Cálculo de la BER y relación S/N

Cálculo de la BER y relación S/N
La tasa de error de bit o BER mide el promedio de errores ocurridos en la transmisión.
BER =
Número de errores
Número de bits transmitidos
En el receptor, si estamos detectando una señal ruidosa, habrá “ceros” que se puedan
confundir como “unos” y “unos” que se puedan confundir como “ceros”, dependiendo
de lo ruidosa que sea la señal y de donde coloquemos el umbral de decisión (vth).
En la figura siguiente se
puede
observar
un
de
la
histograma
distribución
de
ceros.
eje
El
unos
y
vertical
representaría los niveles de
tensión
detectados
para
unos y para ceros. Las
funciones
representan
la
probabilidad de detectar un
uno para una tensión “y”
(p(y|1)) o un cero para una tensión “y”(p(y|0)).
La probabilidad de error viene dada por:
BER = Pe = aP1 (vth ) + bP0 (vth ) , es decir la probabilidad de recibir un uno “a ” por la
probabilidad de detectarlo con una tensión inferior a la umbral (P1(vth)) (se detectaría
como un cero) mas la probabilidad de recibir un cero “b ” por la probabilidad de
detectarlo con una tensión superior a la umbral (P0(vth)) (se detectaría como un uno).
P1(vth) sería el área rayada que queda por debajo del umbral y P0(Vth) sería el área
rayada que queda por encima del umbral. Estas probabilidades se calcularían para
una tensión “v” como:
v
P1 (v) = ∫ p ( y | 1)dy
−∞
y
∞
P0 (v) = ∫ p ( y | 0)dy
v
APROXIMACIONES
•
Suponemos que la tensión de salida vout(t) sigue una distribución gaussiana,
tanto para los unos como para los ceros. En este caso, la desviación estándar
σ representa el valor de la tensión de ruido rms (VN), σ2 es la varianza y 2√2⋅ σ
es la anchura de la gaussiana cuando cae a un valor 1/e del máximo.
•
El número de ceros y de unos es el mismo. a= b
•
La probabilidad de error de unos (P1(vth)) y ceros (P0(vth)) es la misma.
•
La tensión umbral estaría colocada en el medio de vON y vOFF.
•
La desviación estándar para unos σON y σOFF para ceros vale lo mismo: σON= σOFF
En estas condiciones:
Pe = aP1 (vth ) + bP0 (vth ) =
1
1
P1 (vth ) + P0 (vth ) = P1 (vth ) = P0 (vth )
2
2
P0(vth) y P1(vth)se calculan como:
P0 (vth ) =
1
2π σ OFF
∫
∞
v th
e
−
(v − vOFF )2
2
2σ OFF
dv
y
P1 (vth ) =
Vamos a calcular P0(vth), haciendo un cambio de variables:
x=
v − vOFF
2 ⋅ σ OFF
luego : dx =
1
dv ⇒ dv = 2 ⋅ σ OFF ⋅ dx
2 ⋅ σ OFF
1
2π σ ON
∫
v th
−∞
e
−
(vON − v )2
2
2σ ON
dv
Los límites variarán entre:
x=
vth − vOFF
Q
=
2 ⋅ σ OFF
2
y ∞, donde Q =
vth − vOFF
=
σ OFF
vON − vth
σ ON
=
Vout / 2
σ ON
=
S
N
Sustituyendo:
P0 (vth ) =
2σ OFF
2π σ OFF
∫
∞
Q
2
e − x dx =
2
1
π
∫
∞
Q
2
2
e − x dx =
1⎡ 2
⎢
2⎣ π
∫
⎤
2
e − x dx ⎥
2
⎦
∞
Q
Como sabemos que:
erf ( z ) =
2
π
∫
z
0
2
e − x dx
y erfc( z ) = 1 − erf ( z ) =
2
π
∫
∞
z
2
e − x dx
Podemos escribir:
1
⎛ Q ⎞ 1
⎛ Vout
BER = erfc⎜
⎟ = erfc⎜
2
⎝ 2⎠ 2
⎝ 2 2σ
⎞ 1⎡
⎛ Q ⎞⎤ 1 ⎡
⎛ Vout
⎟ = ⎢1 − erf ⎜
⎟⎥ = ⎢1 − erf ⎜
⎠ 2⎣
⎝ 2 ⎠⎦ 2 ⎣
⎝ 2 2σ
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
Habitualmente se representa la BER en función de Q, o bien en función de la amplitud
alterna de la tensión de salida (Vout) partida por el ruido rms (σ), Vout/ σ.