Semicontinuidad y Medibilidad: Correspondencias y Selectores

Universidad de Sonora
División de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matemáticas
Semicontinuidad y Medibilidad
de Correspondencias y la
Existencia de Selectores
Continuos y Medibles
Tesis que para obtener el Tı́tulo de Licenciado en Matemáticas
presenta:
Alejandra Fonseca Morales
Director de Tesis:
Dr. Fernando Luque Vásquez
20 de Enero de 2010.
2
SINODALES
Dr. Fernando Luque Vásquez,
Dr. Oscar Vega Amaya,
Dr. Agustı́n Brau Rojas,
Dr. Jesús Adolfo Minjárez Sosa.
A mis amores:
Luz Marı́a, Silvestre, Theodulfa,
Omar, José y
Daniel.
AGRADECIMIENTOS
A Dios.
A mis maestros.
A la familia Álvarez Fonseca y a la familia Zúñiga Vázquez.
1000
A todos ¡e1000
gracias!
Introducción
El objetivo de esta tesis es presentar de una manera accesible a lectores con una
formación equivalente a estudios de licenciatura en matemáticas, algunos resultados
importantes sobre la existencia de selectores continuos o medibles para multifunciones, también llamadas correspondencias.
La motivación para la realización de este trabajo surge del estudio de algunos
problemas en la teorı́a de control estocástico, en los que la existencia de polı́ticas o
estrategias óptimas es consecuencia de la existencia de una función medible f ∶ X →
A que satisface
u∗ (x) =
sup {u(x, a)} = u(x, f (x)),
(1)
a∈A(x)
en donde X, A son espacios métricos, x ↠ A(x) es una correspondencia de X a A y
u es una finción de valores reales definida en la gráfica de la correspondencia,
K ∶= {(x, a) ∶ a ∈ A(x), x ∈ X} .
Si para cada x ∈ X se define
⎧
⎫
⎪
⎪
⎪ ∗
⎪
∗
A (x) ∶= ⎨a ∈ A(x) ∶ u(x, a ) = sup {u(x, a)}⎬ ,
⎪
⎪
⎪
⎪
a∈A(x)
⎩
⎭
∗
entonces la existencia de una función que satisface (1), es equivalente a la existencia
de un selector para la correspondecia x ↠ A∗ (x).
Esta tesis está organizada en 4 capı́tulos: en el primero se hace una revisión de
los conceptos básicos de correspondencias, tales como; la imagen inversa inferior, la
imagen inversa superior, la semicontinuidad superior e inferior y algunas operaciones
con correspondencias. En el segundo capı́tulo se analizan los conceptos necesarios
para asegurar la existencia de selectores continuos; partición de la unidad subordinada a una cubierta, cubiertas localmente finitas, espacios paracompactos, Teorema
de Michael, correspondencia convexa, funciones inf-compactas.
El tercer capı́tulo tiene como objetivo proporcionar los fundamentos teóricos de la
medibilidad de correspondencias, los cuales son necesarios para asegurar la existencia
de selectores medibles; correspondencias medibles y débilmente medibles, funciones
conjuntamente medibles (funciones de Caratheodory), Teorema de selección de
Kuratowski-Ryll-Nardzewski, Teorema del Máximo medible. En el capı́tulo 4
(Apéndice), se agregan algunos resultados que son útiles en los capı́tulos 2 y 3 para
la demostración de varios resultados.
Índice general
1. Teorı́a de Correspondencias
2
1.1. Caracterı́sticas de una Correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Correspondencias Semicontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3. Operaciones con correspondencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. Selectores Continuos
25
2.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1. Primer Teorema de Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Teorema de Michael . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Selectores Medibles
43
3.1. Medibilidad de correspondencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Teorema de selección de Kuratowski-Ryll-Nardzewski . . . . . . . . . . 51
3.3. Teorema del máximo medible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4. Apéndice
65
Capı́tulo 1
Teorı́a de Correspondencias
En este capı́tulo iniciaremos con la definición del concepto “correspondencia”,
estudiaremos algunas propiedades de correspondencias que nos ayudarán técnicamente para la demostración de algunos resultados posteriores, también veremos el
concepto de semicontinuidad de correspondencias y finalmente analizaremos algunas
operaciones que se pueden definir con ellas.
1.1.
Caracterı́sticas de una Correspondencia
Definición 1.1.1 Sean X, Y conjuntos no vacı́os. Una correspondencia ϕ de X a
Y es una función que asigna a cada x en X un elemento ϕ(x) del conjunto potencia
2Y de Y , es decir, ϕ es una función con dominio X y contradominio 2X .
Para representar una correspondencia de X a Y usaremos la notación ϕ ∶ X ↠ Y.
Definición 1.1.2 Sea ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia.
La imagen bajo ϕ de A ⊂ X se define por;
ϕ(A) ∶= ⋃ ϕ(x).
x∈A
De este modo el rango de ϕ es ϕ(X).
2
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
3
Definimos también a la gráfica de ϕ como el conjunto
Grϕ ∶= {(x, y) ∈ X × Y ∶ y ∈ ϕ(x)} .
Ejemplo 1.1.1 Sean X = {1, 2, 3, 4, 5} , Y = {6, 7, 8, 9, 10} y ϕ definida por
ϕ(x) = {x + 5} ∪ {10} , x ∈ X.
Claramente, ϕ es una correspondencia y la gráfica de ϕ es:
Grϕ = {(x, x + 5), (x, 10) ∶ x ∈ X} .
Ejemplo 1.1.2 Sean X = [0, 1] y Y = B2 (0) = {y ∈ Rn ∶ ∥y∥ < 2} , con ∥⋅∥ la norma
euclidiana en Rn . Definimos
ϕ(t) = {y ∈ Y ∶ ∥y∥ ≤ t}
t ∈ [0, 1] .
Observemos que ϕ es una correspondencia ya que para cada t ∈ X el conjunto
ϕ(t) ⊂ Y. Además, la gráfica de ϕ es:
Grϕ = {(t, y) ∈ [0, 1] × Rn ∶ ∥y∥ ≤ t} .
Ejemplo 1.1.3 Sea ϕ ∶ R+ ∪ {0} ↠ R definida por
√ √
ϕ(k) ∶= {− k, k} .
La gráfica de la correspondencia ϕ es:
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
√
√
Grϕ = {(k, − k), (k, k) ∶ k ∈ R+ ∪ {0}} .
4
Observación 1.1.1 Una función f ∶ X → Y puede identificarse con la correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y dada por,
ϕ(x) ∶= {f (x)}
x ∈ X.
Sea ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia y Y un espacio topológico; si para cada x ∈
X, el conjunto ϕ(x) tiene una determinada propiedad, diremos que ϕ toma valores
con esa propiedad. Ası́, diremos que ϕ toma valores cerrados, (abiertos, compactos,
conexos, resp.), si para cada x ∈ X el conjunto ϕ(x) es cerrado, (abierto, compacto,
conexo, resp.) en Y . Si Y es un espacio vectorial, entonces diremos que ϕ toma
valores convexos, si para cada x ∈ X, el conjunto ϕ(x) es convexo en Y.
Recordemos que para una función f ∶ X → Y, la imagen inversa de un subconjunto
A de Y se define como
f −1 (A) ∶= {x ∈ X ∶ f (x) ∈ A} .
Para una correspondencia se tienen dos imágenes inversas, las cuales se definen a
continuación.
Definición 1.1.3 Sea ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia.
a) La imagen inversa superior de un subconjunto A de Y, denotada
por ϕ−1
s (A), se define como
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
5
ϕ−1
s (A) ∶= {x ∈ X ∶ ϕ(x) ⊂ A} .
b) La imagen inversa inferior de un subconjunto A de Y, denotada
por ϕ−1
i (A), se define como
ϕ−1
i (A) ∶= {x ∈ X ∶ ϕ(x) ∩ A ≠ ∅} .
Una relación entre las dos imagenes inversas está dada con la siguiente propiedad,
la cual nos será muy útil en la demostración de varios resultados posteriores.
Propiedad 1.1.1 Sea ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia y A un subconjunto de Y.
Se tiene lo siguiente:
c
−1
c
a) (ϕ−1
s (A)) = ϕi (A ),
c
−1
c
b) (ϕ−1
i (A)) = ϕs (A ).
Demostración. La demostración de la parte a) se sigue de que
x ∈ ϕ−1
s (A) ⇔ ϕ(x) ⊂ A
⇔ ϕ(x) ∩ Ac = ∅
c
⇔ x ∉ ϕ−1
s (A )
c c
⇔ x ∈ (ϕ−1
s (A )) .
La demostración de b) se sigue de la propiedad a), tomando Ac en lugar de A.
En el siguiente resultado se prueba que la imagen inversa superior de una intersección arbitraria de conjuntos, es la intersección de las imágenes inversas superiores
de los conjuntos.
Proposición 1.1.1 Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia y {Ak }k∈I es una colección de subconjuntos de Y, entonces
−1
ϕ−1
s (∩k∈I Ak ) = ⋂ ϕs (Ak ).
k∈I
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
6
Demostración. Definimos
A ∶= ϕ−1
s (∩k∈I Ak )
y
B ∶= ⋂k∈I ϕ−1
s (Ak ).
La igualdad de A y B se sigue de las siguientes equivalencias;
x ∈ A ⇔ ϕ(x) ⊂ ⋂ Ak
k∈I
⇔ ϕ(x) ⊂ Ak ,
∀k ∈ I
⇔ x ∈ ϕ−1
s (Ak ),
∀k ∈ I,
⇔ x ∈ B.
En el siguente ejemplo se muestra que la imagen inversa inferior de la intersección
de conjuntos, no necesariamente es la intersección de las imágenes inversas inferiores
de los conjuntos.
Ejemplo 1.1.4 Considere la correspondencia ϕ ∶ R+ ∪{0} ↠ R definida en el Ejemplo 1.1.3,
√
√
ϕ(k) = { k, − k} .
Tomemos A = {−2, 1} y B = (−2, 2] , observemos que;
√ √
+
ϕ−1
i (A) = {x ∈ R ∪ {0} ∶ {− x, x} ∩ {−2, 1} ≠ ∅} = {1, 4} ,
y que
√ √
+
ϕ−1
i (B) = {x ∈ R ∪ {0} ∶ {− x, x} ∩ (−2, 2] ≠ ∅} = [0, 4] .
La intersección es
−1
ϕ−1
i (A) ∩ ϕi (B) = {1, 4} ∩ [0, 4] = {1, 4} .
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
7
Por otro lado A ∩ B = {−2, 1} ∩ (−2, 2] = {1} y
√ √
+
ϕ−1
i (A ∩ B) = {x ∈ R ∪ {0} ∶ {− x, x} ∩ {1} ≠ ∅} = {1} ,
lo cual prueba que la imagen inversa inferior de la intersección de conjuntos, no necesariamente es la intersección de las imágenes inversas inferiores de los conjuntos.
En el siguiente resultado se prueba que la imagen inversa inferior de la unión
entre conjuntos, es la unión de las imágenes inversas inferiores de los conjuntos.
Proposición 1.1.2 Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia y {Ak }k∈I es una colección de subconjuntos de Y, entonces
−1
ϕ−1
i (∪k∈I Ak ) = ⋃ ϕi (Ak ).
k∈I
Demostración. Por la Propiedad 1.1.1, b),
c c
−1
ϕ−1
i (∪k∈I Ak ) = (ϕs ((∪k∈I Ak ) ))
c c
= (ϕ−1
s (∩k∈I Ak )) ,
y por la Proposición 1.1.1;
c c
c c
= ( ⋂ ϕ−1
(ϕ−1
s (Ak ))
s (∩k∈I Ak ))
k∈I
c c
= ⋃ (ϕ−1
s (Ak )) .
k∈I
Aplicando nuevamente la Propiedad 1.1.1, b), obtenemos
c c
−1
−1
⋃ (ϕs (Ak )) = ⋃ ϕi (Ak )
k∈I
k∈I
y por lo tanto,
−1
ϕ−1
i (∪k∈I Ak ) = ⋃ ϕi (Ak ).
k∈I
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
8
La imagen inversa superior, de una unión de conjuntos, no necesariamente es
la unión de las imagines inversas superiores. El siguiente ejemplo demuestra esta
afirmación.
Ejemplo 1.1.5 Sea ϕ ∶ R+ ↠ R la correspondencia definida por
ϕ(x) = [−x, x] .
Tomemos A ∶= {1, 3} , B ∶= (−8, 3) y observemos que
+
ϕ−1
s (A) = {x ∈ R ∶ [−x, x] ⊂ {1, 3}} = ∅,
y que
+
ϕ−1
s (B) = {x ∈ R ∶ [−x, x] ⊂ (−8, 3)} = (0, 3) .
En consecuencia
−1
ϕ−1
s (A) ∪ ϕs (B) = ∅ ∪ (0, 3) = (0, 3) ,
mientras que
+
ϕ−1
s (A ∪ B) = {x ∈ R ∶ [−x, x] ⊂ (−8, 3]} = (0, 3] .
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
1.2.
9
Correspondencias Semicontinuas
Para definir el concepto de “correspondencias semicontinuas”, requerimos de la
noción de vecindad de un punto y vecindad de un conjunto, las cuales se presentan
a continuación.
Definición 1.2.1 Sea X un espacio topológico, x ∈ X y F ⊂ X. Diremos que V es
una vecindad de x, si existe un abierto A tal que x ∈ A ⊂ V. Análogamente, S es una
vecindad de F si existe un abierto O tal que F ⊂ O ⊂ S. A los conjuntos A y O se
les llama vecindad abierta de x y F respectivamente.
Definición 1.2.2 Sean X, Y espacios topológicos y ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia.
a) Se dice que ϕ es semicontinua superiormente en x ∈ X, si para
cada vecindad U de ϕ(x) existe una vecindad V de x tal que
ϕ(z) ⊂ U
∀z ∈ V.
b) Se dice que ϕ es semicontinua inferiormente en x ∈ X si para
cada conjunto abierto U tal que ϕ(x) ∩ U ≠ ∅, existe una vecindad V
de x, tal que
ϕ(z) ∩ U ≠ ∅
∀z ∈ V.
c) Se dice que ϕ es continua en x ∈ X, si es semicontinua superiormente
e inferiormente en x.
