=h\WMW[ MN BNPZN[RkV

Métodos de Regresión
Ciencias y Técnicas Estadísticas
Práctica 1. Curso 2007 / 2008
“t-Student y Anova 1F”
1.
1.1.
t-Student
Excel
1. Se tienen datos experimentales correspondientes a 17 individuos de los que se ha recogido el valor que presentan en dos variables, una de ellas cuantitativa (respuesta=Rta) y otra dicotómica
(explicativa=Exp). Se supone que la variable respuesta para cada grupo que forma la variable explicativa es Normal. Los datos se encuentran en "datos_introduccion[dos_grupos].xls".
Dichos datos se muestran, además, en la tabla siguiente:
Rta
15
15
25
25
25
33
43
Exp
1
1
1
1
1
1
1
Rta
15
16
16
25
28
28
28
28
35
43
Exp
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Los cálculos hay que realizarlos con Excel y/o calculadora indicando en cada apartado qué
funciones de Excel se han utilizado. (Cuando sea necesario Herramientas / Análisis de datos,
activar previamente Herramientas / Complementos / Herramientas para análisis).
a)
b)
Calcular los estadísticos descriptivos básicos x1 ; x2 ; sb1 y sb2 :
¿Cuál es la medida del efecto en este caso?
c)
Calcular un IC90 % para la diferencia de medias poblacional
de varianzas.
d)
Calcular un IC90 % para la diferencia de medias poblacional
igualdad de varianzas.
e)
Realizar el test t-Student para contrastar H0 : 1 = 2 vs. Ha : 1 6= 2 suponiendo
igualdad de varianzas con un nivel de signi…cación del 0; 10. Calcular el p-valor asociado.
f)
Realizar el test t-Student (Satterthwaite) para contrastar H0 : 1 = 2 vs. Ha : 1 6= 2
suponiendo no igualdad de varianzas con un nivel de signi…cación del 0; 10. Calcular el
p-valor asociado.
1
1
2
1
suponiendo igualdad
2
suponiendo no
g)
Realizar el test F-Fisher-Snedecor para contrastar H0 : 21 =
nivel de signi…cación del 0; 10: Calcular el p-valor asociado.
2
2
vs. Ha :
2
1
6=
2
2
con un
h) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿que test hay que utilizar para
contrastar H0 : 1 = 2 vs. Ha : 1 =
6
2 : t-Student o t-Student (Satterthwaite)?
SOLUCION:
1. a)
Las medias y las cuasi-desviaciones típicas de la variable cuantitativa (respuesta=Rta)
para cada uno de los grupos de la variable dicotómica (explicativa=Exp) son
n1
1 X
x1 =
xi1 = ______
n1 i1=1
x2 =
v
u
u
sb1 = t
v
u
u
sb2 = t
n2
1 X
xi2 = ______
n2 i2=1
1
n1
n1
X
(xi1
x1 ) = ______
n2
X
(xi2
x2 ) = ______
1 i1=1
1
n2
1 i2=1
2
2
siendo n1 el tamaño muestral del grupo 1, n2 el tamaño muestral del grupo 2, xi1 los
valores de la variable Rta para el grupo 1 y xi2 los valores de la variable Rta para el
grupo 2.
Las funciones utilizadas en Excel son ________________.
b)
La medida del efecto en este caso es ________ que se estima por ________:
c)
Para calcular el IC90 % para la diferencia de medias poblacional se necesita calcular en
primer lugar el error estándar de la diferencia de medias que, en el supuesto de igualdad
de varianzas, es
s
EE X 1
que se estima por
d X1
EE
2
X2 =
X2 =
s
sb2
1
1
+
n1
n2
1
1
+
n1
n2
siendo sb2 la varianza conjunta ("pooled variance") que tiene por expresión
con lo que
sb2 =
d X1
EE
(n1 1) sb21 + (n2
(n1 1) + (n2
X2 =
s
sb2
1) sb22
= ______
1)
1
1
+
n1
n2
= ______
En segundo lugar para calcular el IC deseado se necesita el valor de la t-Student t =2;gl
para
= ______ (con…anza del 90 %) y con grados de libertad gl = (n1 1) +
(n2 1) = n1 + n2 2 = ______, que resulta ser t =2;gl = ______, con lo que el
intervalo de con…anza buscado es
IC90 % (
1
2)
=
X1
2
X2
t
d X1
=2;gl EE
X2
= _______________
Observar que el intervalo anterior cubre al cero para la diferencia de medias poblacionales
de los dos grupos.
El valor t
d)
=2;gl
= ______ se consigue en Excel con la función __________.
