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Boletin
Vol.
de Matematieas
pp. 14-20
VI No.4
BOB
PRIElIPP(*)
Dos de los mimeros mas famosos
circunferencia
logaritmos
de un circulo
naturales.
han dicho
son
a su diametro
y
TT
y
e
Como desde la secundaria
dos con estes ruimeros,
ticos
e
y
TT
podria
sobre ellos
suponerse
todo
10
e ,donde
es la raz6n de la
TT
es la base (del sistema)
los estudiantes
de
los
estan familiariza-
que desde hace muchos afics los materna-
que ten ian que
decir,
Este,
sin embargo,
no
es el caso.
Es quiza
corriente
TT
interesante
anotar que Euler
de los simbolos
para designar
Alatheseos,
0
TT
y e.
la raz6n circular
La primera
parece
nuscrito
10
titulado
que Ia
hicieron
Tornado del
hecha
Meditaciones
·fi
Mu
conocida
acerca de experiencias
EPSiIO:)
por V. S. Albi s
N. del E.
14
1706, en la
ouenal",
del
in experimenta
5 (1971),
G., ha sido autorizada
uso
la letra griega
Synopsis
de William
Palm ariorum
Jones.
en 1737 y su uso en sus populares
ampliamente
sobre el disparo de un canon ( Meditatio
(*)
ser
vez que aparece
Una nueva in trodvc cion ala Matematica,
fue la adopc ion que de ella hi zo Euler
de en sefianz a
es en gran parte responsable
yempleada.
P ero
libros
En un ma-
realizadas
recientemente
explosione
tormentorum
p.I'.161-164.
por el anterior
La version
espanola
p eriod ic o y el a utor ,
probablemente
nuper in srituto),
ciseis
veces para representar
escrito
el
l1Iimero cuyo logaritmo hiperb6lico
en 1731.
Esta notacicn
publicada
en 1736 (" Meditatio
tuta"
fue impresa
palabr a "exponencial".
su vida,
= I,
Volv iol a a usar para
tormentorum
Opera postuma mathematica
Se ha sugerido
que
Incidentalmente,
deriva
e
el simbolo
de Euler,
nuper insti-
et physica,
editada
de la letra inicial
P
i para
por Euler aunque en este caso la adopci6n
el
escrita
vez en la Mecanica
explosive
die-
e
denotar
esto en una carta para Goldbach,
in experimentan
en 1862 en la
introducida
Lim (J + l.j«,
n~oo
n
aparece impresa por primera
por P.H. Fuss y N. Fuss.
taclon
en 1727 0 1728, Euler usa la letra
de
la
es otra no-
la hizo al final
de
en 1777.
Antes
repasemos
de presen tar al gunos problem as no res ue Itos relaci on ados con
brevem ente algunos
reco rdando que un
aspectos
numero alge brai co
hl stdricos
de estes nurneros,
y
77
e,
Empezamos
es un ruirn ero c ompl ejo que sati sface
una
ecuac lcn de la forma
n
x+a
donde los
a,i=O,
~1
1, ...
- 0
x n-L + ... +ax+a-,
1
, n-] ,
0
son numeros racionales
y
es un entero po-
ti
l
sitivo.
Ejemplos
1
2
laecuaci6n
x2+
x---=O
1=0).
satisface
co polinomio
"
.12
' v
Un polinomio
en la definicion
a
de nume os algebraicos
de numero algebraico,
grado del polinomio
mero algebraico
de grado minirno,
minimal
2
x 2- 2-0-,
de
ex es
es una generalizacion
director
se dice
una unic a ecuac ion polinomica
unitario
--,
esunaralzde
cuyo coeficiente
J2--' e'
1
son
se llama el
tambien
natural
el
de
es una raiz de
Todo numer o algebraico
de grado
polinomio
grado
es una raiz
1 tal como el indicado
es
unitario.
unitaria
. (1
2
e' L.
L
de
C(.
minimo,
minimal
Este unide
EI concepto
del de numero racional.
a.
