
cancele los intereses correspondientes del préstamo y forme el fondo, el cual,
en la época de vencimiento, reembolse monto del préstamo.
La siguiente fórmula nos proporcionará la anualidad R, la cual cancelará el
interés simple del préstamo, correspondiente a un período t, que formará el
fondo de amortización (sistema americano).
Ejemplo:
Se obtiene un préstamo de Bs. 6.500.000,00 para ser reembolsado en 6 años a
una tasa efectiva anual del 15% con cancelación de intereses por anualidades
vencidas. Se exigen depósitos por anualidades vencidas que formarán Bs.
6.500.000,00 al finalizar el plazo del préstamo. El fondo produce una tasa
efectiva anual del 12%.
D = 6.400.000,00 r = 0,15 i = 0,12 n = 6
35
Comprobación:
Sabemos que: t = R - D r por lo tanto
t = 1.775.967,11 - 6.500.000(0,15)
t = 1.775.967,11 - 975.000
t = 800.967,11
Determinemos si con anualidades vencidas de Bs. 800.967,11 a una tasa de
12% en 6 años, formaremos un monto de Bs. 6.500.000 el cual servirá para
reembolsar el préstamo.
Aplicando la fórmula:
36
Deuda en función de Anualidad R
Sistema Americano
La siguiente fórmula nos proporcionará la deuda que podemos contraer en
función de la anualidad R, tasa del préstamo, tasa del fondo y tiempo (sistema
americano).
Ejemplo:
Determinar que capital podemos tomar en préstamo durante 6 años, a una tasa
anual efectiva de 15%, si disponemos de anualidades de Bs. 1.775.967,11 para
la cancelación de los intereses periódicos anuales y formación de un fondo de
amortización que produce una tasa anual efectiva del 12%.
R = 1.775.967,11 r = 0,15 i = 0,12 n = 6
37
2.2.1Tabla para Fondo de Amortización de Préstamo Sistema Americano
Para poder seguir la situación del fondo de amortización se suele preparar un
cuadro que representa la formación de una renta de imposición. Este es muy
simple, pero requiere mucho cuidado para su preparación.
38
Como ejemplo prepararemos el cuadro de amortización del ejercicio que
hemos desarrollado en los puntos anteriores.
Cuadro de un Fondo de Amortización , para el reembolso de un préstamo por
Bs. 6.500.000 concedido el 01/03/2000 con vencimiento el 01/03/2006.
Intereses del préstamo: 15% anual. Intereses del Fondo: 12% anual efectivo.
Anualidades vencidas.
Fechas
Intereses sobre
Anualidad
Intereses sobre
Total
Desembolsos
el Préstamo
Destinada al
El Fondo
Abonado al
Valores del
Anual "R"
15% anual
Fondo
12% anual
Fondo
Fondo
01/03/2001
1.775.967,11
975.000,00
800.967,11
-
800.967,11
800.967,11
01/03/2002
1.775.967,11
975.000,00
800.967,11
96.116,05
897.083,16
1.698.050,27
01/03/2003
1.775.967,11
975.000,00
800.967,11
203.766,03
1.004.733,14
2.702.783,42
01/03/2004
1.775.967,11
975.000,00
800.967,11
324.334,01
1.125.301,12
3.828.084,54
01/03/2005
1.775.967,11
975.000,00
800.967,11
459.370,14
1.260.337,25
5.088.421,79
01/03/2006
1.775.967,11
975.000,00
800.967,11
610.610,61
1.411.577,72
6.499.999,52
Totales
10.655.802,66
5.850.000,00
4.805.802,66
1.694.196,86
6.499.999,52
39
TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACION. El crecimiento del fondo de
amortización del ejemplo 7 se muestra en la siguiente tabla:
Periodo
(a)
Aumento
de interés
(b)
Deposito
(c)
Incremento
al fondo
1
2
3
4
5
6
7
8
0.00
8.89
17.92
27.08
36.38
45.82
55.40
65.13
592.92
592.92
592.92
592.92
592.92
592.92
592.92
592.92
592.92
601.81
610.84
620.00
629.30
638.74
648.32
658.05
TOTALES
$ 256.62
$ 4,743.36
$ 4,999.98
(d)
Importe del
fondo al final
del período
592.92
1194.73
1805.57
2425.57
3054.87
1268.04
4341.93
4999.98
40
Al final del primer periodo se efectúa un deposito (b) de $592,92 y constituye el
incremento al fondo (c) como el importe del fondo (d) al final del primer periodo.
