Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales PROGRAMA NM 2

Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
PROGRAMA NM 2 - MATEMÁTICAS
Las Capacidades y Destrezas fundamentales, tales como la Comprensión, mediante el
razonamiento lógico deductivo, la Problematización, a través de la generación de modelos
matemáticos y su respectiva solución, el Análisis, por medio de la investigación, las
interpretaciones y conclusiones debidas, además de la Expresión Científica, presente en la
comunicación y en la esquematización, son puestos a prueba, a modo de desafío y
ejercitación con los contenidos mínimos obligatorios que los alumnos deben manejar.
La siguiente es una selección de problemas agrupados por contenidos, en los cuales se
recrea la formalidad, y estrategias necesarias para enfrentar pruebas de selección. En cada
uno de ellos el alumno deberá seleccionar la alternativa que estime correcta, considerando
que por cada respuesta errónea se descontará un porcentaje de las buenas; además se deberá
hacer especial hincapié en el tiempo estimado en la resolución de cada ítem, como así
mismo en la individualidad al momento de la ejercitación, así pues, será posible establecer
conclusiones categóricas respecto de la efectividad del trabajo que se realiza en los cursos
evaluados.
1. Lenguaje Algebraico
•
Expresiones algebraicas fraccionarias simples, (con binomios o productos notables en el
numerador y en el denominador). Simplificación, multiplicación y adición de
expresiones fraccionarias simples.
•
Relación entre la operatoria con fracciones y la operatoria con expresiones
fraccionarias.
•
Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de
variables por dígitos y/o números.
•
Potencias con exponente entero. Multiplicación y división de potencias. Uso e
interpretación de paréntesis.
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EJERCICIOS
1.- ¿Cuántos días hay en lo s tres quintos de un año de 365 días?
a)
b)
c)
d)
e)
73 días.
219 días.
121 días.
146 días.
Ninguna de las Anteriores.
2.- ¿Cuánto hay que agregar a la fracción
m+n
para obtener su recíproco?
m
2mn − n 2
m(m + n )
2mn + n 2
b)
m(m + n )
− 2 mn − n 2
c)
n(m + n )
n 2m + n 
d) − 

m  m+n 
e) Ninguna de las Anteriores.
a)
3.- Un comerciante hace un pedido de 650 Kg. de mercadería y se los envían en cuatro
partidas. En la primera le mandan 82,54 Kg., en la segunda 51 Kg. más que en la primera,
en la tercera, tanto como en las dos primeras juntas y en la cuarta le enviaron el resto.
¿Cuántos Kg. le enviaron en la última partida?
a)
b)
c)
d)
e)
227,84 Kg.
217,84 Kg.
382,92 Kg.
380,92 Kg.
Ninguna de las Anteriores.
4.- Los pesos de cuatro niños son 31 Kg., 24 Kg., 32 Kg., y 25 Kg. respectivamente. ¿Qué
peso tendrá un quinto niño si el promedio entre los cinco es de 29 Kg.?
a)
b)
c)
d)
e)
29
33
28
30
Ninguna de las Anteriores.
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m
−1
−1
m
−
n
5.- Si m =
y n = −1 , entonces:
=?
m
2
1−
m −n
a) 1
b) 2
c) –1
d) –2
e) Ninguna de las Anteriores
6.- Si x =
a)
b)
c)
d)
e)
a −1
x +1
, entonces
=?
a +1
x −1
−a
a
2a
− 2a
Ninguna de las Anteriores.
7.-Un recipiente contiene aceite hasta los
entonces queda aceite hasta los
2
1
de su capacidad. Si se le sacan 2 litros,
3
2
5
de la capacidad del recipiente. ¿Cuánto debe agregarse
12
para llenar el recipiente?
a) 10 litros
35
b)
litros
6
25
c)
litros
6
5
d) 4 litros
6
e) Ninguna de las Anteriores.
8.- Si a = 5 ×10 −2 , entonces
a)
b)
c)
d)
e)
a −3 − 5a −2
=?
2 ×10 −3
1
3
3
5
10 −6
Ninguna de las Anteriores.