La correspondencia ϕ es semicontinua superiormente (inferiormente) en
X, si lo es en cada punto x de X, análogamente ϕ es continua en X si lo es en
todo punto x de X.
Ejemplo 1.2.1 La correspondencia ϕ ∶ [0, 1] ↠ [0, 1] definida por
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
⎧
⎪
⎪
si x < 1
⎪ {0}
ϕ(x) = ⎨
⎪
⎪
[0, 1] si x = 1
⎪
⎩
10
es semicontinua superiormente en [0, 1] , semicontinua inferiormente en [0, 1), pero
no es semicontinua inferiormente en [0, 1] .
Demostraremos esta afirmación. Primero que ϕ no es semicontinua inferiormente en x = 1. Supongamos lo contrario y tomemos a U ∶= ( 41 , 12 ) , entonces
U ∩ ϕ(1) = ( 41 , 12 ) ∩ [0, 1] ≠ ∅,
por lo tanto, existe V vecindad de x tal que
ϕ(z) ∩ U ≠ ∅
∀z ∈ V,
pero no puede ser dado que si z ∈ V y z ≠ 1, entonces
ϕ(z) ∩ U = {0} ∩ ( 14 , 12 ) = ∅,
ası́, ϕ no puede ser semicontinua inferiormente en x = 1.
Para probar la semicontinuidad superior de ϕ en x = 1, consideremos una vecindad U de ϕ(1) = [0, 1] y V ∶= ( 21 , 1] que es vecindad abierta de x = 1. Obsérvese que
para cada z ∈ V, z ≠ 1,
ϕ(z) = {0} ⊂ ϕ(1) = [0, 1]
lo que implica que ϕ es semicontinua superiormente en x = 1.
Probemos ahora que ϕ es continua en [0, 1) . Para esto tomemos x ∈ [0, 1) y U
una vecindad abierta de ϕ(x) = {0} , en este caso:
U ∩ {0} ≠ ∅ si, y sólo si, {0} ⊂ U,
para la vecindad abierta de V = [0, 1) , obtenemos que
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
ϕ(z) = ϕ(x) = {0} ⊂ U
11
∀z ∈ V
por lo tanto ϕ es continua en [0, 1) .
Ejemplo 1.2.2 La correspondencia ψ ∶ [0, 1] ↠ [0, 1] definida por
⎧
⎪
⎪
⎪ [0, 1] si x < 1
ψ(x) = ⎨
⎪
⎪
{0}
si x = 1
⎪
⎩
es semicontinua inferiormente en [0, 1] , semicontinua superiormente en [0, 1) , pero
no es semicontinua superiormente en [0, 1].
Primero demostremos que ψ no es semicontinua superiormente en x = 1. Tomemos la vecindad U = [0, 43 ) de ψ(1) = {0} y sea V una vecindad arbitraria de x = 1.
Entonces, si z ∈ V y z ≠ 1, el conjunto ψ(z) = [0, 1] no está contenido en U = [0, 43 )
y por lo tanto ψ no es semicontinua superiormente en x = 1.
Probemos ahora que ψ es semicontinua inferiormente en x = 1. Sea U un conjunto abierto que intersecta a ψ(1) = {0} y tomemos V = ( 21 , 1] la vecindad abierta
de x = 1. Entonces
ψ(z) = [0, 1] ∩ U ≠ ∅
∀z ∈ V,
por lo tanto, ψ es semicontinua inferiormente en x = 1.
Para probar la semicontinuidad superior de ψ en [0, 1) , tomemos x ∈ [0, 1) y U
una vecindad de ψ(x) = [0, 1] . Observe que para V = [0, 1)
ψ(z) = [0, 1] ⊂ U
∀z ∈ V,
por lo que ψ es semicontinua superiormente en [0, 1) .
Ahora para la semicontinuidad inferior en [0, 1), supongamos que x ∈ [0, 1) y que
U es un abierto que intersecta a ψ(x) = [0, 1] . Entonces para la vecindad abierta
V = [0, 1) de x, se sigue que
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
ψ(z) ∩ U = [0, 1] ∩ U ≠ ∅
12
∀z ∈ V,
por lo tanto ψ es semicontinua inferiormente en [0, 1) .
El siguiente teorema proporciona una caracterización de la semicontinuidad superior de una correspondencia entre espacios topológicos, en términos de conjuntos
abiertos y cerrados.
Teorema 1.2.1 Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia entre espacios topológicos.
Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
i) ϕ es semicontinua superiormente en X.
ii) ϕ−1
s (A) es abierto en X para todo conjunto abierto A en Y.
iii) ϕ−1
i (F ) es cerrado en X para todo conjunto cerrado F en Y.
Demostración. i) ⇒ ii) Supongamos que ϕ es una correspondencia semicontinua superiormente y que A es un abierto en Y. Si ϕ−1
s (A) = ∅, el resultado se sigue
trivialmente.
−1
Supongamos que ϕ−1
s (A) es no vacı́o; probaremos que cada punto x ∈ ϕs (A) es
un punto interior y ası́ obtendremos que ϕ−1
s (A) es un conjunto abierto en X.
Sea x ∈ ϕ−1
s (A). Por la semicontinuidad superior, existe una vecindad Vx de x
tal que ϕ(z) ⊂ A ∀z ∈ Vx de donde se sigue que
Vx ⊂ ϕ−1
s (A),
y por lo tanto, x es un punto interior de ϕ−1
s (A).
ii) ⇒ i) Supongamos que para todo subconjunto A abierto en Y, ϕ−1
s (A) es un
conjunto abierto en X. Por la definición de vecindad, para x ∈ X y U una vecindad
de ϕ(x) existe un abierto VU en Y tal que
ϕ(x) ⊂ VU ⊂ U,
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
13
entonces V = ϕ−1
s (VU ) es una vecindad abierta de x tal que
ϕ(z) ⊂ VU ⊂ U
∀z ∈ V,
por lo tanto, ϕ es semicontinua superiormente en X.
ii) ⇔ iii) Por la Propiedad 1.1.1, a), tenemos que
c
−1
c
(ϕ−1
s (A)) = ϕi (A )
A ⊂ Y.
Si A es un subconjunto abierto en Y, entonces:
−1
c
ϕ−1
s (A) es abierto en X si, y sólo si, ϕi (A ) es cerrado en X.
El siguiente teorema proporciona una caracterización de la semicontinuidad inferior de una correspondencia entre espacios topológicos, en términos de conjuntos
abiertos y cerrados.
Teorema 1.2.2 Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia entre espacios topológicos.
Entonces los siguientes enunciados son equivalentes:
i) ϕ es semicontinua inferiormente en X.
ii) ϕ−1
i (A) es abierto en X si A es abierto en Y.
iii) ϕ−1
s (F ) es cerrado en X si F es cerrado en Y.
Demostración. i) ⇒ ii) Supongamos que ϕ es una correspondencia semicontinua inferiormente y que A es un abierto en Y.
−1
Si el conjunto ϕ−1
i (A) es vacı́o, entonces es abierto en X. Supongamos que ϕi (A)
es diferente del vacı́o. Por la semicontinuidad inferior, para cada x en ϕ−1
i (A) existe
una vecindad abierta Vx de x, tal que
ϕ(z) ∩ A ≠ ∅
∀z ∈ Vx ,
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
14
la definición de Vx y la definición de ϕ−1
i (A) implican que
Vx ⊂ ϕ−1
i (A).
lo cual muestra que x es un punto interior de ϕ−1
i (A). Por lo tanto, tenemos que
ϕ−1
i (A) es un conjunto abierto en X.
ii) ⇒ i) Supongamos que ϕ−1
i (A) es un conjunto abierto en X, donde A es un
abierto en Y. Sea x en X y U una vecindad abierta en Y cuya intersección con ϕ(x)
sea diferente del vacı́o.
Por hipótesis, Vx ∶= ϕ−1
i (U ) es vecindad abierta de x tal que
ϕ(z) ∩ U ≠ ∅
∀z ∈ Vx ,
por lo tanto, ϕ es una correspondencia semicontinua inferiormente en X.
iii) ⇔ ii) Por la Propiedad 1.1.1, b) tenemos que para todo subconjunto U en
Y,
c
−1
c
(ϕ−1
i (U )) = ϕs (U ).
Ası́, para A un abierto en Y,
c
−1
ϕ−1
i (A) es abierto en X si, y sólo si, ϕs (A ) es cerrado en X.
Considerando una correspondencia definida entre espacios métricos, obtenemos
caracterizaciones, por medio de sucesiones, para la semicontinuidad superior y la
semicontinuidad inferior, como se muestra en los siguentes dos reultados.
Teorema 1.2.3 Sean X, Y espacios métricos y ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia.
Los siguientes enunciados son equivalentes:
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
15
1) ϕ es semicontinua inferiormente en x.
2) Para cada sucesión (xn )n∈N convergente a x y para cada y en ϕ(x)
existe una sucesión (yn )n∈N que converge a y y tal que
yn ∈ ϕ(xn )
∀n ∈ N.
3) Para cada sucesión (xn )n∈N convergente a x y para cada y ∈ ϕ(x) existe
una sucesión (yk )k∈N convergente a y y una subsucesión (xnk )k∈N tal
que
yk ∈ ϕ(xnk )
∀k ∈ N.
Demostración. 1) ⇒ 2) Suponga que ϕ es semicontinua inferiormente en x.
Sea (xn )n∈N una sucesión convergente a x y sea y un punto en ϕ(x).
Como y está en B1 (y) ∩ ϕ(x), por la semicontinuidad inferior de ϕ existe una
vecindad V1 de x tal que
ϕ(z) ∩ B1 (y) ≠ ∅ ∀z ∈ V1 ,
y por la convergencia de la sucesión (xn )n∈N a x existe n1 en N tal que xn ∈ V1 para
todo n ≥ n1 .
Luego, como y ∈ B 1 (y) ∩ ϕ(x), por la semicontinuidad inferior de ϕ existe una
2
vecindad V2 de x tal que
ϕ(z) ∩ B 1 (y) ≠ ∅ ∀z ∈ V2 ,
2
y existe n2 > n1 en N tal que xn ∈ V2 para todo n ≥ n2 .
Procediendo inductivamente tenemos que para cada k ∈ N, el punto y pertenece
a B 1 (y) ∩ ϕ(x) y por la semicontinuidad inferior de ϕ existe una vecindad Vk de x
k
tal que
ϕ(z) ∩ B 1 (y) ≠ ∅ ∀z ∈ Vk .
k
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
16
Además, por la convergencia de la sucesión (xn )n∈N a x existe nk > nk−1 en N tal
que xn ∈ Vk para todo n ≥ nk .
Definamos la sucesión (yn )n∈N de la siguiente forma:
Para n < n1 , sea yn un punto arbitrario en ϕ(xn ).
Para n1 ≤ n < n2 , tome yn ∈ ϕ(xn ) ∩ B1 (y).
Para nk ≤ n < nk+1 , tome yn en ϕ(xn ) ∩ B 1 (y).
k
Entonces para cada natural n, el punto yn está en ϕ(xn ) ∩ B 1 (y). Por lo tanto
k
la sucesión (yn )n∈N converge al punto y, además yn está en ϕ(xn ) para toda n ∈ N.
2) ⇒ 3) La demostración de esta implicación es trivial.
3) ⇒ 1) Supongamos que ϕ no es semicontinua inferiormente en x, es decir,
existe un conjunto abierto U con
ϕ(x) ∩ U ≠ ∅,
y tal que para toda vecindad V de x existe zv ∈ V tal que
ϕ(zv ) ∩ U = ∅,
por lo tanto, para cada número natural n la vencindad B1/n (x) contiene un punto
xn que satisface que
ϕ(xn ) ∩ U = ∅.
Observemos que la sucesión (xn )n∈N converge a x y que
ϕ(xn ) ∩ U = ∅ ∀n ∈ N.
Sea y un elemento de ϕ(x)∩U. Como (xn )n∈N converge a x, se sigue por hipótesis
que existe una sucesión (yk )k∈N convergente a y y una subsucesión (xnk )k∈N de
(xn )k∈N tal que
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
yk ∈ ϕ(xnk ) ⊂ U c
17
∀k ∈ N,
lo cual implica que y ∈ U c puesto que U c es cerrado. Lo anterior contradice el hecho
que y ∈ ϕ(x) ∩ U, por lo tanto, ϕ es semicontinua inferiormente en x.
Teorema 1.2.4 Sean X, Y espacios métricos y una correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y.
Los siguientes enunciados son equivalentes:
1) ϕ es semicontinua superiormente en x y ϕ(x) es compacto.
2) Para cada sucesión ((xn , yn ))n∈N ⊂ Grϕ, tal que (xn )n∈N es convergente a x, se tiene que la sucesión (yn )n∈N tiene un punto de acumulación
en ϕ(x).
Demostración. 1) ⇒ 2) Suponga que ϕ es una correspondencia semicontinua
superiormente en x y que ϕ(x) es compacto en Y. Sea
((xn , yn ))n∈N ⊂ Grϕ,
tal que la sucesión (xn )n∈N converge al punto x y supongamos que (yn )n∈N no tiene
un punto de acumulación en ϕ(x), entonces para cada punto y ∈ ϕ(x) existe ry > 0,
tal que yn no está en Bry (y) para n suficientemente grande. Puesto que
ϕ(x) ⊂ ⋃ Bry (y).
y∈ϕ(x)
y ϕ(x) es compacto, entonces existen puntos y1′ , y2′ , ..., yk′ en ϕ(x) tales que
k
ϕ(x) ⊂ U ∶= ⋃ Bry′ (yi′ ).
i=1
i
El conjunto U es vecindad abierta de ϕ(x) y por la semicontinuidad superior existe
una vecindad abierta V de x tal que
ϕ(z) ⊂ U ∀z ∈ V.