Al final del segundo periodo el aumento por intereses (a) es 592,92(0,015) =
$8,89, el depósito (b) es $592.92 y el incremento en el fondo (c) es $8,89 +
$592,92 = $601,81, y el importe del fondo (d) es $592.92 + $601,81 =
$1194,73. Al final del tercer periodo, el aumento por interés (a) es
$1194,73(0,015) = $17,92, el depósito (B) ES $592,92, el incremento en el
fondo (c) es 17,92 + 592,92 = $610,84, y el importe del fondo (d) es ahora
1194,73 + 610,84 = $1805,57, y así sucesivamente.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un comerciante pide un préstamo de $20.000 para renovar su tienda.
Acuerda amortizar su deuda, capital e intereses al 4 ½%, mediante pagos
anuales iguales por los próximos 8 años, el primero con vencimiento en un año.
Hallar, (a) el costo anual de la deuda, (b) el capital insoluto justamente después
del 6to pago, y (c) en cuanto se reduce la deuda con el 4to pago.
(a) El pago anual es R =
1
= $3032.19
A8/.045
(b) El capital insoluto justamente después del 6to pago es 3032.19 a/2/.045
=$5678,28
(c) El capital insoluto justamente después del 3er pago es 3032.19 a/5/.045
=$13.311,24. El interés vencido cuando sea hecho el 4to pago es
13.311,24(0,045) = $599,01. El 4to pago reduce la deuda en 3032,19 – 599,01
= $2433,18.
2. Una deuda de $3600 con intereses al 6% convertible semestralmente se va
a amortizar mediante pagos semestrales de $900 cada uno, el primero con
vencimiento al termino de 6 meses, junto con un pago parcial final si fuera
necesario. Construir una tabla. Hallar en forma independiente el capital insoluto
justamente después del tercer pago.
41
900 a/n/,03 = 3600 y a n/,03 = 4
(a)
Capital Insoluto
al principio
del periodo
3,600.00
2,808.00
1,992.24
1,152.01
286.57
Periodo
1
2
3
4
5
TOTALES
(b)
Interés
vencido
al final del
período
108.00
84.24
59.77
34.56
8.60
(c)
900.00
900.00
900.00
900.00
295.17
Capital pagado
al final del
período
792.00
815.76
840.23
865.44
286.57
$ 295.16
$ 3,895.17
$ 3,600
Pago
(d)
El capital insoluto requerido puede encontrarse sin que sea necesario
determinar primero el pago final (parcial). De la línea de tiempo:
3600
0
P
1
2
3
900
900
900
4
5 periodos
de interés
Tenemos que el capital insoluto P justamente después del tercer pago es:
P = 3600(1.03) 3 – 900 8/3/,03 = 3600(1,092727) – 900(3,09090) = $1152,01
PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Hallar el pago anual necesario para amortizar una de $5000 con intereses al
41/2%, en 12 años.
Resp. $548,33
2. Hallar el pago trimestral que debe hacer M para amortizar una deuda de
$5000 con intereses al 4% convertible trimestralmente, en 10 años.
42
Resp. $152,28
3. Una deuda de $10.000 con intereses al 6% convertible trimestralmente está
siendo amortizada mediante pagos trimestrales iguales durante los próximos 8
años. Hallar, (a) el capital insoluto justamente después del 12 pago, (b) el
capital insoluto justamente antes del 15 pago, (c) la distribución del 20 pago
respecto al pago de interés y a la reducción del capital.