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3
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 1   1 + (− 2) 
9.- El valor de 
 −
 es:
1 + (− 2 )  1 − (− 2) 
0
a)
b)
c)
d)
e)
2
9
8
8
9
−10
9
0
1
10.- El valor de
3 −1 + 3 −4
es:
3 −3
28
3
1
b)
9
1
c)
3
1
d) 7
3
e) Ninguna de las Anteriores.
a)
11.- En la ecuación 3 ⋅ 3 x = 27 2 x , x = ?
a) 3
b) 9
c) 2
1
d)
5
e) 5
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 x 2 3 ⋅ y −13
12.-  2 −1
 x ⋅y

a)
b)
c)
d)
e)
3
2
 =?


y
x2
x2
y
−y
x2
1
x2
x2
13.- Si x = −2, ⇒ x 5 − x 3 + 6 = ?
a)
b)
c)
d)
e)
–34
–18
–40
30
10
(
)(
)(
)
14.- El producto de xy 2 z 2 xyz 2 3x 2 yz es:
a) 6 x 2 y 2 z 2
b) 6 xyz
c) 6 x 4 y 4 z 4
d) 5 x 2 y 4 z 6
e) Ninguna de las Anteriores.
15.- El trinomio 3 x 2 + 14 x − 5 , equivale a:
a) (3x + 1)(x − 5)
b) (3x − 1)( x + 5)
c) ( x + 1)(3x − 5)
d) ( x − 1)(3x + 5)
e) Ninguna de las Anteriores.
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16.- La expresión x 2 n (2 + x ) 2 n , es equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
(x
2n
+ x 2 n +1
[(1 + x )
−1
2
[x (2 + x )]4 n
(2 x + 1 )2 n
(2 x + 1 )4 n
)
2n
]
2n
(
)
17.- El cuociente de x 3 + 4 x 2 + x − 6 : ( x + 2 ) , es:
a)
b)
c)
d)
e)
x 2 − 2x + 3
x2 + 2x − 3
x2 + 4x + 3
x2 + 4x − 3
Ninguna de las Anteriores.
18.- La expresión 3 2 n + 2 ⋅ 3 n + 1 , equivale a:
(
)
2
a) 3 n + 1
b) 3 ⋅ 3 2 n + 1
c) 3 n 3 n + 2
(
(
)
)
2
d) 3 2 n + 1
e) Ninguna de las Anteriores.
(
19.- El producto de ( x + 1 ) x 2 − x + 1
a)
b)
c)
d)
e)
)(
6
)
− x 3 + 1 , es igual a:
x9 −1
x9 + 1
x6 + 1
x6 − 1
Ninguna de las Anteriores.
20.-  x 2

a) x 2 −
b) x 4 −
c) x 4 −
d) x 4 −
e) x 4 −
2
1
 =?
x
2 x + x −2
2 x −1 + x −2
2 x + x −1
2 x + x −2
2x2 + 2−x
−
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(
21.- x 3 + 1
)
2
(
− x3 −1
)
2
=?
− 4x 3
2x6
4x3
x9 −1
x6 − 1
a)
b)
c)
d)
e)
22.- y 3 + 1 = ?
a) ( y + 1 )3
b) ( y + 1 ) y 2 − y + 1
c) ( y + 1 ) y 2 + y + 1
d) y 3 + y 2 + y + 1
e) Ninguna de las Anteriores.
(
(
)
)
23.- Al factorizar a ( x + 1 ) − x − 1 , resulta:
a) a ( x + 1 )2
b) ( x − 1)( a − 1 )
c) ( x + 1 )(a − 1)
d) a − 1
e) a
1
24.- Al simplificar la expresión
1−
a)
b)
c)
d)
e)
x−1
x
1
x+1
2
25.a)
b)
c)
d)
e)
, se obtiene:
1
1+
1
x
x +5y
2x + y
4x + 5y
−
+
= ?
x + 3y
3y + x
x + 3y
x + 3y
3
3x + 9 y
0
Ninguna de las Anteriores.
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2. Relaciones y Funciones
•
Representación, análisis y resolución de problemas contextualizados en situaci0ones
como la asignación de precios por tramo de consumo, por ejemplo, agua, luz o gas.
Variables independientes y dependientes. Función Parte Entera. Gráfico de una función.