EI
de nu-
En efecto,
15
los num eros rac ionales
numero corr.plejo
coinciden
con los numerus
que no es un nurnero algebraico
N inqtin ruimero trascendente
te en la forma:
\\ Tcdo ruimero trascendente
do ruimero trascendente
m os (s igui endo aNi
son rae ionales
es racional.
debe ser real,
se dice un
Lo anterior
21.3 y 5/8)
c ional, Sin embargo,
11,' =
general men-
Esto sugiere
que to-
de manera que evitare-
(como
V2
e i).
para decir si este es tras-
si un ruimero real particular
usando el desarrollo
n i n» J) ",
cion al i dad de
n.
e.
2 1,
En efecto,
es un entero.
Reempl azando
canonico
de
......
,
supon gamos que
es un entero.
P ero
sencilla
e es racional,
0 irra-
e=
de la irr a-
m.1 11"
m
un
E ntonces
1
I!
1
2!
1
)
11,!
1
3!
e por su desarrollo
en serie
mos que
1
---(11,+1)(11,+2)
es racional
e en ser ie infinita
podemos dar una demo straclon
un entero positivo.
n!(e-l-
16
l1umero rruscendente.
y otros no son racionales
e = 1 + _!... + -!- + .-l +
1- 2! 2!
entero y
Un
0 algebraico.
No s iernpre es Iac il determinar
donde
1.
A 19 unos numeros algebrai cos
expresicn.
Luego saber que un ruirnero no es rac ional es insuficiente
cendente
de grade
se expresa
es irracional".
10 cual es inexacto,
ven) us ar Ia an terior
(por ejemplo,
algebraicos
+
1
(11,+1) (11, + 2) (11,+ 3)
y
s implificando,
tene-
= _1_
< _1_= 1
1
n -
usando la formula
que suma una serie qeornetrica
infinita.
'
Luego
+ •.•.
es una serie de terminos
y, por
10
tanto,
no es un entero.
un ruirnero racional.
entonces
de
Este conocimiento
10
la trascendencia
contento
que si
r
1,
men or que
lon conc luimos que
no era suficiente
probe que
siguiente
no es
e
es rac ional y r
del ruimer o
e
es
para resolver
con mayor detalle
trascendente,
77.
Si otros emprenden
pero
creedme,
cos esfuerzos".
Nueve afios mas tarde (1882)
es trascendente.
Para producir
empleada
por
Lambert
que
to,
su prueba,
anteriormente
por
2
77
.
es irra-
Se ha dicho que ese mismo
por demostrar
esta tarea, nadie estara
Lindemann
Hermite.
1761
un poco mas tarde.
caro amigo, que les costara
Lindemann
en
el problema de la cua-
: \\ No me arri esqare en ninqun intento
que yo de sus exitos,
de la tecnica
inicialmente
Mas tarde se dernostro tambien
el cual discutiremos
En 1783 Hermite
declare
fue demostrada
77
continuas,
dratura del cfrculo,
el
De esta contradic
a un valor positivo
e r no es racional.
usando fracciones
afio
que converge
De hecho se puede establecer
La irracionalidad
clonal,
posi tivos
logro demostrar
desarrollo
mas
no poque
77
una extension
Antes de seguir adelante
ca-
17
ea
bria anotar que hoy sabemos que
co
aT
clrculo",
problemas
esto es, la construcci6n
usando un" amente los metcdos
construcci6n
se estableci6
por una parte,
den construirse
dado cualquier
cornpas,
un area de
blema de \\ cuadrar
'
y:;r
p6ngase
Entonces
que
brai cos son cerrados
7T
=
y:;r. y:;r
Por consiguiente,
a la teoria
del teorema de Hilbert-
n6 una solucion
al septirno
aun no resueltos.
hasta 1929 que Gelfondrealiz6
timo problema.
