proyecto de matemticas

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y ACOMPAÑAMINMETO A DOCENTES DE
CUNDINAMARCA Y DUITAMA PARA EL DESARROLLO DELOS NIVELES DE
COMPETENCIA DE MATEMÁTICAS Y DISEÑO DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS A
PARTIR DE LAS EXPERIENCIAS SIGNIFICATIVAS DE LOS MAESTROS
DESARROLLO DE ALGUNOS ASPECTOS DEL PENSAMIENTO
MÉTRICO A TRAVÉS DE LA MEDICIÓN DE SUPERFICIES DE
FIGURAS PLANAS REGULARES E IRREGULARES
ZOILA ESPERANZA BERNAL PÉREZ
Y MARIA DEL CARMEN VERDUGO
Asesor: Edgar Alberto Guacaneme S.
Instituciones Educativas Agroindustriales La Pradera
y Francisco Medrano - Duitama
En este documento presentamos un breve estudio
realizado en torno al diseño e implementación de una
secuencia didáctica (situaciones de aprendizaje)
relacionadas con la medición de superficies de figuras
planas regulares e irregulares, puestas en juego con
estudiantes de grado séptimo de Educación Básica. Las
tareas propuestas ejemplifican de manera sencilla cómo
una cadena de consignas elementales puede constituir
un problema matemático genuino para los estudiantes y
cómo su solución puede generar aprendizajes en ellos.
El estudio mismo constituyó una fuente de problemas y
aprendizaje para nosotras las autoras.
Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
INTRODUCCIÓN
Cuando inicialmente pensamos en los temas de las
matemáticas escolares relativos a la medida, de manera
inmediata dirigimos nuestra atención o bien a las fórmulas
para calcular perímetro, longitud, área, volumen, o
capacidad, o bien a la conversión de unidades de medida;
sin embargo, la realización efectiva de tales medidas, es
decir medir, no constituye la primera, ni la más importante,
referencia a dicho tema.
En efecto, lo que constantemente hacemos es aritmetizar
la medida, pues reemplazamos magnitudes por números,
sustituimos letras en las fórmulas por números, nos
ocupamos de enseñar cuántos lugares se debe correr la
coma o el punto decimal para expresar una medida en
múltiplos o submúltiplos de la unidad, u operamos con
números que representan medidas de una magnitud para
obtener otro número que representa otra medida de la
misma u otra magnitud.
No creemos que con dicha aritmetización estemos
desarrollando el pensamiento métrico de nuestros
estudiantes y consideramos que estamos desdibujando
bastante lo que es la medición y su potencial para el
desarrollo del pensamiento matemático.
En este sentido, suponemos que los profesores debemos
estimular en el estudiante la práctica efectiva de
mediciones, permitiéndole que, entre otras: (i) diseñe y
utilice instrumentos que se ajusten al tamaño y naturaleza
de la cualidad del objeto que se quiere medir, (ii) realice
mediciones a través del conteo del número de veces que
una unidad patrón se dispone sobre el objeto a medir y
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Desarrollo de algunos aspectos del pensamiento métrico
a través de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares
comprenda las condiciones en que hacerse tal conteo, (iii)
descubra la utilidad de un sistema de unidades, aunque
éste no sea el convencional o legal, y las posibilidades
que brinda contar con múltiplos y submúltiplos de la
unidad seleccionada.
Cuando consideramos el caso particular de la medición de
superficies planas, reconocemos que infortunadamente lo
descrito antes se ajusta muy bien aquí. Lo que
habitualmente hacemos la mayoría de los profesores de
matemáticas en la escuela es proponer el cálculo de
áreas a través del uso de las fórmulas que los estudiantes
terminan aprendiendo a fuerza de memorización sin una
comprensión de sus posibles procesos de deducción o sin
que ellas resulten de procesos de generalización. Para
esta magnitud específica, no es tan usual que intentemos
que los estudiantes se enfrenten a situaciones donde
tengan que teselar una superficie con un patrón o unidad
y luego cuenten para determinar un valor numérico o
área. Mucho más extraña es la selección de un patrón o
unidad arbitraria que se ajuste a la forma y tamaño de la
superficie así como extraño es la construcción y uso de un
buen instrumento para realizar la medición de la cantidad
de superficie.
