SEMANA 2 TRIGONOMETRIA

SEMANA 2
3.
LONGITUD DE ARCO
1.
del sector circular EOF.
Calcule la longitud de un arco en
un sector circular cuyo ángulo
central mide 1º y su radio mide
1800 cm.
π
A)
m
2
π
D)
m
10
π
B) m
5
π
E)
m
20
Si: ℓAB + ℓCD = 26. Halle el área
4
A) 1
A
C
B) 2
π
C) m
8
C) 3
E 4
4
2θ
o
D
θ
D) 4
F
E) 6
RESOLUCIÓN
B
RESOLUCIÓN
4
18
A
C
8
L
1º
2θ
o
4
E
4
D
θ
Si:
1º =
π
rad ; 1800 cm = 18 m
180
F
B
ℓ AB
Se pide:
π
L =
x 18
180
π
L =
m
10
+ ℓ CD = 26
12 (3θ ) + 8 (2θ ) = 26
52θ = 26
θ=
RPTA.: D
2.
Se muestra sectores circulares
concéntricos, donde S representa
área, obtener x. si S = 8L²
S∆EOF =
RPTA.: D
B) 4 L
C) 5 L
3L
θR 2 1  1 
=   ( 4) ²
2
2 2
S∆EOF = 4
2L
A) 2 L
1
2
S
x
D) 6 L
E) 8 L
4.
Una regadera instalada en un
parque, tiene un alcance de 8 m y
barre un ángulo de 120g. Calcule
el área del sector circular que
genera esta regadera.
A) 19,2 π m²
C) 18,9 π m²
E) 14,4 π m²
RESOLUCIÓN
S = 8 L²
1
(3L + x ) (2L ) = 8 L²
2
3L + x = 8 L
B) 17,6 π m²
D) 12,6 π m²
RESOLUCIÓN
x = 5L
RPTA.: C
S
8
120 g
8
Si: 120g =
3π
rad
5
RESOLUCIÓN
Inicialmente:
Se pide:
1 3π
S= i
i 8²
2 5
S = 19,2 π m²
θrad
S
S=
θR²
2
RPTA.: A
Finalmente:
5.
Si CAE es un sector circular y
ED
AB = BC. Halle : V =
DC
R + 5m= ?
4 θrad
A
49 S
A) 2
E
B) 3
C) 4
B
49 S =
20º
D) 5
( 4θ ) (R + 5) ²
2
↓
E) 6
D
49 i
C
θ R² 4θ (R + 5) ²
=
2
2
RESOLUCIÓN
7R = 2 (R + 5)
A
R
B
R = 2m
60º
20º
E
R
20º
∴R + 5m = 7m
RPTA.: D
80º
D
80º
C
7.
Se pide:
π
iR
V= 3
π
iR
9
V=3
Halle el área sombreada:
A
A) π
C
B) 2 π
C) 3 π
RPTA.: B
o
6
30º
D) 4 π
E) 5 π
6.
Si a un sector circular le
cuadruplicamos su ángulo central
y aumentamos 5 m
a su radio,
se obtendrá un nuevo sector
circular que tiene un área que es
49 veces el área del sector
circular inicial. Determine el radio
del nuevo sector.
A) 2 m
D) 7 m
B) 3 m
E) 9 m
C) 5 m
D
B
RESOLUCIÓN
A
a
o
C
6
30º
b
D
B
Sx = S∆AOB − S∆COD
θ
θ
a² − b²
2
2
θ
Sx = a² − b²
2
1π
Sx =   6²
2 6
9.
Sx =
En la figura, el trapecio circular
ABCD y el sector circular COD
m
tienen igual área. Halle:
n
A)
36π
12
Sx = 3π
Sx =
B)
RPTA.: C
C)
Calcule: E = x³ − x² − 1, si:
8.
A
2
2
D
1
2
2
C
D) 2
A
n
m
o
B
E) 1
x²
C
RESOLUCIÓN
5
x (x + 1)
o
x (x - 1)
D
A) 5
D) 8
B) 6
E) 9
B
θrad
C) 7
S
S
m
n
RESOLUCIÓN
m² 
2θ 


n² 

mayor : 2S =
2θ 
1 m²
=
2
n²
menor : S =
x²
5
θ
x (x + 1)
x (x - 1)
1
5θ = x ( x − 1) → θ =
x ( x − 1)
5
2
=
m
→
n
÷
m
2
=
n
2
.........(1)
RPTA.: A
Luego :
 x − 1
x ( x + 1) = ( x² + 5 ) ( x ) 

