Control de procesos por atributos

Capítulo 5
Control de procesos por atributos
1. Introducción
2. Gráfico P
3. Gráfico NP
4. Gráfico C
5. Gráfico U
Apéndice: Curva Característica de Operaciones
1 Apuntes realzados por el Profesor Ismael Sánchez para la asignatura: Métodos Estadísticos para la Mejora de
la Calidad, de la titulación de Ingeniería de Telecomunicaciones. Universidad Carlos III de Madrid
1
2
Control de procesos por atributos
5.1.
Introducción
En el capítulo anterior se estudió la construcción de gráficos de control para analizar la evolución
de una variable cuantitativa continua que fuese el resultado de una medición: longitud, peso, tiempo,
etc. relacionada con la calidad. Sin embargo, a veces no se desea controlar el valor de una magnitud
medible sino simplemente si el producto es adecuado o no lo es; o, en general, si se posee o no
cierto atributo. Ejemplos de este tipo de variables son abundantes en telecomunicaciones. Algunos
ejemplos son:
Número de llamadas en un intervalo de tiempo.
Proporción de fallos en cada millón de llamadas.
Número de averías en un cable de fibra óptica al mes.
Este tipo de medición, a través de presencia o ausencia de atributos, tiene ciertas ventajas sobre
el control por variables del tema anterior:
Suele ser más sencillo y rápido. Por tanto, es más económico. Por ejemplo, es más rápido
comprobar si una pieza pasa por cierto calibre que medir su longitud exacta
Permite resumir las características de varias variables. Un artículo o servicio puede ser defectuoso o no dependiendo de un conjunto de variables y no de una sola. No se controla una
característica medible sino la ausencia o presencia de un atributo (rechazo/no rechazo).
La información de si el artículo es o no defectuoso contiene, implícitamente, la información de
la capacidad del proceso (variabilidad del proceso productivo bajo control) y las tolerancias
La monitorización de un proceso a través de este tipo de mediciones de denomina control
por atributos. Existen varios gráficos que permiten monitorizar la evolución de este tipo de información. En unos se observa la evolución de la proporción de artículos defectuosos en sucesivas
muestras de tamaño n (cada elemento observado es/no es defectuoso, o tiene/no tiene cierto atributo; por ejemplo, una llamada es o no es fallida), mientras que en otros se observa la evolución del
número de defectos que aparecen en cada unidad de medida (cada unidad de medida puede tener
más de un defecto o más de un atributo, por ejemplo, en cada minuto se puede recibir más de una
llamada).
5.2.
Gráfico P
En este gráfico se muestra la evolución de la proporción de individuos que tienen cierto
atributo. Por ejemplo, la proporción de artículos defectuosos, la proporción de llamadas telefónicas
que quedaron bloqueadas, la proporción de clientes que presentan una reclamación, etc. Llamaremos p a esta proporción.
Veamos primeramente el contexto estadístico en el que nos encontramos. Supongamos un proceso que opera de manera estable (bajo control) y cuyo resultado es un artículo o un servicio.
Supongamos que en ese estado la probabilidad de que un artículo sea defectuoso sea p. Supongamos
que en un instante ti analizamos un tamaño muestral ni (número de piezas producidas o número
de clientes a los que se ha prestado el servicio), el número de artículos (o servicios) defectuosos será
5.2 Gráfico P
3
di , que será una variable aleatoria al depender de los elementos ni concretos que hayan caído en
nuestras manos en ese instante. Por tanto, la proporción de artículos defectuosos de cada muestra,
que denotaremos por p̂i = di /ni será una variable aleatoria. Por tanto, aunque el proceso esté bajo
control, tendremos en general que p̂i 6= p. El valor p es un valor poblacional, mientras que p̂i es sólo
una estimación de p obteniada con ni observaciones. El objetivo del gráfico P será comprobar si
la evolución de los valores p̂i observados son compatibles con un mismo valor poblacional p, y por
tanto la diferencia entre el valor observado p̂i y el poblacoinal p se debe sólo al azar de la muestra
(variabilidad muestral).
Supongamos, además, que en esta situación de estabilidad el proceso evoluciona de manera
independiente; es decir, la probabilidad de que se produzca un artículo o servicio defectuoso es
independiente de si el anterior artículo o servicio fue o no defectuoso. Esta suposición también puede
interpretarse como ausencia de memoria. El proceso no recuerda si el último artículo producido fue
o no fue defectuoso. Bajo estos supuestos de estabilidad e independencia, la probabilidad de
que cada artículo sea defectuoso es siempre la misma e igual a p. Cada artículo producido puede
entonces asociarse a una variable aleatoria de Bernoulli que tome valor xi = 1 si el artículo es
defectuoso (P (xi = 1) = p)) o xi = 0 si es aceptable (P (xi = 0) = 1 − p). Por tanto, el número de
unidades defectuosas di de un total de ni unidades es una variable aleatoria Binomial con función
de probabilidad
µ ¶
ni r
P (di = r) =
p (1 − p)ni −r ; r = 0, 1, 2, ..., ni .
r
La media y varianza serán (ver Apéndice del Capítulo 5):
E(di ) = pni ,
Var(di ) = ni p(1 − p).