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
18
Además, por la convergencia de la sucesión (xn )n∈N al punto x existe M ∈ N tal que
para todo n ≥ M, xn ∈ V y
yn ∈ ϕ(xn ) ⊂ U,
∀n ≥ M.
Lo cual es una contradicción, pues para n suficientemente grande yn ∉ U .
2) ⇒ 1) Supongamos que ϕ no es semicontinua superiormente en x, entonces
existe una vecindad abierta U de ϕ(x), tal que para toda vecindad V de x existe xv
en V tal que
ϕ(xv ) ∩ U c ≠ ∅.
Ası́, para cada n en N existe xn un punto en B 1 (x) tal que
n
ϕ(xn ) ∩ U c ≠ ∅,
claramente, la sucesión (xn )n∈N converge a x.
Si yn está en ϕ(xn ) ∩ U c , entonces la sucesión (yn )n∈N está totalmente contenida
en el conjunto cerrado U c y como
ϕ(x) ∩ U c = ∅,
implica que (yn )n∈N no tiene un punto de acumulación en ϕ(x), lo cual contradice
la hipótesis, por lo tanto, la correspondencia ϕ es semicontinua superiormente en x.
Para probar la compacidad del conjunto ϕ(x) basta con suponer nuevamente
que se cumple 2). Sea (yn )n∈N una sucesión contenida en ϕ(x) y definimos para toda
n, xn ≡ x es claro que
(x, yn ) ⊂ Grϕ,
la sucesión (yn )n∈N tiene un punto de acumulación en ϕ(x), lo cual implica que la
sucesión (yn )n∈N posee una subsucesión convergente, por lo tanto, ϕ(x) es compacto.
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
19
Ejemplo 1.2.3 La correspondencia ϕ ∶ [0, 10] ↠ [0, 10] definida por
ϕ(x) = [0, x] ,
es una correspondencia continua en [0, 10].
Primero probemos que ϕ es semicontinua inferiormente en [0, 10] . Sea x ∈
[0, 10] , y ∈ ϕ(x) y (xn )n∈N una sucesión convergente a x.
Si x = y la sucesión (xn )n∈N es tal que xn ∈ ϕ(xn ) y además es convergente a x.
Si x ≠ y, tenemos que para = x − y > 0, existe N ∈ N tal que
xn ∈ (x − , x]
∀n ≥ N,
esto implica que para toda n ≥ N, el punto y ∈ ϕ(xn ). Para n < N tomemos yn
un punto arbitrario en ϕ(xn ) y para n ≥ N tomemos yn ≡ y, entonces la sucesión
(yn )n∈N es tal que yn ∈ ϕ(xn ) y es convergente a y.
Probemos ahora la semicontinuidad superior en [0, 10] . Sea x ∈ [0, 10] , (xn )n∈N
una sucesión convergente a x y (yn )n∈N una sucesión tal que yn ∈ ϕ(xn ).
Caso 1, si existe una subsucesión (ynk )k∈N de (yn )n∈N tal que
ynk ∈ ϕ(x)
∀k ∈ N,
entonces por la compacidad de ϕ(x), se sigue que (ynk )k∈N contiene una subsucesión
convergente en ϕ(x), por lo que la sucesión (yn )n∈N posee un punto de acumulación
en ϕ(x).
Caso 2, supongamos que no pasa el caso uno, eso quiere decir que para toda n ∈ N
excepto posiblemente por una cantidad finita de ı́ndices n,
yn ∈ [x, xn ] ,
como (xn )n∈N converge a x, entonces (yn )n∈N converge a x, por lo tanto, (yn )n∈N
tiene un punto de acumulación en ϕ(x) y ası́ finalmente ϕ es continua en [0, 10] .
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
1.3.
20
Operaciones con correspondencias
En esta sección se definen algunas operaciones con correspondencias, tales como la correspondencia cerradura y la correspondencia intersección, además veremos
un caso en particular para el cual, la correspondencia intersección de dos correspondencias semicontinuas inferiormente, es semicontinua inferiormente, dado que en
general este resultado es falso.
Definición 1.3.1 Sea ϕ una correspondencia entre espacios topológicos. La correspondencia cerradura de ϕ, denotada por ϕ̄ se define por
ϕ̄(x) ∶= ϕ(x).
Proposición 1.3.1 Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia entre espacios topológicos, U un subconjunto abierto en Y y x0 ∈ X, entonces
ϕ(x0 ) ∩ U ≠ ∅ si, y sólo si, ϕ(x0 ) ∩ U ≠ ∅.
Demostración. Se sigue de la Proposición 4.0.1.
El siguiente resultado muestra la relación de semicontinuidad entre una correspondencia y la correspondencia cerradura.
Lema 1.3.1 Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia entre espacios topológicos y
x0 ∈ X. Entonces
1.- ϕ es semicontinua inferiormente en x0 si, y sólo si, ϕ es semicontinua
inferiormente en x0 .
2.-Si Y es normal y ϕ es semicontinua superiormente en x0 , entonces ϕ̄
es semicontinua superiormente en x0 .
Demostración. 1) Sea U un conjunto abierto cuya intersección con ϕ(x0 ) es
no vacı́o. Por la Proposición 1.3.1 tenemos que
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
21
ϕ(x) ∩ U ≠ ∅ si, y sólo si, ϕ(x) ∩ U ≠ ∅.
El resultado se sigue de la definición de semicontinuidad inferior.
2) Supongamos que ϕ es semicontinua superiormente en x0 y que U es un conjunto abierto en Y tal que
ϕ(x0 ) ⊂ U.
Como Y es normal, por el Lema 4.0.3, existe un abierto G, tal que
ϕ(x0 ) ⊂ G ⊂ G ⊂ U.
Además, por la semicontinuidad superior de ϕ el conjunto W = ϕ−1
s (G) es una
vecindad abierta de x0 , más aun, para cada z ∈ W, ϕ(z) ⊂ G, se tiene que
ϕ(z) ⊂ G ⊂ U ∀z ∈ W,
por lo tanto, la correspondencia cerradura ϕ es semicontinua superiormente en x0 .
A continuación se introducen las definiciones de correspondencia intersección,
correspondencia unión y correspondencia producto, las cuales nos serán utiles en los
capı́tulos 2 y 3.
Definición 1.3.2 Sea {ϕk ∶ k ∈ K} una familia de correspondencias entre los conjuntos X y Y, definimos para cada x de X ∶
1) La correspondencia unión por
(⋃k∈K ϕk )(x) ∶= ⋃k∈K (ϕk (x)).
2) La correspondencia intersección por
(⋂k∈K ϕk )(x) ∶= ⋂k∈K (ϕk (x)).
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
22
3)La correspondencia producto ψ ∶ X ↠ Y N por
ψ(x) ∶= ∏ˆ
n=1 ϕn (x).
El siguiente ejemplo muestra que, en general, la intersección de correspondencias
semicontinuas inferiormente no necesariamente es semicontinua inferiormente.
Ejemplo 1.3.1 Las correspondencias ϕ, ϑ ∶ [0, 1] ↠ [0, 1] definidas por
ϕ(x) = {x} y ϑ(x) = {1 − x}
son continuas (en particular semicontinuas inferiormente).
La correspondencia intersección es
⎧
1
1
⎪
⎪
⎪ { } si x = 2
γ(x) ∶= (ϕ ∩ ϑ)(x) = ⎨ 2
⎪
⎪ ∅
si x ≠ 12 .
⎪
⎩
Probemos que γ no es semicontinua inferiormente. Sea U un conjunto abierto
en Y tal que
U ∩ (ϕ ∩ ϑ)( 21 ) = U ∩ { 12 } ≠ ∅,
entonces
1
(ϕ ∩ ϑ)−1
i (U ) = { 2 }
y como { 21 } es un conjunto cerrado, implica que ϕ ∩ ϑ no es semicontinua inferiormente.
En el siguente teorema se presenta un caso particular donde se tiene que la
intersección entre correspondencias semicontinuas inferiormente es semicontinua inferiormente.
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
23
Teorema 1.3.1 Sea f una función continua de un espacio topológico X a un espacio métrico Y y β > 0 fijo. Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia semicontinua
inferiormente tal que
ϕ(x) ∩ ξ(x) ≠ ∅ ∀x ∈ X
donde ξ ∶ X ↠ Y es la correspondencia definida por
ξ(x) ∶= Bβ (f (x)).
Entonces la correspondencia intersección ϕ ∩ ξ es semicontinua inferiormente.
Demostración. Sean G un subconjunto abierto en Y y
A ∶= (ϕ ∩ ξ)−1
i (G).
Si A es no vacı́o y z ∈ A, tenemos que
B ∶= ϕ(z) ∩ ξ(z) ∩ G ≠ ∅.
Además, como ξ(z) ∩ G es un conjunto abierto, entonces para cada y ∈ B existe η > 0
tal que
B2η (y) ⊂ ξ(z) ∩ G = Bβ (f (z)) ∩ G,
(1.1)
lo cual implica que d(y, f (z)) < β − 2η.
Por otra parte, por la continuidad de la función f implica que existe V una
vecindad abierta de z tal que
d(f (v), f (z)) < η ∀v ∈ V,
CAPÍTULO 1. TEORÍA DE CORRESPONDENCIAS
24
además, para cada v ∈ V, se tiene que Bη (y) ⊂ Bβ (f (z)) ∩ G = ξ(v) ∩ G, puesto que
si s ∈ Bη (y) entonces
d(s, f (v)) ≤ d(s, y) + d(y, f (z)) + d(f (z), f (v))
< η + β − 2η + η
= β.
Obsérvese que ϕ(z) ∩ Bη (y) es no vacı́o porque al menos está el punto y. Como ϕ
es semicontinua inferiormente existe U una vecindad abierta de z tal que
ϕ(u) ∩ Bη (y) ≠ ∅ ∀u ∈ U.
(1.2)
Por (1.1) y (1.2) la vecindad abierta V ∩ U de z es tal que
Bη (y) ⊂ ξ(x) ∩ G
y
ϕ(x) ∩ Bη (y) ≠ ∅
∀x ∈ V ∩ U.
Por lo tanto, ϕ(x) ∩ ξ(x) ∩ G ≠ ∅, lo cual implica que la vecindad abierta V ∩ U de
z es un subconjunto de A y por lo tanto, (ϕ ∩ ξ)−1
i (G) es un abierto en X y ası́ la
correspondencia ϕ ∩ ξ es semicontinua inferiormente en X.
Capı́tulo 2
Selectores Continuos
2.1.
Preliminares
Antes de comenzar con el estudio de selectores continuos de una correspondencia,
estudiaremos primero algunos conceptos y resultados básicos que nos ayudarán a
demostrar la existencia de tales selectores, entre estos conceptos se encuentra la
llamada partición de la unidad, la cual se define a continuación.
Definición 2.1.1 Sea X un espacio topológico y {Gi ∶ i ∈ I} una cubierta abierta
para X. Una partición de la unidad subordinada a la cubierta {Gi ∶ i ∈ I} , es una
familia de funciones continuas de X en [0, 1] que satisface:
a) Sólo un número finito de funciones de la familia toman valor diferente
de cero para todo x ∈ X,
b) fi (x) = 0 para todo x ∈ X ∖ Gi
y
c) ∑i∈I fi (x) = 1 para todo x en X.
Ejemplo 2.1.1 Sea {G1 = (−ˆ, 1), G2 = (−1, ˆ)} una cubierta para R. Una partición de la unidad subordinada a la cubierta {G1 , G2 } es la familia de funciones
{f1 , f2 } definidas por,
25
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
⎧
⎧
⎪
⎪
0
1
si x ≤ −1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
y f2 (x) = ⎨ 1/2x +
f1 (x) = ⎨ −1/2x + 12 si − 1 < x ≤ 1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
0
si
x
>
1
1
⎪
⎪
⎩
⎩
26
si x ≤ −1
1
2
si − 1 < x ≤ 1
si x > 1
Estas funciones satisfacen que si x ∈ Gc1 = [1, ˆ) , entonces f1 (x) = 0 y si x ∈
Gc2 = (−ˆ, −1] entonces f2 (x) = 0. Por último, para cada x en R,
f1 (x) + f2 (x) = 1.
Como se dice coloquialmente, conforme avanzamos en este trabajo esta teorı́a va
tomando sabor, ası́ pues, el siguiente lema asegura la existencia de una partición de
la unidad subordinada a una cubierta abierta, cuando esta cubierta es finita.
Lema 2.1.1 Sea X un espacio normal. Si {G1 , G2 , ..., Gn } es una cubierta abierta
finita de X, entonces existe una partición de la unidad subordinada a la cubierta
{G1 , G2 , ..., Gn } .
Demostración. Construiremos una nueva cubierta {V1 , V2 , ..., Vn } de conjuntos
abiertos para X, tal que satisfaga las siguientes condiciones:
i) Vi ⊂ Vi ⊂ Gi para cada i = 1, 2, ..., n.
ii) {Vi ∶ i ≤ j} ⋃ {Gi ∶ i > j} para cada j = 1, 2, ..., n, es una cubierta de X.
Primero definimos el conjunto
n
F1 = X ∖ ⋃ Gi ,
i=2
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
27
que es un conjunto cerrado y es un subconjunto del abierto G1 . Por normalidad del
espacio X (ver Lema 4.0.3), existe un conjunto abierto V1 tal que
F1 ⊂ V1 ⊂ V1 ⊂ G1 ,
es decir, el conjunto abierto V1 satisface la condición i) y además, la familia {V1 , G2 , ..., Gn }
cubre a X, por lo tanto se satisface la condición ii).
Supongamos que existen conjuntos abiertos V1 , V2 , ..., Vk−1 , con 1 < k − 1 < n que
satisfacen la condición i) y ii). Para definir el conjunto Vk , sea
k−1
n
i=1
i=k+1
Fk ∶= X ∖ ( ⋃ Vi ∪ ⋃ Gi ),
el cual es un conjunto cerrado y un subconjunto del abierto Gk . Si s ∈ Fk , entonces
k−1
n
i=1
i=k+1
s ∈ X y s ∉ ( ⋃ Vi ) ∪ ( ⋃ Gi ),
es decir, para i = 1, ..., k − 1, el punto s ∉ Vi y para i = k + 1, ..., n, el punto s ∉ Gi .