•
Evolución del pensamiento geométrico durante los siglos XVI y XVII; aporte de René
Descartes al desarrollo de la relación entre álgebra y geometría.
•
Ecuación de la Recta. Interpretación de la pendiente y del intercepto con el eje de las
ordenadas. Condición de paralelismo y perpendicularidad.
•
Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Gráfico de las rectas
correspondientes. Planteo y resolución de problemas y desafíos que involucren sistemas
de ecuaciones.
•
Función Valor Absoluto; gráfico de dicha función. Interpretación de la función Valor
Absoluto como expresión de distanc ia a la recta real.
•
Uso de algún programa computacional de manipulación algebraica y gráfica.
EJERCICIOS
2.1
1.-
Relaciones y Funciones
Si A = {1, 2}, entonces: A × A = ?
a) {(1 ,1 ); (2 , 2 )}
b) {(1 , 2 ); (1,1 )}
c) {(1 ,1 ); (1 , 2 ); (2 ,1 ); (2 , 2 )}
d) {(1 , 2 ); (2 , 2 ); (2 ,1 )}
e) Ninguna de las Anteriores.
2.- El gráfico de la curva y = x 3 + x 2 intercepta al eje de las abscisas en:
a) x = 0 ; x = 1
b) x = 0 ; x = − 1
c) x = 0 ; x = 0
d) x = 0 ; x = 2
e) Ninguna de las Anteriores.
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3.- ¿Cuál (es) de las siguientes curvas corresponde (n) a una función?
I)
II)
y
III)
y
y
x
0
IV)
V)
y
x
0
VI)
y
y
x
x
0
a)
b)
c)
d)
e)
x
0
0
x
0
Sólo I, II y III.
Sólo I, IV y VI.
Sólo II, IV y VI.
Sólo II, III y V.
Todas son funciones.
4.- Dada la relación: R = {(a , b ); (b, a ); (a , c ); (a, d ); (c , c )}.
¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?
I.
II.
III.
R es transitiva.
R es función.
Dom R ⊂ Rec R.
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a)
b)
c)
d)
e)
Sólo III.
Sólo I.
Sólo II.
Sólo I y II.
Todas son correctas.
5.- Sea f una función real definida por:
x2 ,

f (x ) =  2 x ,
 1,

x≥0
x ≤ −5
− 5∠x∠ 0
La alternativa incorrecta es:
a)
b)
c)
d)
e)
f (0) = 1
f (1) = 1
f (−1) = 1
f (−5) = −10
f (5) = 25
6.- Sean: A = {1,2,3} y R = {(1,1); (1, 2); (2,2 ); (2,3)}una relación definida en R. Para que esta
relación cumpla con la propiedad refleja, debe estar el par ordenado:
a)
b)
c)
(2,1)
(4,2 )
(− 2,−1)
6 3
d)  , 
5 5
e) Ninguna de las Anteriores.
7.- Sean: A = {− 2, −1,0,1,2,} y la función g : A → R, definida por g ( x) = x 2 + 1 .
¿ Cuál es el recorrido de la función g ?
a) {1,2,5}
b) {0,1,2,5}
c) {− 3,0,1,2,5}
d) {0,1,2,3, 4,5}
e) Ninguna de las Anteriores.
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8.- La función f ( x ) = 2 x − 3 , corresponde al gráfico:
a)
b)
y
c)
y
y
3
3
3
x
x
0
-2
x
-3
3
-3
-3
-3
d)
e)
y
y
3
2
x
0
x
2
0
2
-3
-3
9.- P( x, y ) es un punto de la curva y = 2 x − 3 . Si la abscisa de P es el doble de su
ordenada, entonces, las coordenadas de P son:
a) ( 2,1)
b) ( 4,2)
c) ( −2, −1)
6 3
d) ( , )
5 5
e) Ninguna de las Anteriores.
10.- Sea
a)
b)
c)
d)
e)
 x − 1;
f (x ) =  2
 x + 2;
x≤2
x>2
entonces, f (8) − f (1) = ?