Como puede verse, ambos parámetros, media y varianza, dependen sólo de p, por lo que para
analizar la evolución del número de artículos defectuosos no es necesario construir un gráfico
de control para la media y otro diferente para la variabilidad, como ocurría en el control por
variables, sino que con un gráfico de control del parámetro p es suficiente. El gráfico se
realiza tomando muestras de tamaño ni (no tienen por qué ser todas de igual tamaño) y contando
el número de artículos defectuosos di . Nuestro interés está en la evolución de la proporción de
artículos defectuoso, es decir,
di
número de defectuosos en la muestra i-ésima
p̂i =
=
.
ni
tamaño muestral de la muestra i-ésima
El número de artículos defectuosos di puede escribirse como la suma de las variables
Bernoulli xi de cada artículo, que tendrán valor 1 ó 0. Entonces, la proporción de artículos
defectuosos en un total de ni unidades puede escribirse como
di
1 + 0 + 1 + 0 + 0 + ···
=
ni
ni
x1 + x2 + · · · + xni
=
=⇒ x̄
ni
y es, por tanto, una media muestral de variables de Bernoulli independientes entre si. Es fácil,
entonces, deducir las siguientes propiedades:
p̂i =
E(p̂i ) = p,
Var(p̂i ) =
p(1 − p)
;
ni
4
Control de procesos por atributos
y, si ni es suficientemente grande, podremos aplicar el Teorema Central del Límite y utilizar que,
aproximadamente,
µ
¶
p(1 − p)
p̂i ≈ N p,
.
ni
El gráfico de control P sirve para ver la evolución de este estadístico p̂i a medida que se van
recogiendo muestras consecutivas de tamaño ni . Supondremos que el tamaño muestral ni es suficientemnete grande como para utilizar la aproximación a la normal. Como en gráficos anteriores,
el gráfico P tiene los siguientes elementos
p
Límite de Control Superior = E(p̂i ) + 3 Var(p̂i )
Línea Central = E(p̂i )
p
Límite de Control Inferior = E(p̂i ) − 3 Var(p̂i )
tomándose como límite inferior el cero si resultase un valor negativo. Si la proporción de unidades
defectuosas p es conocida, el gráfico de control será
s
p(1 − p)
Límite de Control Superior = p + 3
ni
Línea Central = p
s
Límite de Control Inferior = p − 3
(5.1)
p(1 − p)
ni
Puede verse que los límites de control no son, en general, dos líneas rectas, sino que variarán con
el tamaño muestral ni . Esta variación es necesaria para asegurar que en cada momento existe
una probabilidad del 99.7 % de estar entre los límites si el proceso está bajo control. En el caso de
p conocido, los pasos a seguir para la construcción del gráfico son:
1. Tomar muestras de tamaño muestral ni . El tamaño muestral se decide según las características de cada caso. El tamaño muestral debe ser elevado, tanto para que la aproximación a la
normal sea buena, como para dar oportunidad a que aparezcan piezas defectuosas. De esta
forma, el 99,7 % de los valores estarán dentro de los límites de control cuando el proceso esté
en estado de control. Las muestras suelen tomarse a intervalos regulares de tiempo, aunque
el tamaño muestral no necesita ser el mismo.
2. Dibujar el gráfico con las especificaciones mostradas en (5.1).
3. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra:
p̂i =
número de defectuosos
.
ni
4. Colocar los valores p̂i ordenados en el tiempo en el gráfico e interpretarlo.
Ejemplo 1:
5.2 Gráfico P
5
M uestra :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
T otal :
N o de diodos insp eccionados
Diodos defectuosos
126
118
122
129
124
136
119
127
114
127
119
115
110
103
108
116
119
118
107
113
2370
8
10
10
9
10
10
9
9
20
11
12
5
11
6
10
4
7
8
10
13
192
p̂i
0,063
0,085
0,082
0,070
0,081
0,074
0,076
0,071
0,175
0,087
0,101
0,043
0,100
0,058
0,093
0,034
0,059
0,068
0,093
0,115
Cuadro 5.1: Datos ejemplo 1
Los diodos para un circuito impreso son producidos de forma continua en cierto proceso industrial. Un operario va tomando aleatoriamente diodos de la cadena de producción y va comprobando
si son defectuosos o aceptables. Como la cadena no tiene un ritmo de producción constante (sigue
un ritmo de producción denominado just − in − time, donde el ritmo de la cadena se va determinando según el nivel de stock final e intermedio), el ritmo de inspección no es tampoco constante.
El operario, por tanto, no toma siempre la misma cantidad de diodos para realizar la inspección.
La Tabla 5.1 muestra el tamaño de las muestras recogidas y el número de diodos que resultaron
defectuosos.
Se sabe por la información histórica del proceso, que si sólo actúan causas no asignables (azar),
se espera que el 8 % de los diodos sean defectuosos. Se quiere construir un gráfico de control para
la proporción de diodos defectuosos. El gráfico se muestra en la figura 5.1. En dicho gráfico puede
verse cómo los límites de control, aunque están usando el mismo valor p = 0,08 tienen distinto
ancho, debido a que las muestras son de distinto tamaño. Existe un punto fuera de control que
habrá que investigar. Algunas aplicaciones informáticas permiten realizar un gráfico con límites de
control que son líneas rectas. Para ello utilizan como tamaño muestral en las fórmulas (5.1) el
promedio de los tamaños muestrales; es decir, usan, en lugar de ni
Pk
ni
n̄ = i=1 .
k
Cuando no hay un valor de p conocido es necesario estimarlo con unas muestras iniciales. Estas
muestras deben estar recogidas cuando el proceso se encuentra en estado de control. Los pasos a
seguir para la construcción del gráfico en este caso son:
1. Tomar k muestras (al menos 20) de tamaño muestral ni (i = 1, ..., k).
6
Control de procesos por atributos
Prop. de diodos defectuosos
0,18
0,15
L. Central=0.08
p
0,12
0,09
0,06
0,03
0
0
2
4
6
8
10 12
14
16
18
20
Muestra
Figura 5.1: Gráfico P para la proporción de diodos defectuosos con p conocido: p = 0,08.