Para calcular el IC90 % para la diferencia de medias poblacional se necesita calcular
en primer lugar el error estándar de la diferencia de medias que, en el supuesto de no
igualdad de varianzas, es
s
EE X 1
X2 =
2
1
n1
+
2
2
n2
que se estima por
d X1
EE
con lo que
s
q
2
2
2
2
d X 2 = sb1 + sb2
d X 1 + EE
= EE
n1
n2
X2
d X1
EE
X2 =
s
sb21
sb2
+ 2 = ______
n1
n2
En segundo lugar para calcular el IC deseado se necesita el valor de la t-Student t =2;gl
para = 0; 10 (con…anza del 90 %) y con grados de libertad gl dados por la siguiente
expresión
4
d X1 X2
EE
= ______
gl =
4
4
1 d
1 d
X
EE
X
+
EE
2
1
n1 1
n2 1
que resulta ser t
=2;gl
= ______, con lo que el intervalo de con…anza buscado es
IC90 % (
1
2)
=
X1
X2
t
d X1
=2;gl EE
X2
= _______________:
Observar que el intervalo anterior cubre al cero para la diferencia de medias poblacionales
de los dos grupos.
El valor t
e)
=2;gl
= _____ se consigue en Excel con la función _____________.
Para llevar a cabo el contraste requerido se construye el estadístico de contraste experimental t dado por
t=
X1 X2
x1 x2
=r
d X1 X2
EE
sb2 n11 + n12
= ______
que bajo la hipótesis nula sigue una distribución t-Student con grados de libertad gl =
n1 + n2 2 = ______, que tiene asociado un p valor = ______, que al ser
mayor que 0,10 nos lleva a ______ la hipótesis nula. Observar la concordancia con
el hecho de que el IC90 % para la diferencia de medias cubriese al valor _____. El
p valor = ______ asociado a t = ______ se consigue en Excel con la función
__________.
Este contraste se puede realizar en Excel con _______________.
3
f)
Para llevar a cabo el contraste requerido se construye el estadístico de contraste experimental t dado por
t=
X1 X2
x1 x2
=q 2
= ______
d
s
b1
s
b22
EE X 1 X 2
+
n1
n2
que bajo la hipótesis nula sigue una distribución t-Student con grados de libertad
gl =
1
n1
d
EE
d
1 EE
4
4
X1
X1 +
X2
1
n2
d
1 EE
4
= ______
X2
que tiene asociado un p valor = ______, que al ser mayor que 0,10 nos lleva a
______ la hipótesis nula. Observar la concordancia con el hecho de que el IC90 % para
la diferencia de medias cubriese al valor ______. El p valor = ______ asociado
a t = ______ se consigue en Excel con la función ________________.
Este contraste se puede realizar en Excel con ________________.
g)
Para llevar a cabo el contraste requerido se construye el estadístico de contraste experimental F dado por
max sb21 ; sb22
F =
= ______
m n fb
s21 ; sb22 g
que bajo la hipótesis nula sigue una distribución F-Fisher-Snedecor con gln= n1 1 =
______ los grados de libertad del numerador y gld = n2 1 = ______ los grados de
libertad del denominador, que tiene asociado un p valor = ______, que al ser mayor
que 0,10 nos lleva a ______ la hipótesis nula. El p valor = ______ asociado a
F = ______ se consigue en Excel con la función ________________.
Este contraste se puede realizar en Excel con _________________, aunque el
p-valor que da es unilateral.
h)
1.2.
Dado que en el apartado anterior _________________, se tendría que utilizar
el test _______________.
SPSS
2. Recuperar con SPSS los datos del …chero “datos_introduccion[dos_grupos].xls”.
a)
Indicar los menús y submenús que se han utilizado.
b)
Guardar la sintaxis que se genera, al realizar el apartado anterior, en un …chero con
nombre “student.sps”. En este …chero se irá añadiendo la sintaxis que se genere en este
ejercicio.
c)
Indicar los menús y submenús que hay que utilizar para calcular un IC90 % para la
diferencia de medias poblacional 1
2 suponiendo igualdad de varianzas y sin suponer
igualdad de varianzas. Guardar la sintaxis en el mismo …chero “.sps” e ir añadiendo
comentarios en él.
d)
¿Se puede realizar el test t-Student para contrastar H0 : 1 = 2 vs. Ha : 1 6= 2
suponiendo igualdad de varianzas con un nivel de signi…cación del 0; 10 y calcular el
p-valor asociado?
4
2.
2.1.
e)
¿Se puede realizar el test t-Student (Satterthwaite) para contrastar H0 : 1 = 2 vs.
Ha : 1 6= 2 suponiendo no igualdad de varianzas con un nivel de signi…cación del 0; 10
y calcular el p-valor asociado?
f)
¿Qué test utiliza SPSS para contrastar H0 : 21 =
signi…cación del 0; 05? Calcular el p-valor asociado.
g)
¿Concuerdan todos los resultados que da SPSS con los obtenidos con Excel? ¿Qué diferencias hay?