4
10
66
68
67
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11.- Sean f ∧ g funciones definidas en R, tal que, f (x ) = x − 1 y g ( x ) = x + 1 , entonces
( fog )(x ) = ?
a)
b)
c)
d)
e)
x+1
x
2x
0
x-1
12.- Dada la función f : R → R, tal que: f (x ) = x 2 − 5 x −15 , entonces f (− 5) = ?
a)
b)
c)
d)
e)
60
90
10
–15
35
13.- La función f (x ) = x + 2 , está representada por la gráfica:
a)
b)
c)
y
y
y
x
x
2
-4
x
0
2
-2
0
0
4
2
4
-2
-2
d)
2
-4
-2
y
e)
y
0
-2
0
2
x
x
-2
14.- Si A = {a, b}∧ B = {u , v}, entonces A × B = ?
a) {(u, a ); (u , b); (v, a ); (v, b )}
b) {(a, u ); (a, v ); (b, u ); (b, v )}
c) {(a, a ); (b, b ); (u , u ); (v, v )}
d) {(a, u ); (a, u ); (2, u ); (2, v ); (a , a ); (b, b ); (u , u ); (v , v )}
e) Ninguna de las Anteriores.
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3t 3
15.- Si f (x ) =
− 2 xt , entonces f (t ) = ?
x
a) t 2
b) 5t 2
c) t
d) 5t
e) 0
16.- De los siguientes conjuntos:
I)
II)
III)
R = {( x, y ) / y = 2 x −1}
R = {(x , y ) ∈ R + × R + / y = x 2 }
R = {(a, a ); (b, c ); (b, a )}
¿Cuál (es) de ellas es (son) función (es)?
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I.
Sólo II.
Sólo I y III.
Sólo I y II.
Todas son funciones.
17.- Dadas las siguientes funciones:
x +3
1
I)
f (x ) =
II)
g (x ) =
2
x +1
III)
h (x ) =
1− x
x
Entonces es (son) inversa (s):
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I y II.
Sólo II y III.
Sólo I y III.
Todas son inversas.
No hay funciones inversas.
18.- Si f (x ) = x + 1 , y f (g (x )) = x − 2 , entonces g ( x ) = ?
a)
b)
c)
d)
e)
g(x) = x − 1
g(x) = x + 2
g(x) = 2x − 1
g(x) = x − 3
g(x) = x + 3
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x+4
es:
1− x
19.- El dominio de la función f (x ) =
a) [− 4,1) U (1, ∞ )
b) [− 4,1)
c) (1, ∞)
d) [− 4, ∞)
e) Ninguna de las Anteriores.
20.- Si f (x ) = x + 1 , entonces f (x ) − f
a)
b)
c)
d)
e)
−1
(x ) = ?
2x
2
x +1
x −1
2x + 2
21.- Una función f posee inversa si:
I) Es constante.
a)
b)
c)
d)
e)
II)
Es inyectiva.
III)
Es epiyectiva.
Sólo II y III.
Sólo I y II.
Sólo I y III.
Sólo II.
Las Tres.
22.- De las funciones f ∧ g
representadas en las siguientes gráficas:
y
y
f
8
6
6
4
4
0
g
2
2
2
4
6
x
x
0
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2
4
6
8
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Determinar cuál es la alternativa falsa:
a) ( fog )(2 ) = 10
b) ( gof )(4) = 2
c) f −1 (− 2) = −1
d) g −1 (− 6 ) = 1
e) f (1) ⋅ g (2) = 10
23.- La función f (x ) = 16 − x 2 , está definida para:
a)
b)
c)
d)
e)
−8 ≤ x ≤ 8
−2≤ x ≤ 2
−4≤ x ≤ 4
x ≤ −4 ∨ x ≥ 4
∀x ∈ R
24.- Dadas las funciones:
I)
f (x ) = 2 x + 1
II)
f (x ) = x 2 − 1
III)
f (x ) = x 2 + x
Es (son) par (es):
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo I.
Sólo II.
Sólo II y III.
Sólo III.
Las tres.