Resp. (a) $6794,83; (b) $6295,77; (c) $69,64; $326,13
4. Una persona obtiene un préstamo de $10.000 con intereses al 31/2%, la
deuda será liquidada mediante un pago de $2.500 al termino de 4 años,
seguido de 6 pagos anuales iguales. (a) Hallar el pago periódico necesario. (b)
Hallar el capital insoluto justamente después del tercer pago periódico. (c) Que
parte del último pago se aplica al pago de intereses?
Resp. (a) $1684,36; (b) $4718,96; (c) $56,96
5. Construir una tabla de para la amortización de:
(a) una deuda de $4000 con intereses al 4%, mediante 5 pagos anuales
iguales.
(b) Una deuda de $6000 con intereses al 6% convertible semestralmente,
mediante 6 pagos semestrales iguales.
6. Construir una tabla para el pago de una deuda de $200.000, en bonos de
$1000 que devengan intereses al 3%, durante un periodo de 5 años,
procurando que el costo anual sea lo más igual posible.
43
UNIDAD III
COMPETENCIA ESPECÍFICA
Domina la base conceptual y analítica sobre bonos, sus precios, cotizaciones y
compra.
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
Se recomienda a los y las estudiantes poner énfasis en estos temas técnicos
específicos para la especialidad, es de mucha importancia conocer los factores
que inciden en la aplicación práctica de los problemas relacionados con los
bonos. Deben consultar sobre los diferentes bonos que se negocian en las
entidades financieras locales y sus especificidades.
III. BONOS
3.1 Introducción y definiciones
UN BONO.- Es una promesa escrita de pago
a) Una suma fija llamada valor de redención, en una fecha dada llamada
fecha de redención.
b) Pagos periódicos llamados pagos de intereses, hasta la fecha de
redención.
La descripción completa de un bono comprende:

Su denominación o valor nominal. Casi invariablemente es un
múltiplo de $100.

La tasa de interés. Por ejemplo, 6% pagadero el 1º de febrero y el 1º
de agosto; abreviando sería el “6%, FA”.

La fecha de redención, por ejemplo el 1º de octubre de 1985.
Normalmente se redime un bono en una fecha de pago de intereses.

El valor de redención. Cuando el valor de redención y el valor
nominal son idénticos se dice que el bono es redimible a la par. De
otra forma, el valor de redención se expresa como un porcentaje de
44
valor nominal, omitiéndose la palabra “por ciento”. Por ejemplo, un
bono de $1000 redimible en $1050 se expresa como “un bono de
$1000 redimible a 105”.
Ejemplo 1
Un bono de $500, 4% EAJO, redimible el 1º de octubre de 1990 a 102, estipula:
a)
El pago de $500(1,02) = $510 el 1º de octubre de 1990.
b) Pagos trimestrales de $500(0.01) = $5 los días de 1º de enero, 1º
de abril, 1º de julio, y 1º octubre de cada año, desde su emisión
hasta el 1º de octubre de 1990 inclusive:
3.2 PRECIO DEL BONO EN UNA FECHA DE PAGO DE INTERES.-
Si un inversionista compra un bono en una fecha de pago de intereses,
adquiere el derecho de recibir ciertos pagos futuros. No recibirá el pago de
interés vencido en la fecha de la compra.
EJEMPLO 2
Un inversionista que compro el 1º de enero de 1960 un bono de $1000, 5%, EJ,
redimible a la par el 1º de julio de 1988 recibirá.
a) $1000 el 1º de julio de 1988.
b) 57 pagos semestrales de $25 cada uno, el primero con vencimiento el 1º
de julio de 1960.