Como X = G1 ∪ ⋯ ∪ Gn , se obtiene que s ∈ Gk . Por la normalidad del espacio X,
existe un conjunto abierto Vk , tal que
Fk ⊂ Vk ⊂ Vk ⊂ Gk .
Falta probar que {Vi ∶ i ≤ k} ⋃ {Gi ∶ i > k} es una cubierta para X. Si x es un
elemento de X = G1 ∪ ⋯ ∪ Gn , entonces x es un elemento de Gi para algún i = 1, ..., n.
Obsérvese que si para algún i0 ∈ {k + 1, ..., n} , x ∈ Gi0 , entonces
x ∈ {Vi ∶ i ≤ k} ⋃ {Gi ∶ i > k} .
Si x ∈ X ∖ ⋃ni=k+1 Gi y usando que Fk ⊂ Vk , obtenemos que
k−1
n
k−1
k−1
i=1
i=k+1
i=1
i=1
x ∈ ( ⋃ Vi ) ∪ (X ∖ ( ⋃ Gi ∪ ⋃ Vi )) ⊂ ⋃ Vi ∪ Vk ,
en consecuencia x ∈ {Vi ∶ i ≤ k} ∪ {Gi ∶ i > k} .
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
28
Inductivamente, hemos construido una cubierta {V1 , V2 , ..., Vn } , que satisface las
condiciones i) y ii). Como los conjuntos X ∖ Gi y Vi son cerrados y ajenos en X,
por la normalidad del espacio X y el Lema de Urysohn, (ver Lema 4.0.5), para cada
i ∈ {1, ..., n} , podemos encontrar una función continua gi de X al intervalo [0, 1] tal
que
a) gi (x) = 0
si
x ∈ X ∖ Gi
b) gi (x) = 1
si
x ∈ Vi .
Finalmente, definamos fi ∶ X → R por,
fi (x) =
gi (x)
n
(∑k=1 gk (x))
Observemos que para cada x ∈ X la suma ∑nk=1 gk (x) es diferente de cero dado que la
familia {V1 , V2 , ..., Vn } cubre a X y por lo tanto, existe Vj tal que x ∈ Vj y gj (x) = 1.
Además, se satisface lo siguiente:
fi (x) =
n
gi (x)
n
(∑k=1 gk (x))
= 0 si x ∈ X ∖ Gi .
gi (x)
= 1 para cada x ∈ X,
n
(
i=1 ∑k=1 gk (x))
n
∑ fi (x) = ∑
i=1
es decir, {fi }ni=1 es una partición de la unidad subordinada a {G1 , ..., Gn } .
Definición 2.1.2 Un selector o selección de una correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y, es
una función f ∶ X → Y que satisface para cada x en X,
f (x) ∈ ϕ(x).
Ejemplo 2.1.2 Sea ϕ ∶ N ↠ N definida por:
ϕ(n) = {n, n + 1, n2 } .
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
29
Sean f1 , f2 , f3 funciones de N en N dadas por:
f1 (n) = n
f2 (n) = n + 1
f3 (n) = n2 .
Claramente, para cada n en N, f1 (n), f2 (n), f3 (n) son elementos de ϕ(n) y por
lo tanto f1 , f2 , f3 son selectores de la correspondencia ϕ.
Como se ha mencionado antes, uno de nuestros objetivos para este trabajo y de
este capı́tulo es establecer condiciones garantizar la existencia de selectores continuos de una correspondencia, de modo que, como su nombre lo dice, un selector
continuo es una función que además de ser un selector es una función continua.
Ejemplo 2.1.3 Sea ϕ ∶ R ↠ R la correspondencia dada por:
ϕ(x) = [−1, 1].
La función f (x) = sen(x), x ∈ R es un selector de ϕ,
f (x) = sen(x) ∈ [−1, 1] = ϕ(x).
Considerando que f es continua, se tiene que f es un selector continuo de ϕ.
2.1.1.
Primer Teorema de Existencia
A continuación el primer Teorema de existencia de selectores continuos para una
familia de correspondencias muy particular.
Teorema 2.1.1 Sea X un espacio Hausdorff compacto y ϕ una correspondencia de
X a un espacio normado Y con valores convexos. Si para cada y ∈ Y, el conjunto
ϕ−1
i ({y}) ∶= {x ∈ X ∶ y ∈ ϕ(x)} ,
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
30
es un abierto en X, entonces ϕ tiene un selector continuo.
Demostración. Notemos que la colección de conjuntos {ϕ−1
i ({y}) ∶ y ∈ Y } es
una cubierta abierta para X. Entonces por la compacidad de X existen y1 , y2 , ..., yn
puntos en Y tales que
n
X ⊂ ⋃ ϕ−1
i ({yj }).
j=1
−1
−1
Sea A ∶= {ϕ−1
i ({y1 }), ϕi ({y2 }), ..., ϕi ({yn })} . Como X es un espacio Haus-
dorff compacto, por el Lema 4.0.4, X es normal y por el Lema 2.1.1, existe una
partición de la unidad {fj ∶ j ∈ {1, 2, ..., n}} subordinada a la cubierta A .
Definimos σ ∶ X → Y por
n
σ(x) ∶= ∑ fj (x)yj .
j=1
Dado que σ es suma finita de funciones continuas de X a Y obtenemos que σ es una
función continua en X. Para los ı́ndices j ∈ {1, ..., n} tal que
x ∈ ϕ−1
i ({yj }),
se tiene que yj ∈ ϕ(x). Obtenemos que σ(x) es una combinación convexa de los
puntos yj los cuales son elementos del conjunto convexo ϕ(x), por lo tanto, σ(x) ∈
ϕ(x), en consecuencia σ es un selector continuo de ϕ.
Ejemplo 2.1.4 Consideremos la correspondencia ϕ ∶ [0, 1] ↠ [0, 1] dada por
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ϕ(x) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
( 41 , 43 ) si x ∈ [0, 14 ] ∪ [ 34 , 1]
[0, 1]
si x ∈ ( 14 , 34 ).
El Teorema 2.1.1 asegura que la correspondencia ϕ posee un selector continuo,
puesto que para cada y ∈ [0, 1] ,
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
⎧
⎪
( 14 , 34 ) si y ∈ [0, 41 ] ∪ [ 34 , 1]
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
ϕ−1
i ({y}) = ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
[0, 1] si y ∈ ( 41 , 34 ),
⎪
⎩
31
es abierto en [0, 1].
Es importante hacer la observación de que las condiciones del Teorema 2.1.1
son muy fuertes, lo que lo hace un resultado muy débil, por esta razón, es necesario
introducir nuevos conceptos que nos permitan tener resultados mucho más generales.
Definición 2.1.3 Una cubierta de un espacio X es localmente finita, si para cada
punto x en X existe una vecindad de x que se intersecta sólo con una cantidad finita
de los miembros de la cubierta.
Definición 2.1.4 Si C1 , C2 son cubiertas para un espacio topológico, C1 es llamada
un refinamiento de C2 , si cada elemento de C1 es un subconjunto de algún elemento
de C2 .
Ejemplo 2.1.5 Las cubiertas V = {V1 , V2 , ..., Vn } y G = {G1 , G2 , ..., Gn } definidas
en la demostración del Lema 2.1.1, satisfacen que V es un refinamiento de G.
Definición 2.1.5 Un espacio topológico se llama paracompacto, si es Hausdorff y
toda cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito.
Proposición 2.1.1 Si X es un espacio Hausdorff compacto, entonces X es un espacio paracompacto.
Demostración. Sea A = {Gi ∶ i ∈ I} una cubierta abierta para el espacio X. Por
compacidad existe una subcubierta abierta finita de A, digamos
B = {G1 , G2 , ..., Gn } .
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
32
que cubre al espacio X. Como los elementos de la cubierta B son elementos de A,
se sigue que B es un refinamiento abierto localmente finito de A, por lo tanto el
espacio X es un espacio paracompacto.
Proposición 2.1.2 Si X es un espacio métrico, entonces X es un espacio paracompacto.
Demostración. La demostración se puede encontrar en el Teorema 3.22 en [1].
Teorema 2.1.2 Si {Aα ∶ α ∈ I} es una cubierta localmente finita de un espacio topológico X. Entonces
a) {Aα ∶ α ∈ I} es también una cubierta localmente finita.
b) Para cada J ⊂ I, el conjunto ⋃ {Aα ∶ α ∈ J} es cerrado en X.
Demostración. a) Si x es un elemento de X, entonces existe una vecindad
abierta Ux de x tal que para toda α ∈ I, excepto en una cantidad finita de ı́ndices α,
Ux ∩ Aα = ∅,
lo cual implica que para toda α ∈ I, excepto en una cantidad finita de ı́ndices α,
Aα ⊂ Uxc .
Como Uxc es un conjunto cerrado, obtenemos que para toda α en I, excepto en una
cantidad finita de ı́ndices α,
Aα ⊂ Uxc ,
y por lo tanto {Aα ∶ α ∈ I} es también una cubierta localmente finita de X.
b) Sea D ∶= ⋃β∈J Aβ con J ⊂ I, entonces
c
D c = ⋂ Aβ .
β∈J
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
33
Si D = X terminamos la demostración. Si Dc es diferente del vacı́o, para x en Dc se
tiene, por el inciso a), que existe Ux una vecindad abierta de x tal que
Ux ∩ Aβi ≠ ∅,
lo cual es válido sólo para un número finito de ı́ndices βi ∈ I.
Si definimos
L ∶= {βi ∈ J ∶ Ux ∩ Aβi ≠ ∅} ,
entonces
Ux ∖ ⋃ Aβ ,
β∈L
es una vecindad abierta de x totalmente contenida en Dc , lo que implica que el
conjunto Dc es abierto y en consecuencia el conjunto D es cerrado.
Lema 2.1.2 Sea X un espacio paracompacto. Si {Uα }α∈J es una cubierta abierta de
X, entonces existe una familia localmente finita {Vα }α∈J de conjuntos abiertos que
recubre a X y tal que Vα ⊂ Uα para cada α ∈ J.
Demostración. Sea A una familia de conjuntos definida por;
A ∶= {A ⊂ X ∶ A es abierto y A ⊂ Uα para algún α}.
Veamos que A es una cubierta para X. Sea x un elemento de X, entonces existe
α ∈ J tal que x ∈ Uα . Como X es un espacio Hausdorff compacto entonces por la
Proposición 4.0.2 el espacio X es regular, por lo tanto para el conjunto cerrado Uαc
que no contiene a x, existen conjuntos abiertos ajenos A y B tales que
x ∈ A y Uαc ⊂ B.
De modo que
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
34
A ⊂ B c y A ⊂ B c ⊂ Uα ,
por lo tanto A es un elemento de A y como x es arbitrario, se sigue que A es una
cubierta para X.
Ahora, como X es un espacio paracompacto entonces A posee un refinamiento
abierto localmente finito B = {Bβ }β∈K y como B refina a A , podemos definir una
función f ∶ K → J eligiendo para cada β en K un elemento α en J tal que
Bβ ⊂ Uα ,
es decir,
f (β) = α.
Para cada α en J definimos Vα
Vα = ⋃ {Bβ ∶ f (β) = α} ,
(si no existe β en K tal que f (β) = α, entonces Vα es vacı́o). Observemos que por el
Teorema 2.1.2, b),
Vα = ∪ {Bβ ∶ f (β) = α}
⊂ ∪ {Bβ ∶ f (β) = α}
⊂ Uα .
Finalmente, comprobemos que la colección de conjuntos {Vα }α∈J es localmente
finita. Sea x en X y W una vecindad de x tal que se intersecta sólo con una cantidad
finita de elementos en B, digamos Bβ1 , Bβ2 , ..., Bβn . Entonces Vα puede intersectar
a W sólo si,
α ∈ {f (β1 ), f (β2 ), ..., f (βn )} ,
por lo tanto, {Vα }α∈J es una familia localmente finita de conjuntos abiertos que
recubre a X y es tal que para cada α en J, Vα ⊂ Uα .
Lema 2.1.3 Si {Gα ∶ α ∈ J} es una cubierta abierta localmente finita para un espacio paracompacto X, entonces existe una partición de la unidad subordinada a la
cubierta Gα .
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
35
Demostración. Aplicando dos veces el Lema 2.1.2 se pueden encontrar familias
localmente finitas {Wα }α∈J y {Vα }α∈J de conjuntos abiertos que cubren a X y tales
que para cada α ∈ J,
Wα ⊂ V α
y
Vα ⊂ Gα .
Dado que X es paracompacto, obtenemos que es normal y por el Lema de Urysohn,
(ver Lema 4.0.5), podemos encontrar para cada α en J, una función continua gα ∶
X → [0, 1] tal que
gα (Wα ) = {1}
gα (X ∖ Vα ) = {0} .
y
Definimos para cada α en J y para cada x en X,
fα (x) =
gα (x)
.
∑j∈J gj (x)
Para ver que las funciones fα están bien definidas, sea x ∈ X. Dado que los
conjuntos {Wα }α∈J cubren a X, existe un Vα0 que contiene a x y tal que se intersecta
sólo con un número finito de conjuntos Wα , significa que para un número finito de
ı́ndices α, gα (x) ≠ 0, lo cual implica que ∑α∈J gα (x) es diferente de cero y es finito.
Observese además, que por lo anterior fα es continua en Vα0 y por lo tanto continua
sobre X. Además, se satisface lo siguiente:
fα (x) =
gα (x)
= 0 si x ∈ X ∖ Gα ⊂ X ∖ Vα
∑j∈J gj (x)
y
∑ fα (x) = ∑
α∈J
α∈J
gα (x)
= 1 ∀x ∈ X,
∑j∈J gj (x)
por lo tanto, {fα } α ∈ J es una partición de la unidad subordinada a la cubierta
{Gα }α∈J .