Siegel
18
y Boehle,
Resultados
yen
seria
de la famosa
Aunque
1934 Gelfond
dada,
lista
de Hilbert
F
algelos
es un cuerpo ),
contribuci6n
fue la
Este teorema proporcioque c ontenia
fue anunciada
dio una prueba
y de
?",
Schneider.
adicionales
Su-
de todos
de los mimer os trascendentes
la lista
la primera
parciales
el circulo
un seg -
ya que los nurnercs
el conjunto
23 notables
en 1900, no fue
real a la s clucion
fueron
obtenidos
completa.
,
Luego el pro-
un ruimero algebraico
(en efecto,
Gelfond
que pue-
Por otra parte,
de construir
sobre cual quier cuerpo numeric o
Otra contr ibuc ron notable
es trascendente.
de una unidad de longitud
ser i a algebraico,
\\ cuadrar
de esta
recti lineos
cuadradas.
al problema
YTl
dado I
como la unidad de longitud
unidades
7T
a partir
es imposible
demostraci6n
7T
del
dada usando un nurnero finito
su radio
para la multiplicaci6n
nurneros que son algebraicos
que
los segmentos
es e quivalente
mento recti lineo de longitud
La imposibilidad
son ruirnero s algebraicos.
podemos considerar
que esto es posible.
en area a un circulo
demostr6
de todos
de modo que el c irc ulo tiene
aqui se se qulria
igual
de una unidad de longitud
el circulo
era \\ la cuadratura
de la regIa y el compas,
cuando Lindemann
con regia y
circu!o,
de la antiquedad
de un cuadrado
las longitudes
a partir
de construcciones
problemas
para todo ruimero alqebr ai-
O.
Uno de los mas famosos
Porque,
es trascendente
sino
del sep-
par Kosmin,
Poco despues
EI teorema
se acosturnbraescriblr
nera de expresarla
En general,
;
el
"
es
otra demostraci6n.
si a y
f3 son numeros
valor de
e
a
e {3 Log e
=
TT
•
/I
para no sugerir
es una funclon
en el enunciado
Luego
e
\\
f3
no es un ruimero racional"
que
de ruirneros como
Esta es la razon de
del teorema.Un
51
yel
rna-
{3 deba ser un nurnero real.
multivoca.
es trascendente.
TT
Una vez mas nuestra
la
i-2i=2-2i
valor de
EI teorema establece
tam -
numero de Hilbert ,
Ilamado
.
Algunas
siguiente
veces el teorema de Hilbert-
Si
forma equivalente:
de 0 y {3t:-l,
a y {3
rt/ Log
e
0
radonal
Gelfond -Schneider
0
traseendente.
e
De esta forma del teorem a sesigue
r
es
puede
rae ional
0
traseendente.
Esto
Loa r
"'b
Lueqo
si
son numeros algebraicos
en la
diferentes
f3
mo de un numero raeional positivo
0
se expresa
entonc es
log
es
que
\\ {3 es irracional".
en la forma
bien la trascendencia
. /2
2v
establece
La hipote sis de que
es un intento
frase \\ cualquier
r 2 I L0g
suministr6
no es raeional y a no es ni 0 m 1, entonees eual4uier valor
{3
es traseendente.
a{3
Schneider
de Hilbert-Gelfond-Schneider
algebraieos,
de
e independientemente
r y bTl
te a menos que existan
=
Log
verse
y
r apidamente si
r / log
e
m
el logarit~
referido a una base raeional positiva
ti
recordamos
b
=p
que
{J.
e
son numeros racionales
enteros
que
tales
Log r
b
positives,
que
r '"
A pesar de que a traves de los aries se ha recogido
=
es trascenden-
b" .
mucha informacion
con-
19
7T Y e,
cernientea
ros trascendentes.
aun no se sabe st
Mas aun, no sabemos
Metodos de ataque que nos permitan
cinco
ruimeros
tem atlco
no parecen
existir
ahora.
sonnuJl1e-
sobre el caractor
de los mencionados
EI mundo esta esper ando a un astuto
rna-
que abra otra brecha.
Boyer,
lnc.,
2.
0 7Te
ee,7T7T
siquier a s i alguno de ellos es irracional.
decidir
REFER
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