Si un bono redimible a la par es comprado en una fecha de pago de intereses a
su valor nominal, el inversionista ganará precisamente la tasa de interés
estipulada en el bono. Si desea obtener una tasa mayor, debe comprar el bono
a un precio más bajo que el valor nominal; si está dispuesto a ganar una tasa
menor, estará dispuesto a pagar un precio arriba del valor nominal.
45
EJEMPLO 3
Un bono de $1000, 4%, MS, redimible a la par el 1º de septiembre de 1997, es
comprado el 1º de marzo de 1962 con el propósito de ganar el 5% convertible
semestralmente. Hallar el precio de compra P.
El comprador recibirá:
a) $1000 el 1º de septiembre de 1997
b) 71 pagos semestrales de $20 cada uno, siendo el 1º de septiembre de
1962. En el siguiente diagrama vemos que:
20
20
20
20
20
1000
20
......
0
1
2
3/62
9/62
3/68
3
69
70
71
9/68
9/71
P = 1000(1.025) -71 + 20 a/ 71/,025
= 1000(0.173223) + 20(33.0711) = $834.64
FORMULAS: Sea F el valor nominal y V el valor de redención de un bono. Sea
r la tasa de interés por período de interés del bono, i la tasa del inversionista
por período y n el número de períodos de interés desde la fecha de compra
(suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) hasta la fecha
de redención. El precio de compra P está dado por:
P = V (1 + i)-n + Fr a/n/i
Está formula requiere el uso de dos tablas. En el problema 3, se desarrollan las
siguientes dos fórmulas.
P = + (V- ) (1+i)-n
P = V + (Fr – Vi) a/n/i
Y ambas tienen la ventaja de requerir el uso de una sola tabla. Su aplicación es
opcional.
46
3.3 COMPRA A PREMIO O DESCUENTO.- Se dice que un bono es comprado
a premio si su precio de compra P es mayor que su valor de redención V. El
premio es P – V.
Se dice que un bono es comprado a descuento si su precio de compra P es
menor que su valor de redención V. El descuento es V – P.
EJEMPLO 4
El bono del ejemplo 3 fue comprado con descuento de 1000 – 834.64 =
$165.36. El bono del problema 1 fue comprado a premio de (1147.28 – 1000 =
$147.28.
El valor en libros de un bono en cualquier fecha es la suma invertida en el bono
en dicha fecha. El valor en libros de un bono en la fecha de su compra
(suponiendo que coincide con una fecha de pago de intereses) es el precio de
compra; el valor en libros en la fecha de redención es el valor de redención. El
cambio de valor en libros durante la vida del bono se muestra con claridad
construyendo una tabla de inversión.
EJEMPLO 5
Un bono de $1000, 4% EJ, redimible a la par el 1o de enero de 1967 es
comprado el 1o de julio de 1964, para que redime el 6% convertible
semestralmente. Construir una tabla de inversión.
El precio de compra del bono es:
P = V (1 + i)-n + Fr a/n/i
P = 1000(1,03) -5 + 20 a/ 5/,03
= $954,20
El 1o de julio de 1964 el valor en libros del bono es $954,20. Al termino del
primer periodo de interés vencido sobre el valor en libros es $954,20(0,03) =
$28,63, mientras que el pago por intereses del bono es $20. Por tanto 28.63 –
20 = $8.63 del interés vencido no se cobra, por lo cual puede decir el
inversionista que tiene $8.63 más, invertidos en el bono, que lo que tenia al
principio del período. El nuevo valor en libros del bono es 954.20 + 8.63 =
$962.83.
47
Al final del segundo período de interés, el interés vencido es 962,83 (0,03) =
$28,88, el pago de intereses del bono es $20, Y el nuevo valor en libros es
962,83 + 8,88 = $971.71 y así sucesivamente.