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
36
Teorema 2.1.3 Sea X un espacio paracompacto y Y un espacio normado. Si ϕ ∶
X ↠ Y es una correspondencia semicontinua inferiormente con valores convexos,
entonces para cada β > 0, existe un selector continuo fβ ∶ X → Y de la correspondencia ψ ∶ X ↠ Y definida por
ψ(x) = N (ϕ(x), β) ∶= {y ∈ Y ∶ ∃s ∈ ϕ(x) tal que d(y, s) < β} .
Demostración. Para β en R+ fijo, definamos para cada y en Y el conjunto
Uy ∶= ϕ−1
i (Bβ (y)).
Como la correspondencia ϕ es semicontinua inferiormente, por el Teorema 1.2.2, se
sigue que Uy es abierto en X. Por lo anterior, la familia {Uy ∶ y ∈ Y } es una cubierta
abierta para el espacio paracompacto X, entonces existe un refinamiento abierto
localmente finito {Gi ∶ i ∈ I} .
Por el Lema 2.1.3 existe {πi ∶ i ∈ I} una partición de la unidad subordinada a la
cubierta {Gi ∶ i ∈ I} y como la familia {Gi ∶ i ∈ I} es un refinamiento de la familia
{Uy ∶ y ∈ Y } , para cada i en I existe y(i) en Y tal que
Gi ⊂ Uy(i) .
Definamos la función fβ ∶ X → Y como:
fβ (x) ∶= ∑i∈I πi (x)y(i) .
Notemos que para cada x ∈ X existe una vecindad Vx de x, el cual se intersecta
sólo con un número finito de elementos de la cubierta {Gi ∶ i ∈ I} , lo cual implica
que a lo más, para un número finito de ı́ndices πi (x) ≠ 0, por lo tanto, fβ está bien
definida. Además, dado que las funciones πi son continuas, se sigue que fβ es una
función continua en Vx y por lo tanto continua sobre X.
Probemos ahora que para cada x ∈ X, fβ (x) ∈ ψ(x). Como fβ (x) es una combinación convexa de puntos y(i) , entonces para cada j ∈ I tal que x ∈ Gj ⊂ Uy(j) se
sigue que x ∈ ϕ−1
i (Bβ (y(j) )) y que
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
37
ϕ(x) ∩ Bβ (y(j) ) ≠ ∅,
por lo anterior y(j) es un elemento de la nube N (ϕ(x), β), el cual es un conjunto
convexo y dado que ϕ(x) es convexo, fβ (x) ∈ ψ(x).
2.2.
Teorema de Michael
Después de una larga trayectoria de trabajo tenemos las herramientas necesarias
para demostrar la existencia de selectores continuos para una corespondencia, lo cual
se afirma en el Teorema de Michael (la demostración original de este teorema se
encuentra en [6]).
Teorema 2.2.1 Si X es un espacio paracompacto, Y un espacio Banach y ϕ ∶ X ↠
Y es una correspondencia con valores cerrados, convexos y además semicontinua
inferiormente, entonces ϕ tiene un selector continuo.
Demostración. Iniciaremos construyendo una sucesión de funciones continuas
(fi )i∈N que satisfagan las siguientes condiciones:
a) fi (x) es un elemento de la bola B2−i+2 (fi−1 (x)), para cada i = 2, 3, ...
b) fi (x) es un elemento de la nube N (ϕ(x), 2−i ), para cada i en N.
Por el Teorema 2.1.3, para β = 2−1 existe una función continua de X a Y a la
que llamaremos f1 , tal que
f1 (x) ∈ N (ϕ(x), 2−1 ),
es decir, f1 satisface la condición b).
Supongamos que tenemos f1 , f2 , ..., fn son funciones continuas de X a Y que
satisfacen la condición b). Para determinar la función fn+1 , definamos para cada x
en X la correspondencia;
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
38
ψ(x) ∶= ϕ(x) ∩ (B2−n (fn (x))).
Por la condición b), tenemos que existe y ∈ ϕ(x) tal que
∥fn (x) − y∥ < 2−n .
es decir, y ∈ B2−n (fn (x)), significa que para cada x en X, la correspondencia ψ toma
valores no vacı́os. Además, la correspondencia ψ toma valores convexos dado que la
correspondencia ϕ toma valores convexos y la bola B2−n (fn (x)) es también convexa.
Luego, por el Teorema 1.3.1, ψ es una correspondencia semicontinua inferiormente.
Tenemos entonces que ψ(x) es una correspondencia que satisface las condiciones del
Teorema 2.1.3, ası́ que para β = 2−(n+1) existe una función continua fn+1 ∶ X → Y
tal que
fn+1 (x) ∈ N (ψ(x), 2−(n+1) ),
y como ψ(x) ⊂ ϕ(x), se sigue que
fn+1 (x) ∈ N (ϕ(x), 2−(n+1) ),
por lo tanto, la función fn+1 satisface la condición b).
Por otra parte, puesto que ψ(x) ⊂ B2−n (fn (x)), obtenemos que
fn+1 (x) ∈ B2−n +2−(n+1) (fn (x)) ⊂ B2−n+1 (fn (x)),
con lo que para i = n+1 se tiene la condición a). La construcción anterior nos asegura
la existencia de una sucesión de funciones continuas (fn )n∈N de X a Y , que satisface
las condiciones a) y b) y por la condición a), tenemos que para toda n en N y toda
x en X,
∥fn+1 (x) − fn (x)∥ < 2−n+1 .
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
39
Notemos que si m > n entonces
∥fm (x) − fn (x)∥ ≤ ∥fm (x) − fm−1 (x)∥ + ... + ∥fn+1 (x) − fn (x)∥
< 2−m+2 + ... + 2−n+1
= 2−n+1 [1 + ... + 2−m+n+1 ]
< 2−n+1 (2) = 2−n+2 .
Sea > 0 y n ∈ N, tal que 2−n +2 < , por lo anterior se tiene que para m > n > n
∥fm (x) − fn (x)∥ < 2−n+2 < 2−n +1 < ∀x ∈ X,
entonces (fn )n∈N es una sucesión de Cauchy uniforme. Como el espacio Y es completo, (fn )n∈N converge uniformemente a una función f ∶ X → Y y dado que cada
función es continua, por el Teorema 4.0.6 la función f es también continua. Por la
condición b),
ˆ n (x), ϕ(x)) < 2−n ∀n ∈ N,
d(f
ˆ n (x), ϕ(x)) = inf {∥fn (x) − y∥ ∶ y ∈ ϕ(x)} , por la Proposición 4.0.5, la fundonde d(f
ción dˆ es continua, por lo tanto aplicando lı́mite cuando n tiende a infinito, obtenemos
ˆ (x), ϕ(x)) = 0.
d(f
Por la Proposición 4.0.4, el punto f (x) está en la cerradura de ϕ(x) y como
ϕ toma valores cerrados, f (x) ∈ ϕ(x). Concluimos que la función f es un selector
continuo de la correspondencia ϕ.
Como corolarios al Teorema de Michael a continuación se presentan algunos
resultados.
Definición 2.2.1 Una función g ∶ Y ⊂ Rr → Z ⊂ Rs , con Y, Z conjuntos convexos,
se dice ser convexa si:
g((1 − λ)y + λy ′ ) ≤ (1 − λ)g(y) + λg(y ′ ),
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
40
para cada y, y ′ ∈ Y y λ ∈ [0, 1] , (la desigualdad es componente a componente).
Definición 2.2.2 Sea ϕ ∶ Rp ↠ Rq una correspondencia con valores convexos no
vacı́os y sea K la gráfica de ϕ, es decir,
K ∶= {(x, y) ∶ y ∈ ϕ(x), x ∈ Rp } .
Una función g ∶ K → R se dice ser inf-compacta en K si para toda x ∈ Rp y todo
r ∈ R, el conjunto:
{y ∈ ϕ(x) ∶ g(x, y) ≤ r} ,
es compacto.
Ejemplo 2.2.1 Sea ϕ ∶ R+ ↠ R definida por
ϕ(x) = [0, ˆ) ,
y g ∶ K → R definida por
g((x, y)) = x + y.
Para r ∈ R fijo y x ∈ R+ ,
⎧
⎪
⎪
∅
si x > r
⎪
{y ∈ [0, ˆ) ∶ x + y ≤ r} = ⎨
⎪
⎪
[0, r − x] si x ≤ r.
⎪
⎩
es un conjunto compacto, por lo tanto la función g es inf-compacta en K.
Corolario 2.2.1 Si ϕ ∶ Rp ↠ Rq es una correspondencia con valores no vacı́os,
cerrados, convexos y semicontinua inferiormente en Rp , entonces
1) Existe f un selector continuo de ϕ.
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
41
2) Sea g ∶ K → R una función inf-compacta en K y convexa. Si
g ∗ (x) ∶= ı́nf g(x, y),
y∈ϕ(x)
entonces para cada x ∈ Rp , la correspondencia
ϕ∗ (x) ∶= {y ∈ ϕ(x) ∶ g(x, y) = g ∗ (x)} ,
toma valores compactos y convexos.
3) Si ϕ∗ es semicontinua inferiormente, entonces existe un selector continuo f ∗ tal que
g ∗ (x) = g(x, f ∗ (x)) ∀x ∈ Rp .
Demostración. 1) Como ϕ ∶ Rp ↠ Rq , es una correspondencia con valores cerrados, convexos, semicontinua inferiormente y como Rp es un espacio paracompacto
(ver Proposición 2.1.2), entonces por el Teorema de Michael, existe f un selector
continuo de ϕ.
2) Probemos que para cada x ∈ Rp , el conjunto ϕ∗ (x) es compacto y convexo.
Notemos que para r = g ∗ (x) tenemos:
ϕ∗ (x) ⊂ B ∶= {y ∈ ϕ(x) ∶ g(x, y) ≤ r} ,
y dado que g es inf-compacta el conjunto B es compacto, entonces basta probar que
ϕ∗ (x) es un conjunto cerrado. Sea y0 un punto lı́mite de ϕ∗ (x), entonces existe una
sucesión (yn )n∈N ⊂ ϕ∗ (x) que converge al punto y0 . Nótese que por lo anterior y dado
que ϕ toma valores cerrados, y0 ∈ ϕ(x) ∩ B. Lo cual implica que g(x, y0 ) = g ∗ (x).
Por lo tanto, ϕ∗ (x) es compacto.
CAPÍTULO 2. SELECTORES CONTINUOS
42
Probemos ahora la convexidad del conjunto ϕ∗ (x). Sean y, y ′ en ϕ∗ (x),
g ∗ (x) = λg ∗ (x) + (1 − λ)g ∗ (x)
= λg(x, y) + (1 − λ)g(x, y ′ )
≥ g(x, λy + (1 − λ)y ′ )
≥
ı́nf
y ∗ ∈ϕ(x)
∗
g(x, y ∗ )
= g (x),
por lo tanto ϕ∗ (x) es un conjunto convexo.
3) Como ϕ∗ es semicontinua inferiormente, por el Teorema de Michael, existe un
selector continuo f ∗ de ϕ∗ , que satisface para cada x ∈ Rp ,
g(x, f ∗ (x)) = g ∗ (x).
Capı́tulo 3
Selectores Medibles
3.1.
Medibilidad de correspondencias.
En este capı́tulo estudiaremos algunas condiciones para que una correspondencia
posea un selector medible. Para iniciar con el estudio de selectores medibles recordemos que una función f ∶ (X, ∑X ) → (Y, ∑Y ) entre espacios medibles es medible,
si para cada A ∈ ∑Y , el conjunto f −1 (A) es un elemento de ∑X . El concepto de
medibilidad también se tiene para correspondencias y se define como sigue:
Definición 3.1.1 Sea (X, ∑) un espacio medible y Y un espacio topológico. Se dice
que una correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y es:
a) Débilmente medible, si ϕ−1
i (G) está en la σ−álgebra ∑, para cada
abierto G ⊂ Y.
b) Medible, si ϕ−1
i (F ) está en la σ−álgebra ∑, para cada cerrado F ⊂ Y.
De manera análoga podemos definir los conceptos de la Definición 3.1.1 como lo
dice la siguiente proposición, cuya demostración se sigue directamente de la Propiedad 1.1.3.
43
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
44
Proposición 3.1.1 Sean (X, ∑) un espacio medible, Y un espacio topológico y ϕ ∶
X ↠Y.
a) ϕ es Débilmente medible si, y sólo si, ϕ−1
s (F ) ∈ ∑, para cada cerrado F ⊂ Y.
b) ϕ es Medible si, y sólo si, ϕ−1
s (G) ∈ ∑, para cada abierto G ⊂ Y.
Ejemplo 3.1.1 Sean (X, ∑) con ∑ = {∅, X} un espacio medible, (Y, τ ) con τ =
{∅, X} un espacio topológico y ϕ ∶ X ↠ Y. Observemos que los conjuntos
−1
ϕ−1
s (∅) = ∅ y ϕs (Y ) = X,
son elementos de la σ- álgebra ∑ . En conclusión, cualquier correspondencia definida
entre estos espacios es siempre una correspondencia medible y débilmente medible.
Ejemplo 3.1.2 Sean (X, ∑) un espacio medible, Y un espacio topológico y B ⊂ Y
fijo. La correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y definida por ϕ(x) = B es medible y débilmente
medible.
Sea A ⊂ Y arbitrario,
a) si B ⊂ A, entonces
ϕ−1
s (A) = X ∈ ∑,
b) si B ∩ Ac ≠ ∅, entonces
ϕs−1 (A) = ∅ ∈ ∑ .
Por lo tanto, si A es un conjunto abierto o cerrado, es claro que ϕ−1
s (A) es un
elemento de la σ−álgebra ∑ .
Observación 3.1.1 Sea ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia de un espacio medible X
a un espacio topológico Y.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
45
Si ϕ es semicontinua inferiormente, entonces ϕ es una correspondencia
débilmente medible.
Si ϕ es correspondencia semicontinua superiormente, entonces ϕ es una
correspondencia medible.
La Observación 3.1.1 se siguen del Teorema 1.2.1 y el Teorema 1.2.2.