2
2
vs. Ha :
2
1
6=
2
2
con un nivel de
Anova 1 Factor
Excel
3. En el …chero "datos_introduccion[frecardiaca].xls" se encuentra información relativa a 40
individuos a los que se les realizó una prueba de esfuerzo. En este ejercicio sólo se considera la
variable explicativa Status (tipo de entrenamiento) como nominal y la variable respuesta FC2
(frecuencia cardiaca tras el ejercicio) como cuantitativa. Los datos necesarios se muestran en
la siguiente tabla:
FC2 Status FC2 Status FC2 Status
155
1
165
2
126
3
154
1
148
2
128
3
148
1
128
2
120
3
132
1
126
2
126
3
126
1
160
2
116
3
132
1
136
2
142
3
156
1
158
2
144
3
138
1
142
2
112
3
158
1
134
2
116
3
144
1
148
2
120
3
144
1
146
2
122
3
136
1
132
3
134
1
142
1
138
1
140
1
136
1
Asumir que la variable respuesta para cada grupo que forma la variable explicativa es Normal.
Los cálculos hay que realizarlos con Excel y/o calculadora indicando en cada apartado qué
funciones de Excel se han utilizado.
a)
¿Por qué se llama Análisis de la Varianza si se están comparando medias?
b)
Realizar el test Anova 1 Factor para contrastar H0 :
es distinta. Calcular el p-valor asociado.
c)
Disponer la información del test Anova 1 Factor de la forma habitual mediante una Tabla
de Anova.
5
1
=
2
=
3
vs. Ha : alguna media
d)
¿Qué se concluye con el test anterior?
e)
¿Qué condiciones de aplicabilidad se tienen que veri…car para poder aplicar el Anova 1
factor? ¿Cómo se veri…can?
f)
Calcular el coe…ciente de determinación.
SOLUCIÓN:
3. a)
_________________________________________
_________________________________________.
b)
Las sumas de cuadrados son un paso previo para el cálculo del Anova. Si se denotan
por r al número de grupos de la variable explicativa, por nm al número de individuos en
cada grupo m = 1; :::; r, x:m la media de cada grupo y x::la media global, se tiene que la
suma de cuadrados entre los grupos SCE ("between"), la suma de cuadrados dentro de
los grupos SCD ("within") y la suma de cuadrados total SCT se calculan del siguiente
modo
r
X
2
SCE =
nm (x:m x:: )
m=1
SCD =
nm
r X
X
2
(xim
x:m ) =
m=1 i=1
SCT =
nm
r X
X
x2im
m=1 i=1
nm
r X
X
(xim
r
X
nm x2:m
m=1
2
x:: ) = SCE + SCD
m=1 i=1
Para los datos del ejemplo
SCE = _______________
SCD = ______________
SCT = _____
A continuación se calculan los grados de libertad entre grupos GLE, dentro de los grupos
GLD y total GLT según las expresiones
GLE = r
1 = _____
GLD = n
r = _____
GLT = GLE + GLD = n
1 = _____
El cuadrado medio entre los grupos CM E y el cuadrado medio dentro de los grupos
CMD se calculan como
SCE
CM E =
= _____
GLE
SCD
CM D =
= _____
GLD
El estadístico de contraste F del Anova 1 factor se construye como
F =
CM E
= _____
CM D
que se distribuye según una F-Fisher-Snedecor con GLE = _____ grados de libertad
del numerador y GLD = _____ grados de libertad del denominador, que tiene asociado
un p-valor _____.
Este contraste se puede realizar en Excel con Herramientas / Análisis de Datos / Análisis
de la varianza de un factor.
6
c)
La Tabla Anova con la información obtenida en el apartado anterior es
Entre
Dentro
Total
d)
Suma Cuadrados
SCE=_____
SCD=_____
SCT=_____
GL
GLE=__
GLD=__
GLT=__
Cuadrado Medio
CME=_____
CMD=_____
F
F=_____
p-valor
____
_________________________________________
_________________________________________.
e)
_________________________________________
_________________________________________.
f ) Una medida relativa de la variabilidad explicada por los grupos es el cociente
R2 =
SCE
= ______
SCT
con lo que se tendría que la variabilidad de la variable respuesta es explicada por la
variable que forma los grupos en un ______ %.
2.2.
SPSS
4. Recuperar con SPSS los datos del …chero “datos_introduccion[frecardiaca].xls”.
a)
Indicar los menús y submenús que se han utilizado.
b)
Guardar la sintaxis que se genera, al realizar el apartado anterior, en un …chero con
nombre “anova.sps”. En este …chero se irá añadiendo la sintaxis que se genere en este
ejercicio.
c)
Indicar los menús y submenús que hay que utilizar para realizar el test Anova 1 Factor
para contrastar H0 : 1 = 2 = 3 vs. Ha : alguna media es distinta. (de FC2 por
STATUS). Calcular el p-valor asociado. Guardar la sintaxis en el mismo …chero “.sps” e
ir añadiendo comentarios en él.
d)
Indicar los menús y submenús que hay que utilizar para veri…car las hipótesis necesarias
para utilizar Anova 1 factor. Guardar sintaxis con comentarios.
e)
¿Concuerdan todos los resultados que da SPSS con los obtenidos con Excel? ¿Qué diferencias hay?
f)
Se puede aplicar el test de Anova 1 factor a dos grupos? ¿Cuál es el test resultante?
7