PERÍODO
VALOR EN LIBROS AL
PRINCIPIO DEL
PERÍODO
INTERESES VENCIDOS
SOBRE EL VALOR EN
LIBROS
PAGO DE
INTERESES DEL
BONO
CAMBIO DEL
VALOR EN
LIBROS
1
2
3
4
5
6
954.20
962.83
971.71
980.86
990.29
1000.oo
28.63
28.88
29.15
29.43
29.71
20.oo
20.oo
20.oo
20.oo
20.oo
8.63
8.88
9.15
9.43
9.71
Totales
145.80
100,oo
45.80
El valor en libros al principio de cualquier período es simplemente el precio al
cual el bono debe ser comprado para que produzca el rendimiento deseado por
el inversionista. Puede ser calculado en forma independiente, varias veces,
como un método de comprobación de la tabla.
Puesto que el bono del ejemplo 5 fue comprado con descuento, es costumbre
utilizar el término acumulando del descuento para llevar el valor en libros hasta
el valor de redención. Véase el problema 5 para la tabla de inversión de un
bono comprado a premio.
3.4 EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO.- El problema tratado anteriormente
es hallar el precio que el comprador debe pagar por un bono dado, con el
objeto que gane la tasa de interés deseada. En cierto sentido, el problema es
un tanto académico ya que no hay seguridad que un bono en particular pueda
ser comprado al precio requerido. Más importante es el problema de determinar
48
la tasa de interés que obtendrá el comprador, si compra un bono determinado a
un precio dado y lo conserva hasta su redención.
Los bonos son generalmente ofrecidos al “precio cotizado”, expresado como un
porcentaje del valor nominal, sin embargo el término por ciento se omite. Por
ejemplo, un bono de $1000 cuyo precio cotizado es $975 estaría cotizado a 97
. El precio cotizado generalmente no es el precio que paga el comprador. El
precio cotizado es lo que previamente se ha designado como valor en libros.
Será el precio de compra únicamente se ha sido cotizado en una fecha de pago
de intereses. El precio de compra (más conocido como precio neto) es el precio
cotizado más el interés redituable.
EJEMPLO 7
Un bono de $1000, 3 MS se redimirá el 1o de marzo de 1975. Hallar el precio
neto al 14 de junio de 1962, si ha sido cotizado ha 95 3/4.
El precio cotizado es $957,50; el pago de interés es $17.50 del 1 o de marzo de
1962 al 14 de junio de 1962 son 105 días; el interés redituable es
(17.50) =
$10.21. El precio neto es 957.40 + 10.21 = $967.71
Puesto que el comprador paga el precio cotizado más el interés redituable, el
precio cotizado también se conoce como precio con interés.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un bono de $1000, 6%. EJ, redimible a la par el 1 o de julio de 1988, es
comprado el 1o de julio de 1961, para ganar el 5% convertible semestralmente.
Hallar el precio de compra P.
30
30
30
1
2
30
30
1000
30
53
54
........
0
3
P = 1000(1.025)-54 + 30 a/54/,025 = $1147,28
49
2. Un bono de $1000, 5%, MS, redimible a 102 el 1 o de septiembre de 1990, es
comprado el 1o
de marzo de 1962, para ganar el 4% convertible
semestralmente. Hallar el precio de compra P.
25
25
25
25
1020
25
........
0
3/62
1
2
3
5
9/62
3/90
6 periodos
9/90 interés
P = 1020(1.02)-57 + 25 a/57/,02 = $1175.61
3- Un bono de $1000, 3 %, FA, es redimible a 105 el 1o de febrero de 1985.
Hallar el precio de compra el 1o de febrero de 1965, que reditúe 5%
convertible semestralmente, utilizando, (a) la fórmula (2), y (b) la fórmula
(3).
F = 1000, V = 1050, r = 0.0175, i = 0.025, n = 40
(a) P =
+
(1 +i)-n
P=
+
(1.025)-40
P = 700 + 350(0.37243) = $830.35
(b) P = V + (Fr – Vi) a/n/i
P = 1050 + (17.50 – 26.25) a/40/,025
P = 1050 – 8.75(25.103) = $830, 35
4. Construir una tabla de inversión para un bono de $1000, 5%, FA, redimible el
1o de agosto de 1970, comprando el 1o de febrero de 1967, para que reditúe 45
convertible semestralmente.