 5 
5(x+1) = (x²+5)(x−1)
5x + 5 = x³ − x² + 5x − 5
10 = x³ − x²
∴ E = x³ − x² − 1
E=9
RPTA.: E
10.
Se tiene un sector circular y un
cuadrado, con equivalente área e
igual perímetro; luego la medida,
en radianes, de su ángulo central
correspondiente resulta ser:
A) 1 rad
B) 2 rad
D) 4 rad
E)
1
rad
4
C)
1
rad
2
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
R
a
C
θ rad
S
o
L
θ
x
i)
ii)
S
=S
E
Perímetro
=
Perímetro
→
→
→ 2R + L = 4a
a
y−x z−y
=
a
2a
2y − 2x = z − y
3y = 2x + z
RPTA.: C
a
12.
a
→
→
→
→
→
F
Luego:
M = (3y) . y−1
∴M=3
S
a
2a
De la figura:
θ=
z
a
Condiciones:
L iR
→
= a²
2
→ R.L = 2a²
A
y
D
R
2a
B
(2R+L)²=16a²→(2R+L)² = 8(2a²)
4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)
4R² − 4R.L +L² = 0
(2R−L)² = 0 → 2R − L = 0
2R = L → 2R = θ R → θ = 2
RPTA.: B
S2 + S3
S1
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de
las regiones sombreadas
Calcule: M =
S2
θ
2θ
S1
S3
11.
De
la
figura mostrada, AOF,
BOE
y
COD
son
sectores
circulares, además:
12
7
D) 5π + 2
13
2
E) 5π − 2
BC = DE = a, AB = EF = 2a,
L CD = x, L BE = y, L AF = Z
A)
Calcule: M = (2x + z) y−1
RESOLUCIÓN
E) 5
1
12
B
C
B) 2
D) 4
C)
A
A) 1
C) 3
B)
o
θ
2 θ S1 = 2S
D
S2 = 3S
6S
S3. = 10S
E
F
S1 = 2S
S2 = 3S
S3 = 10S
M=
S2 + S3 13
=
S1
2
RPTA.: B
13.
Dos postulantes de la UNAC,
observan un reloj eléctrico cuyas
agujas están detenidas, luego de
la falla eléctrica en el Callao, uno
de
los estudiantes dice que el
área que hacen las agujas es
de 7,2 m² y si el reloj tiene un
radio de 6 m. ¿Cuál será el arco
entre las agujas?
22
Considere π =
7
12
11
A)
mts
B)
mts
5
5
5
12
C)
D)
mts
mts
12
7
5
E)
mts
11
θ1 R 1 = θ2 R 2
αºR1 = (αg)R2
 9 
αºR1 = ( αº ) 
 R2
 10 
R1
9
=
R 2 10
RPTA.: C
15.
Se tienen dos ruedas conectadas
por una faja; si hacemos girar la
faja, se observa que las ruedas
giran ángulos que suman 144º.
Determine la diferencia de los
números de vueltas que dan estas
ruedas si sus radios miden 3 m y
5m
1
1
1
B)
C)
A)
3
8
9
1
1
D)
E)
4
10
RESOLUCIÓN
S=
1
1
L R ⇒ 7,2 = L(6)
2
2
24
144
⇒
= L(6)
10
L =
RESOLUCIÓN
θ1 + θ2 = 144º
5
12
mts
5
3
RPTA.: A
14.
Se tiene una bicicleta cuyas
ruedas tienen por radios R1 y R2
(R1 < R2); cuando la rueda menor
gira αº la mayor gira αg. ¿En qué
relación se encuentra los radios?
3
7
3
D)
10
A)
8
13
9
E)
4
B)
C)
9
10
RESOLUCIÓN
Si θ1 y θ2 son los ángulos que
giran la rueda menor y mayor
respectivamente.
αg
αº
R2
R1
En una bicicleta se cumple que:
→
L1 = L2 →
θ 1R 1 = θ 2R 2
θ1 R 2
V
5
=
⇒ 1 =
θ2 R1
V2 3
θ1
θ
144π 1
+ 2 =
i
2π 2π
180 2π
2
2
V1 + V2 = ⇒ 8k =
⇒ V1 − V2 = 2k
5
5
1
1
k =
V1 − V2 = 2i
20
20
1
=
10
RPTA.: E
16.
En el sistema mostrado, si la
3
de vuelta, entonces
rueda A da
4
la longitud recorrida por la rueda
C es:
17.
Determine el área de la región
sombreada, sabiendo que las
áreas de los sectores AOB y COD
son iguales (α y θ en radianes)
o
α θ
B
R
8
2
6
A
B
A
C
D
M
A) 3,6 π
B) 36 π
9π
E)
4
D) 18 π
C) 1,8 π
C
1
R² ( α − θ )
2
1
C) R² ( α² − θ²)
2
1
E)
R² ( α − θ²)
2
RESOLUCIÓN
A
B
8
1
R² ( α + θ )
2
1
D) R² ( α² − θ )
2
B)
A)
2
6
RESOLUCIÓN
C
3
V
4
3
3π
⇒ θA = (2π rad) =
rad
4
2
# VA =
*
1
α r12
2
⇒ αr12 = θR 22
R2
r1
S
S
S=
1
θR²
2
A − B:
LA = LB
θA RA = θBRB
 3π 
 2  ( 6 ) = θB (2 )


