CÁLCULO DE PROBABILIDADES DE SUCESOS

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS - EJERCICIOS
1. Se consideran 8 valores aleatorios generados al azar del intervalo (0,1):
0,8580
0,4326
0,5973
0,6685
0,9273
0,2185
0,3234
0,4546
Generar una muestra de 8 valores elegidos aleatoriamente de una distribución
exponencial de parámetro λ = 1 .
2. La duración de cada operación que realiza cierta máquina puede representarse
mediante una v.a. uniforme de media 10 segundos y varianza 3 seg2. ¿Cuántos segundos
tarda como mínimo, el 75% de las veces?
3. Se eligen al azar y de manera independiente n números entre 0 y 1. Sea X el mayor
de ellos. Calcular FX , f X , E ( X ) y V ( X ) .
4. La vida activa de un fármaco es de 400 días como mínimo. A partir de los 400 días el
tiempo de acción es aleatorio con distribución exponencial de parámetro 1/25 días. Si
un lote contiene 12 unidades de este fármaco, ¿cuál es la probabilidad de que al menos
8 duren menos de 430 días?
5. Cierto médico invierte 15 minutos, por término medio, en visitar a un paciente.
Sabiendo que la duración de la visita sigue una distribución exponencial y que la
consulta dura 2 horas, ¿cuál es el número máximo de pacientes que podrá atender con
probabilidad 0,90?
6. El tiempo, en horas, empleado diariamente en transporte por los trabajadores de una
fábrica, sigue una distribución γ (2,2) . Los trabajadores de las afueras emplean, al
menos, 1 hora. ¿Cuál es la probabilidad de que no supere la hora y media? ¿y cuál es el
tiempo mínimo que necesitan el 50% de los trabajadores que más tiempo “pierden” en
transporte?
7. Un profesor ha calculado que el tiempo invertido por los estudiantes en hacer su
examen sigue una distribución normal de media 150 minutos y desviación típica 40
minutos. Si se eligen 2 estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que, al menos uno
de los dos, tarde más de dos horas en hacer el examen?
Si el profesor entiende que el tiempo correcto de duración del examen debe ser aquel
que permita terminar, al menos al 95% de los alumnos, ¿a qué hora finalizará el examen
si ha empezado a las 15:30?
8. Por un punto de una autopista pasan vehículos a razón de 6 vehículos por minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 20 segundos desde el instante que ha
pasado un vehículo hasta que pasan 3 vehículos más por ese punto?. Y si un perro se
lanza a cruzar la autopista inmediatamente después de que ha pasado un coche, ¿cuál es
la probabilidad de que sea arrollado sabiendo que invierte 10 segundo en cruzar?
9. Sea X una v.a. exponencial de media λ e Y =
X −λ
otra v.a. Calcular FY y E (Y ) .
λ
10. La duración de cierto componente que se utiliza en un sistema electrónico tiene una
función de densidad exponencial de media 100 horas. El componente se cambia cuando
falla o después de 200 horas, lo que ocurra primero. Obtener la función de densidad y de
distribución del tiempo de uso del componente y calcular el tiempo medio de uso.
11. Los ingresos por facturas del último año de un restaurante pueden expresarse de
manera aleatoria de media 21€ y desviación típica 3€. ¿Cuál es la probabilidad de que
los 100 próximos clientes gasten en total más de 2150€? ¿Después de cuántas facturas
podemos tener un 90% de seguridad de que el total de dinero gastado por los clientes
será de al menos 6000€?
12. Un examen es de tipo test, tiene 36 preguntas y cada pregunta tiene 4 posibles
alternativas. Cada alumno debe contestar eligiendo una sola y la puntuación del examen
F
resulta de la siguiente ecuación: X = A − , siendo A el número de aciertos y F el
3
número de fallos. Las respuestas en blanco no se contabilizan. Hallar:
a) Si un alumno contesta a las 36 preguntas respondiendo al azar en todas, ¿qué nota
debería esperar?
b) Si hay 30 alumnos que responden todas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no
más de 25 saquen más de 10 puntos?
c) Sabiendo que se aprueba teniendo una puntuación mínima de 20, ¿qué probabilidad
tendría un alumno que responde bien 19 preguntas, 3 responde al azar y las demás
las deja en blanco?
13. Las llamadas a una central telefónica se producen aleatoriamente a razón de 2
llamadas por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que se reciban como mucho 20
llamadas en un período de 15 minutos?
14. El tiempo que tarda un funcionario en atender a una persona se representa por una
distribución exponencial de media 4 minutos. Llega una persona y se encuentra una cola
de 10 personas, ¿cuál es la probabilidad de que tenga que esperar más de 31 minutos
hasta que le toque el turno?
15. Los 50 estudiantes del último curso de una facultad decidieron vender camisetas
para costear su viaje fin de carrera. Como no estaban muy seguros del éxito que iban a
tener adquirieron en un principio unas pocas y como las vendieron en poco tiempo
decidieron adquirir más. Sabiendo que el número medio de camisetas vendidas por
alumno fue de 30, con una desviación típica de 6, ¿cuál es el número máximo de
camisetas que deben encargar para asegurar su venta total con una probabilidad de 0,9?
16. Una tienda de productos de papelería asume que el número de horas semanales que
trabajan los empleados en la tienda es de 36,7 horas con una desviación típica de 1,5
horas. Su jefe desea comprobar la certeza de estos valores en base a la observación de
las últimas 20 semanas de trabajo. Así, si el promedio aritmético de las horas de trabajo
por cada empleado no difiere del valor medio real de horas que trabajan, en más de 1
hora con probabilidad 0,9 , seguirá manteniendo los valores promedio iniciales. ¿Debe
entonces el jefe cambiar de opinión en cuanto a cuál es el número medio de horas de
trabajo semanal por empleado? ¿Y si hubiese tomado la decisión en base a los datos de
las 3 últimas semanas?