Tenemos que
P = 1030(1.02)-7 + 25 a/7/,02 = $ 1058.48
50
El valor en libros
en la fecha de la compra es $1058.48. Al término del
primer período, el interés vencido sobre dicho valor en libros, a la tasa
del inversionista es 1058.48(0.02) = $ 21.17 mientras que el pago de
intereses del bono es por $25. La diferencia 25 – 21.17 = $3.83 es para
amortizar el capital; en consecuencia, al principio del segundo período,
el valor en libros del bono se reduce a 1058.48 – 3.83 = $1054.65, y así
sucesivamente.
PERÍODO
VALOR EN LIBROS AL
PRINCIPIO DEL
PERÍODO
INTERESES VENCIDOS
SOBRE EL VALOR EN
LIBROS
1058.48
1054.65
1050.74
1046.76
1042.69
1038.54
1034.31
1030.00
21.17
21.09
21.01
20.84
20.86
20.77
20.69
1
2
3
4
5
6
7
8
PAGO DE
INTERESES DEL
BONO
CAMBIO DEL
VALOR EN
LIBROS
25.00
25.00
25.00
25.00
25.00
25.00
25.00
3.83
3.91
3.99
4.06
4.15
4.23
4.31
Como el bono fue comprado a premio, es costumbre hablar de amortizar el
capital para llevar el valor en libros al valor de redención.
5. Una deuda de $500.000 distribuida en 100 bonos de $1000, 500 bonos de
$500 y 1500 bonos de $100 que pagan intereses de 4% convertible
semestralmente, será amortizada en los próximos 5 años mediante pagos
semestrales lo mas iguales posible. Construir una tabla.
Si los pagos semestrales fueran iguales, cada uno seria de:
R=
1
A10/,2
= $55.663,26
No hay ninguna estipulación sobre la distribución de la suma disponible en
cualquier periodo entre las tres denominaciones. En la tabla a continuación.
$35.000 de la suma disponible se han utilizado para redimir 10 de los bonos de
$1000 y 50 de los bonos de $500.
(a)
Capital Insoluto
Periodo
(b)
Interés
vencido
(c)
No. de
bonos
Redimidos
(d)
Pago
semestral
51
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
500,000.00
454,300.00
407,700.00
360,200.00
311,700.00
262,300.00
211,900.00
160,500.00
108,000.00
54,500.00
Totales
10,000.00
9,086.00
8,154.00
7,204.00
6,234.00
5,246.00
4,238.00
3,210.00
2,160.00
1,090.00
$ 1,000
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
$ 500
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
$ 100
107
116
125
135
144
154
164
175
185
195
55,700.00
55,686.00
55,654.00
55,704.00
55,634.00
55,646.00
55,638.00
55,710.00
55,660.00
55,590.00
56,622.00
100
500
1,500
556,622.00
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En cada uno de los casos siguientes, hallar el precio del bono que reditúe la
tasa deseada:
Valor nominal
redituabilidad
redimible a
pago
de
intereses
a) $1000
la par en 25 años
4% semestral
6% semestral
b) $500
la par en 15 años
4% semestral
5% semestral
c) $1000
105 en 10 años
5% trimestral
3% trimestral
d) $100
110 en 20 años
4% semestral
3% semestral
e) $100
la par en 5 años
5% anual
4% anual
f)
la par en 3 años
6% semestral
5% semestral
g) $1000
102 en 2
años
3% semestral
6% semestral
h) $500
105 en 2
años
4% semestral
5% semestral
$500
Resp.
$1044.52
a) $742.71; b) $447.67; c) $1209.32; d) $120.47; e)
f) $513.77; g) $948.56; h) 510.48
2. Construir una tabla de inversión para cada uno de los casos del problema
anterior.
52
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53