Geometría Analítica Plana

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Capítulo
8
LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto A = (2,3 ) , tiene
su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus
asíntotas es la recta 2y − 7 x = 0 .
Solución:
Sean
Si
‹ 1 y ‹ 2 asíntotas de la hipérbola H .
‹ 1: 2y − 7 x = 0 ! ‹ 2 : 2y + 7 x = 0
Luego :
!
H : (2y − 7 x )(2y + 7 x ) = k ! H : 4y 2 − 7x 2 = k → !
Pero :
En
A = (2,3 ) ∈
!: H :
H ! 36 − 28 = k ! k = 8
4y 2 − 7 x 2 = 8 !
H:
y2 x2
−
=1
2 87
59
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en V = (0,±7 ) y e = 4 3 .
Solución:
H:
De los datos se deduce :
Si :
y2
a2
−
x2
b2
=1
V = (0, ± 7 ) = (0, ± a ) ! a = ±7
Además :
e=
c 4
4
784
=
! c = × a ! c2 =
a 3
3
9
Luego : b 2 = c 2 − a 2 =
H:
Por lo tanto :
343
784
− 49 ! b 2 =
9
9
y2
x2
−
=1
49 343 9
H : 9x 2 − 7 y 2 = 343
Dada la ecuación de la hipérbola x 2 − 4 y 2 = 4 , hallar las coordenadas de
los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la
excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
H : x 2 − 4y 2 = 4 ! H :
Sabemos :
x2 y2
−
=1
4
1
De donde :
! a 2 = 4 ! a = ±2
! b 2 = 1 ! b = ±1
! c 2 = a2 + b2 = 4 + 1 = 5 ! c = ± 5
Vértices :
V = (± a,0 ) = (± 2,0 )
(
Focos : F = (± c,0 ) = ± 5 ,0
Excentricidad :
60
e=
c
a
!
)
e=
5
2
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Cuerda Normal : CN =
2b 2
2 ×1
=
=1
a
2
Eje Transverso :
2a = 4
Eje Conjugado :
2b = 2
Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos F1 = (− 1,1) y F2 = (5,1)
y un vértice en V = (0,1) .
Solución:
61
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Sabemos :
F1 F2 = 2c = 6 ! c = 3 ! c 2 = 9

! C = (h,k ) ! 

Ahora :
h=2
! C = (2,1)
k =1
! a = CV = 2 ! a 2 = 4
! c 2 = a 2 + b2 ! 9 = 4 + b2 ! b2 = 5
Por lo tanto :
H:
(x − h)2 − (y − k )2
=1
H:
(x − 2)2 − (y − 1)2
=1
a2
4
b2
5
Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los
puntos F1 = (3,4 ) y F2 = (3,−2 ) y su excentricidad es igual a 2.
Solución:

! C = (h,k ) ! 

h=3
k =1
! C = (3,1)
Luego : c = F1C = CF2 = 3
9
3
c
=2 ! a=
! a2 =
4
2
a
27
9
! b2 =
Sabemos que : b 2 = c 2 − a 2 = 9 −
4
4
Además : e =
Por lo tanto :
62
H:
(y − k )2 − (x − h)2
=1
H:
(y − 1)2 − (x − 3)2
=1
a2
94
b2
27 4
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la
elipse: x 2 100 + y 2 64 = 1 . Y las directrices pasan por los focos de esta
elipse.
Solución:
En la elipse :
õ:
x2 y2
+
=1
100 64
! a 2 = 100 ! a = ±10
! b 2 = 64 ! b = ±8
! b 2 = a 2 − c 2 ! c 2 = a 2 − b 2 = 100 − 64 = 36 ! c = ±6
De donde : F = (± c,0) = (± 6,0)
En la hipérbola :
H:
x2
a2
−
y2
b2
=1
Por condición del problema, obtenemos el valor de c en la hipérbola
a partir del valor de a en la elipse.
! c = ±10 ! c 2 = 100
63
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
La ecuación de la directriz de la hipérbola :
!
x=±
a
a2
a2
=
=±
ca
c
10
→
x=±
a
e
!
Por condición del problema : x = c ; donde c es un valor obtenido
en la elipse.
Luego en
!:
a 2 = 60
Seguido : b 2 = a 2 − c 2
Por lo tanto :
H:
H:
64
! b 2 = 100 − 60 ! b 2 = 40
x2
a2
−
y2
b2
=1
x2
y2
−
=1
60 100
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Dada la ecuación de la hipérbola: (x − 4 )2 16 − y 2 128 = 1 , encontrar las
coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones
de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).
Solución:
Si
(x − 4)2 −
H:
16
y2
= 1 →
128
!
se deduce que C = (h,k ) = (4,0 )
Además :
! a 2 = 16 ! a = ±4
! b 2 = 128 ! b = ±8 2
! c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 128 = 144 ! c = ±12
Vértice :
V = (h ± a,k ) = (4 ± 4,0 ) !
s:
Focos : F = (h ± c,k ) = (4 ± 12,0 ) !






V1 = (8,0 )
V2 = (0,0 )
F1 = (16,0 )
F2 = (− 8,0 )
Ecuaciones de las directrices :
x = h±
a
4
= 4±
e
3
!



x = 16 3
x=8 3
Ecuaciones de las asíntotas ; en
!:
8(x − 4 ) − y − 128 = k
2
!
[2


! 


][
]
2 (x − 4 ) + y ⋅ 2 2 (x − 4 ) − y = 0
‹ 1: 2 2 (x − 4) + y = 0
‹ 2 : 2 2 (x − 4) − y = 0
65
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Cuerda Normal : CN =
66
2b 2
2 × 128
=
= 64 = 64
a
4
PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos A = (3,−2) y
B = (7,6 ) , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el
eje X.
Solución:
H:
x2
a2
−
y2
b2
=1
! A = (3,−2) ∈
! B = (7,6 ) ∈
De
!
y
H: !
":
∴
a
49
a
2
2
−
−
4
b2
36
b2
= 1 →
= 1 →
!
"
a 2 = 4 ; b 2 = 16 5
H:
Luego :
9
H: !
x2
y2
−
=1
4 16 5
H : 4x 2 − 5y 2 = 16
Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el
golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el
lugar geométrico de P es una hipérbola.
Solución:
Sean :
!
Vb :
!
Vs : Velocidad del sonido
Velocidad de la bala
Además :
e = v⋅t ! t =
e
v
67
Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA
Por condición del problema :
De
!:
!
RP BP BR
−
=
Vb
Vs Vs
! RP − BP = Vs ×
! RP − BP = k
68
RP BR BP
=
+
Vs
Vb Vs
→
BR
=k
Vb
(Definición de hipérbola )
LQQD
!