Además, cuando trabajamos medición de superficies
tenemos en cuenta solamente figuras planas y regulares y
rara vez proponemos medir superficies de figuras
irregulares o con bordes no rectilíneos (como pueden ser
un terreno de nuestras granjas escolares, el cual casi
nunca se asemeja a una figura plana conocida pero que
trabajamos como si fuera figura plana y regular).
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Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
Por lo anterior, nos hemos visto conminadas a buscar
estrategias que nos ayuden a medir superficies, sean
regulares o irregulares y atendiendo a que el patrón de
medida encaje o no en ellas exactamente.
En éste informe damos cuenta de algunos aspectos de la
experiencia de diseño y desarrollo curricular, relativa a la
medición de superficies de figuras planas regulares e
irregulares; para ello, inicialmente damos a conocer
algunas reflexiones acerca de la medición de superficies,
luego presentamos elementos descriptivos sobre el
diseño, planeación de la observación, implementación de
las actividades y una discusión de los resultados
observados.
ALGUNOS ASPECTOS
SUPERFICIES
RELATIVOS
A
LA
MEDICIÓN
DE
Un primer aspecto que llamó nuestra atención fue el
marcado énfasis en el uso de un cuadrado de área 1 cm2
para referirse a la medida de la superficie, pues nos
cuestionamos acerca de si siempre debe ser la figura que
representa a la unidad un cuadrado o si podría sustituirse
por otra figura regular. Al respecto pudimos aclararnos
que el hecho de la elección de un cuadrado se debe,
entre otras razones, a que con éste se puede teselar el
plano; pero sabíamos que una teselación tal también se
logra con triángulos isósceles, triángulos equiláteros,
rectángulos, hexágonos, o paralelogramos, entre otras
figuras geométricas planas conocidas. También, logramos
reconocer que el que sea de 1 cm2 se debe a su relación
con el sistema métrico decimal que a otra razón. Por
tanto, quisimos que nuestra situación incluyera
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Desarrollo de algunos aspectos del pensamiento métrico
a través de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares
cuadrados, no necesariamente de tal medida y otras
figuras como unidad de superficie.
Un segundo aspecto, ligado con el anterior, fue el
reconocimiento de que casi siempre la medición directa
da por hecho la existencia de una retícula preestablecida
sobre la cual se ubica la región a medir y ésta encaja
perfectamente; nos interesaba entonces que nuestra
situación implicara precisamente la construcción de una
telesación de la región a partir de la “repetición ordenada”
del patrón, es decir sin que la retícula estuviese
previamente establecida.
Otro aspecto que nos inquietó fue precisamente el hecho
de si la unidad de medida encajaba o no un número
exacto de veces en la región a la que se pretendía medir
su superficie. Esto nos llevó a considerar que deberíamos
proponer figuras que cumplieran tal condición y,
posteriormente, figuras en donde el encaje no fuera
exacto y, quizá, obligar a una estrategia de división
alícuota de la unidad y conteo de tales partes.
Un último aspecto, lo constituyó la forma de la figura, pues
usualmente las figuras empleadas son figuras
geométricas regulares para las cuáles existe una fórmula,
pero no se consideran figuras de bordes no rectilíneos o
no descomponibles en figuras regulares. Por ello creímos
conveniente que nuestra situación tuviera también figuras
irregulares.
PROPÓSITOS E INTENCIONES
En concordancia con los aspectos señalados antes,
quisimos proponer una serie de actividades a través de
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Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
las cuales los estudiantes tuvieran la exigencia y
promovieran su conocimiento matemático en torno a:
•
•
•
•
•
Teselar superficies con cuadrados y determinar su
área.
Aplicar distintas estrategias para comparar superficies
(triangulaciones, cuadrículas, subdivisiones) y medir
superficies regulares e irregulares.
Diferenciar entre medir una superficie y calcular el
área.
Evidenciar que al medir superficies no siempre el
patrón de medida elegido encaja en ella exactamente
un número entero de veces.
Reconocer que polígonos de diferente forma pueden
tener la misma cantidad de superficie.
Con esto en mente, diseñamos la secuencia didáctica que
se presenta a continuación.