2. Calcular la proporción de artículos defectuosos en cada muestra
p̂i =
número de defectuosos
.
ni
3. Calcular una estimación del valor poblacional p a través de la proporción total de defectuosos:
Pk
di
p̄ = Pki=1 .
i=1 ni
Este valor de p̄ constituirá la línea central del gráfico de control. Si durante este periodo
de recogida de información el proceso ha estado bajo control, este estimador será un buen
estimador de p. Este estimador es mejor que el promedio de los diferentes valores de p̂i , es
decir,
Pk
p̂i
p̂ = i=1 ,
k
pues en este promedio no estamos teniendo en cuenta que cada muestra tiene tamaño muestral
distinto y, por tanto, precisión distinta.
4. Calcular los límites de control de manera que si el proceso está bajo control, y basándonos
en la normalidad, sólo 3 de cada mil muestras estén fuera de los límites. Esto es equivalente,
utilizando las propiedades de la distribución normal, a poner los límites en tres desviaciones
5.2 Gráfico P
7
típicas. Por tanto, el gráfico de control tiene las características siguientes:
s
p̄(1 − p̄)
Límite de Control Superior = p̄ + 3
ni
Línea Central = p̄
s
Límite de Control Inferior = p̄ − 3
(5.2)
p̄(1 − p̄)
ni
5. Dibujar el gráfico con la línea central y los límites de control y colocar los valores p̂i ordenados en el tiempo. Si algún valor estuviese fuera de los límites habría que rechazar dicha
muestra y repetir el proceso con las restantes. Se ha de recalcular entonjces p̄ con las muestras
restantes. Una vez que se tiene un gráfico con todos los valores dentro de los límites pueden
considerarse éstos válidos y puede utilizarse el valor estimado p̄ para posteriores muestras.
Ejemplo 1 (continuación):
Con los datos del ejemplo 1 y sin utilizar el valor de p = 0,08, se obtendría un valor estimado
de
192
= 0,081
(5.3)
2370
p
√
Los límites serán p̄ ± 3 p̄(1 − p̄)/ni = 0,081 ± 0,819/ ni (se usa el límite inferior 0 si resulta
un número negativo). La figura 5.2 muestra el nuevo gráfico de control
p̄ =
En este gráfico se vuelve a apreciar que hay un punto fuera de control. Por tanto la estimación
de p hecha en 5.3 no es adecuada. Si eliminamos la muestra 9 del análisis y rehacemos el gráfico
se tiene la nueva estimación:
192 − 20
p̄ =
= 0,076,
2370 − 114
p
√
y los nuevos límites serán p̄ ± 3 p̄(1 − p̄)/ni = 0,076 ± 0,795/ ni . La figura 5.3 muestra el
nuevo gráfico. En esta ocasión todos los puntos se encuentran dentro de los límites, por lo que la
estimación de p puede utilizarse para controlar el proceso en posteriores muestras.
Al no ser los límites constantes se ha de tener cuidado para interpretar tendencias y rachas en
estos gráficos. Un procedimiento para simplificar la interpretación de las gráficos P es el uso de
valores estandarizados. En este caso los valores representados en el gráfico son
zi = r
p̂i − p
,
p(1 − p)
ni
donde p̄ es utilizado en lugar de p si este valor no es conocido. Con estos datos se tiene que
E(zi ) = 0
Var(zi ) = 1
8
Control de procesos por atributos
Prop. de diodos defectuosos
0,18
0,15
L. Central=0.08
p
0,12
0,09
0,06
0,03
0
0
4
8
12
16
20
Muestra
Figura 5.2: Gráfico P para el porcentaje de diodos defectuosos. El valor de p está estimado con los
datos.
Prop. de diodos defectuosos
0,18
0,15
L. Central=0.07
p
0,12
0,09
0,06
0,03
0
0
4
8
12
16
20
Muestra
Figura 5.3: Gráfico P para el porcentaje de diodos defectuosos. La muestra 9 ha sido eliminada
(aparece con el símbolo X).
5.3 Gráfico NP
9
Prop. de diodos defect (estandarizado)
5
p
3
1
-1
-3
0
4
8
12
16
20
Muestra
Figura 5.4: Gráfico P estandarizado para el porcentaje de diodos defectuosos. La muestra 9 ha
sido eliminada (aparece con el símbolo X).
y por tanto el gráfico estandarizado tendrá las siguientes características
Límite de Control Superior = 3
Línea Central = 0
Límite de Control Inferior = −3
(5.4)
La figura 5.4 muestra el gráfico estandarizado correspondiente al ejemplo 1 con p estimado.