25.- Si g ( x ) = 2 x − 5 , y g ( f (x )) = 4 x + 1 , entonces f (x ) = ?
a)
b)
c)
d)
e)
f (x ) = 2 x − 3
f (x ) = 2 x + 3
f (x ) = 4 x + 6
f (x ) = 2 x + 1
f (x ) = 6 x − 4
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2.2
Ecuación de la Recta
1.- En el gráfico, las coordenadas del punto medio del segmento P1 P 2 son :
y
a)
4
(0 , 4 )
5
b)  ,0 
2 
c) (3 ,0 )
d) (4 , 0 )
e) (0 ,3 )
P1
3
2
0
-4
2
4
6
x
-2
-2
P2
-4
2.- La distancia entre los puntos A (− 3,1 ) ∧ B (3 , − 1 ) es:
a)
b)
c)
d)
e)
2 10
0
6
10
40
3.- El valor de k, para que la pendiente de la recta que pasa por los puntos (3 , 2 ) ∧ (4 , k )
sea 3, es:
a)
b)
c)
d)
e)
–5
1
5
7/3
3/2
4.- En el gráfico, la pendiente de la recta L, que pasa por los puntos P1 ∧ P2 , es:
L
y
a)
b)
c)
d)
e)
1
0
3/2
–1
2
3
P1
2
0
-4
2
-2
4
6
x
-2
-4
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P2
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5.- En el gráfico, el área del triángulo ABC, medida en m 2 es:
y(m)
a)
b)
c)
d)
e)
12
24
3
6
36
C
6
4
2
B
A
0
x(m)
2
4
6
8
10
6.- El área y el perímetro del triángulo que forma la recta 3 x + 4 y − 12 = 0 con los ejes
coordenados son respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
2y4
6 y 12
3y6
6y6
12 y 24
7.- La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-7), y es paralela al eje x es:
a)
b)
c)
d)
e)
y
x
y
y
y
−7 = 0
+7 = 0
−7 = 0
+1 = 0
−1 = 0
8.- En el gráfico M es el punto medio del segmento AB, entonces, las coordenadas del
extremo B son:
y
a)
b)
(− 3 , − 1)
(− 2 , − 2 )
1
c)  − 2 , − 
2

d) (− 2 , − 1 )
3
e)  − , − 1 
 2

6
4
2
-4
L
A
M
-2
0
B
2
4
6
x
-2
-4
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17
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9.- La ecuación de la recta que pasa por el punto (1,4) y es paralela a la recta de ecuación
2 x − 5 y + 7 = 0 , es:
a)
b)
c)
d)
e)
2x
2x
2x
2x
2x
−5y
−5y
−5y
+ 5y
−5y
− 18 = 0
+ 18 = 0
−3= 0
− 18 = 0
+3= 0
10.- Si los puntos A (-3,4) ; B (4,3) y C (0,0), son los vértices de un triángulo, entonces el
triángulo es:
a)
b)
c)
d)
e)
Isósceles
Equilátero
Obtusángulo
Rectángulo
Acutángulo
11.- La ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas
2 x + y − 8 = 0 ∧ 3 x − 2 y + 9 = 0 , y además tiene pendiente –4, es:
a)
b)
c)
d)
e)
4x
4x
4x
4x
4x
+
−
+
−
+
y
y
y
y
y
+ 10
− 10
− 25
+ 10
− 10
=
=
=
=
=
0
0
0
0
0
12.-De acuerdo a la figura siguiente, ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son)
correcta (s)?
I)
II)
III)
a)
b)
c)
d)
e)
y
∆ ABC es isósceles.
∆ ABC es equilátero.
∆ ABC es rectángulo isósceles.
Sólo I.
Sólo II.
Sólo I y II.
Sólo II y III.
Sólo III.
4
C
2
-4
-2
2
0
A
Profesor. Enrique Rosales
-2
4
6
x
B
18
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
13.- La ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre
equidista de los puntos (4,2) y (-5,7) es:
a)
b)
c)
d)
e)
5x + 3y − 6 = 0
5x − 3y − 6 = 0
3x − 5 y − 6 = 0
5 x + −3 y + 6 = 0
Ninguna de las Anteriores.
14.-La ecuación de la recta que pasa por los puntos (4,2) y (-5,7) del plano cartesiano es:
a)
b)
c)
d)
e)
5x
5x
9x
5x
9x
+ 9y
+9y
+5y
+ 9y
−5y
+
−
−
−
−
38
38
46
46
46
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
15.- En el gráfico, el perímetro y el área del ∆ ABC son respectivamente:
y
a)
b)
c)
d)
e)
62 ∧ 36
14 ∧ 72
14 + 72 ∧ 18
9 + 52 ∧ 18
Ninguna de las Anteriores.
