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Curso de Perfeccionamento Docente
Técnicas de Conteo
Edwin Villogas H.
Febrero 2015
Preguntas de motivación
Preguntas de motivación
1. ¿Cuántas banderas de 3 bandas horizontales pueden formarse con 3
colores distintos si se utilizan todos? Justifique:
a) Mostrando explı́citamente todas las banderas.
b) Realizando un diagrama de árbol.
c) Aplicando el Principio del Producto.
Preguntas de motivación
1. ¿Cuántas banderas de 3 bandas horizontales pueden formarse con 3
colores distintos si se utilizan todos? Justifique:
a) Mostrando explı́citamente todas las banderas.
b) Realizando un diagrama de árbol.
c) Aplicando el Principio del Producto.
2. ¿Cuántas banderas de 4 bandas horizontales pueden formarse con 4
colores distintos si se utilizan todos?
Preguntas de motivación
1. ¿Cuántas banderas de 3 bandas horizontales pueden formarse con 3
colores distintos si se utilizan todos? Justifique:
a) Mostrando explı́citamente todas las banderas.
b) Realizando un diagrama de árbol.
c) Aplicando el Principio del Producto.
2. ¿Cuántas banderas de 4 bandas horizontales pueden formarse con 4
colores distintos si se utilizan todos?
3. ¿Cuántas banderas de n bandas horizontales pueden formarse con n
colores distintos si se utilizan todos?
1. Principio del Producto
1. Principio del Producto
Principio
El principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisión
D1 y, tomada la decisión D1 , existen y formas de tomar la decisión D2 ,
entonces el número de formas para tomar sucesivamente las decisiónes D1 y
D2 es xy.
1. Principio del Producto
Principio
El principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisión
D1 y, tomada la decisión D1 , existen y formas de tomar la decisión D2 ,
entonces el número de formas para tomar sucesivamente las decisiónes D1 y
D2 es xy.
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas formas se puede formar una pareja
mixta?
1. Principio del Producto
Principio
El principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisión
D1 y, tomada la decisión D1 , existen y formas de tomar la decisión D2 ,
entonces el número de formas para tomar sucesivamente las decisiónes D1 y
D2 es xy.
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas formas se puede formar una pareja
mixta?
Ejemplo
Una bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usando
solamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de un
color y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantas
formas se puede colorear la bandera?
1. Principio del Producto
Principio
El principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisión
D1 y, tomada la decisión D1 , existen y formas de tomar la decisión D2 ,
entonces el número de formas para tomar sucesivamente las decisiónes D1 y
D2 es xy.
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas formas se puede formar una pareja
mixta?
Ejemplo
Una bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usando
solamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de un
color y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantas
formas se puede colorear la bandera?
Ejemplo
¿Cuántos números de tres dı́gitos distintos existen?
1. Principio del Producto
Principio
El principio del producto dice que si existen x formas de tomar una decisión
D1 y, tomada la decisión D1 , existen y formas de tomar la decisión D2 ,
entonces el número de formas para tomar sucesivamente las decisiónes D1 y
D2 es xy.
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas formas se puede formar una pareja
mixta?
Ejemplo
Una bandera esta formada por 7 franjas que deben ser de colores usando
solamente los colores verde, azul y plomo. Si cada franja debe ser de un
color y no se pueden usar colores iguales en franjas contiguas, ¿De cuantas
formas se puede colorear la bandera?
Ejemplo
¿Cuántos números de tres dı́gitos distintos existen?
Ejemplo
¿Cuántos números impares de tres dı́gitos distintos existen?
2. Principio de la suma
2. Principio de la suma
Principio
El principio de la suma dice que si una situación puede ocurrir de m
maneras diferentes y otra de k maneras diferentes, incompatibles las unas
con las otras, entonces existen m + k maneras en las cuales puede ocurrir la
primera o la segunda, mas no ambas.
2. Principio de la suma
Principio
El principio de la suma dice que si una situación puede ocurrir de m
maneras diferentes y otra de k maneras diferentes, incompatibles las unas
con las otras, entonces existen m + k maneras en las cuales puede ocurrir la
primera o la segunda, mas no ambas.
Ejemplo
Para viajar de la ciudad A a la ciudad B se cuentan con dos lı́neas aéreas y
cinco de transporte terrestre ¿De cuantas formas distintas se puede viajar
de A a B?
2. Principio de la suma
Principio
El principio de la suma dice que si una situación puede ocurrir de m
maneras diferentes y otra de k maneras diferentes, incompatibles las unas
con las otras, entonces existen m + k maneras en las cuales puede ocurrir la
primera o la segunda, mas no ambas.
Ejemplo
Para viajar de la ciudad A a la ciudad B se cuentan con dos lı́neas aéreas y
cinco de transporte terrestre ¿De cuantas formas distintas se puede viajar
de A a B?
Ejemplo
¿Cuántos números enteros hay entre 1 y 50 que sean múltiplos de 7 o de 11?
3. Principio del producto o principio de la suma
3. Principio del producto o principio de la suma
Ejemplo
¿Cúantos números pares de tres dı́gitos distintos existen?