Como puede observarse, la construcción del gráfico se resume a la obtención de una buena
estimación de p. A partir de entonces, y una vez fijada la estrategia de muestreo (tamaños muestrales, frecuencia, criterios para determinar que una pieza es defectuosa), lo que hay que hacer para
controlar estadísticamente el proceso es:
1. Tomar una muestra de tamaño ni
2. Calcular los LCS y LCI con ese valor ni y colocarlos en el gráfico
3. Contar el número de piezas defectuosas di y calcular la proporción sobre el total de la muestra
p̂i .
4. Colocar este valor p̂i en el gráfico y verificar si el proceso está bajo control
5.3.
Gráfico NP
Se aplica al mismo tipo de procesos que en el caso anterior. La diferencia está en que, en lugar
de monitorizar la proporción de artículos defectuosos en una muestra, se monitoriza el número
10
Control de procesos por atributos
de artículos defectuosos. En general, es útil si:
(a) el número es más relevante que la proporción,
(b) el tamaño muestral es constante.
Aunque matemáticamente sería posible construir un gráfico N P con tamaño muestral variable,
su interpretación sería complicada, por lo que supondremos que se utilizan muestras de tamaño
constante ni = n, i = 1, 2, ... Llamemos di al número de artículos defectuosos en una muestra de
tamaño n. El gráfico de control será:
p
Límite de Control Superior = E(di ) + 3 Var(di )
Línea Central = E(di )
p
Límite de Control Inferior = E(di ) − 3 Var(di )
Sea p la proporción total de defectuosos que produce el proceso. Entonces di sigue una distribución binomial de media np y varianza np(1 − p). Si n es grande ( y np(1 − p) > 5), dicha
distribución puede aproximarse a la normal (ver apéndice del Capítulo 5). Por tanto, para n elevado, aproximadamente,
di = np̂i ∼ N (np, np(1 − p)) .
Por tanto el gráfico de control N P será:
p
Límite de Control Superior = np + 3 np(1 − p)
Línea Central = np
p
Límite de Control Inferior = np − 3 np(1 − p)
y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7 % de los datos si el proceso está bajo
control. De nuevo, si el límite de control resultase negativo se usaría al valor cero. Para construir
el gráfico de control es necesario estimar p, salvo que se conozca ya su valor. Al igual que en el
caso anterior, tanto el nivel medio como la variabilidad dependen sólo del parámetro p, por lo
que un solo grafico será suficiente para controlar el proceso. Para construir el gráfico se siguen los
siguientes pasos:
1. Se toman k muestras de tamaño n. El número de muestras k debe ser elevado (más de 20).
también el tamaño muestral n debe ser grande (mayor de 50) y han de tomarse consecutivamente y a intervalos iguales
2. Contar el número de artículos defectuosos en cada muestra di
3. Contar el número total de defectuosos d1 +d2 +· · ·+dk y hallar el número medio de defectuosos
por muestra:
Pk
Pk
di
di
d¯
p̄ = i=1 = i=1 = ⇒ d¯ = np̄.
nk
k
n
¯
Este valor d será un buen estimador de np, media del proceso, si el proceso ha estado bajo
control durante esta etapa de recogida de información. Este valor medio d¯ = np̄ será la línea
central del gráfico de control.
5.4 Gráfico C
11
4. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típica, obteniéndose:
p
Límite de Control Superior = np̄ + 3 np̄(1 − p̄)
Línea Central = np̄
p
Límite de Control Inferior = np̄ − 3 np̄(1 − p̄)
5. Se dibuja el gráfico trazando la línea central en np̄ y los límites de control. Los límites de
control serán ahora constantes, al ser constante el tamaño muestral n.
6. Colocar los valores di de forma secuencial. Si alguno se encuentra fuera de los límites de
control habrá que eliminarlo y volver a reconstruir el gráfico con las muestras restantes.
La capacidad se sigue definiendo de la misma manera que en los gráficos P, es decir (1-p). Por
tanto la estimación de la capacidad es
Estimación de la capacidad=(1 − p̄),
Ejemplo 2:
Se desea construir un gráfico de control N P para controlar un proceso que fabrica un chip que
se insertará en una tarjeta de telefonía. Se tienen 25 muestras, cada una formada por 50 chips. El
número de chips defectuosos en cada una de las muestras se muestra en la Tabla 5.2.
El gráfico de control que resulta se encuentra en la figura 5.5. En él puede apreciarse que hay una
observación fuera de control por lo que habrá que eliminarla antes de considerar que la estimación
de p es definitiva y pueda ser utilizada para analizar posteriores muestras. En este gráfico el LCI
es cero, pues el valor que se obtiene aplicando la fórmula correspondiente es negativo: LCI=-1.87.
5.4.
Gráfico C
A veces, el interés no reside en el número de artículos defectuosos sino en el número de
defectos en un artículo o unidad de medida o, en general, el número de sucesos o atributos
observados por unidad de medida. Por ejemplo, en una película fotográfica interesa controlar
el número de defectos por centímetro cuadrado. En un cable de fibra óptica interesa el número de
defectos por metro o kilómetro, o el número de averías detectadas por kilómetro una vez enterrado.
