Clase 41: Movimiento circular

Universidad de Atacama
Fı́sica 1
Dr. David Jones
9 Junio 2014
Movimiento circular
Radianes
Movimiento circular
Velocidad angular media
ωmed =
θ2 − θ 1
∆θ
=
t2 − t1
∆t
θ2 − θ1 = ∆θ = desplazamiento angular
Movimiento circular
Velocidad angular instantánea
∆θ
dθ
=
∆t→0 ∆t
dt
ω = lim
Movimiento circular
Cuerpos rı́gidos
Diferentes puntos de un cuerpo rı́gido en rotación recorren diferentes
distancias en un tiempo dado, dependiendo de la distancia con respeto al
eje de rotación. No obstante, dado que el cuerpo es rı́gido, todos giran el
mismo ángulo en el mismo tiempo. Ası́ que, en cualquier instante, todas
las partes de un cuerpo rı́gido en rotación tienen la misma velocidad
angular.
Movimiento circular
Cuerpos rı́gidos
Movimiento circular
Velocidad angular
La unidad natural de velocidad angular es radianes por segundo (rad/s).
Pero suelen usarse otras unidades como revoluciones por minuto
(rev/min o rpm).
1 rev/s = 2π rad/s
1 rev/min = 1 rpm = 2π
60 rad/s
Es decir, 1 rad/s es alrededor de 10 rpm.
Movimiento circular
Velocidad angular - ejemplo
El volante de un auto prototipo se somete a prueba. La posición angular
θ del volante está dada por:
θ = (2.0 rad/s3 )t3
El diámetro del volante es de 0.36 m. a) Calcule el ángulo θ, en radianes
y en grados, en t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s. b) Calcule la distancia que
recorre una partı́cula en el borde durante ese intervalo. c) Calcule la
velocidad angular media, en rad/s y en rev/min (rpm), entre t1 = 2.0 s y
t2 = 5.0 s. d) Calcule la velocidad angular instantánea al t = t2 = 5.0 s
Movimiento circular
Velocidad angular - ejemplo
θ = (2.0 rad/s3 )t3
a)
θ1 = (2.0 rad/s3 )(2.0 s)3 = 16 rad
360◦
= (16 rad =
= 920◦
2π rad
θ2 = (2.0 rad/s3 )(5.0 s)3 = 250 rad
360◦
= (250 rad ×
) = 14 000◦
2π rad
Movimiento circular
Velocidad angular - ejemplo
b) ¡Ángulo tiene que ser en radianes!
∆θ = 250 − 16 = 234 rad
s = rθ = (0.18 m)(234 rad) = 42 m
c)
ωmed =
(250 − 16) rad
θ 2 − θ1
=
= 78 rad/s
t2 − t1
(5.0 − 2.0) s
Movimiento circular
Velocidad angular - ejemplo
d)
θ = (2.0 rad/s3 )t3
d
dθ
ω=
= [(2.0 rad/s3 )t3 ] = (2.0 rad/s3 )(3t2 )
dt
dt
ω = (6.0 rad/s3 )t2
y en el instante t = 5.0 s
ω = (6.0 rad/s3 )5.02 = 150 rad/s
Movimiento circular
Velocidad angular como un vector
Movimiento circular
Aceleración angular
Movimiento circular
Aceleración angular instantánea
∆ω
dω
=
∆t
dt
dω
d dθ
d2 θ
α=
=
= 2
dt
dt dt
dt
α = lim
∆t→0
Movimiento circular
Aceleración angular - ejemplo
Vimos antes que la velocidad angular instantánea del volante está dada
por:
ω = (6.0 rad/s3 )t2
a) Calcule la aceleración angular media entre t1 = 2.0 s y t2 = 5.0 s.
b) Calcule la aceleración angular instantánea en el instante t = t2 = 5.0
s.
Movimiento circular
Aceleración angular - ejemplo
a)
ω = (6.0 rad/s3 )t2
ω1 = (6.0 rad/s3 )22 = 24 rad/s
ω2 = (6.0 rad/s3 )5.02 = 150 rad/s
(150 − 24) rad/s
= 42 rad/s2
αmed =
(5.0 − 2.0) s
b)
dω
d
= [(6.0 rad/s3 )t2 ] = (6.0 rad/s3 )2t
dt
dt
α = (12.0 rad/s3 )t
α=
y en el instante t = 5.0 s
α = (12.0 rad/s3 )5 s = 50 rad/s2
Movimiento circular
Aceleración angular como un vector
Movimiento circular
Aceleración angular constante
es decir
muy parecida a
t1 = 0
ω − ω0
α=
t−0
; ω = ω0 + αt
v = v0 + at
Movimiento circular
Aceleración angular constante
ω0 + ω
2
θ − θ0
=
t−0
1
= (ω0 + ω)t
2
= ω0 + αt
1
= [ω0 + (ω0 + αt)]t
2
1
= θ0 + ω0 t + αt2
2
ωmed =
y
ωmed
⇒ θ − θ0
ω
θ − θ0
θ
Movimiento circular
Aceleración angular constante
MRUA
ax = constante
vx = v0 + ax t
x = x0 + v0 t + 21 ax t2
vx2 = v02 + 2ax ∆x
x − x0 = 21 (vx + v0 )t
Rotación con aceleración constante
α = constante
ω = ω0 + αt
θ = θ0 + ω0 t + 21 αt2
ω 2 = ω02 + 2α∆θ
θ − θ0 = 21 (ω + ω0 )t
Movimiento circular
Periodo
El periodo, p, es el tiempo necesario para realizar una revolución entera,
o un cambio de ángulo de 2π. Ası́ que:
ω=
2π
p
p=
2π
ω
o cuando la velocidad angular está expresada en rpm, el periodo en
minutos es:
p(min) =
1
ωrpm