SECUENCIA DIDÁCTICA SOBRE MEDICION DE FIGURAS PLANAS
REGULARES E IREGULARES
Actividad No. 1
Utilizando el patrón de medida a determinar cuántas
veces entra en las figuras 1, 2 y 3
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Desarrollo de algunos aspectos del pensamiento métrico
a través de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares
Patrón a
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Actividad No. 2
Haciendo uso del patrón de medida a determinar las
veces que dicho patrón cubre exactamente las figuras 1, 2
y 3 y conjeture sobre el resultado obtenido.
Patrón a
Figura 1
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Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
Figura 2
Figura 3
Actividad No. 3
Haciendo uso de los patrones de medida a y b,
determinar las veces que dichos patrones de medida
cubren exactamente las figuras 1y 2.
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Patrón a
Patrón b
Figura 1
Figura 2
Desarrollo de algunos aspectos del pensamiento métrico
a través de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares
Actividad No. 4
Haciendo uso del patrón de medida a determinar las
veces que dicho patrón de medida cubre exactamente las
figuras 1 y 2
Patrón a
Figura 1
Figura 2
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Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
Actividad No. 5
Haciendo uso de un patrón de medida que se acomode a
la forma de la figura, medir la superficie.
Responda los siguientes interrogantes acerca de la
actividad realizada.
a. Describa el patrón de medida que utilizó para medir
la superficie.
b. ¿Con el patrón que utilizó pudo realizar
exactamente la medición?
c. Determine las veces que dicho patrón encajó en la
superficie.
d. ¿Le faltó superficie por medir?
e. Si le faltó parte de esa superficie que no pudo
medir con el patrón escogido, ¿qué proceso puede
realizar para obtener la medida de la superficie?
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Desarrollo de algunos aspectos del pensamiento métrico
a través de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares
Actividad No. 6
Calque la superficie de la Actividad No. 5 sobre un papel
milimetrado y mida su superficie realizando conteo de los
cuadritos más pequeños del papel milimetrado y compare
con la medición de la superficie que realizó en la Actividad
No. 5.
PLANEACIÓN DE LA OBSERVACIÓN
Como parte de la planeación de la observación nos dimos
a la tarea de identificar las respuestas posibles a las
actividades propuestas, para ello nosotros como autoras
de éstas las desarrollamos. A continuación presentamos
los resultados para cada actividad:
Actividad No. 1
En la figura No. 1 el patrón de medida encaja
exactamente 13 veces, en la figura No. 2 encaja
exactamente 15 veces (13 completos y 4 mitades del
patrón), y en la figura No 3 el patrón de medida encaja
exactamente 19 veces (18 completos y dos mitades).
Actividad No. 2
En la figura No. 1 el patrón de medida encaja
exactamente 18 veces, en la figura No. 2 encaja
exactamente 12 veces, y en la figura No. 3 el patrón de
medida a encaja exactamente 12 veces
Actividad No. 3
En la figura No. 1 el patrón de medida a encaja
exactamente 2 veces y el patrón de medida b una vez o el
patrón de medida a encaja exactamente 8 veces.
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Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
En la figura No. 2 el patrón de medida a encaja
exactamente 18 veces y el patrón de medida b encaja
exactamente 3 veces o el patrón de medida b encaja
exactamente 20 veces.
Actividad No. 4
En la figura No. 1 el patrón de medida a encaja
exactamente 26 veces (24 completos y cuatro mitades),
en tanto que en la figura No. 2 el patrón de medida a
encaja exactamente 9 veces (8 completos y dos mitades
).
Actividad No. 5
1. El patrón de medida utilizado es un cuadrado
2. Con el patrón elegido no se puede realizar exactamente
la medida de la superficie.
3. El patrón elegido encajó exactamente 38 veces en la
figura irregular.
4. Si falta superficie por medir.
5. El patrón se puede dividir en cuatro partes y utilizar
cada parte para encajar en la superficie que quedó sin
cubrir para así acercarse más a la medida exacta de
superficie.
Actividad No. 6
Para dar solución a ésta actividad se espera que el
estudiante tésele la figura y cuente los cuadritos más
pequeños del papel milimetrado que encajan exactamente
en la figura irregular, para que la precisión de la medida
de superficie sea aceptable.
