Ecuación de Schrödinger para un rotor rígido

Martínez Atilano Josefina
Prieto Martínez Fernando
Sánchez Molina Eduardo




V=0
r 1 + r2 = R
Se simplifica el problema de dos cuerpos;
a dos, de un solo cuerpo
Es más sencillo y práctico convertir el
sistema a coordenadas polares
𝐼 = µ𝑟 2
A partir de esta ecuación es
posible demostrar que las
eigenfunciones son los armónicos
esféricos:

El momento de inercia depende de las masas presentes en la molécula y
de su geometría, las características rotacionales de cualquier molécula se
pueden expresar en función de su momento de inercia respecto a los tres
ejes de la molécula que son perpendiculares. El convenio es identificar los
ejes como: Ia, Ib, Ic, escogidos de la manera que Ic≥Ib≥Ia.

Los rotores esféricos ó trompos esféricos:
Tienen los tres momentos de inercia iguales.

Ejemplos: CH4, SiH4, SF6

Los rotores simétricos o trompos simétricos:
Tienen dos momentos de inercia iguales

Ejemplos: NH3, CH3Cl, CH3CN

Los rotores lineales: Tienen un momento de
inercia a lo largo del eje igual a cero.

Ejemplos: CO2, HCl, OCS, CHCH

Los rotores asimétricos (o trompos
asimétricos): Tiene tres momentos de inercia
distintos.

Ejemplos: H2O; H2CO3, CH3OH

Los niveles de energía de rotacional de un rotor rígido se pueden obtener
resolviendo la ecuación de Schrödinger apropiada. Para ello se puede utilizar la
expresión clásica de la energía de un cuerpo que gira, expresarla en función de
momento angular y entonces imponer la ecuación las propiedades
mecanocuánticas del momento angular.

La expresión clásica para la energía de un cuerpo que gira alrededor del eje a es:


W= Velocidad angular (rad x s-1)
I= Momento de inercia
Como Ja= IaWa se puede reducir la expresión a:
Rotores esféricos

Cuando los tres momentos de inercia son iguales a un cierto valor de I, la
expresión clásica toma la forma:

Siendo J el módulo del momento angular, se puede obtener la siguiente
expresión cuántica haciendo el cambio.

Por lo tanto, la energía de un rotor esférico está limitado por los valores.

Normalmente la energía se expresa en función de la constante rotacional
B de la molécula siendo:

La expresión para energía es:

La energía de un estado rotacional se expresa normalmente como el
término de rotación, F(J), que es un número de ondas , dividiendo por hc
Rotores simétricos

En los rotores simétricos dos momentos de inercia son iguales y distintos
al tercero; el único eje de la molécula es su eje principal.

La expresión clásica se convierte en:

Si está se expresa en términos de

Nos queda:

Ahora se puede generar la expresión cuántica reemplazando J2 por J(J+1)
h2, siendo J el número cuántico de momento angular.

Obtenemos finalmente que los términos de rotación son:
Rotores lineales


Para un rotor lineal, considerando los núcleos como masas puntuales, la
rotación sólo tiene lugar alrededor de un eje perpendicular a la línea
entre los átomos y el momento angular alrededor del eje principal de un
rotor lineal es identicamente nula K= 0.
Por lo tanto, los términos rotacionales de una molécula lineal son:
Las funciones de onda para el rotor rígido están caracterizadas por los números
cuánticos J y m que a veces se denomina mJ. Estas se pueden expresar como una serie
de funciones Y que dependen igualmente de J y m, conocidas como armónicos
esféricos
CO2
DIATOMICA
CH4
SF6
NH3
H2O
CIF 5
H2CO
El diagrama muestra una parte del potencial
de un estado electrónico estable de una
molécula diatómica.
Los espectros de las transiciones rotacionales
de las moléculas está típicamente en la región
de microondas del espectro electromagnético
El rotor rígido es un modelo que se utiliza para explicar el
movimiento de los sistemas tridimensionales
La espectroscopia rotacional molecular, utiliza la información para
determinar longitudes de enlace y ángulos moleculares.
Estudio en degeneración de niveles de vibración debido a la
traslación y rotación de las moléculas.
En mecánica cuántica para la predicción de la energía rotacional de
una molécula diatómica.

La línea de absorción de rotación pura de frecuencia más baja para una molécula
de 12C 32S aparece a 48991 MHz. Encuentre la distancia de enlace de está
molécula.

Solución :
La absorción más baja es de línea es 01. Usando la ecuación
Se obtiene la transición J J+1, por lo tanto la absorción de frecuencia más baja es la
de


Donde:

Puesto que:
despejando queda:

Levine I. Quantum Chemistry. 5th Ed. Prentice Hall; pp. 130-133

Lecture 16: Rigid rotor (MIT) http://ocw.mit.edu/courses/chemistry/5-61physical-chemistry-fall-2013/lecture-notes/MIT5_61F13_Lecture16.pdf

David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski.
Quantum states of atoms and molecules.

Emilio San Fabian, El rotor rígido de dos partículas Universidad de
Alicante 2016-01-19

Erich Steiner. Matemáticas para las ciencias aplicadas. Editorial Reverté.
pp. 209

Peter Atkins, Ronald Friedman. Molecular quantum chemistry. 5th Ed.
OXFORD. Chapter 6.