En una centralita interesará controlar el número de llamadas por hora o minuto. En un puesto de
atención a clientes, interesa el número de clientes que llegan por unidad de tiempo. La diferencia
respecto al caso de control del número de artículos con cierto atributo es el soporte en el que se
observan los sucesos. Mientras que antes el soporte es discreto: muestra de n elementos, ahora
el soporte es contínuo: tiempo, longitud, superficie. Este tipo de control tiene interés cuando:
12
Control de procesos por atributos
M uestra :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
T otal :
Tamaño de la muestra
Número de articulos defectuosos
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
1250
3
5
5
1
10
4
2
5
6
4
1
0
4
6
2
2
3
4
2
5
4
5
2
4
2
p̂i
0.06
0.10
0.10
0.02
0.20
0.08
0.04
0.10
0.12
0.08
0.02
0.00
0.08
0.12
0.04
0.04
0.06
0.08
0.04
0.10
0.08
0.10
0.04
0.08
0.04
91
Cuadro 5.2: Datos ejemplo 2
Número de chips defectuosos
10
LCS=9.15
L. Central=3.64
np
8
LCI=0.00
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
Muestra
Figura 5.5: Gráfico NP para el número de chips defectuosos en 25 lotes de 50 chips cada uno.
5.4 Gráfico C
13
Las disconformidades aparecen de forma contínua (burbujas en vidrio, defectos en una placa,
arañazos en plásticos, cortes en cables, llegada de clientes a un puesto de servicio...)
Los defectos pueden encontrarse por simple inspección a pesar de ser debidas a causas muy
diversas
Este tipo de control es muy frecuente cuando el proceso es un servicio. Por ejemplo, interesa controlar el número de clientes atendido por unidad de tiempo, número de quejas por día, número de
llamadas recibidas en cierto servicio telefónico, número de llamadas bloqueadas en un día, número
de llamadas atendidas por una centralita en una unidad de tiempo, número de fallos diarios en un
equipo de intercomunicación, número de altas diarias en un servicio, etc.
Esta variable que se quiere controlar puede definirse como: número de sucesos en un
intervalo de longitud fija. Si el proceso es estable y los sucesos ocurren de forma independiente (la llegada de un cliente a un servicio no depende de cuántos clientes han solicitado ese
servicio en esa unidad de tiempo, la rotura de un cable en un punto dado es independiente de si el
cable se ha roto en otro punto) entonces el número de sucesos en un intervalo de longitud
fija seguirá una distribución de Poisson (ver apéndice del Capítulo 5). La hipótesis de independencia puede también interpretarse como ausencia de memoria: el proceso no recuerda cuántos sucesos
se registraron en la unidad de tiempo anterior.
Si x es una variable con distribución de Poisson de parámetro λ, el valor medio de dicha
distribución es también λ. Por ejemplo, λ será el número medio de defectos por cm2 en una
placa metálica, o número medio de clientes por día. La varianza de esta distribución es también
λ. Una propiedad interesante de la distribución de Poisson es la de aditividad; es decir, si el
número de sucesos en un intervalo es una distribución de Poisson de parámetro λ, el número de
sucesos en n intervalos es una Poisson de parámetro nλ. Si λ es elevado (λ > 5), la distribución
de Poisson se aproxima bastante a la normal. Por tanto, utilizando la mencionada propiedad
de aditividad tenemos que si tomamos una unidad de medida suficientemente grande, podremos
utilizar la distribución normal como referencia. Entonces, el número de defectos D por unidad de
medida (o no-conformidades) será, si la unidad de medida es suficientemente grande,
D ∼ N (λ, λ).
(5.5)
De nuevo, conociendo un parámetro, λ, se tiene control sobre la media y la variabilidad del proceso.
Bastará, entonces, con un solo gráfico de control. Sea Di el número de sucesos observado en un
intervalo de longitud fija. Un gráfico de control para controlar la evolución de esta variable será:
p
Límite de Control Superior = E(Di ) + 3 Var(Di )
Línea Central = E(Di )
p
Límite de Control Inferior = E(Di ) − 3 Var(Di )
y, aplicando (5.5) se tiene que
√
Límite de Control Superior = λ + 3 λ
Línea Central = λ
√
Límite de Control Inferior = λ − 3 λ
14
Control de procesos por atributos
Hectómetro
Número de defectos
1
5
2
2
3
7
4
12
5
10
6
3
7
6
8
4
9
3
10
7
11
2
12
10
Cuadro 5.3: Datos ejemplo 3
Si el LCI resultase negativo se usaría el valor cero. Si λ no fuese conocido habría que estimarlo con
un conjunto de datos preliminares, procedentes del proceso en estado de control. En este caso, el
gráfico se construiría de la siguiente forma:
1. Seleccionar la unidad de medida, de manera que en tal unidad se detecten por término medio
al menos cinco ocurrencias (averías, defectos, clientes,...), para que la aproximación a la
normal sea buena. De esta forma los límites de control tendrían al 99.7 % de las observaciones
en estado de control.
2. Tomar k muestras (al menos 20) a intervalos regulares de tiempo y contar el número de
ocurrencias en cada muestra Di
3. Estimar λ con el número medio de ocurrencias observadas
Pk
Di
λ̄ = i=1 .
k
Si el proceso ha estado bajo control durante esta etapa, el valor λ̄ será un buen estimador de
λ =número medio de ocurrencias. Este valor se usará entonces como línea central del gráfico
4. Calcular los límites de control a tres desviaciones típicas. El gráfico resultante será:
p
Límite de Control Superior = λ̄ + 3 λ̄
Línea Central = λ̄
p
Límite de Control Inferior = λ̄ − 3 λ̄
(5.6)
Si el límite inferior es negativo se sustituye por el valor cero.