θB =
*
S=
α θ
SX
S + Sx = ST
Sx = ST − S
1
1
Sx = αR² − αr12 Re emplazando
2
2
1
1
Sx = αR² − θR²
2
2
1
Sx = R² ( α − θ )
2
9π
2
B − C:
9π
2
9π
∴ L C = θCR C =
(8) = 36π
2
θB = θC =
RPTA.: A
RPTA.: B
18.
Del gráfico, halle el número de
vueltas que dará una ruedita de
radio 1, al ir de A hasta B si
CB = 8π y AOC es un sector
circular.
A
o
5
RPTA.: D
20.
De la figura mostrada, la rueda de
radio r, gira sin resbalar sobre la
superficie de radio 240 r. ¿Cuál es
la longitud recorrida por el centro
de la rueda hasta que el punto B
este en contacto con la superficie
de la curva, si: m ∢ AOB = 120º,
r = 18u?
B
B
C
A) 2
D) 5
B) 3
E) 6
C) 4
r
A
RESOLUCIÓN
A
o
B
4
L1
L2
C
8π
240 r
B
L1 + L2 = 2π (1) . N
π
i4 + 8π = 2πiN
2
10π = 2πiN
N=5
A) 24 π
B) 24,1π
D) 24,3π
E) 24,4π
C) 24,2π
RESOLUCIÓN
RPTA.: D
19.
A
L AB = 240º
π
(18u) = 24π
180
Halle el número de vueltas que da
la rueda de radio (r = 1) al ir de la
posición A hasta la posición B.
B
r
A
0
r
L
24
20
o
r
A
o
B
B
r
De la figura:
A) 85
D) 10,5
B) 9
E) 11
C) 10
RESOLUCIÓN
ℓ
# V = RECORRIDA
2π r
Sabemos: ℓr = (π) (21) = 21π
⇒
# vueltas =
#v = 10,5
21 π
2 π (1)
L
24π
=
241r 240 r
L = 24,1 π
RPTA.: B
21.
Sobre una superficie curva de
radio “R” gira una rueda cuyo
radio es “r” (ver figura). Si dicha
rueda da una vuelta al ir de “M” a
“N”. Calcule la longitud del arco
MN. ( O y O′ son centros).
la velocidad de A es a la velocidad
de B como 3 es a 7. Calcule
cuando mide “α” si se encuentran
por 1era. vez en el punto R.
A)
B)
r
N
o
C)
M
R
D)
E)
O′
A)
R +r
πRr
E)
πRr
R +r
2πRr
D)
R +r
R +r
2πRr
P
α
Q
RESOLUCIÓN
Espacio recorrido por el móvil A
será PR y del móvil B es el arco
QR .
eA = VAtA y eB = VBtB
B)
C) 2πRr (R + r )
π
rad
5
R
π
rad
4
π
rad
10
π
rad
20
7π
rad
10
Pero ambos parten
tiempo tA = tB
P
al
mismo
RESOLUCIÓN
π
−α
2
R
r
α
r
θR
r
r
Q
r
N
r
M
⇒
θRAD
Reemplazando:
Del gráfico:
L
2πr
n=
ii)
ℓ MN = θiR
∴ ℓ MN =
→1=
θ (R + r )
2πr
2πr
→θ=
R +r
2πRr
R +r
RPTA.: D
22.
7eA = 3eB
π

eA = L PR =  − α  r y eB = L QR = ( π + α ) r
2

o
i)
eA
V
3
= A =
⇒
eB
VB
7
Dos móviles
mismo tiempo
indicadas en
puntos P y Q
A y B parten al
y en las direcciones
la figura de los
respectivamente, si
π

7  − α  r = 3 (π + α)r
2


7π
π
− 7α = 3π + 3α ⇒ 10α =
2
2
π
⇒α=
rad
20
RPTA.: D