3. Principio del producto o principio de la suma
Ejemplo
¿Cúantos números pares de tres dı́gitos distintos existen?
Ejemplo
3. Principio del producto o principio de la suma
Ejemplo
¿Cúantos números pares de tres dı́gitos distintos existen?
Ejemplo
a) ¿Cúantos divisores positivos posee el número 360?.
3. Principio del producto o principio de la suma
Ejemplo
¿Cúantos números pares de tres dı́gitos distintos existen?
Ejemplo
a) ¿Cúantos divisores positivos posee el número 360?.
b) ¿Cúantos de ellos son pares?.
3. Principio del producto o principio de la suma
Ejemplo
¿Cúantos números pares de tres dı́gitos distintos existen?
Ejemplo
a) ¿Cúantos divisores positivos posee el número 360?.
b) ¿Cúantos de ellos son pares?.
c) ¿Cúantos son impares?.
3. Principio del producto o principio de la suma
Ejemplo
¿Cúantos números pares de tres dı́gitos distintos existen?
Ejemplo
a) ¿Cúantos divisores positivos posee el número 360?.
b) ¿Cúantos de ellos son pares?.
c) ¿Cúantos son impares?.
c) ¿Cúantos son cuadrados perfectos?.
4. Permutaciones simples
4. Permutaciones simples
Ejemplo
¿Cuántas palabras de cinco letras distintas, sin importar el sentido que
tengan, se pueden formar con las letras de la palabra CALOR?
4. Permutaciones simples
Ejemplo
¿Cuántas palabras de cinco letras distintas, sin importar el sentido que
tengan, se pueden formar con las letras de la palabra CALOR?
Ejemplo
¿De cuantas formas podemos ordenar en fila cinco objetos distintos?
4. Permutaciones simples
Ejemplo
¿Cuántas palabras de cinco letras distintas, sin importar el sentido que
tengan, se pueden formar con las letras de la palabra CALOR?
Ejemplo
¿De cuantas formas podemos ordenar en fila cinco objetos distintos?
Ejemplo
¿De cuantas formas podemos ordenar en fila n objetos distintos?
Definición
Cada orden que se dá a los objetos es llamado permutacion simple de los
objetos.
Definición
Cada orden que se dá a los objetos es llamado permutacion simple de los
objetos.
Ası́, por ejemplo, las permutaciones simples de las letras a, b y c son: (abc),
(acb), (bac), (bca), (cab), (cba).
Definición
Cada orden que se dá a los objetos es llamado permutacion simple de los
objetos.
Ası́, por ejemplo, las permutaciones simples de las letras a, b y c son: (abc),
(acb), (bac), (bca), (cab), (cba).
Por lo tanto, el número de permutaciones simples de n objetos distintos es
Pn = n!
5. Combinaciones simples
5. Combinaciones simples
Ejemplo
¿De cuántas formas podemos separar 8 objetos en un grupo de 5 y otro de
3?
5. Combinaciones simples
Ejemplo
¿De cuántas formas podemos separar 8 objetos en un grupo de 5 y otro de
3?
Ejemplo
¿De cuántas formas podemos seleccionar 5 objetos distintos de 8 objetos
dados?
5. Combinaciones simples
Ejemplo
¿De cuántas formas podemos separar 8 objetos en un grupo de 5 y otro de
3?
Ejemplo
¿De cuántas formas podemos seleccionar 5 objetos distintos de 8 objetos
dados?
Ejemplo
¿De cuántas formas podemos seleccionar p objetos distintos de n objetos
dados?
Definición
Cada selección de p objetos es llamada combinación simple de clase p de los
n objetos.
Definición
Cada selección de p objetos es llamada combinación simple de clase p de los
n objetos.
El número de combinaciones está dado por
Cpn =
n!
p!(n − p)!
Definición
Cada selección de p objetos es llamada combinación simple de clase p de los
n objetos.
El número de combinaciones está dado por
Cpn =
n!
p!(n − p)!
Ejemplo
Las combinaciones simples de clase 3 de los objetos a, b, c, d, e son:
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, b, e}, {a, c, d}, {a, c, e},
{a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, {c, d, e}.
Ası́
C35 =
5
3
!
= 10.
Ejemplo
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con 3
hombres exactamente, se pueden formar?
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con 3
hombres exactamente, se pueden formar?
Ejemplo
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con 3
hombres exactamente, se pueden formar?
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con por lo
menos 3 hombres, pueden ser formadas ?
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con 3
hombres exactamente, se pueden formar?
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con por lo
menos 3 hombres, pueden ser formadas ?
Ejemplo
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con 3
hombres exactamente, se pueden formar?
Ejemplo
Con 5 hombres y 4 mujeres, ¿Cuántas comisiones de 5 personas, con por lo
menos 3 hombres, pueden ser formadas ?
Ejemplo
Se tienen 5 puntos sobre una recta R y 8 puntos sobre una recta R0 paralela
a R. ¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros convexos con vertices en
esos puntos existen?