5. Dibujar el gráfico y colocar los valores Di de forma secuencial. Si alguno está fuera de control
se elimina y se recalcula el gráfico.
La capacidad del proceso se define por λ : número medio de defectos y se estima con λ̄. por
tanto
Estimación de la capacidad=λ̄
Ejemplo 3:
Un fabricante de cable de fibra óptica desea controlar la calidad del cable mediante un gráfico
de control C. Para ello toma como unidad de medida los 100 metros e inspecciona el número de
defectos que encuentra: microfisuras, arañazos externos, poros, etc. La inspección está altamente
automatizada, inspeccionándose el 100 % del cable. La tabla 5.3 muestra el resultado de 12 unidades
(1200 metros).
5.5 Gráfico U
15
Número de defectos en un hectómetro
15
LCS=13.21
L. Central=5.92
12
LCI=0.00
c
9
6
3
0
0
2
4
6
8
10
12
Hectómetro
Figura 5.6: Gráfico C para el número de defectos de un hectómetro de cable.
El número medio de defectos es
71
= 5,92
12
que será la línea central del gráfico. Como esta media es superior a 5 tendremos que la aproximación
a la normal será buena, y el gráfico basado en (5.6) es correcto. El límite de control superior es
p
LCS=λ̄ + 3 λ̄ = 13,21
λ̄ =
y el inferior
por tanto se usará
p
LCS=λ̄ − 3 λ̄ = −1,38
LCI = 0.
La figura 5.6 muestra el gráfico de control donde están representadas las observaciones de la
Tabla.5.3.
5.5.
Gráfico U
El gráfico U se utiliza cuando no es posible tener siempre la misma unidad de medida para contar
el número de defectos (o no-conformidades, o clientes, etc...). Entonces, se controla el número medio
de defectos por unidad de medida. Por ejemplo:
Los elementos a analizar pueden contener un número variable de unidades: por ejemplo dos
rollos de película fotográfica no tendrán exáctamente la misma longitud, diferentes láminas
de vidrio tendrán distinta superficie.
16
Control de procesos por atributos
Es difícil tomar mediciones a intervalos iguales de tiempo: el inspector puede estar dedicado
a varias tareas, por lo que es necesario un esquema de muestreo más flexible.
Llamaremos ci al número de defectos (u ocurrencias de cierto suceso) en la muestra i-ésima y
ni al número de unidades de medida analizadas (número de metros del cable, número de unidades
de tiempo, número de cm2 de superficie analizada...). El número de defectos por unidad de medida
será
ci
número de defectos en ni unidades
=
ui =
(5.7)
ni
número de unidades de la muestra
La variable ci es una variable Poisson de parámetro
λi = ni λ,
donde λ es el número medio de sucesos por unidad. Por tanto:
E(ci ) = λi = ni λ,
Var(ci ) = λi = ni λ.
Esta variable ui es, entonces, un promedio de variables tipo Poisson, donde los sucesos se observan
en intervalos de longitud distinta. Si el valor de ni es suficientemente grande, la variable aleatoria
ui será, por el Teorema Central del Límite, aproximadamente normal. El gráfico de control de la
variable ui será:
p
Límite de Control Superior = E(ui ) + 3 Var(ui )
Línea Central = E(ui )
p
Límite de Control Inferior = E(ui ) − 3 Var(ui )
y si la aproximación a al normal es buena, contendrá al 99.7 % de las observaciones. De (5.7) se
obtiene que
E(ci )
ni λ
=
= λ.
ni
ni
Var(ci )
ni λ
λ
Var(ui ) =
= 2 = .
2
ni
ni
ni
E(ui ) =
El gráfico de control será, entonces,
r
λ
ni
r
λ
ni
Límite de Control Superior = λ + 3
Línea Central = λ
Límite de Control Inferior = λ − 3
Si la media λ es desconocida se puede estimar con valores preliminares de ui . La media de la
distribución del número medio de defectos se estimará con
Pk
ci
número total de defectos
ū =
= Pki=1 .
número total de unidades
n
i=1 i
5.5 Gráfico U
17
Entonces
Y el gráfico de control U será:
d i ) = ū .
Var(u
ni
r
ū
Límite de Control Superior = ū + 3
ni
Línea Central = ū
r
ū
Límite de Control Inferior = ū − 3
ni
El LCI será cero si la fórmula anterior diese un valor negativo. En resumen, el gráfico se construirá
de la siguiente manera:
1. Se toman k muestras de tamaños ni , i=1,...,k y se cuenta el número de defectos ci de cada
muestra y el número medio por unidad de medida de cada muestra ui = ci /ni .
2. Se calcula la media del número medio de defectos por unidad de medida ū. Si el proceso ha
estado bajo control, este estimador ū será un buen estimador de λ y será la línea central del
gráfico.
3. Se calculan los límites de control a tres desviaciones típicas de la línea central
r
ū
LCS = ū + 3
,
ni
r
ū
.