4
C
2
-4
-2
2
0
A
4
-2
8
6
x
B
16.- Dadas las rectas:
L1 : 3 x − 2 y + 1 = 0 ; L 2 : 6 x − 4 y − 5 = 0 ∧ L 3 : 2 x + 3 y − 7 = 0
¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera (s)?
I)
a)
b)
c)
d)
e)
L1 // L 2 II) L1 ⊥ L 3 III) L 2 // L 3 IV) L1 // L 3
Sólo I y II.
Sólo I, II y IV.
Sólo II, III y IV.
Sólo I, II y III.
Todas son verdaderas.
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19
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
17.- En el gráfico, el perímetro y el área del trapecio ABCD, medidos respectivamente en
(m ) ∧ m 2 , son:
y
( )
a)
b)
c)
d)
e)
20 y 100
24 y 24
36 y 28
24 y 28
Ninguna de las Anteriores.
4
C
D
2
-4
-2
2
0
A
-2
4
8
6
B
18.- Una recta de pendiente –2 pasa por el punto (2,3). Si la abscisa de otro punto de la
recta es 5, entonces su ordenada es:
a)
b)
c)
d)
e)
3
–9
9
–6
–3
19.- La distancia entre la recta 8 x + 15 y − 24 = 0 , y el punto de coordenadas (-2,-3) es:
a)
b)
c)
d)
e)
37/17
24
5
4
6
20.- El área limitada por las rectas: L1 : 5 x − 4 y + 20 = 0 ∧ L 2 : 5 x + 2 y − 10 = 0 , y
el eje x es:
a)
b)
c)
d)
e)
15
30
10
5
Ninguna de las Anteriores.
21.- La ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es perpendicular a recta de
ecuación 2 x − y − 2 = 0 , es:
a)
b)
c)
d)
e)
x+ 2y+1= 0
2x − 5y − 3 = 0
x −2y +8 = 0
x +2y − 4 = 0
2x − y + 7 = 0
Profesor. Enrique Rosales
20
x
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
22.- En el gráfico, el perímetro y el área del paralelogramo ABCD son respectivamente:
y
a)
b)
c)
d)
e)
36
36
16
20
60
y
y
y
y
y
24
48
48
80
160
D
C
8
2
A
-2
0
2
B
10
x
18
23.- El valor de k, para que la pendiente entre los puntos A ( 3k+1,-3 ) y B ( 14,-7 ) sea
igual a: –1 es:
a)
b)
c)
d)
e)
–3
2
1
3
0
24.- La ecuación de la recta que pasa por el punto (-6,-3) y tiene un ángulo de inclinación
de 45° es:
a)
b)
c)
d)
e)
x− y+3= 0
x− y −3 = 0
x+ y+3= 0
x+ y−3= 0
Ninguna de las Anteriores.
25.- Los valores de p, para que la distancia entre el punto (-7,p) y (1,-11) sea 17, es:
a)
b)
c)
d)
e)
26 y -4
–26 y 4
26 y 4
–26 y -4
Ninguna de las Anteriores.
Profesor. Enrique Rosales
21
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
3. Geometría
•
Semejanza de figuras planas. Criterios de Semejanza. Dibujos a escala en diversos
contextos.
•
Teorema de Thales sobre trazos proporcionales. División interior de un trazo en una
razón dada. Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales.
Análisis de los datos y de la factibilidad de las soluciones.
•
Teoremas relativos a la proporcionalidad de trazos, en triángulos, cuadriláteros y
circunferencia, como la aplicación del Teorema de Thales. Relación entre paralelismo,
semejanza y proporcionalidad entre trazos.
•
Angulos del centro e inscritos en la circunferencia. Teoremas de relación entre ángulos
del centro con ángulos inscritos.
4. Estadística y probabilidades
•
Juegos de azar sencillos; representación y análisis de los resultados obtenidos. Uso e
interpretación de tablas y gráficos.
•
La probabilidad como proporción entre el número de resultados favorables y el número
total de resultados posibles, en el caso de experimentos equiprobables. Diagramas de
árbol.