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Desarrollo de algunos aspectos del pensamiento métrico
a través de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares
Adicionalmente, como parte de la planeación de la
observación se determinó que nosotras como autoras de
esta propuesta de aula cumpliéramos el papel de
observadoras de lo que sucediera al implementar las
diferentes actividades, teniendo también la posibilidad de
intervenir para cuestionar las posibles respuestas.
Además, definimos que debíamos registrar los diferentes
aspectos en la implementación de cada una de ellas,
identificando las estrategias que los estudiantes utilizaran
para medir las superficies, si éstos además de contar el
número entero de veces que el patrón de medida
encajaba exactamente en la figura fraccionaron el patrón
de medida para realizar dicha medición.
IMPLEMENTACIÓN
Condiciones de implementación
Las actividades se realizaron con la participación de
cincuenta (50) estudiantes de grado séptimo de
Educación Básica Secundaria, pertenecientes a las
Instituciones Educativas Agroindustriales La Pradera y
Francisco Medrano de Duitama (Boyacá), quienes
emplearon varias horas de la clase de geometría y
estuvieron acompañados y observados por cada uno de
los docentes del área de matemáticas. Se tomó
directamente un registro sobre el trabajo de cada uno de
los estudiantes y se tomaron fotos como evidencias del
desarrollo de las actividades.
En ocasiones el observador intervino a través de
cuestionamientos que llevaron al estudiante a encarar un
problema matemático y a aportar las posibles soluciones.
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Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
RESULTADOS DE LAS OBSERVACIONES
Actividad No. 1 y 2, la mayoría de los estudiantes contó
el número entero de veces que encajó exactamente el
patrón de medida utilizado, mientras que una minoría de
los estudiantes, además de contar el número entero de
veces que encajó exactamente el patrón de medida en las
figuras, lo fraccionó para obtener una medida más
aproximada.
Actividad No. 3, la mayoría de los estudiantes contaron
el número de veces que los patrones de medida
encajaron exactamente en las figuras.
Actividad No. 4, la mayoría de los estudiantes contaron
el número de veces que el patrón de medida encajó
exactamente en las figuras.
Actividad No. 5 y 6, la mayoría de los estudiantes
contaron el número de veces que el patrón de medida
encajó exactamente en las figuras irregulares y tuvieron
en cuenta el patrón de medida fraccionado para medir la
superficie de las figuras.
En general, la mayoría de los estudiantes concluyeron
que si el patrón de medida se hace más pequeño la
medida de la superficie de la figura es más aproximada.
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Desarrollo de algunos aspectos del pensamiento métrico
a través de la medición de superficies de figuras planas regulares e irregulares
DISCUSIÓN DE RESULTADOS
En éste aspecto destacamos algunos de los resultados
del trabajo de los estudiantes y docentes que evidencia el
aprendizaje de la medición de superficies de figuras
planas regulares e irregulares.
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•
•
•
•
•
El desarrollo de las actividades nos permitió reconocer
que los problemas matemáticos no son solamente
enunciados literales sino que existen actividades que
pueden convertirse en problemas matemáticos
legítimos para los estudiantes.
En el desarrollo de las actividades hubo necesidad de
intervenir con cuestionamientos que le permitieron al
estudiante encarar un problema.
Cuando se presentó una figura irregular para medir la
superficie hubo la tendencia a fraccionar el patrón de
medida para dar una medida más aproximada.
El tipo de actividades propuestas, mediadas por una
atenta observación, permite que el docente reconozca
la actividad intelectual del estudiante.
Se observó en los estudiantes interés y agrado en el
desarrollo de las actividades propuestas.
Los estudiantes advirtieron que, además del cuadrado,
pueden usarse otras figuras como patrón de medida
de superficies.
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Zoila Esperanza Bernal y Ma. del Carmen Verdugo
REFERENCIAS
Chamorro, M. (1995). Aproximación a la medida de
magnitudes en la enseñanza primaria. Revista:
UNO, 3. Didáctica de las Matemáticas.
Chamorro, M. (2003). El tratamiento escolar de las
magnitudes y su medida en Didáctica de la
Matemática. Editorial Pearson-Prentice Hall.
Chamorro, M., y Belmonte, J. (1991). El problema de la
medida. Editorial Síntesis. Madrid, España.
Ministerio de Educación Nacional. (2005). Taller:
Estándares Básicos para Matemáticas. División de
perfeccionamiento y calidad de la Educación.
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