Una relación entre la medibidad y medibilidad débil de correspodencias está dada
en el siguiente teorema. Mas concretamente, en este teorema se establecen condiciones bajo las cuales estas propiedades son equivalentes.
Teorema 3.1.1 Para una correspondencia ϕ ∶ (X, ∑) ↠ (Y, d) de un espacio medible a un espacio métrico, tenemos lo siguiente:
1) Si ϕ es medible, entonces es débilmente medible.
2) Si ϕ es débilmente medible y toma valores compactos, entonces es
medible.
Demostración. 1) Sea G un abierto en Y . Por la Proposición 4.0.6, G es un
conjunto Fσ y por lo tanto, por la Lema 4.0.6, podemos representar a G como:
ˆ
G = ⋃ Fn ,
n=1
donde para cada n, el conjunto Fn es cerrado en Y. Demostremos que ϕ−1
i (G) ∈ ∑;
ˆ
−1
ϕ−1
i (G) = ϕi ( ⋃ Fn )
n=1
=
ˆ
−1
⋃ ϕi (Fn ).
n=1
Usando que ϕ es medible, obtenemos que para cada n, ϕ−1
i (Fn ) ∈ ∑, por lo tanto
ˆ
−1
ϕ−1
i (G) = ⋃ ϕi (Fn ) ∈ ∑,
n=1
es decir, ϕ es débilmente medible.
2) Sea F un subconjunto cerrado en Y . Si F es vacı́o, claramente
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
46
ϕi−1 (F ) = ∅ ∈ ∑.
Supongamos que F es no vacı́o y definamos para cada n en N;
ˆ F) > 1},
Gn ∶= {y ∈ Y ∶ d(y,
n
ˆ F ) = inf {∥y − z∥ ∶ z ∈ F } , es la métrica, que asigna la distancia entre un
donde d(y,
punto y un conjunto. Claramente Gn ⊂ Gn+1 , además, si y es un punto lı́mite de Gn ,
entonces existe una sucesión (yk )k∈N ⊂ Gn que converge a y y satisface que
ˆ k, F ) >
d(y
∀k ∈ N.
1
n
ˆ F ) es continua en X, por lo tanto en el lı́mite
Por la Proposición 4.0.5 la métrica d(⋅,
cuando k tiende a infinito obtenemos:
ˆ F) ≥
d(y,
1
n
>
1
n+1 ,
lo cual implica que y es un elemento de Gn+1 . Entonces hemos probado que
Gn ⊂ Gn+1 ,
por lo tanto,
ˆ
ˆ
n=1
n=1
F c = ⋃ Gn = ⋃ Gn .
(3.1)
Probaremos ahora que
ˆ
ˆ
n=1
n=1
−1
ϕ−1
s ( ⋃ Gn ) = ⋃ ϕs (Gn ).
ˆ
Sea p un elemento de ϕ−1
s (⋃n=1 Gn ), entonces
ˆ
ϕ(p) ⊂ ⋃ Gn .
n=1
(3.2)
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
47
Como ϕ toma valores compactos, existe una subcubierta finita {Gn1 , Gn2 , ..., Gnk }
tal que
k
ϕ(p) ⊂ ⋃ Gnj ,
j=1
y como para cada n, Gn ⊂ Gn+1 , tomando N ∶= max {n1 , n2 , ..., nk } se obtiene;
k
ϕ(p) ⊂ ⋃ Gnj ⊂ GN ⊂ GN ,
j=1
entonces p ∈ ϕ−1
s (GN ) y por lo tanto
ˆ
p ∈ ⋃ ϕ−1
s (Gn ),
n=1
lo que implica
ˆ
ˆ
n=1
n=1
−1
ϕ−1
s ( ⋃ Gn ) ⊂ ⋃ ϕs (Gn ).
−1
Para la otra contención tomemos p ∈ ⋃ˆ
n=1 ϕs (Gn ), entonces existe N en N tal
que p ∈ ϕ−1
s (GN ), es decir,
ϕ(p) ⊂ GN .
Por (3.1)
ˆ
ˆ
n=1
n=1
ϕ(p) ⊂ ⋃ Gn = ⋃ Gn ,
ˆ
lo cual significa que p ∈ ϕ−1
s (⋃n=1 Gn ). Por la Propiedad 1.1.3 y usando (3.2) tenemos:
c
c
−1
ϕ−1
i (F ) = [ϕs (F )]
c
ˆ
= [ ⋃ ϕ−1
s (Gn )]
=
=
n=1
ˆ
c
−1
⋂ [ϕs (Gn )]
n=1
ˆ
c
−1
⋂ ϕi (Gn )
n=1
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
48
Por hipótesis ϕ es débilmente medible, esto es,
c
ϕ−1
i (Gn ) ∈ ∑ ∀n ∈ N,
por lo tanto,
ˆ
c
−1
ϕ−1
i (F ) = ⋂ ϕi (Gn ) ∈ ∑,
n=1
es decir, ϕ es medible.
Lema 3.1.1 Una correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y de un espacio medible a un espacio
topológico es débilmente medible si, y sólo si, la correspondencia cerradura ϕ es
débilmente medible.
Demostración. Por la Proposición 1.3.1 obtenemos que para G un subconjunto
abierto en Y ,
−1
ϕ−1
i (G) = (ϕ)i (G).
Por lo tanto,
−1
ϕ−1
i (G) ∈ ∑ si, y sólo si, (ϕ)i (G) ∈ ∑ .
Lema 3.1.2 Para una sucesión {ϕn }n∈N de correspondencias de un espacio medible
(X, ∑) a un espacio topológico (Y, τ ), tenemos lo siguiente:
1) La correspondencia unión es:
a) Débilmente medible, si cada ϕn es débilmente medible.
b) Medible, si cada ϕn es medible.
2) Si Y es un espacio métrico separable y cada ϕn es débilmente medible,
entonces la correspondencia producto, es débilmente medible.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
49
3) Si Y es un espacio métrico separable, cada ϕn es débilmente medible
y toma valores compactos, entonces la correspondencia intersección
ϕ ∶ X ↠ Y es medible y por tanto débilmente medible.
Demostración. La definición de estas correspondencias, se encuentran en la
Sección 1.3, “Operaciones con correspondencias”, en el Capı́tulo 1.
1) Las demostraciónes de a) y b) se siguen directamente de la Propiedad 1.1.2.
2) Como Y es un espacio métrico separable, tenemos que Y N es un espacio
métrico separable (la demostración de esta afirmación se encuentra en la Proposición
7.4. en [2]). Sea G un abierto en Y N , entonces el conjunto G lo podemos escribir
como:
ˆ
G = ⋃ Uk ,
k=1
donde para cada k ∈ N, los conjuntos Uk son elementos de la topologı́a producto en
Y N de la forma:
ˆ
Uk = ∏ Vk,n ,
n=1
con Vk,n abierto en Y y Vk,n = Y para todos excepto un número finito de ı́ndices n.
Por lo anterior, la correspondencia producto ψ satisface que
ˆ
ψi−1 (G) = ψi−1 ( ⋃ Uk )
k=1
=
=
=
=
=
ˆ
−1
⋃ ψi (Uk )
k=1
ˆ
ˆ
k=1
ˆ
n=1
ˆ
ˆ
k=1
ˆ ˆ
n=1
n=1
⋃ {x ∈ X ∶ ∏ ϕn (x) ∩ Uk ≠ ∅}
⋃ {x ∈ X ∶ ∏ ϕn (x) ∩ ∏ Vk,n ≠ ∅}
⋃ ⋂ {x ∈ X ∶ ϕn (x) ∩ Vk,n ≠ ∅}
k=1 n=1
ˆ ˆ
−1
⋃ ⋂ (ϕn )i (Vk,n ).
k=1 n=1
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
50
Dado que ϕn es una correspondencia débilmente medible el conjunto (ϕn )−1
i (Vk,n ) ∈
∑, por lo tanto, obtenemos que ψi−1 (G) ∈ ∑ . Ası́, la correspondencia producto ψ es
débilmente medible.
3) De la parte 2), obtenemos que la correspondencia producto
N
∏ˆ
n=1 ϕn ∶ X ↠ Y
es débilmente medible y como para cada n, la correspondencia ϕn toma valores
compactos, entonces por el Teorema de Tychonov (cuya demostración se encuentra
en Teorema 14, Capı́tulo 9, [8]), implica que
∏ˆ
n=1 ϕn ,
también toma valores compactos y por el Teorema 3.1.1, 2), la correspondencia
∏ˆ
n=1 ϕn es medible.
Ahora observemos que para cada subconjunto cerrado F de Y N y para el conjunto
N
D ∶= {(y)ˆ
n=1 ∈ Y ∶ y ∈ Y } ,
obtenemos que
ˆ
ϕ−1
i (F ) = {x ∈ X ∶ ⋂ ϕn (x) ∩ F ≠ ∅}
n=1
ˆ
= {x ∈ X ∶ ∏ ϕn (x) ∩ F N ∩ D ≠ ∅}
n=1
ˆ
N
= ( ∏ ϕn )−1
i (F ∩ D).
n=1
Como el conjunto F N ∩D es cerrado en Y N , por la medibilidad de la correspondencia
∏ˆ
n=1 ϕn obtenemos que
ϕ−1
i (F ) ∈ ∑,
por lo tanto la correspondencia intersección ϕ es medible.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
3.2.
51
Teorema de selección de Kuratowski-Ryll-Nardzewski
En esta sección demostramos un resultado que permite asegurar bajo condiciones
adecuadas la existencia de selectores medibles de una correspondencia, este resultado
es conocido comunmente como el Teorema de selección de Kuratowski-RyllNardzewski. Pero primero la definición de selector medible.
Definición 3.2.1 Un selector medible de una correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y con
valores no vacı́os, entre espacios medibles, es una función medible f ∶ X → Y que
satisface para cada x en X,
f (x) ∈ ϕ(x).
Ejemplo 3.2.1 Sea ϕ ∶ [0, 1] ↠ [0, 1] la correspondencia dada por ϕ(x) = [0, x],
veamos que la función f ∶ [0, 1] → [0, 1] definida por f (x) = x2 , es un selector medible
de ϕ. Probemos que f es medible, sean r ∈ [0, 1] y
F ∶= {x ∈ [0, 1] ∶ f (x) < r} = {x ∈ [0, 1] ∶ x < 2r} .
a) Si r = 0, se sigue que
F = ∅ ∈ ∑R .
b) Si r ∈ (0, 1] implica que
F = [0, 2r) ∈ ∑R .
Por lo tanto, f es medible (f también es continua) y claramente
x
2
∈ [0, x].
Teorema 3.2.1 (de selección de Kuratowski-Ryll-Nardzewski.)
Si ϕ ∶ X ↠ Y es una correspondencia débilmente medible con valores cerrados y no
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
52
vacı́os, de un espacio medible a un espacio métrico separable y completo (polaco),
entonces ϕ admite un selector medible.
Demostración. Sea D = {y1 , y2 , ...} un subconjunto denso numerable de Y y
sea h la métrica en Y, definamos d ∶ Y × Y → R, por
d(x, y) = γ ⋅
h(x,y)
1+h(x,y) ,
0 < γ < 1.
La función d es también una métrica para Y que satisface que diamY < 1,
además, esta métrica es equivalente a la métrica h, por lo tanto, sin perdida de
generalidad podemos utilizar a d como la métrica para el espacio Y.
Ahora construiremos una sucesión (fn )ˆ
n=0 de funciones medibles de X a Y con
valores en el conjunto denso D que satisfaga que para cada x ∈ X y n ≥ 0;
ˆ n (x), ϕ(x)) <
a) d(f
1
2n ,
b) d(fn (x), fn+1 (x)) <
1
2n .
Definimos f0 ∶ X → Y por f0 (x) = y1 . Como el diamY < 1 obtenemos que
ˆ 1 , ϕ(x)) < 1,
d(y
ası́, se satisface la condición a), además como f0 es una función constante, entonces
es medible.
El paso inductivo es suponer que existen {f0 , f1 , ..., fn } funciones medibles de X
a Y que satisfacen la condición a), esto es; para cada x ∈ X existe y ∈ ϕ(x) tal que
d(y, fn (x)) <
Como D es un conjunto denso y δ ∶=
1
2n
1
.
2n
− d(y, fn (x)) > 0, se tiene que
B δ (y) ∩ D ≠ ∅,
2
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
53
por lo que existe yk ∈ B δ (y) ∩ D tal que d(yk , y) < 2δ , en consecuencia
2
d(yk , fn (x)) ≤ d(yk , y) + d(y, fn (x))
δ
+ d(y, fn (x))
<
2
1
d(y, fn (x))
=
−
+ d(y, fn (x))
n+1
2
2
1
d(y, fn (x))
=
+
2n+1
2
1
=
,
2n
es decir,
fn (x) ∈ B
1
2n
(yk ).
(3.3)
Por otra parte
ˆ k , ϕ(x)) ≤ d(yk , y) <
d(y
δ
2
≤
1
2n+1
lo cual implica que
ϕ(x) ∩ B
1
2n+1
(yk ) ≠ ∅.
(3.4)
Entonces por (3.3) y (3.4) obtenemos que
x ∈ Ak ∶= ϕ−1
i (B
1
2n+1
(yk )) ⋂ fn−1 (B
1
2n
(yk )).
Sea kn (x) el ı́ndice más pequeño tal que x ∈ Ak y definimos la función fn+1 ∶ X → Y
por
fn+1 (x) ∶= ykn (x) .
Por construcción tenemos que
ˆ n+1 (x), ϕ(x)) <
d(f
1
2n+1
y
d(fn+1 (x), fn (x)) <
1
2n .
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
54
Probemos que fn+1 es una función medible. Como ϕ es débilmente medible y fn es
medible, entonces Ak ∈ ∑X para toda k ∈ N. Ası́, para B un conjunto de Borel en Y ,
−1
fn+1
(B) = {x ∈ X ∶ ykn (x) ∈ B}
=
=
⋃ {x ∈ X ∶ kn (x) = k}
yk ∈B
k−1
⋃ [Ak ∖ ⋃ Am ] ∈ ∑,
k∈N
m=1
por lo tanto, fn+1 es una función medible. Esta construcción nos asegura la existencia de la sucesión de funciones medibles (fn )n∈N con valores en el denso D y que
satisfacen las condiciones a) y b).