•
Iteración de experimentos sencillos: lanzamiento de una moneda o selección de una
carta de un naipe. Triángulo de Pascal. Interpretaciones combinatorias.
EJERCICIOS
♦ Geometría
1.- En la figura se puede observar que
L1 // L2 ; el valor del segmento x es:
L1
5 cm
a)
b)
c)
d)
e)
3,3 (cm)
7,5 (cm)
8 (cm)
10 (cm)
10,8 (cm)
6cm
x
L2
9 cm
Profesor. Enrique Rosales
22
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
2.- En la figura
a)
b)
c)
d)
e)
a : b = 5 : 3 ∧ c = 15(m ) . ¿Cuántos metros mide el trazo d ?
1
7
9
15
25
a
L1
L2
c
b
d
L1 // L2 // L3
L3
3.- En la figura
a)
b)
c)
d)
e)
L1 // L2 // L3 // L4 ; el trazo y mide:
1,6 (cm)
2,5 (cm)
4 (cm)
6 (cm)
40 (cm)
8 cm
L1
L2
10 cm
2 cm
y
L3
L4
4.- En la figura, la medida del trazo a en (cm) es:
L1
a)
b)
c)
d)
e)
80
40
20
10
No se puede determinar.
c
a
b
d
L2
5d=2c
b=4 cm
L1 // L2
Profesor. Enrique Rosales
23
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
5.- En la figura siguiente: l // m // n // r ; con respecto a ella, es verdadero que:
I.
II.
III.
IV.
a)
b)
c)
d)
e)
a d
=
b e
b c
=
e f
a f
=
c d
d
f
=
a c
Sólo I y II.
Sólo III y IV.
Sólo I, II y III.
Sólo II, III y IV.
Sólo I, II y IV.
c
b
a
e
f
r
d
n
m
l
6.- De las siguientes afirmaciones con respecto a la figura, la única falsa es:
a)
E
AD CA
=
CE DB
C
γ
b) ∆ ABC ∼ ∆ EBD
c)
d)
e)
AB BC
=
EB BD
BC BD
=
CA DE
∠ CAB ≅ ∠ CAB
B
γ
D
A
7.- En un mapa la distancia que separa a dos pueblos es de 3 (cm); se sabe que esos pueblos
están a 9 (Km) de distancia; entonces la escala en que está confeccionado el mapa es de:
a)
b)
c)
d)
e)
3:9
1 : 30
1 : 3.000
1 : 300.000
1: 3.000.000
Profesor. Enrique Rosales
24
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
8.- En el plano de una casa la escala utilizada es 1 : 100. Un dormitorio tiene 2,6 (cm) de
largo y 3,8 (cm) de ancho; entonces el área del dormitorio es:
a)
b)
c)
d)
e)
9,88 (cm )
2
4,94 (m )
2
6,4 (m )
2
9,88(m )
2
12,8(m )
2
9.- Con respecto al triángulo de la figura, podemos afirmar que es (son) verdadera (s):
I.
a)
b)
c)
d)
e)
a h
=
b q
c b
=
b q
II.
C
b
Sólo II.
Sólo I y II.
Sólo II y III.
Sólo I y III.
Todas.
a2 = p ⋅ c
III.
a
h
q
p
A
B
c
10.- El perímetro de un rectángulo es de 24 (cm). ¿Qué perímetro resulta al aplicarle una
homotecia de factor
a)
b)
c)
d)
e)
16 cm
20 cm
24 cm
32 cm
36 cm
11.- En la figura
a)
b)
c)
d)
e)
3
?
2
AD AE
=
,
AB AC
¿cuál es el valor del ángulo x?
113°
109°
71°
67°
42°
E
A
C
x
42°
Profesor. Enrique Rosales
71°
B
D
25
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
12.- En la siguiente figura
que es (son) verdadera (s):
I.
AM
// PT
II.
PT
es tangente a la circunferencia; entonces se puede afirmar
AM = MT ⋅ MB
PT = PA ⋅ AB
III.
B
a)
b)
c)
d)
e)
Sólo II.
Sólo III.
Sólo I y II.
Sólo II y III.
Sólo I y III.