LCI = ū − 3
ni
Estos límites varían con el tamaño muestral. Al igual que ocurría con los gráfico P, dado que
los límites de control no son constantes, la interpretación de rachas y tendencias se ha de hacer
con cautela. Una posible opción sería representar el gráfico normalizado; es decir, representar los
valores
ui − ū
,
zi = r
ū
ni
en un gráfico donde la línea central es cero y los límites LCS=3 y LCI=-3. La capacidad del proceso
se define como ū, por tanto
Estimación de la capacidad=ū.
Ejemplo 4:
Un operario inspecciona la calidad de unos circuitos impresos (arañazos, bandas incorrectas,
grosor no uniforme, etc.). Los circuitos que inspecciona son muy diversos. Según el tipo de circuito
se apunta su superficie y el número de defectos. Tras inspeccionar 12 placas obtiene los datos de
la Tabla 5.4.
18
Control de procesos por atributos
2
Sup erficie (cm )
número de defectos
50
4
50
3
34
4
38
4
54
4
22
3
22
5
25
3
50
4
34
2
34
2
38
4
Cuadro 5.4: Datos ejemplo 4
Número medio de defectos por unidad de sup.
0,3
0,25
0,2
u
0,15
0,1
0,05
0
0
2
4
6
8
10
12
Placa
Figura 5.7: Gráfico U para el número medio (por cm2 ) de defectos en placas de circuitos impresos.
El número total de defectos es 42 y la superficie total 451. Por tanto
ū =
42
= 0,093
451
Los límites de control dependen de cada placa, al tener superficies distintas. La figura 5.7 muestra
el gráfico de control donde se representan los valores de ui ( u1 = 4/50, ..., u12 = 4/38) del número
de defectos por cm 2 . La figura 5.8 muestra el gráfico de control estandarizado. En ambos gráficos
se observa que el proceso está en estado de control.
Apéndice: Curva Característica de Operaciones
La curva característica de operaciones o curva OC (del inglés Operating-Characteristic curve)
es una función que proporciona, para un gráfico de control dado, la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis de estado de control. Es decir:
Curva OC=Probabilidad de NO detectar un estado fuera de control.
5.5 Gráfico U
19
Número medio de defectos por unidad de sup.
3
2
u
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
Placa
Figura 5.8: Gráfico U para el número medio (por cm2 ) de defectos en placas de circuitos impresos.
Gráfico estandarizado.
Esta curva aparece en muchas aplicaciones informáticas, por lo que es importante entender su significacdo. La curva OC es, entonces, una medida de la sensibilidad del gráfico de control. Supongamos que el gráfico de control representa la evolución del estadístico yi , por ejemplo, una media
muestral , varianza muestral, proporción muestral, etc. Los límites de control serán, en general,
p
Límite de Control Superior = E(yi ) + 3 Var(yi )
p
Límite de Control Inferior = E(yi ) − 3 Var(yi )
Si llamamos μc a la media de yi cuando el proceso está bajo control, la curva OC será
OC(μ) = P (LCI ≤ yi ≤ LCS|E(yi ) = μ 6= μc ).
Veámos a continuación cómo es esta curva según el tipo de gráfico.
Gráfico P
Cuando el estadístico de interés es la proporción de artículos defectuosos p̂i se tiene que
µ
¶
p(1 − p)
p̂i ≈ N p,
,
ni
donde, si p es desconocido se estima con los datos. Con los datos del ejemplo 1, y construyendo los
límites con un tamaño muestral promedio, se obtiene, usando el Statgraphics, el siguiente gráfico
de control y la respectiva curva OC:
20
Control de procesos por atributos
p Chart for Diodef/Numdiodos
0,18
LCS=0.149
0,15
L. central=0.07
0,12
LCI=0.0032
p
0,09
0,06
0,03
0
0
4
8
12
16
20
Subgroup
Gráfico de control para los datos del ejemplo 1.
OC Curve for p
Pr(accept)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,04
0,08
0,12
0,16
0,2
0,24
Process proportion
Curva OC para el gráfico de control correspondiente a los datos del ejemplo 1.
Si p̄ = 0,076 es la estimación de p (línea central del gráfico) cuando el proceso está bajo control,
la curva OC será:
OC(p) = P (0 ≤ p̂i ≤ 0,15|E(p̂i ) = p 6= 0,076).
Como
p̂i =
número de defectos
di
=
tamaño (medio) de la muestra
n̄
se puede escribir que
OC(p) = P (nLCI ≤ di ≤ nLCS|p)
= P (di ≤ nLCS|p) − p(di < nLCI|p)
y se puede usar la distribución binomial acumulada para calcular esas probabilidades con mayor
precisión que usando la distribución normal. Por ejmplo, si la proporción disminuye a p = 0,04 la
proporción muestral será, aproximadamente,
µ
¶
0,04 × 0,96
p̂i ≈ N 0,02,
,
n̄
mientras que el número de artículos defectuosos será
di ∼ B(n̄, 0,04)
5.5 Gráfico U
21
donde n̄ es el promedio de los tamaños muestrales ni igual a n̄ = 118,7. La probabilidad de no
detectar este cambio será:
OC(0,02) = P (118,7 × 0,00318 ≤ di ≤ 118,7 × 0,1493) = P (0,378 ≤ di ≤ 17,72).
El resultado final variará según se haga la aproximación a valores enteros para utilizar la binomial.