Sea > 0 y N ∈ N tal que
1
2N −1
< si m ≥ n ≥ N . Entonces
d(fn (x), fm (x)) ≤ d(fn (x), fn+1 (x)) + d(fn+1 (x), fn+2 (x)) + ... + d(fm−n−1 (x), fm (x))
1
1
1
<
+ n+1 + ... + m−n−1
n
2
2
2
1
1
1
[1 + + ... + m−2n−1 ]
=
n
2
2
2
1
<
[2]
2n
1
< .
=
n−1
2
Por lo anterior, (fn )n∈N es una sucesión de Cauchy uniforme, lo cual implica la
convergencia a una función f de X a Y y por el Lema 4.0.7, f es también una
función medible.
Finalmente como ϕ(x) es cerrado y por la condición a), tenemos que f (x) es un
elemento de ϕ(x), por lo tanto f es un selector medible de la correspondencia ϕ.
Como un primer corolario al teorema de existencia tenemos el siguiente resultado.
Corolario 3.2.1 Para una correspondencia ϕ ∶ X ↠ Y de un espacio medible a un
espacio topológico, con valores no vacı́os y cerrados tenemos lo siguiente.
a) Si existe una sucesión (fn )n∈N de selectores medibles de ϕ que satisfacen para cada x en X
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
55
ϕ(x) = {f1 (x), f2 (x), ...},
entonces ϕ es débilmente medible.
b) Si Y es un espacio polaco y ϕ es débilmente medible, entonces existe
una sucesión (fn )n∈N de selectores medibles de la correspondencia ϕ
que satisfacen para cada x en X,
ϕ(x) = {f1 (x), f2 (x), ...}.
Demostración. a) Sea G un conjunto abierto en Y, entonces
ϕ−1
i (G) = {x ∈ X ∶ ϕ(x) ∩ G ≠ ∅}
= {x ∈ X ∶ {f1 (x), f2 (x), ...} ∩ G ≠ ∅}
= {x ∈ X ∶ {f1 (x), f2 (x), ...} ∩ G ≠ ∅}
= {x ∈ X ∶ ∃n ∈ N, tal que fn (x) ∈ G}
= {x ∈ X ∶ ∃n ∈ N, tal que x ∈ fn−1 (G)}
=
ˆ
−1
⋃ fn (G).
n=1
Dado que fn es medible, fn−1 (G) ∈ ∑ y por lo tanto ϕ−1
i (G) ∈ ∑.
b) Supongamos que Y es un espacio polaco y ϕ una correspondencia débilmente
medible. Sea {U1 , U2 , ...} una base numerable para Y y para cada n ∈ N definimos
ϕn ∶ X ↠ Y por
⎧
⎪
⎪
⎪ ϕ(x) ∩ Un si ϕ(x) ∩ Un ≠ ∅
ϕn (x) = ⎨
⎪
⎪
ϕ(x)
en otro caso
⎪
⎩
Probaremos que para un conjunto abierto G en Y,
−1
−1
−1
c
(ϕn )−1
i (G) = ϕi (Un ∩ G) ⋃(ϕi (G) ∩ (ϕi (Un )) ).
Para x ∈ (ϕn )−1
i (G),
(3.5)
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
56
ϕn (x) ∩ G ≠ ∅.
Notemos que:
ϕn (x) = ϕ(x) ∩ Un ⇔ x ∈ ϕ−1
i (Un ∩ G).
c
−1
c
−1
−1
ϕn (x) = ϕ(x) ⇔ x ∈ ϕ−1
i (G) ∩ ϕs (Un ) = ϕi (G) ∩ [ϕi (Un )] ,
de donde se sigue la igualdad en (3.5).
Usando que ϕ es débilmente medible de (3.5) tenemos que ϕn es débilmente
medible y por el Lema 3.1.1 la correspondencia cerradura ϕn es también débilmente
medible, además, dado que ϕn toma valores no vacı́os y cerrados, por el Teorema
3.2.1, se sigue que existe un selector medible fn de la correspondencia ϕn . Falta
demostrar que para cada x ∈ X,
ϕ(x) = {f1 (x), f2 (x), ...}.
Como ϕ toma valores cerrados, claramente
{f1 (x), f2 (x), ...} ⊂ ϕ(x).
Probemos ahora la otra contención. Sea y ∈ ϕ(x) y sea > 0, entonces existe
Un ⊂ B (y) un elemento de la báse para la topologı́a generada por la métrica en Y,
lo que implica que existe fn tal que
fn (x) ∈ ϕn (x) = ϕ(x) ∩ Un ⊂ ϕ(x) ∩ B (y),
de donde se sigue que d(y, fn (x)) < y por lo tanto y ∈ {f1 (x), f2 (x), ...}. Como y
es un punto arbitrario de ϕ(x), hemos probado que ϕ(x) ⊂ {f1 (x), f2 (x), ...}.
3.3.
Teorema del máximo medible
El Teorema del máximo medible es un corolario más al Teorema de selección de
Kuratowski-Ryll-Nardzewski. Para establecer este resultado es necesario estudiar las
llamadas funciones de Caratheodory, además, de otros conceptos relacionados.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
57
Definición 3.3.1 Sea (X, ∑) un espacio medible y sean (Y, τY ), (Z, τZ ) espacios
topológicos. Una función f ∶ X × Y → Z se dice ser de Carathéodory si se satisface:
a) Para cada y en Y , la función f (⋅, y) ∶ X → Z es ∑ /σ(τZ )−medible, es
decir, f −1 (B, y) es un elemento de ∑ para todo subconjunto de Borel
B en Z.
2) Para cada x en X la función f (x, ⋅) ∶ Y → Z es continua en Y .
Definición 3.3.2 Si ϕ ∶ (X, ∑) → (Y, d) es una correspondencia de un espacio medible a un espacio métrico que toma valores no vacı́os, entonces la función distancia
asociada a ϕ es la función δ ∶ X × Y → R definida por
ˆ ϕ(x)).
δ(x, y) = d(y,
Teorema 3.3.1 Si ϕ es una correspondencia con valores no vacı́os de un espacio
medible X a un espacio métrico separable Y . Entonces ϕ es débilmente medible si,
y sólo si, la función distancia asociada a ϕ es una función de Carathéodory.
Demostración. (⇒) Por la definición de distancia asociada tenemos que δ(x, ⋅)
es continua en Y (ver Proposición 4.0.5). Sea y ∈ Y fijo y r ∈ R. Entonces
ˆ ϕ(x)) < r}
D ∶= {x ∈ X ∶ δ(x, y) < r} = {x ∈ X ∶ d(y,
= {x ∈ X ∶ Br (y) ∩ ϕ(x) ≠ ∅}
= ϕ−1
i (Br (y)).
Como ϕ es medible, D ∈ ∑ y por lo tanto δ(⋅, y) es medible.
(⇐) Sea D un subconjunto denso numerable del espacio separable Y , por la
Proposición 4.0.6 para un subconjunto abierto A en Y, se tiene que:
ˆ
A = ⋃ Brn (yn ),
n=1
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
58
con rn ∈ Q+ y yn ∈ D. En consecuencia,
ˆ
−1
ϕ−1
i (A) = ϕi ( ⋃ Brn (yn ))
n=1
ˆ
=
−1
⋃ ϕi (Brn (yn ))
n=1
ˆ
=
⋃ {x ∈ X ∶ ϕ(x) ∩ Brn (yn ) ≠ ∅}
n=1
ˆ
ˆ n , ϕ(x)) < rn }
⋃ {x ∈ X ∶ d(y
=
n=1
ˆ
=
⋃ {x ∈ X ∶ δ(x, yn ) < rn } .
n=1
Como cada conjunto {x ∈ X ∶ δ(x, yn ) < rn } ∈ ∑, entonces ϕ−1
i (A) ∈ ∑, por lo tanto,
ϕ es débilmente medible.
Definición 3.3.3 Sean (X, ∑X ), (Y, ∑Y ) y (Z, ∑Z ) espacios medibles. Diremos
que f ∶ X × Y → Z es conjuntamente medible, si para cada A ∈ ∑Z ,
f −1 (A) ∈ σ(∑X × ∑Y ).
Lema 3.3.1 Sea (X, ∑) un espacio medible, (Y, d) un espacio métrico separable y
(Z, ρ) un espacio métrico, entonces cada función f ∶ X × Y → Z de Carathéodory es
conjuntamente medible.
Demostración. Sea D = {y1 , y2 , ...} un subconjunto denso numerable de Y y F
un subconjunto cerrado de Z. Iniciemos probando que para (x, y) ∈ X × Y, el punto
f (x, y) ∈ F si, y sólo si, para cada n, existe ym ∈ D, tal que
d(y, ym ) <
1
1
y ρ̂(f (x, ym ), F ) < .
n
n
(⇒) Supongamos que f (x, y) ∈ F. Por continuidad de la función f (x, ⋅), para
=
1
n
existe δ > 0 y ym ∈ D, tal que
1
1
d(y, ym ) < min {δ, } ≤ ,
n
n
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
59
y
ρ(f (x, y), f (x, ym )) < =
1
,
n
por lo tanto,
ρ̂(f (x, ym ), F ) ≤ ρ(f (x, ym ), f (x, y)) <
1
.
n
(⇐) Supongamos ahora que para cada n, existe ym ∈ D, tal que
d(y, ym ) <
1
1
y ρ̂(f (x, ym ), F ) < .
n
n
La sucesión (ym )m∈N converge a y, entonces por la continuidad de f (x, ⋅), se sigue
que la sucesión (f (x, ym ))m∈N converge a f (x, y). Además, por la Proposición 4.0.5;
limn→ˆ ρ̂(f (x, ym ), F ) = ρ̂(f (x, y), F ),
lo que implica que
ρ̂(f (x, y), F ) = 0.
Por la Proposición 4.0.4, f (x, y) ∈ F y por lo tanto, se sigue que:
f −1 (F ) = {(x, y) ∈ X × Y ∶ f (x, y) ∈ F }
= {(x, y) ∈ X × Y ∶ ∀n, ∃ym ∈ D tal que d(y, ym ) <
=
ˆ
ˆ
⋂ ⋃ [{x ∈ X ∶ ρ̂(f (x, ym ), F ) <
n=1 m=1
1
1
y ρ̂(f (x, ym ), F ) < }
n
n
1
} × B 1 (ym )] .
n
n
Para n fijo, el conjunto
{x ∈ X ∶ ρ̂(f (x, ym ), F ) <
1
1
} = f −1 (⋅, ym )({z ∈ Z ∶ ρ̂(z, F ) < }),
n
n
y como f (⋅, y) es ∑ /σ(BZ )−medible se obtiene que
f −1 (⋅, ym )({z ∈ Z ∶ ρ̂(z, F ) <
1
}) ∈ ∑,
n
ası́ que f −1 (F ) ∈ σ(∑ ×BY ) y por lo tanto, f es conjuntamente medible.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
60
Teorema 3.3.2 Supongamos que f ∶ X × Y → Z es una función de Carathéodory
donde (X, ∑) es un espacio medible, (Y, d) es un espacio métrico separable y (Z, τ )
un espacio topológico. Para cada G subconjunto de Z, se define la correspondencia
ϕG ∶ X → Y por
ϕG (x) = {y ∈ Y ∶ f (x, y) ∈ G}.
Si G es abierto, entonces ϕG es una correspondencia medible.
Demostración. Supongamos sin perdida de generalidad que G es no vacı́o y
que F es un subconjunto cerrado de Y. Obsérvese que
(ϕG )−1
i (F )
=
{x ∈ X ∶ ϕG (x) ∩ F ≠ ∅}
=
{x ∈ X ∶ {y ∈ Y ∶ f (x, y) ∈ G} ∩ F ≠ ∅}
=
{x ∈ X ∶ ∃y ∈ F tal que f (x, y) ∈ G}
∶= A.
Sea {y1 , y2 , ...} un subconjunto denso numerable en F. Probaremos que
A = {x ∈ X ∶ ∃n ∈ N tal que f (x, yn ) ∈ G} ∶= B.
Sea x ∈ A. Para algún y en F, f (x, y) es un punto interior del conjunto abierto G,
por lo tanto existe r > 0 tal que
Br (f (x, y)) ⊂ G.
Como f (x, ⋅) es continua, para r > 0 existe V una vecindad abierta de y tal que
f (x, v) ∈ Br (f (x, y)) ⊂ G ∀v ∈ V.
Puesto que, V es una vecindad abierta de y y {y1 , y2 , ...} es denso en F , se tiene que
V ∩ {y1 , y2 , ...} ≠ ∅,
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
61
y por lo tanto existe yn en V ∩ {y1 , y2 , ...} tal que
f (x, yn ) ∈ Br (f (x, y)) ⊂ G,
lo cual implica que x ∈ B.
Ahora sea x ∈ B, significa que existe n ∈ N tal que f (x, yn ) ∈ G, como
{y1 , y2 , ...} ⊂ F,
es claro que yn ∈ F , por lo tanto x ∈ A.
Por lo anterior obtenemos que
(ϕG )−1
i (F ) = A
= B
=
ˆ
⋃ {x ∈ X ∶ f (x, yn ) ∈ G} .
n=1
Dado que f (⋅, y) es ∑ /σ(τZ )− medible, cada conjunto {x ∈ X ∶ f (x, yn ) ∈ G} ∈ ∑,
entonces (ϕG )−1
i (F ) ∈ ∑. Por lo tanto ϕG es una correspondencia medible.
Lema 3.3.2 Sean (X, ∑) un espacio medible, Y, Z1 , Z2 espacios métricos separables y Z un espacio topológico. Si fi ∶ X × Y → Zi , i = 1, 2 son funciones de Carathéodory y g ∶ Z1 ×Z2 → Z es Borel medible, entonces la composición h ∶ X ×Y → Z
definida por
h(x, y) = g(f1 (x, y), f2 (x, y)),
es conjuntamente medible.