AM • O
A
C
P
T
13.- El segmento x de la figura, mide:
a)
b)
c)
d)
e)
x
4 cm
6 cm
9 cm
10 cm
12 cm
15 cm
6 cm
•O
9 cm
14.- El segmento a de la figura mide:
a)
b)
c)
d)
e)
2(m )
1
4 (m )
3
8(m )
1
10 (m)
3
48 (m )
6m
a
4m
8m
15.- La tangente de la figura mide:
a)
b)
c)
d)
e)
216 (cm )
180 (cm )
18(cm )
15 cm
12 c m
180 (cm )
27 (cm )
Profesor. Enrique Rosales
26
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
16.- El radio del círculo mide:
a)
b)
c)
d)
9(cm )
6(cm )
3(cm )
45 (cm )
45 (cm )
e)
9
cm
45
•
3 cm
♦Estadística y Probabilidades
17.- La mediana del conjunto de datos, cuya distribución está dada por la siguiente tabla,
es:
a)
b)
c)
d)
e)
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
xi
fi
1
2
3
4
5
7
14
9
8
2
18.- La media aritmética de dos números “a y b” es 2, y su desviación estándar es
Entonces el producto ab, es:
a)
b)
c)
d)
e)
2.
0
1
2
3
4
19.- En una región del sur de Chile, la lluvia caída durante los 4 primeros meses del año ha
sido: 5 cm, 3 cm, 6 cm y 12 cm.. ¿Cuántos centímetros deberán caer en el siguiente mes,
para que la media mensual de Enero a Marzo sea de 6,5 cm?
a)
b)
c)
d)
e)
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
Profesor. Enrique Rosales
27
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
20.- En una caja hay tres bolas rojas y cuatro bolas azules; la probabilidad de sacar una bola
roja, es:
a)
b)
c)
d)
e)
4
7
3
7
3
4
1
3
1
7
21.- Si elegimos al azar un número del 1 al 20, la probabilidad de que sea un múltiplo de
cuatro es:
a)
b)
c)
d)
1
4
1
20
4
20
1
5
e) Ninguna de las Anteriores.
22.- Mil personas seleccionadas al azar fueron encuestadas sobre el consumo del alcohol y
del tabaco; los resultados se resumieron en la siguiente tabla:
Fumadores
No fumadores
Bebedores
320
530
No bebedores
20
130
Profesor. Enrique Rosales
28
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
Entonces la probabilidad de que una de las personas que contestó la encuesta fume y no
beba, es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
50
13
100
53
100
8
25
17
50
23.- El siguiente histograma muestra el número de familias que viven en un edificio de
departamentos, y que tienen 0, 1, 2, 3 ó 4 niños. Si se selecciona una de estas familias al
azar, ¿Cuál es la probabilidad de que tengan menos de tres niños?
a)
b)
c)
d)
e)
2
3
1
4
1
3
1
6
1
2
HISTOGRAMA:
n° familias v/s n° niños
n° familias
5
4
3
2
1
0
n° niños
0
1
2
3
Profesor. Enrique Rosales
4
29
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
24.- Se sabe que el 20% de los artefactos producidos por una empresa son defectuosos;
entonces, la probabilidad de que en tres artefactos elegidos al azar, ninguno sea defectuoso
es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
125
64
125
3
125
192
125
3
80
25.- La probabilidad de obtener al menos dos caras al lanzar tres veces una moneda es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
4
3
8
1
2
2
3
7
8
Profesor. Enrique Rosales
30
Ensayo PSU, por Prof. Enrique Rosales
CLAVES DE RESPUESTAS CORRECTAS
1. Lenguaje Algebraico
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B
D
B
B
C
A
B
B
B
A
D
A
B
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2. 1 Relaciones y Funciones
C
B
B
B
A
B
D
C
B
C
D
B
2.2 Ecuación de la Recta
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
D
A
C
A
A
B
C
D
B
A
E
A
B
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
C
B
B
A
A
E
A
B
A
C
B
E
D
3. Geometría
B
C
A
D
E
C
A
D
B
D
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Profesor. Enrique Rosales
B
C
B
D
E
A
D
D
E
E
A
C
D
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
B
A
D
B
D
A
B
D
D
C
B
B
4. Estadística
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
A
C
C
C
C
D
B
A
A
A
B
C
31