Por eso, pueden encontrarse a veces diferencias según el software empleado. Por ejemplo, si aproximamos a los enteros que produzcan un intervalo más estrecho se obtiene (cálculos realizados con
el Statgraphics):
P (di ≤ 17) − P (di ≤ 1) = 1 − 0,05 = 0,95,
mientras que si aproximamos para obtener un intervalo más amplio:
P (di ≤ 18) − P (di = 0) = 1 − 0,008 = 0,99.
Otra posibilidad es utilizar el promedio de estos valores. Si promediamos ambos resultados se
obtiene
OC(0,02) ≈ 0,97
Gráfico NP
Los gráficos siguientes muestran el gráfico de control y OC del ejemplo 2, sobre el número de
chips defectuosos en lotes de 50.
np Chart for Defchip
10
LCS=8.70
L. central=3.38
np
8
LCI=0.00
6
4
2
0
0
5
10
15
20
25
12
15
Subgroup
OC Curve for np
Pr(accept)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
3
6
9
Process mean count
22
Control de procesos por atributos
La curva OC(p) es la probabilidad de que una muestra tenga un valor np̂i que esté dentro de
los límites de control pero que p 6= p̄ = 3,38. Sea di = np̂i el número de arrículos defectuosos en
un lote. Entonces, la curva OC(p) es
OC(p) = P (LCI ≤ di ≤ LCS|p)
= P (0,00 ≤ di ≤ 8,79),
donde
di ∼ B(n, p)
Por ejemplo, si el dúmero de artículos defectusos aumenta a np = 6 (n = 50, p = 0,12) la probabilidad de no detectarlo es
P (0,00 ≤ di ≤ 8,79|di ∼ B(50, 0,12)).
Al igual que con el gráfico P, la solución final dependerá de cómo tratemos los números no enteros
de los límites de control. Una posible opción es promediar las dos siguientes probabilidades:
P (0,00 ≤ di ≤ 8|di ∼ B(50, 0,12)) = 0,86
P (0,00 ≤ di ≤ 9|di ∼ B(50, 0,12)) = 0,93
Por tanto
OC(p = 0,12) =
0,86 + 0,93
= 0,895,
2
que es, aproximadamente, el valor que puede verse en la curva OC del Statgraphics.
Gráfico C
Los gráficos siguientes muestran el gráfico de control y curva OC del ejemplo 3: defectos por
hectómetro de cable:
5.5 Gráfico U
23
c Chart for Defcable
15
UCL = 13,21
12
Centerline = 5,9
LCL = 0,00
c
9
6
3
0
0
2
4
6
8
10
12
20
24
Observation
OC Curve for c
Pr(accept)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
4
8
12
16
Process mean count
Ahora la distribución exacta del número de defectos es la Poisson. Si llamamos ci al número de
defectos por hectómetro, y λ̄ al parámetro de la Poisson en estado de cobntrol, la curva OC será
OC(λ) = P (LCI ≤ ci ≤ LCS|ci ∼ P(λ 6= λ̄)).
Por ejemplo, si el número medio aumenta hasta λ =12 defectos/hectómetro, el valor de la curva
OC será:
OC(12) = P (0,0 ≤ ci ≤ 13,21|ci ∼ P(12)).
Usando la distribución de Poisson acumulada (operaciones que se pueden hacer fácilmente con el
Statgraphics) se obtienen los siguientes resultados
OC(12) = P (0,0 ≤ ci ≤ 13|ci ∼ P(12)) = 0,68,
OC(12) = P (0,0 ≤ ci ≤ 14|ci ∼ P(12)) = 0,77,
y el promedio es
OC(12) =
0,68 + 0,77
= 0,725.
2
Gráfico U
Los gráficos para el ejemplo 4 sobre defectos en placas de circuitos impresos son:
24
Control de procesos por atributos
u Chart for Defplaca/Suplaca
0,25
UCL = 0,24
0,2
Centerline = 0,0
LCL = 0,00
u
0,15
0,1
0,05
0
0
2
4
6
8
10
12
Subgroup
OC Curve for u
Pr(accept)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
Process frequency
donde se ha usado como tamaño muestral (número de unidades en cada muestra) un promedio
(n̄ = 37,58). La curva OC es
OC(λ) = P (LCI ≤ ui ≤ LCS)
Si el número medio de defectos aumtenta hasta λ = 0,2, se tiene que, aproximadamente,
µ
¶
¢
¡
0,2
ui ∼ N 0,2,
≡ N 0,2, 0,0732 .
37,58
El valor de la curva OC usando esta aproximación a la normal será:
µ
¶
0,0 − 0,2
0,24 − 0,2
OC(0,2) = P
≤z≤
0,073
0,073
= P (−2,74 ≤ z ≤ 0,548|z ≈ N (0, 1)) = 0,71.
Otra forma de resolverlo es utilizando la distribución de Poisson. Si λ = 0,2 y n̄ = 37,58, se tiene
que el número de defectos por muestra promedio sera
ci ∼ P(n̄λ) = P(7,52).
Por tanto, como ui = ci /n̄, se tiene que
OC(0,2) = P (0,0n̄ ≤ ci ≤ 0,24n̄|ci ∼ P(7,52))
= P (0 ≤ ci ≤ 9,019|ci ∼ P(7,52)) ≈ 0,77
que está más próximo al valor que proporciona el gráfico del Statgraphics