Demostración. Esta demostración se encuentra en [1], Teorema 4.52.
Teorema 3.3.3 Sean (X, ∑) un espacio medible, Y un espacio polaco y Z un espacio métrico separable. Supongamos que f ∶ X×Y → Z es una función de Carathéodory
y que ϕ ∶ X ↠ Y es débilmente medible con valores compactos no vacı́os.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
62
Supongamos además que π ∶ X → Z es una función medible tal que para cada
x ∈ X existe y ∈ ϕ(x) tal que π(x) = f (x, y). Entonces la correspondencia γ ∶ X ↠ Y
definida por
γ(x) = {y ∈ ϕ(x) ∶ f (x, y) = π(x)},
es medible y admite un selector medible, es decir, además de que γ es medible, existe
una función medible ξ ∶ X → Y tal que ξ(x) es un elemento de ϕ(x) y π(x) =
f (x, ξ(x)) para cada x en X.
Demostración. Sean d la métrica en Z, g ∶ Z × Z → R la función continua
definida por g(z1 , z2 ) = d(z1 , z2 ) y h ∶ X × Y → R definida por
h(x, y) = g(f (x, y), π(x)) = d(f (x, y), π(x)).
Como f es continua en Y , obtenemos que h es continua en Y, además, las funciones
(x, y) → f (x, y) y (x, y) → π(x) son funciones de Carathéodory y por el Lema 3.3.2,
h es conjuntamente medible, en particular es medible y por el Lema 3.3.1, la función
h es de Carathéodory.
Para cada n definamos la correspondencia ψn ∶ X ↠ Y por:
ψn (x) = {y ∈ Y ∶ d(f (x, y), π(x)) < n1 } = {y ∈ Y ∶ h(x, y) ∈ (−ˆ, n1 )}.
Por el Teorema 3.3.2 cada ψn es medible y por el Teorema 3.1.1 y el Lema 3.1.1 la
correspondencia ψn es débilmente medible. Además, por el Lema 3.1.2, 3)
γ(x) = ϕ(x) ∩ ψ1 (x) ∩ ψ2 (x), ...,
es medible y ası́ débilmente medible.
Como γ toma valores compactos y no vacı́os, por el Corolario 3.2.1, γ tiene un
selector medible ξ.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
63
Teorema 3.3.4 (Teorema del máximo medible.) Sean Y un espacio polaco, (X, ∑)
un espacio medible, ϕ ∶ X ↠ Y una correspondencia débilmente medible con valores
compactos, no vacı́os y f ∶ X × Y → R una función de Carathéodory. Definamos
m(x) =máxy∈ϕ(x) f (x, y),
y la correspondencia µ ∶ X ↠ Y por
µ(x) = {y ∈ ϕ(x) ∶ f (x, y) = m(x)}.
Entonces
1) m es medible.
2) La correspondencia µ toma valores compactos y no vacı́os.
3) µ es medible y admite un selector medible.
Demostración. 1) Por el Corolario 3.2.1 existe una sucesión de selectores medibles (gn )n∈N de ϕ tal que para cada x en X,
ϕ(x) = {g1 (x), g2 (x), ...}.
Sea hn ∶ X → X × Y una función definida por
hn (x) = (x, gn (x)).
Observemos que para cada A en ∑ y B en BX ,
−1
h−1
n (A × B) = A ∩ gn (B) ∈ ∑,
por lo que para cada n, la función hn es ∑ /σ(∑ ×BX )−medible.
Como f es de Carathéodory, por el Lema 3.3.1, es conjuntamente medible y por
lo tanto medible en σ(∑ ×BX ). Ası́, para cada n la composición f ○ hn es medible.
CAPÍTULO 3. SELECTORES MEDIBLES
64
Ahora
m(s) = sup f (x, gn (x))
n∈N
= sup f (hn (x))
n∈N
= sup f ○ hn (x).
n∈N
Por lo tanto, m es medible.
2) Para cada s ∈ X, el conjunto µ(s) es cerrado y está contenido en ϕ(s), el cual
es compacto, por lo tanto µ toma valores compactos y no vacı́os.
3) Se sigue del Teorema 3.3.3 tomando m(x) = π(x).
Capı́tulo 4
Apéndice
Proposición 4.0.1 Sea Y un espacio topológico. Si A es abierto en Y , entonces
B ∩ A = ∅ si, y sólo si, B ∩ A = ∅ ∀B ⊂ Y.
Demostración. (⇒) Sea B ⊂ Y y supongamos que B ∩ A = ∅, como B ⊂ B, es
claro que B ∩ A = ∅.
(⇐) Supongamos ahora que B ∩ A = ∅ y que
B ∩ A ≠ ∅.
Nótese que x ∈ A ∩ B es un punto interior de A y un punto de acumulación de B, por
tal motivo existe U una vecindad abierta de x tal que U ⊂ A y usando que A∩B = ∅,
se sigue que
U ∩ B = ∅,
lo cual implica que x no puede ser punto de acumulación de B lo que es una contradicción y por lo tanto, B ∩ A = ∅.
65
CAPÍTULO 4. APÉNDICE
66
Lema 4.0.3 Sea Y un espacio regular. Y es normal si, y sólo si, dado un cerrado
F y un abierto U, tal que F es un subconjunto de U, entonces existe V abierto, tal
que
F ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
La demostraciń la puede encontrar en [7].
Proposición 4.0.2 Si X es un espacio Hausdorff, entonces es un espacio regular.
La demostraciń la puede encontrar en [7].
Lema 4.0.4 Si X es un espacio compacto y Hausdorff, entonces X es normal.
La demostraciń la puede encontrar en [7].
Lema 4.0.5 (Lema de Urysohn).
Sea (X, τ ) un espacio topológico. X es un espacio normal si, y sólo si, para cualesquier subconjuntos cerrados ajenos A y B de X, existe una función continua
f ∶ X → [0, 1] tal que
f (A) = {0} y f (B) = {1} .
La demostraciń la puede encontrar en [7].
Proposición 4.0.3 Todo espacio paracompacto X, es regular.
Demostración. Sea A un subconjunto cerrado de X y x ∈ Ac . Como el espacio
X es Hausdorff, para cada a en A y el punto x fijo, existe un abierto Ua tal que x
no está en Ua , ası́
L ∶= {Ua ∶ a ∈ A} ⋃ Ac
CAPÍTULO 4. APÉNDICE
67
es una cubierta abierta para el espacio X y como X es paracompacto la cubierta L
tiene un refinamiento abierto localmente finito
{Va ∶ a ∈ A} ⋃ G.
Obtenemos que A ⊂ W ∶= {Va ∶ a ∈ A} y por el Teorema 2.1.2, b) obtenemos que
W = {Va ∶ a ∈ A} ,
c
por lo tanto, x ∈ W . Por lo que W y (W )c son conjuntos abiertos ajenos tales que
A ⊂ W y x ∈ (W )c .
Teorema 4.0.5 Todo espacio paracompacto X, es normal.
Demostración. Sean A y B subconjuntos cerrado ajenos en X. Por la Proposición 4.0.3 el espacio X es regular, entonces para cada a en A , existe un abierto
Ua tal que
Ua ∩ B = ∅,
por lo tanto
L ∶= {Ua ∶ a ∈ A} ⋃ Ac
es una cubierta abierta para el espacio X y como X es paracompacto la cubierta L
tiene un refinamiento abierto localmente finito
{Va ∶ a ∈ A} ⋃ G.
El conjunto abierto W ∶= {Va ∶ a ∈ A} contiene a A, además por el Teorema 2.1.2,
b) obtenemos que
CAPÍTULO 4. APÉNDICE
68
W = {Va ∶ a ∈ A} .
c
Por lo tanto B ⊂ W .
Proposición 4.0.4 Sea X un espacio normado, A un subconjunto de X. Definamos
ˆ A) = ı́nf ∥x − a∥ = ı́nf d(x, a).
d(x,
a∈A
a∈A
ˆ A) = 0, entonces x ∈ A.
Si d(x,
Demostración. Ejercicio para el lector.
Proposición 4.0.5 Sea X un espacio normado, A un subconjunto de X y d la
métrica generada por la norma de X. Entonces la métrica dˆ definida en (4.1) es
una función continua.
Demostración. Ejercicio para el lector.
Teorema 4.0.6 Sea (fn ) una sucesión de funciones definidas de un espacio topológico X a un espacio normado Y que converge uniformemente a una función f
de X a Y . Si cada función fn es continua en X, entonces f es continua en X.
Demostración. Ejercicio para el lector.
Lema 4.0.6 Si (X, d) un espacio métrico, entonces cada conjunto cerrado F, es un
conjunto Gδ y cada conjunto abierto A es un conjunto Fσ .
Demostración. Sea F un subconjunto cerrado en X y definamos para cada n
en N,
ˆ F) < 1},
Gn ∶= {x ∈ X ∶ d(x,
n
CAPÍTULO 4. APÉNDICE
69
ˆ
Probemos que F = ⋂ˆ
n=1 Gn . Como F es un subconjunto de ⋂n=1 Gn , basta probar
que
ˆ
⋂ Gn ⊂ F.
n=1
Supongamos que x ∈ Gn para toda n en N, es decir,
ˆ F ) < 1 ∀n ∈ N.
d(x,
n
Tomando el lı́mite cuando n tiende a infinito, se sigue que
ˆ F ) = 0.
d(x,
Por la Proposición 4.0.4, x ∈ F = F, por lo tanto
ˆ
F = ⋂ Gn .
n=1
Probemos que los conjuntos Gn son conjuntos abiertos en X. Sea n en N fijo y
sea y un elemento de Gn , entonces existe x en F tal que
d(x, y) <
Sea r =
1
n
1
.
n
− d(x, y) > 0. Si b es un elemento de Br (y) entonces
d(b, x) ≤ d(b, y) + d(y, x)
< r + d(y, x)
1
=
− d(x, y) + d(y, x)
n
1
.
=
n
Como x ∈ F , obtenemos que b ∈ Gn , además que
Br (y) ⊂ Gn ,
ası́, Gn es un conjunto abierto, por lo tanto F es un conjunto Gδ . En consecuencia
c
el conjunto abierto F c = ⋃ˆ
n=1 Gn , es un conjunto Fσ .
CAPÍTULO 4. APÉNDICE
70
Proposición 4.0.6 Sea (Y, d) un espacio métrico separable, G un conjunto abierto
en Y. Entonces G se puede escribir como una unión numerable de bolas abiertas de
Y.
Demostración. Sea D un subconjunto denso numerable de Y, probemos que el
conjunto:
B ∶= {Br (p) ∶ p ∈ D, r ∈ Q+ },
es base para la topologı́a generada por la métrica d. Sea A un abierto en Y. Para
cada a ∈ A, existe r > 0 tal que
Br (a) ⊂ A.
Sea s ∈ Q+ tal que 0 < 2s < r, como D es un conjunto denso en Y , se sigue que
D ∩ Bs (a) ≠ ∅.
y sea p en D ∩ Bs (a), entonces la d(p, a) < s. Además si b ∈ Bs (p), se sigue que
d(b, a) ≤ d(b, p) + d(p, a)
< s+s
< r
lo cual implica que
Bs (p) ⊂ Br (a) ⊂ A.
Por lo tanto B, es una base para la topologı́a generada por la métrica d, en consecuencia existe J ⊂ Q+ un conjunto de ı́ndices numerable tal que
A = ⋃ Brk (pk ).
k∈J
CAPÍTULO 4. APÉNDICE
71
Lema 4.0.7 El lı́mite puntual de una sucesión de funciones medibles de un espacio
medible (X, ∑) a un espacio métrico (Y, d), es medible.
Demostración. Sea {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles de X a Y,
supongamos que f es el lı́mite puntual de la sucesión {fn }n∈N y sea F un conjunto
cerrado no vacı́o en Y, es suficiente probar que f −1 (F ) es un elemento de ∑, para
esto, definamos para cada n,
ˆ F) < 1},
Gn ∶= {y ∈ Y ∶ d(y,
n
en el Lema 4.0.6 se prueba que los conjuntos Gn son abiertos en Y y que
ˆ
ˆ
n=1
n=1
F = ⋂ Gn = ⋂ Gn .
Probemos que
ˆ
ˆ
ˆ
f −1 (F ) = ⋂ ⋃ ⋂ fn−1 (Gk ).
k=1 m=1 n=m
Sea x en f −1 (F ) = f −1 (∩ˆ
k=1 Gk ), entonces
f (x) ∈ Gk , ∀k ∈ N.
Como la sucesión {fn (x)} converge a f (x), existe m ∈ N tal que para toda n ≥ m
fn (x) ∈ Gk ∀k ∈ N
de modo que
ˆ
ˆ
ˆ
x ∈ ⋂ fn−1 (Gk ) ⊂ ⋃ ⋂ fn−1 (Gk ) ∀k ∈ N,
n=m
m=1 n=m
por lo tanto
ˆ
ˆ
ˆ
x ∈ ⋂ ⋃ ⋂ fn−1 (Gk ).
k=1 m=1 n=m
ˆ
ˆ
−1
Sea x en ⋂ˆ
k=1 ⋃m=1 ⋂n=m fn (Gk ). Entonces para toda k, existe m, tal que para
toda n ≥ m,
CAPÍTULO 4. APÉNDICE
72
x ∈ fn−1 (Gk ),
en consecuancia obtenemos que para toda k existe m ∈ N tal que
fn (x) ∈ Gk ∀n ≥ m,
en el lı́mite, obtenemos que para toda k,
f (x) ∈ Gk ,
−1
ˆ
entonces f (x) ∈ ⋂ˆ
k=1 (Gk ) = ⋂k=1 (Gk ) = F y por lo tanto x ∈ f (F ).
Por la medibilidad de las funciones fn obtenemos que fn−1 (Gk ) ∈ ∑, entonces
f −1 (F ) ∈ ∑ . Ası́, la función lı́mite f es una función medible.
Bibliografı́a
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73